2022-2023九年级数学上学期期末复习培优练习-第22章二次函数解答题 提升题（辽宁中考）

这是一份2022-2023九年级数学上学期期末复习培优练习-第22章二次函数解答题 提升题（辽宁中考），共64页。试卷主要包含了，交y轴于点C，，连接BC，，与y轴相交于点C，连接AC等内容，欢迎下载使用。
2022-2023九年级数学上学期期末复习培优练习
第22章二次函数解答题 提升题
1．（2022•阜新）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．


2．（2022•鞍山）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．


3．（2022•丹东）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

4．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ＝时，请直接写出点P的横坐标．

5．（2022•大连）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S＝S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．

7．（2022•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PDF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当＝时，求点P坐标；
（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．


8．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．
（1）①求抛物线的函数表达式；
②直接写出直线AD的函数表达式；
（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；
（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．


9．（2022•辽宁）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0），点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；
（3）如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．


10．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．


11．（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 　 　；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．

12．（2021•鞍山）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

13．（2021•辽宁）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

14．（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

15．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．

16．（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．




参考答案与试题解析
1．（2022•阜新）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．


【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解这个方程组得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，如图：

设△BMN面积为S，
根据题意得：ON＝t，BM＝．
∵B（5，0），
∴BN＝5﹣t，
在y＝﹣x2+4x+5中，令x＝0得y＝5，
∴C（0，5），
∴OC＝OB＝5，
∴∠OBC＝45°．
∴ME＝BMsin45°＝，
∴S＝BN•ME＝（5﹣t）•t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
∵0＜t＜5，
∴当时，△BMN的面积最大，最大面积是；
（3）存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由B（5，0），C（0，5）得直线BC解析式为y＝﹣x+5，
设Q（m，﹣m+5），P（n，﹣n2+4n+5），又A（﹣1，0），C（0，5），
①当PQ，AC是对角线，则PQ，AC的中点重合，
∴，
解得m＝0（与C重合，舍去）或m＝﹣7，
∴Q（﹣7，12）；
②当QA，PC为对角线，则QA，PC的中点重合，
∴，
解得m＝0（舍去）或m＝7，
∴Q（7，﹣2）；
③当QC，PA为对角线，则QC，PA的中点重合，
∴，
解得m＝1或m＝2，
∴Q（1，4）或（2，3），
综上所述，Q的坐标为（﹣7，12）或（7，﹣2）或（1，4）或（2，3）．
2．（2022•鞍山）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．


【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴S△BCD＝×4×（2+OD）＝12，
∴OD＝4，
∴D（0，﹣4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣4，
联立方程组，
解得或，
∴P（﹣3，﹣7）；
（3）如图1，当B'在第一象限时，
设直线BC的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设E（t，﹣t+2），
∴OH＝t，EH＝﹣t+2，
∵D（0，﹣4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，
∴EB'∥CD，
由折叠可知，OB'＝BO＝4，BE＝B'E，
在Rt△OHB'中，B'H＝，
∴B'E＝﹣（﹣t+2）＝+t﹣2，
∴BE＝+t﹣2，
在Rt△BHE中，（+t﹣2）2＝（4﹣t）2+（﹣t+2）2，
解得t＝，
∵0≤t≤4，
∴t＝，
∴B'（，）；
如图2，当B'在第二象限，∠BGB'＝45°时，
∵∠ABP＝45°，
∴B'G∥x轴，
∵将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，
∴BE＝B'E，OB＝OB'，∠BOE＝∠B'OE，
∴∠BOE＝∠B'EO，
∴B'E＝B'O，
∵B'E＝BO，
∴四边形 B'OBE是平行四边形，
∴B'E＝4，
∴B'（t﹣4，﹣t+2），
由折叠可知OB＝OB'＝4，
∴平行四边形OBEB'是菱形，
∴BE＝OB，
∴＝4，
解得t＝4+或t＝4﹣，
∵0≤t≤4，
∴t＝4﹣，
∴B'（﹣，）；
综上所述：B'的坐标为（，）或（﹣，）．
方法2：在Rt△BCO中，BC＝2，CO：OB：BC＝1：2：，
∵BP与x轴和y轴的夹角都是45°，BP与B'E的夹角为45°，
∴B'E∥x轴或B'E∥y轴，
当B'E∥y轴时，延长B'E交x轴于F，
∴B'F⊥OB，
∵∠CBA＝∠OB'E，
∴△OB'F∽△CBO，
∴OF：FB'：B'O＝1：2：，
∵OB＝OB'＝4，
∴FO＝，B'F＝，
∴B'（，）；
当B'E∥x轴时，过B'作B'F⊥x中交于F，
∴B'F⊥OF，B'E∥OB，
∵B'E和BE关于OE对称，OB和OB'关于OE对称，
∴BE∥OB'，
∵∠FOB'＝∠OBC，
∴△OB'F∽△BCO，
∴B'F：FO：OB'＝1：2：，
∵OB＝OB'＝4，
∴B'F＝，OF＝，
∴B'（﹣，）；
综上所述：B'坐标为（，）或（﹣，）．




