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第7章锐角三角形-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
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第7章锐角三角形-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
一．锐角三角函数的定义（共1小题）
1．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为 ．
二．特殊角的三角函数值（共1小题）
2．（2020•无锡）tan30°的值为（ ）
A． B． C． D．
三．解直角三角形（共3小题）
3．（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝ ．
4．（2022•连云港）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝ ．
5．（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长？
四．解直角三角形的应用（共9小题）
6．（2020•南通）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
7．（2022•镇江）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及、组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC＝66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN长的计算．
参考数据：sin66°≈，cos66°≈，tan66°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan33°≈．
8．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）
9．（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
10．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）
11．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
12．（2021•连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
13．（2020•淮安）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果精确到1千米）．
14．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？
（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．
（参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）
五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题）
15．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 米．
16．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
锐角A
三角函数
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共9小题）
17．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．a+btanα B．a+bsinα C．a+ D．a+
18．（2022•南通）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为 m（结果保留根号）．
19．（2022•宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．
20．（2022•连云港）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE＝45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE＝53°，AB＝10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG＝1.5m，GD＝2m．
（1）求阿育王塔的高度CE；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED．
（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）
21．（2021•淮安）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
22．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
23．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
24．（2020•镇江）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）
25．（2020•泰州）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的A处测得在C处的龙舟俯角为23°；他登高6m到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为50°，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan67°≈2.36）
七．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）
26．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）．
27．（2020•宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．
28．（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
29．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
第7章锐角三角形-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
参考答案与试题解析
一．锐角三角函数的定义（共1小题）
1．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为 ． ．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2，
∵b2＝ac，
∴c2＝a2+ac，
等式两边同时除以ac得：
＝+1，
令＝x，则有＝x+1，
∴x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
当x＝时，x≠0，
∴x＝是原分式方程的解，
∴sinA＝＝．
故答案为：．
二．特殊角的三角函数值（共1小题）
2．（2020•无锡）tan30°的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：tan30°＝，
故选：C．
三．解直角三角形（共3小题）
3．（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝ ．
【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，
∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴CD＝CB＝3，
∵AD＝BE＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
在Rt△CDE中，
DE＝＝＝，
∵DE＝AB，
在Rt△ADB中，
＝＝，
∴sin∠ABD＝＝．
故答案为：．
4．（2022•连云港）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝ ．
【解答】解：设每个小正方形的边长为a，
作CD⊥AB于点D，
