专题29：同构函数-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

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专题29：同构函数
精讲温故知新
同构式：在成立或恒成立命题中，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度。找到这个函数模型的方法，我们称为同构法。具有相同结构的两个代数式称为同构式。
例如：若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)] ≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法。
第一类：常见类型同构函数
(1) 构造函数xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑.
(2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式；
构造函数xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式.
(3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式.
(4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式.
例1： 1.（2015·福建·高考真题（理））若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：令，则，因此，所以选C.
考点：利用导数研究不等式
【方法点睛】
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等

2．（2011·辽宁·高考真题（文））函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（      ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.
【详解】
依题意可设，所以.
所以函数在上单调递增，又因为.
所以要使，即，只需要，故选B.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，由得，即，即可得到单调性，再结合的奇偶性，即可对选项进行判断
【详解】
构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.
偶函数在上为增函数，在上为减函数，

，故B正确；
，，故C错误；
，，故D错误.
故选：B
4.（2018·浙江·高考真题）已知成等比数列，且．若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.
【详解】
令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
【点睛】
构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如

5.已知函数满足：，那么系列不等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：设，
则.
因为，所以,则在定义域上单调递增，所以,
则，即答案为A.
举一反三：

1.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的取值范围（ ）.
A.
B.
C.
D.
解析：设，
则.
因为时，，所以,即当时，单调递减.
又因为为奇函数，且，所以为偶函数，且,
则当时，单调递增.
当时，，.
当时，，.
所以成立的取值范围
，即答案为A..
对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出，从而给出极其巧妙的解答. 为了寻求问题的本质，这里对以下例题进行分析.
2.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：因为，所以，.
由，
得
设，
则，可得,
则在定义域上单调递减，
所以,
则，即答案为A.
3.（2022·全国·高考真题（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解.
【详解】
因为,因为当
所以,即,所以；
设，
，所以在单调递增，
则,所以，
所以,所以，
故选：A

4. 已知为上的可导函数，且，均有，则有
A．，
B．，
C．，
D．，
解：构造函数则，
因为均有并且，所以，故函数在R上单调递减，所以，即
也就是，故选D．
5. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
解：构造新函数, 则，
，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为，选D.
二、指对数同构
①
②来进行研究
③

④
⑤
指对互化关系

同构转化关系：已知含有则可同构转化如下
(同左边),则构造函数
(同右边),则构造函数
(取对数),则构造函数
例2：1.设实数λ＞0，若对任意的x∈（e2，+∞），关于x的不等式λeλx﹣lnx≥0恒成立，则λ的最小值为：　　．
分析：λeλx﹣lnx≥0
令


2.不等式的解集为：　 ．
分析：，

故不等式的解集为
3.已知对任意给定的的取值范围为：　 ．
分析：
显然成立，

显然

.
注释：本题逻辑关联词较多，首先处理逻辑关联词我们遵循就近原则优先处理，即优先处理离
较近的逻辑关联词，按照逻辑关联词出现的相反顺序进行处理，比如本题，我们要先处理存在一方的变量上有解即可，故而得到求导还要借助隐零点处理过程也不简单.仔细观察发现，不等式两边同乘，可以利用同构来进行处理，接着就可以参变分离了，借助恒成立问题处理策略，即可使问题得以解决!
4.已知方程的取值范围是： ．
分析：由
当；


5.（2022·全国·高考真题）设，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.

举一反三
1.的最小值为： ．
分析：
构造函数
故实数
2.已知不等式最小值为（ ）
A. B. C. D.
分析：，

只需考虑其为负数的情况，
，
令
故
3．（2022·山东潍坊·模拟预测）设，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小.
【详解】
设,则,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
故当时,函数取得最大值,
因为,,
,
当时,,函数单调递减,可得,
即.
故选:C
4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得恒成立，令，则不等式转化为恒成立，令，求出函数的导函数，再对分两种情况讨论，结合函数的单调性计算可得；
【详解】
解：因为，不等式恒成立，等价于恒成立，
令，则不等式转化为恒成立，
令，则，显然，当且仅当，即时取等号，
所以当时，即在上单调递增，所以，符合题意；
当时，令，则，
故在上单调递增，所以存在满足，且当时，当时，
所以在上单调递减，此时，与题意矛盾，综上可得；
故选：B
5．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】
,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0 所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b 综上，,
故选：B.

精练巩固提升
一、单选题
1．（2022·河南许昌·一模（文））已知函数的导函数为，若满足对恒成立，则下列不等式一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，根据题设条件可得的单调性，从而可得正确的选项.
【详解】
令，则，
故为上的增函数，故即，
故选：D.
2．（2022·云南玉溪·模拟预测（文））已知，则的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用两个重要的不等式，说明大小即可
【详解】
先用导数证明这两个重要的不等式
①，当且仅当时取“=”


，函数递减， 函数递增
故时函数取得最小值为0
故，当且仅当时取“=”
②，当且仅当时取“=”


，函数递增，函数递减，
故时函数取得最大值为0，
故，当且仅当时取“=”
故

故选：C
3．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷带解析））若，则                                 (　   　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：对于A，B作出图象如图所示，可见 时，既有单调减函数区间，单调增函数区间，故都不正确；对于C，设，作如图所示，因 ，此时，在 上为减函数，故有，得 ，故C正确，D不正确，故选C.

