甘肃省平凉市重点达标名校2021-2022学年中考一模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图，，，则的大小是　　

A． B． C． D．

2．已知，则的值是　　

A．60 B．64 C．66 D．72

3．如果向北走6km记作+6km，那么向南走8km记作（　　）

A．+8km    B．﹣8km    C．+14km    D．﹣2km

4．估计﹣2的值应该在（　　）

A．﹣1﹣0之间 B．0﹣1之间 C．1﹣2之间 D．2﹣3之间

5．下列几何体中三视图完全相同的是（　　）

A． B． C． D．

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（　　）

A． B． C． D．

7．在实数﹣ ，0.21， ，， ，0.20202中，无理数的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．如图，已知AB∥CD，∠1=115°，∠2=65°，则∠C等于（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°

9．如图是一个正方体的表面展开图，如果对面上所标的两个数互为相反数，那么图中的值是（    ）．

A． B． C． D．

10．如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(0，3)，∠ABO＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为(　　)

A．(，) B．(2，) C．(，) D．(，3﹣)

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．已知函数是关于的二次函数，则__________．

12．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.

13．菱形ABCD中，∠A=60°，AB=9，点P是菱形ABCD内一点，PB=PD=3，则AP的长为_____．

14．函数的定义域是__________．

15．若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为_____．

16．计算tan260°﹣2sin30°﹣cos45°的结果为_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．

（1）求证：△DCE≌△BFE；

（2）若AB=4，tan∠ADB=，求折叠后重叠部分的面积．

18．（8分）抛一枚质地均匀六面分别刻有1、2、3、4、5、6点的正方体骰子两次，若记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率为_____．

19．（8分）如图，是的直径，是圆上一点，弦于点，且．过点作的切线，过点作的平行线，两直线交于点，的延长线交的延长线于点．

（1）求证：与相切；

（2）连接，求的值．

20．（8分）如图，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，﹣2），把点A绕点B顺时针旋转90°得到的点C恰好在抛物线y=ax2上，点P是抛物线y=ax2上的一个动点（不与点O重合），把点P向下平移2个单位得到动点Q，则：

（1）直接写出AB所在直线的解析式、点C的坐标、a的值；

（2）连接OP、AQ，当OP+AQ获得最小值时，求这个最小值及此时点P的坐标；

（3）是否存在这样的点P，使得∠QPO=∠OBC，若不存在，请说明理由；若存在，请你直接写出此时P点的坐标．

21．（8分）如图，在⊿中，,于, .

⑴.求的长；

⑵.求 的长.

22．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝1．若抛物线与x轴交于原点，求k的值；当﹣1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求k的取值范围．

23．（12分）在围棋盒中有 x 颗黑色棋子和 y 颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是；如果往盒中再放进 10 颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为．求 x 和 y 的值．

24．已知．化简；如果、是方程的两个根，求的值．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】
依据，即可得到，再根据，即可得到．

【详解】

解：如图，，

，

又，

，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等．

2、A

【解析】
将代入原式，计算可得．

【详解】

解：当时，

原式

，

故选A．

【点睛】

本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．

3、B

【解析】
正负数的应用，先判断向北、向南是不是具有相反意义的量，再用正负数表示出来

【详解】

解：向北和向南互为相反意义的量．

若向北走6km记作+6km，

那么向南走8km记作﹣8km．

故选：B．

【点睛】

本题考查正负数在生活中的应用．注意用正负数表示的量必须是具有相反意义的量．

4、A

【解析】
直接利用已知无理数得出的取值范围，进而得出答案．

【详解】

解：∵1＜＜2，

∴1-2＜﹣2＜2-2，

∴-1＜﹣2＜0

即-2在-1和0之间．

故选A．

【点睛】

此题主要考查了估算无理数大小，正确得出的取值范围是解题关键．

5、A

【解析】
找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．

【详解】

解：A、球的三视图完全相同，都是圆，正确；

B、圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，错误；

C、圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；

D、四棱锥的俯视图与主视图和左视图不同，错误；

故选A．

【点睛】

考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．

6、A

【解析】
∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，

∴cosA=，

∴∠A+∠B=90°，

∴sinB=cosA=．

故选A．

7、C

【解析】

在实数﹣，0.21， ， ， ，0.20202中，

根据无理数的定义可得其中无理数有﹣，，，共三个．

故选C．

8、C

【解析】

分析：根据两直线平行，同位角相等可得 再根据三角形内角与外角的性质可得∠C的度数．

详解：∵AB∥CD，

∴

∵

∴

故选C.

