2022届黑龙江省双鸭山市第一中学高三上学期开学考试数学（理）试题含解析

2022届黑龙江省双鸭山市第一中学高三上学期开学考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.

详解：解不等式得，

所以，

所以可以求得，故选B.

点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.

2．若对数有意义，则实数a的取值范围为（       ）

A．（-∞，3） B．

C．∪（1，+∞） D．∪（1，3）

【答案】D

【分析】由对数函数的性质可列不等式，求解不等式即可

【详解】由已知，得且，

故选：D.

3．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（       ）

A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

【答案】D

【分析】利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性

【详解】设幂函数的解析式为，

将点的坐标代入解析式得，解得，

∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，

故选：D.

4．设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较与中间量0和1,，的大小即可得答案

【详解】解：因为在上为减函数，且，

所以，即，

因为在上递增，且，

所以，即，

因为，

所以，

故选：B

5．在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（       ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．.等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】由正弦定理边角互化得，进而移项整理得，再结合得或，进而得答案.

【详解】解：根据正弦定理边角互化得，

所以，

所以，

所以，即，

所以或，

所以或，即的形状是等腰或直角三角形.

故选：D

6．函数的部分图像如图所示，图像与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图像上，且点C为线段MN的中点，则下列说法中正确的是（       ）

A．函数的最小正周期是

B．函数的图像关于轴对称

C．函数在单调递减

D．函数的图像上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后，图像关于y轴对称

【答案】B

【分析】因为点为线段的中点，求得，结合图象求得函数的周期，可判定A错误；

将代入的解析式，求得，再由对称轴的特征，可判定B正确；求得在递减，在递增，可判定C错误；由三角函数的图象变换，得到，可判定D错误.

【详解】因为点为线段的中点，

由点的横坐标为，的横坐标为，可得的坐标为，

由图象可得函数的最小正周期为，所以A错误；

由，可得，代入，可得，

解得，可取，即，

因为，所以的图像关于轴对称，故B正确；

由图象可得在递减，在递增，

则在递减，在递增，所以C错误；

函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），可得，再向右平移个单位，可得，其图象关于原点对称，所以D错误.

故选：B.

7．已知函数的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由图象知是奇函数且当时，结合各选项的解析式，利用奇偶性定义排除偶函数选项及的选项即可.

【详解】由图象知：是奇函数，而，即为偶函数，排除A；同理B中也是偶函数，排除；

当时，由图知，而且，此时，故排除C.

故选：D

8．已知函数，和的图像围成的一个封闭的平面图形的面积是（　　）

A． B． C．4 D．2

【答案】A

【分析】画出图形，结合定积分的几何意义，列出积分式，即可求解.

【详解】画出函数的图象与直线围成的一个封闭的平面图形，如图所示，

根据定积分的几何意义，可得封闭图形的面积为：

.

故选：A.

9．已知，，，均为锐角，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先利用同角基本关系式求和，再利用角的变换的值.

【详解】是锐角，，，

，，且，

，，

.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查角的变换求三角函数值，本题的关键是角的变换，即变形，即求的值.

10．已知函数，若存在，使，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出函数的图象，根据对称性可以知道，结合图象可得到，进而得到，由对数函数的性质进一步判定,

从而根据在时,根据其单调性和已经得到的的范围得到结论.

【详解】作出的大致图象如下：

由图可知，

令，得，

所以，则．

因为，所以，

又当时，单调递减，

所以，

故选:D．

【点睛】本题考查利用函数的图象和性质求范围问题，涉及分段函数的图象，指数型函数图象和性质，对数函数的性质，属综合题，关键是数形结合思想的应用，函数的图象的对称性和单调性的应用.

11．已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则（       ）

A． B．在处取得极小值

C．在取得极大值 D．

【答案】B

【分析】设对其求导可得，因此设可得，由可得的解析式，再利用导数判断单调性得极值可判断A、D，利用单调性比较大小可判断B、C，进而可得正确选项.

【详解】设，则，

所以，可得，所以，

，所以，

所以，

由可得，由可得，

所以在单调递减，在单调递增，

对于A和D：因为在单调递减，在单调递增，

所以，，，

所以，故选项A、D不正确；

对于B和C：因为在单调递减，在单调递增，在处取得极小值，故选项B正确，选项C不正确；

故选：B.

12．对函数，有下列个命题：①任取，，都有恒成立；②对于一切恒成立；③对任意不等式恒成立，则实数的取值范围是；④函数有个零点；则其中所有真命题的序号是（       ）

A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④

【答案】B

【分析】由题意分析条件函数定义域为，以2为变化区间的正弦图像，当时，后面每一个周期的振幅都是前一个周期的，做出函数的图像即可判断。

【详解】①任取

当时

当时，

综上，任取，恒成立，正确；

②

对一切恒成立，不正确；

③ ，不等式恒成立

则

当

则

所以的取值范围不是，不正确；

④函数的定义域为

当时，

分别作出和的图像，如图所示

则有三个零点，正确；

故选：B

【点睛】此题考查函数分段函数和周期性，函数不等式的恒成立，零点个数等问题，注意采用数形结合的方法解题，属于较难题目。

二、填空题

13．把图象向左平移个单位，所得函数为偶函数，则的最小值是_____．

【答案】

【分析】先求出平移后的函数解析式，再根据余弦函数的奇偶性列式可解得结果.