3．（2022•丹东）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2+x+3；
（2）∵抛物线y＝x2+x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m，
∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜6，
∴h＝m2+m（0＜m＜6）；
（3）如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，

∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），
∴PE＝m2+m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF＝90°，
∵PD⊥x轴，
∴∠EBD+∠BED＝90°，
又∵∠PEF＝∠BED，
∴∠EPF＝∠EBD，
∵∠BOC＝∠PFE＝90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴＝，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝3，
∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m），
∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴EH＝OD＝m，
∵EH∥x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴＝，即＝，
∴CE＝m，
∵CF＝EF，
∴EF＝CE＝m，
∴m＝（m2+m），
解得：m＝0或m＝1，
∵0＜m＜6，
∴m＝1；
（4）∵抛物线y＝x2+x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，
则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，
①当点O′恰好落在该矩形对角线OP所在的直线上时，如图，

则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OP，
∴∠COP+∠OCQ＝90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，
∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠COP，
∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，
∴＝tan∠PCQ＝，
∴＝，
解得：t＝，
∴Q（2，）；
②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，

∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ＝∠DCQ，
∵GH∥OC，
∴∠CQG＝∠OCQ，
∴∠DCQ＝∠CQG，
∴CK＝KQ，
∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH∥OC∥PD，
∴点K是CD的中点，
∴K（2，），
∴GK＝，
∴CK＝KQ＝﹣t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2，
∴22+（）2＝（﹣t）2，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1，
∴Q（2，﹣1）；
③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，

∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，
∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，
∴△O′CK∽△DCO，
∴＝＝，即＝＝，
∴O′K＝，CK＝，
∴OK＝OC+CK＝3+＝，
∴O′（﹣，），
∵点M是OO′的中点，
∴M（﹣，），
设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′，
则，
解得：，
∴直线CQ的解析式为y＝x+3，
当x＝2时，y＝×2+3＝4，
∴Q（2，4）；
综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4）．
3．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ＝时，请直接写出点P的横坐标．

【解答】解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：

设D（m，﹣m2+2m+3），直线AC的解析式为y＝kx+b，
由（1）可得：C（0，3），
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴H（m，﹣m+3），
∴DH＝﹣m2+3m，
∵DH∥y轴，
∴△OCN∽△DHN，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴；
（3）由题意可得如图所示：