点睛：考查平行线的性质和三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

9、D

【解析】
根据正方体平面展开图的特征得出每个相对面,再由相对面上的两个数互为相反数可得出x的值．

【详解】

解：“3”与“-3”相对,“y”与“-2”相对,“x”与“-8”相对, 故x=8,故选D．

【点睛】

本题主要考查了正方体相对面上的文字,解决本题的关键是要熟练掌握正方体展开图的特征.

10、A

【解析】

解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=10°，点B的坐标为（0，），∴AC=OB=，∠CAB=10°，∴BC=AC•tan10°=×=1．∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠BAD=10°，AD=．过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB=∠BAD=10°，∴∠DAM=10°，∴DM=AD=，∴AM=×cos10°=，∴MO=﹣1=，∴点D的坐标为（，）．故选A．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、1

【解析】
根据一元二次方程的定义可得：，且，求解即可得出m的值．

【详解】

解：由题意得：，且，

解得：，且，

∴

故答案为：1．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握“未知数的最高次数是1”且“二次项的系数不等于0”．

12、2

【解析】

分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．

详解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=1，

∵3＜第三边的边长＜9，

∴第三边的边长为1．

∴这个三角形的周长是3+6+1=2．

故答案为2．

点睛：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

13、3或6

【解析】
分成P在OA上和P在OC上两种情况进行讨论，根据△ABD是等边三角形，即可求得OA的长度，在直角△OBP中利用勾股定理求得OP的长，则AP即可求得．

【详解】

设AC和BE相交于点O．

当P在OA上时，

∵AB=AD，∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB=9，OB=OD=BD=．

则AO=．

在直角△OBP中，OP=．

则AP=OA-OP-；

当P在OC上时，AP=OA+OP=．

故答案是：3或6．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，注意到P在AC上，应分两种情况进行讨论是解题的关键．

14、

【解析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：x-1≥0，解得x的范围．

【详解】

根据题意得：x-1≥0，

解得：x≥1．

故答案为：.

【点睛】

此题考查二次根式，解题关键在于掌握二次根式有意义的条件.

15、2或-1

【解析】
根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求出另一边的长，再根据内切圆半径公式求解即可.

【详解】

若8是直角边，则该三角形的斜边的长为：，

∴内切圆的半径为：；

若8是斜边，则该三角形的另一条直角边的长为：，

∴内切圆的半径为：.

故答案为2或-1.

【点睛】

本题考查了勾股定理，三角形的内切圆，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.

16、1

【解析】
分别算三角函数，再化简即可.

【详解】

解：原式=-2×-×

=1.

【点睛】

本题考查掌握简单三角函数值，较基础.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）见解析；（2）1

【解析】
（1）由矩形的性质可知∠A=∠C=90°，由翻折的性质可知∠A=∠F=90°，从而得到∠F=∠C，依据AAS证明△DCE≌△BFE即可；

（2）由△DCE≌△BFE可知：EB=DE，依据AB=4，tan∠ADB=，即可得到DC，BC的长，然后再Rt△EDC中利用勾股定理列方程，可求得BE的长，从而可求得重叠部分的面积．

【详解】

解:（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠C=90°，AB=CD，

由折叠可得，∠F=∠A，BF=AB，

∴BF=DC，∠F=∠C=90°，

又∵∠BEF=∠DEC，

∴△DCE≌△BFE；

（2）∵AB=4，tan∠ADB=，

∴AD=8=BC，CD=4，

∵△DCE≌△BFE，

∴BE=DE，

设BE=DE=x，则CE=8﹣x，

在Rt△CDE中，CE2+CD2=DE2，

∴（8﹣x）2+42=x2，

解得x=5，

∴BE=5，

∴S△BDE=BE×CD=×5×4=1．

【点睛】

本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

18、

【解析】
解方程组，根据条件确定a、b的范围，从而确定满足该条件的结果个数，利用古典概率的概率公式求出方程组只有一个解的概率.

【详解】

∵，

得

若b＞2a，

即a=2，3，4，5，6    b=4，5，6

符合条件的数组有（2，5）（2，6）共有2个，

若b＜2a，

符合条件的数组有（1，1）共有1个，

∴概率p=.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了古典概率及其概率计算公式的应用.

19、（1）见解析；（2）

【解析】
（1）连接，，易证为等边三角形，可得，由等腰三角形的性质及角的和差关系可得∠1=30°，由于可得∠DCG=∠CDA=∠60°，即可求出∠OCG=90°，可得与相切；（2）作于点．设，则，．根据两组对边互相平行可证明四边形为平行四边形，由可证四边形为菱形，由（1）得，从而可求出、的值，从而可知的长度，利用锐角三角函数的定义即可求出的值．

【详解】

（1）连接，．

∵是的直径，弦于点，

∴，．

∵，

∴．

∴为等边三角形．

∴，∠DAE=∠EAC=30°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

∴∠1=∠DCA-∠OCA=30°，

∵，

∴∠DCG=∠CDA=∠60°，

∴∠OCG=∠DCG+∠1=60°+30°=90°，

∴．

∴与相切．

（2）连接EF，作于点．

设，则，．

∵与相切，

∴．

又∵，

∴．

又∵，

∴四边形为平行四边形．

∵，

∴四边形为菱形．

∴，．

由（1）得，

∴，．

∴．

∵在中，，

∴．

【点睛】

本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质及锐角三角函数，考查学生综合运用知识的能力，熟练掌握相关性质是解题关键.

