2021-2022学年吉林省八所省重点中学高二下学期期末联考数学试题含解析

2021-2022学年吉林省八所省重点中学高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是（       ）

A．240 B．120 C．60 D．40

【答案】B

【分析】由排列的定义即可求解.

【详解】解：因为将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，

所以不同分法的种数为，

故选：B.

2．已知函数，则的值为（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】由题知，再求解即可.

【详解】解：因为，所以，

所以，解得．

故选：B

3．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】考虑与时，结合根的判别式与图象进行求解.

【详解】若的定义域为，则当时，满足题意；

当时，，解得：；

当时，无法满足定义域为，

综上所述：实数的取值范围是．

故选：D

4．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（       ）

A．16 B．32 C．1 D．

【答案】A

【分析】先根据二项式系数和公式得，再令特殊值即可求得答案.

【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得，

所以，令得展开式中各项系数的和为．

故选：A

5．已知随机变量，且，则（       ）

A．3 B．6 C． D．

【答案】C

【分析】由二项分布期望公式得，进而得，再根据方差性质求解即可.

【详解】解：因为随机变量，且，

所以，解得，

所以，

所以．

故选：C

6．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题知函数的图像关于直线对称，进而根据对称性得可得，可得或，再解不等式即可.

【详解】解：因为函数为偶函数，所以函数的图像关于直线对称，

因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，

因为，所以，

所以由可得，由可得或，

解不等式，可得或，解得或，

所以，不等式的解集为．

故选：B

7．已知函数，有两个零点，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求导分与0的大小关系，讨论函数的单调性，进而求得函数的极值点，再结合零点存在性定理求解即可.

【详解】，

当时，，为单调递增函数，最多只有一个零点，不合题意，舍去；

当时，令，得，令，得.

∴在上单调递增，在上单调递减.

∴.

∵函数有两个零点，

∴，，得.

又，，

且，，故.

故在与上均有零点，满足题意.

综上.

故选：A

8．甲、乙、丙三名同学计划暑假从物理、化学、生物三个学科中各自任意选一门进行学习，每人选择各个科目的概率为，且每人选择相互独立，则至少有两人选择物理的前提下甲同学选择物理的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用条件概率的计算公式即可求解.

【详解】记事件为“至少有两人选择物理”，事件为“甲同学选择物理”，则，，∴．

故选：D

二、多选题

9．设随机变量，且，则实数的值可能为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】BD

【分析】根据正态分布的对称性求解即可.

【详解】解：因为随机变量服从，

所以，正态曲线关于直线对称，

因为，

所以，，解得或．

故选：BD

10．甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是（       ）

A．若甲站正中间，则共有24种排法

B．若甲、乙相邻，则共有36种排法

C．若甲不站两端，则共有48种排法

D．若甲、乙、丙各不相邻，则共有12种排法

【答案】BC

【分析】对于A，采用特殊元素优先法；对于B，采用捆绑法；对于C，采用特殊元素优先法；对于D，采用插空法.

【详解】若甲站在最中间，有种排法，A正确；

若甲、乙两人相邻站在一起，共有种排法，B错误；

若甲不站最边上，则共有种排法，C错误；

若甲、乙、丙各不相邻，则共有种排法，D正确．

故选：BC.

11．已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数及反比例函数性质列不等式组求参数范围.

【详解】由题意，，解得，

∴整数的取值为或或．

故选：ABC

12．已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】构造函数，由偶函数的定义可知为偶函数，根据单调性与导数的关系可得在上单调递增，利用单调性和奇偶性比较函数值的大小即可判断各选项的对错.

【详解】构造函数，其中，则，

∵对于任意的满足，

∴ 当时，，则函数在上单调递增，

又函数是偶函数，，∴，

∴在上为偶函数，

∴函数在上单调递减．

∵，则，即，即，化简得，A正确；

同理可知，即，即，化简得，B正确；

，且即，即，化简得，C错误；

，且，即，即，化简得，D正确．

故选：ABD.

三、填空题

13．展开式中的常数项为______．

【答案】240

【分析】利用二项式定理，求出通项公式进行求解.

【详解】展开式的通项公式为：，令，解得：，则.