分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H，
∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝∠CGP＝∠PHQ＝90°，
∴∠CPG+∠PCG＝∠CPG+∠QPH＝90°，
∴∠PCG＝∠QPH，
∴△PCG∽△QPH，
∴，
∵，
∴，
设点P（n，﹣n2+2n+3），
由题意可知：抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，3），
∴QH＝|n﹣1|，PG＝|﹣n2+2n|，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点P的横坐标为或或或．
4．（2022•大连）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S＝S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）；
当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
（2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴OA＝1，OB＝OC＝3．
∵点E的坐标为（m，0），OE＝OF，
∴OE＝OF＝m，BE＝CF＝3﹣m，
∴S＝S1+S2
＝•CF•OA+•BE•OF
＝×（3﹣m）×1+×（3﹣m）×m
＝﹣m2+m+
＝﹣（m﹣1）2+2．
∵﹣＜0，
∴当m＝1时，S取得最大值，
即当S取最大值时，m的值为1．
（3）存在，设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）．
在图（2）中，连接BD，过点Q作QM⊥x轴于点M，过点D作DN∥x轴，过点P作PN∥y轴交DN于点N．
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，BC＝3．
∵抛物线的顶点为D，
∴点D的坐标为（1，﹣4），
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），
∴BD＝＝2，CD＝＝，
∵BC2+CD2＝（3）2+（）2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝45°+90°＝135°．
∵QM∥OC，
∴∠CQM＝180°﹣∠OCB＝180°﹣45°＝135°．
∵∠PQC＝∠ACD，∠PQC＝∠PQM+∠CQM，∠ACD＝∠ACO+∠OCD，
∴∠PQM＝∠ACO．
又∵QM∥PN，
∴∠DPN＝∠PQM＝∠ACO．
又∵∠AOC＝∠DNP＝90°，
∴△AOC∽△DNP，
∴＝，即＝，
解得：n1＝1（不合题意，舍去），n2＝4，
∴点P的坐标为（4，5）．

5．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．

【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），
设点P（m，m2﹣3m﹣4），
则，，
∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，
∴S△BCE＝S△BPE，
∴，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴P（3，﹣4）；
方法二：∵S1＝S2，
∴S△PBE＝S△CBE，
∴PC∥x轴，
∴点P与C关于对称轴x＝对称，
∴P（3，﹣4）；
（3）如图，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x轴于N，连接PC交x轴于点H，

设P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表达式为：y＝kx+d（k≠0），
将P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，
，
解得：，
∴PC的表达式为：y＝（n﹣3）x﹣4，
将y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，
0＝（n﹣3）x﹣4，
即，
∴，
∵S△PCB＝S△PHB+S△HCB，
∴PQ•BC＝PN•HB+OC•HB，
∵，
∴，
∵，
由题可知，，
∴，
将代入y＝x2﹣3x﹣4得，，
∴，
∴，
∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，
∴△CEF∽△PQB，
∴，
∴，
解得：（舍去）．
∴点P的横坐标为﹣，
方法二：将CF绕点F顺时针旋转90°得C'，连接CC'，作CE⊥l于E，
求出点C'（），
从而求出直线CC'的解析式，

∴∠ECF＝∠BCC'＝∠PBC，
∴BP∥CC'，
求出直线BP的解析式与抛物线求交点即可．
6．（2022•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PDF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当＝时，求点P坐标；
（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．


【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
设直线AB的解析式为：y＝kx+b′，
∴，
解得．
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3．
（2）如图，设直线AB与y轴交于点G，
∴G（0，3），
∴OG＝3，OB＝4，AB＝5，
∵PD⊥AB，PE⊥OB，
∴∠PDF＝∠BEF＝∠GOB＝90°，
∵∠P+∠PFD＝∠BFE+∠OBE＝90°，∠PFE＝∠BFE，
∴∠P＝∠OBE，
∴△PDF∽△BOG，
∴PD：DF：PF＝OB：OG：AB＝4：3：5，
∴PD＝PF，DF＝PF，
∴S1＝•PD•DF＝PF2，
设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+4）（0＜m＜4），
∴F（m，﹣m+3），E（m，0），
∴PF＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+1，BE＝4﹣m，FE＝﹣m+3，
∴S1＝（﹣m2+m+1）2＝（m﹣4）2（2m+1）2，
S2＝•BE•EF＝（4﹣m）（﹣m+3）＝（m﹣4）2，
∵＝，
∴[（m﹣4）2（2m+1）2]：[（m﹣4）2]＝，解得m＝3或m＝4（舍），
∴P（3，）．
（3）存在，点N的坐标为（1，3﹣）或（1，3+）．理由如下：
法一：由抛物线的解析式可知，C（0，4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
如图，当点P在直线AB上方时，如图所示，过点P作x轴的平行线PH，过点B作x轴的垂线交PH于点H，