由图可得：CD＝4a，AD＝3a，
∴AC＝＝＝5a，
∴sin∠CAB＝＝＝，
故答案为：．
5．（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长？
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
又∵CD＝，
∴BC＝＝3，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝＝6．
答：AB的长为6．
四．解直角三角形的应用（共9小题）
6．（2020•南通）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为 7.5 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（m），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（m），
故答案为：7.5m．
7．（2022•镇江）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及、组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC＝66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN长的计算．
参考数据：sin66°≈，cos66°≈，tan66°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan33°≈．
【解答】解：连接AC，交MN于点H，设直线l交MN于点Q，
∵M是的中点，点E在MN上，
∴∠AEM＝∠CEM＝∠AEC＝33°，
在△AEC中，EA＝EC，∠AEH＝∠CEH，
∴EH⊥AC，AH＝CH，
∵直线l是对称轴，
∴AB⊥l，CD⊥l，MN⊥l，
∴AB∥CD∥MN，
∴AC⊥AB，
∴AC＝42.9cm，AH＝CH＝cm，
在Rt△AEH中，sin∠AEH＝，
即＝，
则AE＝39，
tan∠AEH＝，
即＝，
则EH＝33，
∴MH＝6cm，
∵该图形为轴对称图形，
∴MQ＝MH+HQ＝6+15＝21（cm），
∴MN＝42（cm），
即MN的长为42cm．
8．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）
【解答】
解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，
∴＝0.60，＝0.80，
∴AE＝3m，BE＝4m，
∴CE＝6m，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1m，
∴CF＝5m，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．
∴OD＝2≈4.5m．
9．（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【解答】解：连接MC，过点M作HM⊥NM，
由题意得：
∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，
∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，
∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，
∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，
在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），
∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．
10．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）
【解答】解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图：
∵∠BCD＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
设CE＝x，则BE＝x，
∵CD＝80m，
∴DE＝（80﹣x）m，
Rt△BDE中，∠BDC＝56°19'，
∴tan56°19'＝，即＝1.5，
解得x＝48（m），
∴BE＝CE＝48m，
Rt△ACD中，∠ADC＝19°17′，CD＝80m，
∴tan19°17'＝，即＝0.35，
解得AC＝28m，
∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE，
∴四边形ACEF是矩形，
∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，
∴BF＝BE﹣EF＝20m，
Rt△ABF中，AB＝＝＝52（m），
答：A，B两点之间的距离是52m．
11．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【解答】解：（1）过点D作DF⊥BC于F，
∵∠FCD＝60°，∠CFD＝90°，
∴FC＝CD×cos60°＝50×＝25（cm），
∴FA＝AB+BC﹣CF＝84+54﹣25＝113（cm），
答：灯泡悬挂点D距离地面的高度为113cm；
（2）如图3，过点C作CG垂直于地面于点G，过点B作BN⊥CG于N，过点D作DM⊥CG于M，
∵BC＝54cm，
∴CN＝BC×cos20°＝54×0.94＝50.76（cm），
∴MN＝CN+MG﹣CG＝50.76+90﹣50.76﹣84＝6（cm），
∴CM＝CN﹣MN＝44.76（cm），
∴CD＝＝≈58（cm），
答：CD的长为58cm．
12．（2021•连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
【解答】解：（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，垂足为E，则AE⊥BF，
由cos∠BAE＝，
∴cos22°＝，
∴，即AE＝4.5m，
∴DE＝AE﹣AD＝4.5﹣0.4＝4.1（m），
由sin∠BAE＝，
∴，
∴，即BE＝1.8m，
∴BF＝BE+EF＝1.8+1.2＝3（m），
又，
∴，即CF＝4m，
∴CH＝CF+HF＝CF+DE＝4+4.1＝8.1（m），即点O到岸边DH的距离为8.1m；
（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M，
由cos∠BAM＝，
∴，
∴，
即AM＝2.88m，
∴DM＝AM﹣AD＝2.88﹣0.4＝2.48（m），
由sin∠BAM＝，
∴，
∴，即BM＝3.84m，
∴BN＝BM+MN＝3.84+1.2＝5.04（m），
∴＝（m），
∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m），
即点O到岸边的距离为4.58m．
13．（2020•淮安）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果精确到1千米）．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．
在Rt△ACD中，AC＝8（千米），∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，
∴CD＝AC•sin∠CAD＝4（千米），AD＝AC•cos∠CAD＝4（千米）≈6.8（千米）．
在Rt△BCD中，CD＝4（千米），∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝4（千米），
∴AB＝AD+BD＝6.8+4≈11（千米）．
答：A、B两点间的距离约为11千米．
14．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？
（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．
（参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）
【解答】解：（1）如图1中，连接OA．
由题意，筒车每秒旋转360°×÷60＝5°，
在Rt△ACO中，cos∠AOC＝＝＝．
∴∠AOC＝43°，
∴＝27.4（秒）．
答：经过27.4秒时间，盛水筒P首次到达最高点．
（2）如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，
∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝43°+17°＝60°，
过点P作PD⊥OC于D，
在Rt△POD中，OD＝OP•cos60°＝3×＝1.5（m），
2.2﹣1.5＝0.7（m），
答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面0.7m．
（3）如图3中，
∵点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，
∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，
在Rt△OPM中，cos∠POM＝＝，
∴∠POM≈68°，
在Rt△COM中，cos∠COM＝＝＝，
∴∠COM＝74°，
∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180°﹣68°﹣74°＝38°，
∴需要的时间为＝7.6（秒），
答：盛水筒P从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN上．
五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题）
15．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 10 米．
【解答】解：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，
解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），
故答案为：10．
16．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
锐角A
三角函数
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62
【解答】解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF＝，
∴AF＝AD•cos∠DAF＝100×cos28°＝100×0.88＝88（cm），
在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，
∴AE＝＝＝≈91（cm）；
（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，如图所示：
∴∠AMN＝∠MAG+∠DGA＝13°+32°＝45°，
在Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠DAC＝100×sin28°＝100×0.47＝47（cm），
在Rt△DFG中，tan∠DGA＝，
∴tan32°＝，
∴FG＝＝≈75.8（cm），
∴AG＝AF+FG＝88+75.8＝163.8（cm），
在Rt△AGN中，AN＝AG•sin∠DGA＝163.8×sin32°＝163.8×0.53≈86.8（cm），
∵∠AMN＝45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴AM＝AN≈1.41×86.8≈122.4（cm），
∴EM＝AM﹣AE≈122.4﹣91≈31.4（cm），
当M、H重合时，EH的值最小，
∴EH的最小值约为32cm．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共9小题）
17．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．a+btanα B．a+bsinα C．a+ D．a+
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，
∵∠ACF＝α，
∴tanα＝＝，
∴AF＝b•tanα，
∴AB＝AF+BF＝a+btanα，
故选：A．
18．（2022•南通）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为 （1+10） m（结果保留根号）．
【解答】解：如图，设DE⊥AC于点E，
在Rt△AED中，AE＝DE•tan60°＝10×＝10，
∴AC＝1+10（m）．
故答案为：1+10．
19．（2022•宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：
AB＝DE＝20m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，
∴AE＝＝＝20（m），
在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，
∴CE＝AE•tan45°＝20×1＝20（m），
∴CD＝CE+DE＝（20+20）m，
∴信号塔的高度为（20+20）m．
20．（2022•连云港）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE＝45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE＝53°，AB＝10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG＝1.5m，GD＝2m．
（1）求阿育王塔的高度CE；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED．
（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）
【解答】解：（1）在Rt△CAE中，
∵∠CAE＝45°，
∴CE＝AE，
∵AB＝10m，
∴BE＝AE﹣10＝CE﹣10，
在Rt△CEB中，
tan∠CBE＝tan53°＝＝，
∴1.327≈，
解得CE≈40.58（m）；
答：阿育王塔的高度CE约为40.58m；
（2）由题意知：∠CED＝90°＝∠FGD，∠FDG＝∠CDE，
∴△FGD∽△CED，
∴＝，即＝，
解得ED≈54.11（m），
答：小亮与阿育王塔之间的距离ED约是54.11m．
21．（2021•淮安）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【解答】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．
则AE＝50m，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），
在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），
∴CD＝CE+DE≈26.5+42＝68.5（m）．
答：铁塔CD的高度约为68.5m．
22．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
【解答】解：如图，过点C、B分别作CE⊥DG，BF⊥DG垂足为E、F，延长CB交AG于点H，
由题意可知，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，BC＝EF＝30m，
在Rt△ABH中，∠α＝30°，AB＝50m，
∴BH＝AB＝25（m）＝FG，
在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，
∴DE＝sin∠DCE•CD≈0.33×180＝59.4（m），
∴DG＝DE+EF+FG＝59.4+30+25＝114.4≈114（m），
答：山顶D的高度约为114m．
23．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
【解答】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：
设AC＝x米，
由题意得：PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°，
在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan30°＝，
∴PC＝AC＝x（米），
在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan45°＝1，
∴QC＝BC＝AC+AB＝（x+3）米，
∵PC﹣QC＝PQ＝5米，
∴x﹣（x+3）＝5，
解得：x＝4（+1），
∴BC＝4（+1）+3＝4+7≈14（米），
答：无人机飞行的高度约为14米．
24．（2020•镇江）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）