【详解】把图象向左平移个单位，所得函数为，

因为函数为偶函数，

所以，，即，，

因为，所以的最小值为.

故答案为：

14．函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是_________．

【答案】

【分析】本题首先可通过求导得出，然后根据题意得出，最后通过计算即可得出结果.

【详解】，，

因为函数既有极大值，又有极小值，

所以，

即，，解得或，

故的取值范围为，

故答案为：.

15．已知函数，若恒成立，则正数的最小值是__________.

【答案】

【分析】由恒成立，得，得是函数的周期，利用的正周期计算出值，但需验证．

【详解】，

，即，，是的周期，又的最小正周期是，所以，，

此时，

故答案为：．

16．已知定义在上的偶函数在上递减，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】本题首先可根据偶函数性质将不等式转化为，然后根据单调性得出，则且，再然后设、，最后通过求导得出、的最值，即可得出结果.

【详解】因为定义在上的偶函数在上递减，所以在上递增，

因为，

所以即，

结合函数单调性易知，

即，整理得且，

因为对恒成立，

所以且对同时恒成立，

设，则，

易知在上递增，在上递减，，

设，则，

故在上递减，，

综上所示，的取值范围是，

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数

（I）求的值

（II）求的最小正周期及单调递增区间.

【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.

【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．

（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．

【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x，

＝﹣cos2xsin2x，

＝﹣2，

则f（）＝﹣2sin（）＝2，

（Ⅱ）因为．

所以的最小正周期是．

由正弦函数的性质得

，

解得，

所以，的单调递增区间是．

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．

18．已知函数(，)的图象关于直线对称，两个相邻的最高点之间的距离为．

（1）求的解析式；

（2）在△中，若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意可求正弦函数的周期，利用周期公式可求ω，由图象关于直线对称，可求，结合范围，可求，即可求得函数解析式．

（2）由已知可求，结合范围A+∈（π，），利用同角三角函数基本关系式可求cos（A+），根据两角差的正弦函数公式可求sinA的值．

【详解】（1）∵函数（ω＞0，）的图象上相邻两个最高点的距离为2π，

∴函数的周期T＝2π，∴＝2π，解得ω＝1，∴f（x）＝sin（x+φ），

又∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴，k∈Z，

∵，∴＝，∴f（x）＝sin（x+）．

（2）在△ABC中，∵，A∈（0，π），∴，

∴，

∴

．

【点睛】本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．

19．如图，在中，的垂直平分线交边于点．

（1）求的长；

（2）若，求的值．

【答案】（1）或；（2）．

【分析】（1）在中，利用余弦定理可求出的长；

（2）由（1）可得，在中，由余弦定理求出，再利用正弦定理可求出的值

【详解】解：（1）在中，，

整理得，

即，所以或．

（2）因为，由（1）得，

所以．

在中，由余弦定理得．

所以．

由，得．

在中，由正弦定理得，

即，

所以．

20．已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且

（1）求角大小；

（2）当时，求的取值范围．

【答案】（1 （2）

【详解】（1）由已知及余弦定理，得因为为锐角，所以

（2）由正弦定理，得，

由得

21．已知函数.

（Ⅰ）求函数在上的最值；

（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）当，；当，；（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）求得函数点导数，得到在的单调性，即可求解函数的最值；

（Ⅱ）求得函数的导数，分，和三种情况讨论，得到函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】（Ⅰ）由题意，函数，则，

所以函数在单调递增函数，

所以当，最大值为；当，最小值为.

（Ⅱ）令，则，

①时，，函数在递减，，此时不等式不成立；

②时，，函数在递增，，此时不等式成立；

③时，存在，使得，则函数在递增，在递减，所以成立，此时能使得不等式成立，

综上可知，实数的取值范围.

【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，利用导数求解函数的单调性与最值，以及利用导数求解不等式的能成立问题，其中解答中熟练利用导数求解函数的单调性与最值，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

22．已知函数，.

（1）若恒成立，求实数的值；

（2）存在，且，，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）首先将题意转化为恒成立，令，再分类讨论求出的最小值，即可得到答案.

（2）首先根据函数的单调性和，得到，要证明只需证明，即证成立，再利用换元法构造函数证明即可.

【详解】（1）恒成立，即恒成立，

等价于恒成立.

令，则，

①当时，，为增函数，且，

则时，，不符合题意，舍去.

②当时，，，

，，为减函数，，，为增函数，

所以，在处取极小值也是最小值，

所以，即恒成立.

令，则，

，，为增函数，

，，为减函数，

所以，故.

又因为恒成立，所以.

（2）因为，令，解得.

，，为减函数，

，，为增函数，且.

因为，所以

令，即，，

所以，

，

所以，即.

要证成立，只需证：成立，

即证：成立，

等价于证明：成立，即证明：成立.

令，即证：成立.

令，

则.

所以在为增函数，

所以，即有

所以，即证.

【点睛】本题第一问考查利用导数研究不等式恒成立问题，第二问考查利用导数证明不等式，同时考查了分类讨论和转化的思想，属于难题.