03图形的性质、图形的变化--四川省自贡市2020-2022中考数学真题知识点分类汇编

这是一份03图形的性质、图形的变化--四川省自贡市2020-2022中考数学真题知识点分类汇编，共26页。试卷主要包含了，下列结论，解不等式组等内容，欢迎下载使用。
02方程与不等式、函数--四川省自贡市2020-2022中考数学真题知识点分类汇编

一．试题（共18小题）
1．（2020•自贡）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（　　）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
2．（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A．﹣＝40 B．﹣＝40
C．﹣＝40 D．﹣＝40
3．（2020•自贡）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（　　）

A． B．
C． D．
4．（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　）

A．函数解析式为I＝ B．蓄电池的电压是18V
C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R＝6Ω时，I＝4A
5．（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　）

A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
6．（2022•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
7．（2020•自贡）如图，直线y＝﹣x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝　 　，前25个等边三角形的周长之和为　 　．

8．（2021•自贡）当自变量﹣1≤x≤3时，函数y＝|x﹣k|（k为常数）的最小值为k+3，则满足条件的k的值为　 　．
9．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．


10．（2022•自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
11．（2021•自贡）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
12．（2020•自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．
（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？
（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．

∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
（3）解决问题：
①|x﹣4|+|x+2|的最小值是　 　；
②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；

③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
13．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．

14．（2020•自贡）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
15．（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝﹣的图象，并探究其性质．
列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…


a

0
b
﹣2
﹣
﹣
…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是 　 　．（请写出所有正确命题的番号）
（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集 　 　．

16．（2021•自贡）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为：4，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（2022•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．

18．（2022•自贡）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．



自贡03
参考答案与试题解析
一．试题（共18小题）
1．（2020•自贡）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（　　）
A． B．﹣ C．1 D．﹣1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，
∴，
∴a＝．
故选：A．
2．（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A．﹣＝40 B．﹣＝40
C．﹣＝40 D．﹣＝40
【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，
依题意，得：﹣＝40，
即﹣＝40．
故选：A．
3．（2020•自贡）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，
根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，
∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，
故选：D．
4．（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　）

A．函数解析式为I＝ B．蓄电池的电压是18V
C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R＝6Ω时，I＝4A
【解答】解：设I＝，
∵图象过（4，9），
∴k＝36，
∴I＝，
∴蓄电池的电压是36V．
∴A，B均错误；
当I＝10时，R＝3.6，
由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，
∴C正确，符合题意；
当R＝6时，I＝6，
∴D错误，
故选：C．
5．（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　）

A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，

则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；
方案2：当∠BAC＝90°时，菜园最大面积＝×4×4＝8米2；

方案3：半圆的半径＝米，
∴此时菜园最大面积＝＝米2＞8米2；
故选：C．
6．（2022•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝﹣2，
∴＝﹣8，即＝8，
∴CD2＝×8＝，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴＝42＝16，
解得a＝，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．

7．（2020•自贡）如图，直线y＝﹣x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝　4　，前25个等边三角形的周长之和为　60　．

【解答】解：设直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵y＝﹣x+b，
∴当y＝0时，x＝b，即点D的坐标为（b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝﹣b，OD＝﹣b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO＝＝，
∴∠ADO＝60°．
∵直线y＝﹣x+b与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，
∴﹣x+b＝，
整理得，﹣x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2＝k，即EB•FC＝k，
∵＝cos60°＝，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC＝k＝16，
解得：k＝4．
由题意可以假设D1（m，m），
∴m2•＝4，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2（4+n，n），
∵（4+n）•n＝4，
解得n＝2﹣2，
∴E1E2＝4﹣4，即第二个三角形的周长为12﹣12，
设D3（4+a，a），
由题意（4+a）•a＝4，
解得a＝2﹣2，即第三个三角形的周长为12﹣12，
…，
∴第四个三角形的周长为12﹣12，
∴前25个等边三角形的周长之和12+12﹣12+12﹣12+12﹣12+…+12﹣12＝12＝60，
故答案为：4，60．

8．（2021•自贡）当自变量﹣1≤x≤3时，函数y＝|x﹣k|（k为常数）的最小值为k+3，则满足条件的k的值为　﹣2　．
【解答】解：当x≥k时，函数y＝|x﹣k|＝x﹣k，此时y随x的增大而增大，
而﹣1≤x≤3时，函数的最小值为k+3，
∴x＝﹣1时取得最小值，即有﹣1﹣k＝k+3，
解得k＝﹣2，（此时﹣1≤x≤3，x≥k成立），
当x＜k时，函数y＝|x﹣k|＝﹣x+k，此时y随x的增大而减小，
而﹣1≤x≤3时，函数的最小值为k+3，
∴x＝3时取得最小值，即有﹣3+k＝k+3，
此时无解，
故答案为：﹣2．
9．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．


【解答】解：由不等式3x＜6，解得：x＜2，
由不等式5x+4＞3x+2，解得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，
∴在数轴上表示不等式组的解集为：

10．（2022•自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
【解答】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，
由题意可得：﹣2＝，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，
答：张老师骑车的速度是15千米/小时．
11．（2021•自贡）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
【解答】解：设A型机平均每小时运送快递x件，则B型机平均每小时运送快递（x﹣20）件，
根据题意得：，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原分式方程的根，且符合题意，
∴70﹣20＝50，
答：A型机平均每小时运送快递70件，B型机平均每小时运送快递50件．
12．（2020•自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．
（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？
（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．

∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
（3）解决问题：
①|x﹣4|+|x+2|的最小值是　6　；
②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；