【解答】解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，
∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，
则BN＝NH，
设BN＝NH＝x，
∵HF＝6 m，∠BFN＝30°，
∴tan∠BFN＝＝，
即tan30°＝，
解得x≈8.2，
根据题意可知：
DM＝MH＝MN+NH，
∵MN＝AC＝10（m），
则DM≈10+8.2＝18.2（m），
∴CD＝DM+MC＝DM+EF≈18.2+1.6＝19.8（m）．
答：建筑物CD的高度约为19.8m．
25．（2020•泰州）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的A处测得在C处的龙舟俯角为23°；他登高6m到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为50°，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan67°≈2.36）
【解答】解：如图，根据题意得，∠C＝23°，∠BDE＝50°，AE＝15m，BE＝21m，
在Rt△ACE中，tanC＝tan23°＝＝≈0.42，
解得：CE≈35.7（m），
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝tan50°＝＝≈1.19，
解得：DE≈17.6（m），
∴CD＝CE﹣DE＝35.7﹣17.6＝18.1≈18m，
答：两次观测期间龙舟前进了18m．
七．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）
26．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 25 海里（结果保留根号）．
【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，
在Rt△APC中，cos∠APC＝，
∴PC＝PA•cos∠APC＝50×＝25（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，
∴PB＝＝＝25（海里），
故答案为：25．
27．（2020•宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
设AD＝x，则AC＝x，
∴BD＝AB﹣AD＝2﹣x，
∵∠CBD＝60°，
在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，
∴＝，
解得x＝3﹣．
经检验，x＝3﹣是原方程的根．
∴AC＝x＝（3﹣）＝（3﹣）km．
答：船C离观测站A的距离为（3﹣）km．
28．（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【解答】解：过点P作PN⊥BC于N，如图，
则四边形ABNP是矩形，
∴PN＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠APM＝45°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AM＝PM＝×30＝15（m），
∵M是AB的中点，
∴PN＝AB＝2AM＝30m，
在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，
∴NQ＝PN＝10m，PQ＝2NQ＝20≈49（m）；
答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．
29．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△DCH中，∠C＝37°，
∴CH＝，
在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，
∴BH＝，
∵BC＝CH﹣BH，
∴﹣＝6km，
解得DH≈18km，
在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，
∴AD＝≈20km．
答：轮船航行的距离AD约为20km．
第7章锐角三角形-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
一．锐角三角函数的定义（共1小题）
1．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为 ．
二．特殊角的三角函数值（共1小题）
2．（2020•无锡）tan30°的值为（ ）
A． B． C． D．
三．解直角三角形（共3小题）
3．（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝ ．
4．（2022•连云港）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝ ．
5．（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长？
四．解直角三角形的应用（共9小题）
6．（2020•南通）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
7．（2022•镇江）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及、组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC＝66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN长的计算．
参考数据：sin66°≈，cos66°≈，tan66°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan33°≈．
8．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）
9．（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
10．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）
11．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
12．（2021•连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
13．（2020•淮安）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果精确到1千米）．
14．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？
（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．
（参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）
五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题）
15．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 米．
16．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
锐角A
三角函数
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共9小题）
17．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．a+btanα B．a+bsinα C．a+ D．a+
18．（2022•南通）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为 m（结果保留根号）．
19．（2022•宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．
20．（2022•连云港）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE＝45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE＝53°，AB＝10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG＝1.5m，GD＝2m．