故答案为：240

14．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则______．

【答案】

【分析】两边取对数，对照系数，求出

【详解】，即，

∴，．

故答案为：

15．盒中有形状大小都相同的黑色小球3个和红色小球2个，从中不放回的摸3次，每摸1个小球，设摸到的红色小球的个数为，则______．

【答案】

【分析】设摸到的红色小球的个数为，取值可能为：0，1，2，然后求出相应的概率，可求得的分布列，从而可求出.

【详解】设摸到的红色小球的个数为，取值可能为：0，1，2，

则，，．

∴的分布列为：

∴．

故答案为：

16．已知函数若存在，，使得，则的最大值为______．

【答案】1

【分析】根据函数解析式，利用导数，研究其单调性，画图，根据题意，明确对应函数值的取值范围，设为，利用函数的思想，可得答案.

【详解】当时，，，

当时，，当时，，

即当时，取得极大值为；

当时，为减函数，且，函数的图象如图．

设，由题可知，

由得，则，则，

∵，∴当时，取得最大值为1．

故答案为：1.

四、解答题

17．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的极值．

【答案】(1)

(2)极小值，无极大值

【分析】（1）由导数的几何意义，求在处的斜率，进而得到切线方程；

（2）根据导函数的正负判断单调区间，再求极值即可.

【详解】(1)由题知，，，

∴，而，

∴曲线在点处的切线方程为，即．

(2)令得；令得，

∴的单调减区间是，的单调增区间是．

∴当时，取极小值，无极大值．

18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

(1)求函数的解析式；

(2)若，，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，则，求得，结合函数的奇偶性和，即可求得函数的解析式；

（2）由（1）得到，把不等式，转化为在区间有解，结合基本不等式，即可求解.

【详解】(1)解：设，则，可得，

又因为函数是定义在上的奇函数，所以，

且当时，可得，适合上式，

所以函数的解析式为.

(2)解：由时，，

又由，即，可得，

因为，，即在区间有解，

又因为，

当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，

所以，即实数的取值范围.

19．为了解某校学生在学校的月消费情况，随机抽取了200名学生进行调查，月消费金额分布在600~2000元之间，得到如下不完整的列联表，定义月消费金额不低于1500元的学生属于“高消费群”．

将列联表填充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否属于“高消费群”与性别有关？

附：

【答案】填表见解析；可以认为“高消费群”与性别有关．

【分析】根据已知条件，结合已知数据完成表格，进行独立性检验求解即可.

【详解】解：根据题意，得列联表如下：

零假设为：“高消费群”与性别无关联，

．

依据小概率的独立性检验，没有充分证据推算成立，

因此可以认为“高消费群”与性别有关．

20．5G技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．为了解行业发展状况，某调研机构统计了某公司五年时间里在通信5G技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据，结果如下：

(1)利用相关系数说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；

(2)求关于的线性回归方程．

参考数据：，，．

参考公式：相关系数，线性回归方程中，，，其中，为样本平均值．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）计算出相关系数，判断两个变量有很强的线性相关性；

（2）计算出，求出线性回归方程.

【详解】(1)由表中数据可得，，

∴，又，，

∴．

∴与两个变量高度相关，可以用线性回归模型拟合．

(2)由表中数据可得，

则，

∴，

故关于的线性回归方程为．

21．2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者

(1)从该地区被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；

(2)从该地区被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为1

【分析】（1）根据独立事件及对立事件的概率公式计算可得；

（2）依题意，根据二项分布的概率公式求出所对应的概率，从而得到分布列，最后根据二项分布的期望公式求出数学期望.

【详解】(1)解：记事件为至少有1人通过手机收看，则．

(2)解：依题意，则的可能取值为，，，，

所以；

；

；

．

所以的分布列为：

所以．

22．已知函数，（）．

(1)讨论函数的单调性；

(2)证明：当时，在上恒成立．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，根据导数判断单调性；

（2）当时，可证不等式成立，当时，可转化为证明成立，构造函数，利用导数证明其单调性与最值情况，进而可得证.

【详解】(1)由，，（），

当时，恒成立，函数在上单调递增；

当时，令，解得，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，即函数在上单调递减，在上单调递增；

(2)要证，即证，

①当时，，，该不等式成立；

②当时，，结合，得，

即问题转化为证明：（），

即证（），

令，，

令，则，在上恒成立，即在上单调递增，

又，，所以存在，使得，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

所以当时，，当时，，

即函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以问题得证，

综上所述，当时，在上恒成立.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．