③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
【解答】解：（3）解决问题：
①|x﹣4|+|x+2|＝|x﹣4|+|x﹣（﹣2）|，表示P到A与到B的距离之和，
点P在线段AB上，PA+PB＝6，
当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞6，
∴|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；
故答案为：6；
②如图所示，满足|x+3|+|x﹣1|＝|x﹣（﹣3）|+|x﹣1|＞4，表示到﹣3和1距离之和大于4的范围，
当点在﹣3和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在﹣3的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则x范围为x＜﹣3或x＞1；

③当a为﹣1或﹣5时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
13．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．

【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），
则tan∠MAC＝＝2，
则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，
故直线AM的表达式为：y＝2x+6，
∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，
∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF＝，
设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），
则FE＝EDcos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×＝（﹣x2﹣4x﹣3），
∵﹣＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；
①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，

PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，
则BD＝＝；
②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，

DQ+OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，
则直线OK的表达式为：y＝x，
∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y＝﹣x+b，
将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣，
而直线DK的表达式为：y＝﹣x+2﹣，
故点Q（0，2﹣），
由直线KD的表达式知，QD与x轴负半轴的夹角（设为α）的正切值为，则cosα＝，
则DQ＝＝＝，而OQ＝（2﹣），
则DQ+OQ为最小值＝+（2﹣）＝．
14．（2020•自贡）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.9x，
当0≤x≤100时，y乙＝x，
当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.8＝0.8x+20，
由上可得，y乙＝；
（2）当0≤x≤100时，此时选择甲商场购物更省钱；
当0.9x＜0.8x+20时，得x＜200，即100＜x＜200，此时选择甲商场购物更省钱；
当0.9x＝0.8x+20时，得x＝200，即此时两家商场购物一样；
当0.9x＞0.8x+20时，得x＞200，即此时选择乙商场购物更省钱．
15．（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝﹣的图象，并探究其性质．
列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…


a

0
b
﹣2
﹣
﹣
…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是 　②③　．（请写出所有正确命题的番号）
（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集 　x＜﹣2或0＜x＜2　．

【解答】解：（1）把x＝﹣2代入y＝﹣得，y＝﹣＝2，
把x＝1代入y＝﹣得，y＝﹣＝﹣，
∴a＝2，b＝﹣，
函数y＝﹣的图象如图所示：

（2）观察函数y＝﹣的图象，
①当﹣2≤x≤2时，函数图象原点对称；错误；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；正确；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小，正确．
故答案为②③；
（3）由图象可知，函数y＝﹣与直线y＝﹣x的交点为（﹣2，2）、（0，0）、（2，﹣2）
∴不等式＞x的解集为x＜﹣2或0＜x＜2．
16．（2021•自贡）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为：4，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+1）（x﹣a），令y＝0，可得x＝﹣1或a，
∴B（﹣1，0），A（a，0），
令x＝0，得到y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
∴OA＝OC＝a，OB＝1，
∴AB＝1+a．
∵∠AOC＝90°，
∴∠OCA＝45°．

（2）∵△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
∵点D是△ABC的外心，
∴∠BDC＝2∠CAB＝90°，DB＝DC，
∴△BDC也是等腰直角三角形，
∴△DBC∽△OAC，
∴＝，
∴＝，
解得a＝2，
经检验，a＝2是方程的解，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2．

（3）作点C关于抛物线的对称轴x＝的对称点C′，连接AC′．

∵C（0，﹣2），C′（1，﹣2），
∴C′C∥AB，
∵BC，AC′关于直线x＝对称，
∴CB＝AC′，
∴四边形ABCC′是等腰梯形，
∴∠CBA＝∠C′AB，
∵∠DBC＝∠OAC＝45°，
∴∠ABD＝∠CAC′，
∴当点P与点C′重合时满足条件，
∴P（1，﹣2）．
作点P关于直线AC的对称点E（0，﹣1），则∠EAC＝∠PAC＝∠ABD，作直线AE交抛物线于P′，点P′满足条件，
∵A（2，0），E（0，﹣1），
∴直线AE的解析式为y＝x﹣1，
由，解得（即点A）或，
∴P′（﹣，﹣），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣，﹣）．
17．（2022•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．

【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴其函数解析式为y＝﹣；
∵B（m，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴﹣m＝﹣2，
∴m＝2，
∴B（2，﹣1）．
∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；

（2）∵直线l∥y轴，AD⊥l，
∴AD＝3，D（2，2），
∵DC＝2DA，
∴DC＝6，
∵点C是直线l上一动点，
∴C（2，8）或（2，﹣4）．
18．（2022•自贡）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．


【解答】解：（1）由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4），
当y＝0时，则0＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0）；
（2）如图，

当y＝3时，3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝0，x2＝﹣2，
由图象可得：当﹣2≤x≤0时，y≥3；
（3）∵a+b+c＝0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，b＝﹣a﹣c，一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为x＝1，
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，
∴方程的另一个根为1+c﹣a，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝1+，
∴﹣＝1+，
∴a+c＝﹣a2+ac+2a，
∴（a﹣1）（a﹣c）＝0，
∵a＞c，
∴a＝1，P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2），
∴b＝﹣1﹣c，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣（1+c）x+c，
∴当x＝﹣c时，则y1＝（﹣c）2﹣（1+c）（﹣c）+c＝2c2+c﹣，
当x＝1+3c时，则y2＝（1+3c）2﹣（1+c）（1+3c）+c＝6c2+3c，
∴y2﹣y1＝（6c2+3c）﹣（2c2+c﹣）＝4（c+）2﹣，
∵b＞c，
∴﹣1﹣c＞c，
∴c＜﹣，
∴4（c+）2﹣＞0，
∴y2＞y1．