20、（1）a=；（2）OP+AQ的最小值为2，此时点P的坐标为（﹣1，）；（3）P（﹣4，8）或（4，8），

【解析】
（1）利用待定系数法求出直线AB解析式，根据旋转性质确定出C的坐标，代入二次函数解析式求出a的值即可；

（2）连接BQ，可得PQ与OB平行，而PQ=OB，得到四边形PQBO为平行四边形，当Q在线段AB上时，求出OP+AQ的最小值，并求出此时P的坐标即可；

（3）存在这样的点P，使得∠QPO=∠OBC，如备用图所示，延长PQ交x轴于点H，设此时点P的坐标为（m，m2），根据正切函数定义确定出m的值，即可确定出P的坐标．

【详解】

解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，

把A（﹣4，0），B（0，﹣2）代入得：，

解得：，

∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣2，

根据题意得：点C的坐标为（2，2），

把C（2，2）代入二次函数解析式得：a=；

（2）连接BQ，

则易得PQ∥OB，且PQ=OB，

∴四边形PQBO是平行四边形，

∴OP=BQ，

∴OP+AQ=BQ+AQ≥AB=2，（等号成立的条件是点Q在线段AB上），

∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣2，

∴可设此时点Q的坐标为（t，﹣t﹣2），

于是，此时点P的坐标为（t，﹣t），

∵点P在抛物线y=x2上，

∴﹣t=t2，

解得：t=0或t=﹣1，

∴当t=0，点P与点O重合，不合题意，应舍去，

∴OP+AQ的最小值为2，此时点P的坐标为（﹣1，）；

（3）P（﹣4，8）或（4，8），

如备用图所示，延长PQ交x轴于点H，

设此时点P的坐标为（m，m2），

则tan∠HPO=，

又，易得tan∠OBC=，

当tan∠HPO=tan∠OBC时，可使得∠QPO=∠OBC，

于是，得，

解得：m=±4，

所以P（﹣4，8）或（4，8）．

【点睛】

此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

21、（1）25（2）12

【解析】

整体分析：

（1）用勾股定理求斜边AB的长；（2）用三角形的面积等于底乘以高的一半求解.

解：(1).∵在⊿中，，.

∴，

(2).∵⊿，

∴即，

∴20×15＝25CD.

∴.

22、（1）k＝﹣1；（2）当﹣4＜k＜﹣1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点．

【解析】
（1）由抛物线的对称轴直线可得h，然后再由抛物线交于原点代入求出k即可；

（2）先根据抛物线与x轴有公共点求出k的取值范围，然后再根据抛物线的对称轴及当﹣1＜x＜2时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，进一步求出k的取值范围即可.

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝1，

∴h＝1，

把原点坐标代入y＝（x﹣1）2+k，得，

（2﹣1）2+k＝2，

解得k＝﹣1；

（2）∵抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴有公共点，

∴对于方程（x﹣1）2+k＝2，判别式b2﹣4ac＝﹣4k≥2，

∴k≤2．

当x＝﹣1时，y＝4+k；当x＝2时，y＝1+k，

∵抛物线的对称轴为x＝1，且当﹣1＜x＜2时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，

∴4+k＞2且1+k＜2，解得﹣4＜k＜﹣1，

综上，当﹣4＜k＜﹣1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点．

【点睛】

抛物线与一元二次方程的综合是本题的考点，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.

23、x=15,y=1

【解析】
根据概率的求法：在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，共x+y颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是，有成立．化简可得y与x的函数关系式；
（2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，在盒中有10+x+y颗棋子，则取得黑色棋子的概率变为，结合（1）的条件，可得，解可得x=15，y=1．

【详解】

依题意得，

，

化简得，，

解得， .，

检验当x=15,y=1时，，，

∴x=15,y=1是原方程的解，经检验，符合题意.

答：x=15,y=1.

【点睛】

此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

24、 (1) ；（2）-4.

【解析】
（1）先通分，再进行同分母的减法运算，然后约分得到原式

（2）利用根与系数的关系得到 然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：（1）

．

（2）∵、是方程，

∴，

∴

【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程 的两根时，， 也考查了分式的加减法．