∵BC垂直平分PN，
∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC，
∵∠OBC＝∠CBH＝45°，
∴∠PBH＝∠OBN，
∵∠H＝∠BKN＝90°，
∴△PHB≌△NKB（AAS），
∴HB＝BK，PH＝NK，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴BK＝3，
∴BH＝3，
令﹣x2+x+4＝3，
解得x＝1+或x＝1﹣（舍），
∴PH＝4﹣（1+）＝3﹣，
∴NK＝3﹣，
∴N（1，3﹣）；
当点P在直线AB下方时，如图所示，过点N作x轴的平行线NM，过点B作x轴的垂线BM交NM于点M，过点P作PQ⊥x轴于点Q．

∵BC垂直平分PN，
∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC，
∵∠OBC＝∠CBM＝45°，
∴∠PBQ＝∠MBN，
∵∠M＝∠PQB＝90°，
∴△PQB≌△NMB（AAS），
∴QB＝MB，PQ＝NM，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴MN＝3，
∴PQ＝3，
令﹣x2+x+4＝3，
解得x＝1+（舍）或x＝1﹣，
∴BQ＝4﹣（1﹣）＝3+，
∴BM＝3+，
∴N（1，3+）．
综上，存在，点N的坐标为（1，3﹣）或（1，3+）．
法二：设BC与对称轴交于E，
可得E（1.3）
过E做x轴平行线交抛物线于P1P2，

∴直线P1P2和直线DE关于直线BC对称
令﹣x2+x+4＝3，
解得x＝1+或x＝1﹣，
此即线P1和P2的横坐标，
∴P1E＝P2E＝，
∴EN1＝EN2＝，
∴点N的坐标为（1，3﹣）或（1，3+）．

7．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．
（1）①求抛物线的函数表达式；
②直接写出直线AD的函数表达式；
（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；
（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为C1，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C1沿y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．


【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；
②由①得y＝x2﹣x﹣3，
当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；
（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，
∵S1＝2S2，即＝2，
∴＝2，
∴＝，
∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，
∴EM∥FN，
∴△BFN∽△BEM，
∴＝＝＝，
∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，
∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），
∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，
∴F（2+t，t2﹣t﹣2），
∵点F在直线AD上，
∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，
解得：t1＝0，t2＝2，
∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；
（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点坐标为G（2，﹣4），
当x＝0时，y＝3，即点C （0，﹣3），
∴点C′（0，3），G′（2，4），
∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4﹣n，
设直线BC的解析式为y＝k′x+d′（k′≠0），
把点B（6，0），C（0，﹣3）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
同理直线C′G′的解析式为y＝x+3，
∴BC∥C′G′，
设点P的坐标为（s，s﹣3），
∵点C′（0，3），G′（2，4），
∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，
∵四边形C′G′QP是平行四边形，
∴点Q（s+2，s﹣2），
当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，
则，
解得：（不符合题意，舍去），
当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，
则，
解得：或（不合题意，舍去），
当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，
则，
解得：或（不合题意，舍去），
综上所述，点P的坐标为（1+，）或（1﹣，）．

8．（2022•辽宁）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0），点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；
（3）如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．