（1）求阿育王塔的高度CE；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED．
（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）
21．（2021•淮安）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
22．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
23．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
24．（2020•镇江）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）
25．（2020•泰州）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的A处测得在C处的龙舟俯角为23°；他登高6m到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为50°，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan67°≈2.36）
七．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）
26．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）．
27．（2020•宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．
28．（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
29．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
第7章锐角三角形-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
参考答案与试题解析
一．锐角三角函数的定义（共1小题）
1．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为 ． ．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2，
∵b2＝ac，
∴c2＝a2+ac，
等式两边同时除以ac得：
＝+1，
令＝x，则有＝x+1，
∴x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
当x＝时，x≠0，
∴x＝是原分式方程的解，
∴sinA＝＝．
故答案为：．
二．特殊角的三角函数值（共1小题）
2．（2020•无锡）tan30°的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：tan30°＝，
故选：C．
三．解直角三角形（共3小题）
3．（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝ ．
【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，
∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴CD＝CB＝3，
∵AD＝BE＝1，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
在Rt△CDE中，
DE＝＝＝，
∵DE＝AB，
在Rt△ADB中，
＝＝，
∴sin∠ABD＝＝．
故答案为：．
4．（2022•连云港）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝ ．
【解答】解：设每个小正方形的边长为a，
作CD⊥AB于点D，
由图可得：CD＝4a，AD＝3a，
∴AC＝＝＝5a，
∴sin∠CAB＝＝＝，
故答案为：．
5．（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长？
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
又∵CD＝，
∴BC＝＝3，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝＝6．
答：AB的长为6．
四．解直角三角形的应用（共9小题）
6．（2020•南通）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为 7.5 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（m），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（m），
故答案为：7.5m．
7．（2022•镇江）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及、组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC＝66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN长的计算．
参考数据：sin66°≈，cos66°≈，tan66°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan33°≈．
【解答】解：连接AC，交MN于点H，设直线l交MN于点Q，
∵M是的中点，点E在MN上，
∴∠AEM＝∠CEM＝∠AEC＝33°，
在△AEC中，EA＝EC，∠AEH＝∠CEH，
∴EH⊥AC，AH＝CH，
∵直线l是对称轴，
∴AB⊥l，CD⊥l，MN⊥l，
∴AB∥CD∥MN，
∴AC⊥AB，
∴AC＝42.9cm，AH＝CH＝cm，
在Rt△AEH中，sin∠AEH＝，
即＝，
则AE＝39，
tan∠AEH＝，
即＝，
则EH＝33，
∴MH＝6cm，
∵该图形为轴对称图形，
∴MQ＝MH+HQ＝6+15＝21（cm），
∴MN＝42（cm），
即MN的长为42cm．
8．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）
【解答】
解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，
∴＝0.60，＝0.80，
∴AE＝3m，BE＝4m，
∴CE＝6m，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1m，
∴CF＝5m，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．
∴OD＝2≈4.5m．
9．（2022•泰州）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【解答】解：连接MC，过点M作HM⊥NM，
由题意得：
∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，
∴∠CMN＝180°﹣∠MNB＝180°﹣118°＝62°，
∴∠CMH＝∠HMN﹣∠CMN＝28°，
∴∠DMC＝2∠CMH＝56°，
在Rt△CMD中，CD＝CM•tan56°≈8×1.48≈11.8（米），
∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8米．
10．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．
（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）
【解答】解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图：
∵∠BCD＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
设CE＝x，则BE＝x，
∵CD＝80m，
∴DE＝（80﹣x）m，
Rt△BDE中，∠BDC＝56°19'，
∴tan56°19'＝，即＝1.5，
解得x＝48（m），
∴BE＝CE＝48m，
Rt△ACD中，∠ADC＝19°17′，CD＝80m，
∴tan19°17'＝，即＝0.35，
解得AC＝28m，
∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE，
∴四边形ACEF是矩形，
∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，