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的图象及数形结合思想的应用.
4．（2022·陕西西安·三模（理））若对任意的，且，都有成立，则实数m的最小值是（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意转化为，令，得出在上为单调递减函数，结合，求得，即可求解.
【详解】
由，且，可得，
则等价于，
即，所以，故，
令，则，
因为，所以在上为单调递减函数，
又由，解得，所以，
所以实数的最小值为.
故选：D.
5．（2022·江西赣州·二模（理））已知，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解
【详解】
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，取得极大值，则，，
故．
故选：D
6．（2022·广西广西·模拟预测（文））函数的导函数为，对，都有成立，若，则不等式的解集是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数可判断的单调性，再根据，求得，再根据不等式，结合函数的单调性，即可求出结果．
【详解】
∵，都有成立，∴，
令，则于是有 ，
所以在上单调递增，
∵，∴，
∵不等式，
∴，即不等式的解集是.
故选：B．
7．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式.
【详解】
设，则，
故为上的增函数，
而可化为即，
故即，所以不等式的解集为，
故选：A.
8．（2022·山东临沂·三模）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先得出的周期以及对称轴，再证明在上恒成立，通过对称性画出函数和在上的简图，由图象得出解集.
【详解】
由题意可得，，即是周期为的函数，且图像关于对称.
令
时，，时，
函数在上单调递增
当时，，即
设，
即函数在上单调递减，则，即
故在上恒成立
结合对称性可画出函数和在上的简图，如下图所示

由图象可知，不等式在上的解集为
故选：A
9．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设，由已知得函数在R上单调递增，且，根据函数的单调性建立不等式可得选项.
【详解】
由题可设，因为，
则，
所以函数在R上单调递增，
又，不等式可转化为，
∴，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
故选：A.
10．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知偶函数的定义域为R，导函数为，若对任意，都有恒成立，则下列结论正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，结合条件可判断出在上单调递增，且函数为偶函数，进而可得.
【详解】
令，则，则A错误；
令，则，
当时，由，
，则在上单调递增，
又因为偶函数的定义域为R，
∴为偶函数，在上单调递增，
，，故B错误；
，，故C正确；
由题意，不妨假设(c为常数)符合题意，此时，故D错误.
故选：C.
二、多选题
11．（2022·辽宁沈阳·三模）已知函数，若且，则有（       ）
A．可能是奇函数或偶函数 B．
C．若A与B为锐角三角形的两个内角，则
D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用反证法说明函数既不是奇函数也不是偶函数即可判断A；令，利用导数结合已知判断函数在上的单调性，即可判断BD；令，利用导数结合已知判断函数在上的单调性，再根据锐角三角形内角关系及正弦函数的单调性，即可判断C.
【详解】
解：若是奇函数，则，
与已知矛盾，故函数不可能是奇函数，
令，则，
所以函数在上递增，
故，即,
所以，故B正确；
若为偶函数，则，与矛盾，
所以函数不可能为偶函数，故A错误；
对于D，因为函数在上递增，
所以，即，故D正确；
对于C，令，
则，
所以函数函数在上递增，
若A与B为锐角三角形的两个内角，
则，
故，
所以，
所以，即，故C正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的定义，考查了利用导数判断函数的单调性，关键在于构造函数.
12．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知正实数a，b，c满足，则一定有（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据，可得，进而判断出，A正确；
构造，得到单调性，从而求出，B正确；CD选项可以举出反例.
【详解】
由正实数a，b，c，以及，可得，
又，所以．
所以，又，所以，
即，等价于，
构造函数，
，
当时，
故在上递增，从而．
又取时，原式为同样成立，
故CD不正确，
故选：AB
【点睛】
对于指数，对数比较大小问题，属于高频考点，难点在于部分题目需要构造函数进行比较，本题中要结合不等式的特点构造，利用导函数求出其单调性，根据函数单调性比较大小
三、填空题
13．（2016·河北石家庄·一模（文））设是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数研究的单调性，结合函数的奇偶性求得使得成立的的取值范围.
【详解】
构造函数，，
所以为偶函数.
当时，，递增，
所以当时，递减.
，
画出的大致图象如下图所示，
由图可知使得成立的的取值范围是.
故答案为：

14．（2022·山西吕梁·一模（文））已知定义在上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为__________
【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件构造函数，求导后可得函数在上为减函数，将转化为，然后利用其单调性解不等式
【详解】
解：令，则，
因为，所以，
所以在上为减函数，
由，，得即，
因为在上为减函数，所以，
解得或，
故答案为：
15．（2022·四川省眉山第一中学模拟预测（理））已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】
构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解．
【详解】
设，则 ，
因为，，所以，可得在上单调递减，
不等式，即，即，所以，
因为在上单调递减，所以，又因为，
所以不等式的解集为：，
故答案为：．
16．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））记定义在上的可导函数的导函数为，且，，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先设函数，利用导数判断函数的单调性，不等式等价于，利用函数的单调性，即可求解.
【详解】
设，，所以函数单调递增，
且，不等式，所以.
故答案为：.