【解答】解：（1）将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）将A（3，0）代入y＝﹣x+b中，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
设直线AC的解析式为y＝kx+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2），
过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则M（m，m﹣3），
∴PM＝﹣m2+3m，
∴S2＝×OA×PM＝m2+m，
S1＝×BF×AD＝4，
∵S2＝S1，
∴m2+m＝，
解得m＝或m＝，
∴P点的横坐标为或；
（3）∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2），
∴CD＝，CF＝，DF＝2，
∵E（﹣2，5），A（3，0），
∴AE＝5，
设Q（x，y），
①当△CDF∽△QAE时，＝＝，
∴＝＝，
∴AQ＝5，EQ＝5，
∴，
解得或（舍去），
∴Q（﹣7，5）；
②当△CDF∽△AQE时，＝＝，
∴＝＝，
∴AQ＝5，QE＝10，
∴，
解得（舍去）或，
∴Q（﹣12，5）；
③当△CDF∽△EQA时，＝＝，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝10，
∴，
解得或（舍去），
∴Q（3，﹣10）；
④当△CDF∽△QEA时，＝＝，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝5，
∴，
解得或（舍去），
∴Q（3，﹣5）；
综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．

9．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．


【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+4，
设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），
∴DH＝﹣n2﹣4n，
∵DH∥OC，
∴＝＝，
∵OC＝4，
∴DH＝3，
∴﹣n2﹣4n＝3，
解得n＝﹣1或n＝﹣3，
∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）设F（t，t+4），
当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，
∵∠DOF＝45°，
∴DF＝DO，
∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，
∴∠NDO＝∠MFD，
∴△MDF≌△NOD（AAS），
∴DM＝ON，MF＝DN，
∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），
∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，
∴D点纵坐标为2，
∴﹣x2﹣3x+4＝2，
解得x＝或x＝，
∴D点坐标为（，2）或（，2）；
当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，
∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，
∴∠LFO＝∠KDF，
∵DF＝FO，
∴△KDF≌△LFO（AAS），
∴KD＝FL，KF＝LO，
∴KL＝t+4﹣t＝4，
∴D点纵坐标为4，
∴﹣x2﹣3x+4＝4，
解得x＝0或x＝﹣3，
∴D（0，4）或（﹣3，4）；
综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．



10．（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 　（4，2）　；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．

【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+2x+6中，
令y＝0，则﹣x2+2x+6＝0，
∴x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6），
在直线y＝x﹣2，令y＝0，则x＝2，
∴E（2，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6，
联立，
解得，
∴F（4，2），
故答案为（4，2）；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，

∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMF＝∠QNF，
∴△PMF∽△QNF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵FH∥PG，
∴＝＝，
∵FH＝2，
∴PG＝，
∴P点纵坐标为，
∴﹣x2+2x+6＝，
∴x＝1或x＝3，
∴P（1，）或P（3，）；
（3）如图2，过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，

由题意得，EG＝4t，
∵SE＝SG，
∴EK＝GK＝EG＝2t，
在Rt△SEK中，tan∠SEG＝＝，
∴SK＝t，
∵E（2，0），D（0，﹣2），
∴OE＝OD，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠OED＝45°，
∴∠KEH＝∠OED＝45°，
∴△EHL为等腰直角三角形，
∴LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，
∴EL＝EK﹣LK＝t，
∴EH＝LH＝t，
∴OH＝OE+EH＝t+2，SH＝SL+LH＝3t，
∴S（t+2，3t），
∴﹣（t+2）2+2（t+2）+6＝3t，
∴t＝2或t＝﹣8（舍），
∴点G的运动时间为2s．
11．（2021•鞍山）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，∵D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∵AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），
∴△AEF∽△PDF，设E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），
又∵△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，S1＝S2，
∴△AEF≌△PDF，
∴AF＝PF，EF＝DF，即点F分别是AP、ED的中点，
又∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），E（e，e+2），D（1，﹣4），
∴由中点坐标公式得：，
解得：m1＝0，m2＝，
∴点P的坐标为（，﹣）或（0，﹣3）；
（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，
以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，
则O′（，），OO′＝O′B＝，
以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），
过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM＝90°，
∵O′H＝﹣1＝，O′M＝OO′＝，
∴MH＝＝＝，
∴t＝+＝，
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，
连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，
∵OB＝OC＝3，
∴⊙O经过点C，
连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，
则OM＝OB＝3，OE＝1，
∵∠MEO＝90°，
∴ME＝＝＝2，
∴t＝2，
综上所述，2≤t≤．