∴BF＝BE﹣EF＝20m，
Rt△ABF中，AB＝＝＝52（m），
答：A，B两点之间的距离是52m．
11．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【解答】解：（1）过点D作DF⊥BC于F，
∵∠FCD＝60°，∠CFD＝90°，
∴FC＝CD×cos60°＝50×＝25（cm），
∴FA＝AB+BC﹣CF＝84+54﹣25＝113（cm），
答：灯泡悬挂点D距离地面的高度为113cm；
（2）如图3，过点C作CG垂直于地面于点G，过点B作BN⊥CG于N，过点D作DM⊥CG于M，
∵BC＝54cm，
∴CN＝BC×cos20°＝54×0.94＝50.76（cm），
∴MN＝CN+MG﹣CG＝50.76+90﹣50.76﹣84＝6（cm），
∴CM＝CN﹣MN＝44.76（cm），
∴CD＝＝≈58（cm），
答：CD的长为58cm．
12．（2021•连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
【解答】解：（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，垂足为E，则AE⊥BF，
由cos∠BAE＝，
∴cos22°＝，
∴，即AE＝4.5m，
∴DE＝AE﹣AD＝4.5﹣0.4＝4.1（m），
由sin∠BAE＝，
∴，
∴，即BE＝1.8m，
∴BF＝BE+EF＝1.8+1.2＝3（m），
又，
∴，即CF＝4m，
∴CH＝CF+HF＝CF+DE＝4+4.1＝8.1（m），即点O到岸边DH的距离为8.1m；
（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M，
由cos∠BAM＝，
∴，
∴，
即AM＝2.88m，
∴DM＝AM﹣AD＝2.88﹣0.4＝2.48（m），
由sin∠BAM＝，
∴，
∴，即BM＝3.84m，
∴BN＝BM+MN＝3.84+1.2＝5.04（m），
∴＝（m），
∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58（m），
即点O到岸边的距离为4.58m．
13．（2020•淮安）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果精确到1千米）．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．
在Rt△ACD中，AC＝8（千米），∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，
∴CD＝AC•sin∠CAD＝4（千米），AD＝AC•cos∠CAD＝4（千米）≈6.8（千米）．
在Rt△BCD中，CD＝4（千米），∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝4（千米），
∴AB＝AD+BD＝6.8+4≈11（千米）．
答：A、B两点间的距离约为11千米．
14．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？
（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．
（参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈）
【解答】解：（1）如图1中，连接OA．
由题意，筒车每秒旋转360°×÷60＝5°，
在Rt△ACO中，cos∠AOC＝＝＝．
∴∠AOC＝43°，
∴＝27.4（秒）．
答：经过27.4秒时间，盛水筒P首次到达最高点．
（2）如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，
∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝43°+17°＝60°，
过点P作PD⊥OC于D，
在Rt△POD中，OD＝OP•cos60°＝3×＝1.5（m），
2.2﹣1.5＝0.7（m），
答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面0.7m．
（3）如图3中，
∵点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，
∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，
在Rt△OPM中，cos∠POM＝＝，
∴∠POM≈68°，
在Rt△COM中，cos∠COM＝＝＝，
∴∠COM＝74°，
∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180°﹣68°﹣74°＝38°，
∴需要的时间为＝7.6（秒），
答：盛水筒P从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN上．
五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题）
15．（2021•无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 10 米．
【解答】解：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，
解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），
故答案为：10．
16．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．
（1）求AE的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
锐角A
三角函数
13°
28°
32°
sinA
0.22
0.47
0.53
cosA
0.97
0.88
0.85
tanA
0.23
0.53
0.62
【解答】解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF＝，
∴AF＝AD•cos∠DAF＝100×cos28°＝100×0.88＝88（cm），
在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，
∴AE＝＝＝≈91（cm）；
（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，如图所示：
∴∠AMN＝∠MAG+∠DGA＝13°+32°＝45°，
在Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠DAC＝100×sin28°＝100×0.47＝47（cm），
在Rt△DFG中，tan∠DGA＝，
∴tan32°＝，
∴FG＝＝≈75.8（cm），
∴AG＝AF+FG＝88+75.8＝163.8（cm），
在Rt△AGN中，AN＝AG•sin∠DGA＝163.8×sin32°＝163.8×0.53≈86.8（cm），
∵∠AMN＝45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴AM＝AN≈1.41×86.8≈122.4（cm），
∴EM＝AM﹣AE≈122.4﹣91≈31.4（cm），
当M、H重合时，EH的值最小，
∴EH的最小值约为32cm．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共9小题）
17．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：
（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；
（2）量得测角仪的高度CD＝a；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A．a+btanα B．a+bsinα C．a+ D．a+
【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，
∵∠ACF＝α，
∴tanα＝＝，
∴AF＝b•tanα，
∴AB＝AF+BF＝a+btanα，
故选：A．
18．（2022•南通）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为 （1+10） m（结果保留根号）．
【解答】解：如图，设DE⊥AC于点E，
在Rt△AED中，AE＝DE•tan60°＝10×＝10，
∴AC＝1+10（m）．
故答案为：1+10．