12．（2021•辽宁）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），
∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），
∵DE∥y轴交AB于点E，
∴E（m，﹣m+3），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∴AG＝FG，
∵DE＝FG，
∴DE＝AG，
连接GE，延长DE交x轴于点T，
∴四边形FGED是平行四边形，
∵DF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴△AEG为等腰直角三角形，
∴AT＝ET＝GT＝3﹣m，
∴AG＝FG＝6﹣2m，
∴OG＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3，
∴F点横坐标为2m﹣3，
∴FG＝﹣2m+6，
∴DT＝﹣2m+6+3﹣m＝﹣3m+9，
∴﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，
解得m＝2或m＝3（舍），
∴D（2，3）；
（3）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣1，0）、D（2，3）代入，
∴，
∴，
∴y＝x+1，
∴∠ACM＝45°，
∴CM⊥AM，
联立x+1＝﹣x+3，
解得x＝1，
∴M（1，2），
∵以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形，
①如图2，图3，当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，


∵H点在抛物线上，
∴H（3，0）或H（0，3），
当H（3，0）时，MH＝2，
∴KH＝4，
∴K（3，4）
∴HK的中点为（3，2），则MP的中点也为（3，2），
∴P（5，2）；
当H（0，3）时，MH＝，
∴KH＝2，
∴K（0，1），
∴HK的中点为（0，2），则MP的中点也为（0，2），
∴P（﹣1，2），
此时HK与y轴重合，
∴P（﹣1，2）不符合题意；
②如图4，图5，当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，


∴H（1+，2）或H（1﹣，2），
当H（1+，2）时，MH＝，
∴P（1，2+）；
当H（1﹣，2）时，MH＝，
∴P（1，2﹣）；
综上所述：当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，P点坐标为（5，2）或（1，2+）或（1，2﹣）．

13．（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m，），
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，
联立方程组：，
解得：，，
∵点B坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（，﹣），
∴BD+CF＝3+，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC
＝PE•BD+PE•CF
＝PE（BD+CF）
＝（﹣m2+m+1）•
＝（）2+，（其中＜m＜3），
∵，
∴这个二次函数有最大值．
当m＝时，S△PBC的最大值为．
（3）如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：，，
M1（0，﹣3），M2 ，
如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：t1＝，t2＝，
∴M3，M4（，）；
综上所述，点M的坐标为M1（0，﹣3），M2 ，M3，M4（，）．



14．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．

【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；

（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，
故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），
则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，
解得x＝1或3，
故点P的坐标为（1，）或（3，3）；

（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为（，n），
当∠ABQ为直角时，如图2﹣1，

设BQ交x轴于点H，
由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝，
故设直线BQ的表达式为y＝x+t，
该直线过点B（0，3），故t＝3，
则直线BQ的表达式为y＝x+3，
当x＝时，y＝x+3＝5，
即n＝5；
②当∠BQA为直角时，
过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，

∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，
∴∠BQN＝∠MAQ，
∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，
即，则，
解得n＝；
③当∠BAQ为直角时，
同理可得，n＝﹣；
综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，
故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜或＜n＜5．
15．（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．

【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3①；
tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝；
①当点P（P′）在点C的右侧时，

∵∠P'BC＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
∵∠P'BC＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×＝，
解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②，
联立①②并解得：，
故点P的坐标为（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，
故设直线AP的表达式为：y＝x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y＝x+1③，
联立抛物线与③并解得：，故点N（，）；
设△AMN的外接圆为圆R，

当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3④，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2+n2＝（m﹣）2+（﹣n）2⑤，
联立④⑤并解得：，
故点M（﹣，﹣）．