19．（2022•宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：
AB＝DE＝20m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，
∴AE＝＝＝20（m），
在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，
∴CE＝AE•tan45°＝20×1＝20（m），
∴CD＝CE+DE＝（20+20）m，
∴信号塔的高度为（20+20）m．
20．（2022•连云港）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE＝45°，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE＝53°，AB＝10m；小亮在点G处竖立标杆FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG＝1.5m，GD＝2m．
（1）求阿育王塔的高度CE；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED．
（注：结果精确到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）
【解答】解：（1）在Rt△CAE中，
∵∠CAE＝45°，
∴CE＝AE，
∵AB＝10m，
∴BE＝AE﹣10＝CE﹣10，
在Rt△CEB中，
tan∠CBE＝tan53°＝＝，
∴1.327≈，
解得CE≈40.58（m）；
答：阿育王塔的高度CE约为40.58m；
（2）由题意知：∠CED＝90°＝∠FGD，∠FDG＝∠CDE，
∴△FGD∽△CED，
∴＝，即＝，
解得ED≈54.11（m），
答：小亮与阿育王塔之间的距离ED约是54.11m．
21．（2021•淮安）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【解答】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．
则AE＝50m，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），
在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），
∴CD＝CE+DE≈26.5+42＝68.5（m）．
答：铁塔CD的高度约为68.5m．
22．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
【解答】解：如图，过点C、B分别作CE⊥DG，BF⊥DG垂足为E、F，延长CB交AG于点H，
由题意可知，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，BC＝EF＝30m，
在Rt△ABH中，∠α＝30°，AB＝50m，
∴BH＝AB＝25（m）＝FG，
在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，
∴DE＝sin∠DCE•CD≈0.33×180＝59.4（m），
∴DG＝DE+EF+FG＝59.4+30+25＝114.4≈114（m），
答：山顶D的高度约为114m．
23．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
【解答】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：
设AC＝x米，
由题意得：PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°，
在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan30°＝，
∴PC＝AC＝x（米），
在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan45°＝1，
∴QC＝BC＝AC+AB＝（x+3）米，
∵PC﹣QC＝PQ＝5米，
∴x﹣（x+3）＝5，
解得：x＝4（+1），
∴BC＝4（+1）+3＝4+7≈14（米），
答：无人机飞行的高度约为14米．
24．（2020•镇江）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）
【解答】解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，
∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，
则BN＝NH，
设BN＝NH＝x，
∵HF＝6 m，∠BFN＝30°，
∴tan∠BFN＝＝，
即tan30°＝，
解得x≈8.2，
根据题意可知：
DM＝MH＝MN+NH，
∵MN＝AC＝10（m），
则DM≈10+8.2＝18.2（m），
∴CD＝DM+MC＝DM+EF≈18.2+1.6＝19.8（m）．
答：建筑物CD的高度约为19.8m．
25．（2020•泰州）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的A处测得在C处的龙舟俯角为23°；他登高6m到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角为50°，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan67°≈2.36）
【解答】解：如图，根据题意得，∠C＝23°，∠BDE＝50°，AE＝15m，BE＝21m，
在Rt△ACE中，tanC＝tan23°＝＝≈0.42，
解得：CE≈35.7（m），
在Rt△BDE中，tan∠BDE＝tan50°＝＝≈1.19，
解得：DE≈17.6（m），
∴CD＝CE﹣DE＝35.7﹣17.6＝18.1≈18m，
答：两次观测期间龙舟前进了18m．
七．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）
26．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 25 海里（结果保留根号）．
【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，
在Rt△APC中，cos∠APC＝，
∴PC＝PA•cos∠APC＝50×＝25（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，
∴PB＝＝＝25（海里），
故答案为：25．
27．（2020•宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
设AD＝x，则AC＝x，
∴BD＝AB﹣AD＝2﹣x，
∵∠CBD＝60°，
在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，
∴＝，
解得x＝3﹣．
经检验，x＝3﹣是原方程的根．
∴AC＝x＝（3﹣）＝（3﹣）km．
答：船C离观测站A的距离为（3﹣）km．
28．（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【解答】解：过点P作PN⊥BC于N，如图，
则四边形ABNP是矩形，
∴PN＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠APM＝45°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AM＝PM＝×30＝15（m），
∵M是AB的中点，
∴PN＝AB＝2AM＝30m，
在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，
∴NQ＝PN＝10m，PQ＝2NQ＝20≈49（m）；
答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．
29．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△DCH中，∠C＝37°，
∴CH＝，
在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，
∴BH＝，
∵BC＝CH﹣BH，
∴﹣＝6km，
解得DH≈18km，
在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，
∴AD＝≈20km．
答：轮船航行的距离AD约为20km．
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