2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第10章第2讲　用样本估计总体Word版含解析

这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第10章第2讲　用样本估计总体Word版含解析，共31页。试卷主要包含了频率分布折线图，其他统计图表，百分位数，总体集中趋势的估计，方差、标准差，某保险公司为客户定制了5个险种等内容，欢迎下载使用。

1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
2．频率分布折线图
用线段连接频率分布直方图中各个矩形上面一边的eq \x(\s\up1(01))中点，就得到频率分布折线图．
3．其他统计图表
(1)不同的统计图在表示数据上的特点
扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的eq \x(\s\up1(02))比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的eq \x(\s\up1(03))频数和eq \x(\s\up1(04))频率，折线图主要用于描述数据随eq \x(\s\up1(05))时间的变化趋势．
(2)不同的统计图适用的数据类型
条形图适用于描述eq \x(\s\up1(06))离散型的数据，直方图适用于描述eq \x(\s\up1(07))连续型数据．
4．百分位数
(1)定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据eq \x(\s\up1(08))小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据eq \x(\s\up1(09))大于或等于这个值．
(2)计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：
第1步，按eq \x(\s\up1(10))从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝eq \x(\s\up1(11))n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第eq \x(\s\up1(12))j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的eq \x(\s\up1(13))平均数.
5．总体集中趋势的估计
(1)平均数、中位数和众数等都是刻画“eq \x(\s\up1(14))中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势．
(2)一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用eq \x(\s\up1(15))平均数、eq \x(\s\up1(16))中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用eq \x(\s\up1(17))众数.
6．频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法
(1)样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的eq \x(\s\up1(18))横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替．
(2)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该eq \x(\s\up1(19))相等.
(3)将最高小矩形所在的区间eq \x(\s\up1(20))中点作为众数的估计值．
7．方差、标准差
(1)假设一组数据为x1，x2，…，xn，则
①平均数eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，
②方差s2＝eq \x(\s\up1(21))eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2，
③标准差s＝eq \x(\s\up1(22)) eq \r(\f(1,n)\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\(x,\s\up6(－))2).
(2)如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \x\t(Y)，则称S2＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up6(N),\s\d4(i＝1)) (Yi－eq \x\t(Y))2为总体方差，S＝eq \r(S2)为总体标准差．
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up6(k),\s\d4(i＝1))fi(Yi－eq \x\t(Y))2.
(3)如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \(y,\s\up6(－))，则称s2＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差．
(4)标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差eq \x(\s\up1(23))越大，数据的离散程度越大；标准差eq \x(\s\up1(24))越小，数据的离散程度越小．
(5)分层随机抽样的均值与方差
分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为eq \(w,\s\up6(－))，样本方差为s2.
以分两层抽样的情况为例，假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为eq \(x,\s\up6(－))，方差为seq \\al(2,1)；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为eq \(y,\s\up6(－))，方差为seq \\al(2,2).则eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,m)eq \(∑,\s\up6(m),\s\d4(i＝1))xi，seq \\al(2,1)＝eq \f(1,m)eq \(∑,\s\up6(m),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))yi，seq \\al(2,2)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2.
则①eq \(w,\s\up6(－))＝eq \x(\s\up1(25))eq \f(m,m＋n)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n)eq \(y,\s\up6(－))，
②s2＝eq \x(\s\up1(26))eq \f(1,m＋n){m[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(w,\s\up6(－)))2]＋n[seq \\al(2,2)＋(eq \(y,\s\up6(－))－eq \(w,\s\up6(－)))2]}＝eq \x(\s\up1(27))eq \f(1,m＋n)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ms\\al(2,1)＋ns\\al(2,2)＋\f(mn,m＋n)\(x,\s\up6(－))－\(y,\s\up6(－))2)).
平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \(x,\s\up6(－))＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则：
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中，可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
答案 B
解析 因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.
2．某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是( )
A．180,170 B．160,180
C．160,170 D．180,160
答案 A
解析 用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B，C；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A.
3．(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1,10x2，…，10xn的方差为( )
A．0.01 B．0.1
C．1 D．10
答案 C
解析 因为数据axi＋b(i＝1,2，…，n)的方差是数据xi(i＝1,2，…，n)的方差的a2倍，所以所求数据的方差为102×0.01＝1.故选C.
4．(2019·全国Ⅱ卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
答案 A
解析 中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A.
5．(2021·天津高考)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70)，[70,74)，…，[94,98]，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是( )
A．20 B．40
C．64 D．80
答案 D
解析 由频率分布直方图可知，评分在区间[82,86)内的影视作品数量为400×0.050×4＝80.故选D.
6．90,92,92,93,93,94,95,96,99,100的75%分位数为________,80%分位数为________.
答案 96 97.5
解析 10×75%＝7.5,10×80%＝8，所以75%分位数为x8＝96,80%分位数为eq \f(x8＋x9,2)＝eq \f(96＋99,2)＝97.5.
多角度探究突破
考向一 统计图表及应用
角度 扇形图
例1 (2018·全国Ⅰ卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
答案 A
解析 设新农村建设前的收入为M，则新农村建设后的收入为2M，新农村建设前种植收入为0.6M，新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，增加了一倍，所以C正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%＋28%＝58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确．故选A.
角度 折线图
例2 (多选)(2021·济南一中模拟)2021年3月12日是全国第44个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1～11班植树量的数据(单位：棵)，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )
A．各班植树的棵数不是逐班增加的
B．4班植树的棵数低于11个班的平均值
C．各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数
D．1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳
答案 ABD
解析 从题图可知，2班的植树量少于1班，8班的植树量少于7班，故A正确；4班的植数棵数为10,11个班中只有2,3,8班三个班的植树棵数少于10棵，且大于5棵，其余7个班的植树棵数都超过10棵，且有6,7,9,10,11班五个班的植树棵数都不少于15棵，将这五个班中的植树棵数各取出5棵，加到2,3,8班中去，除4班外，其余各班的植树棵数都超过了4班，所以4班植树的棵数低于11个班的平均值，故B正确；比6班植树多的只有9,10,11三个班，其余七个班都比6班少，故6班所对应的植树棵数不是中位数，故C错误；1至5班的植树棵数的极差在10以内，6至11班的植树棵数的极差超过了15，另外从题图明显看出，1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳，故D正确．故选ABD.
角度 频率分布直方图
例3 (1)(2020·天津高考)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )
A．10 B．18
C．20 D．36
答案 B
解析 根据频率分布直方图可知，直径落在区间[5.43,5.47)之间的频率为(6.25＋5.00)×0.02＝0.225，则直径落在区间[5.43,5.47)内零件的个数为80×0.225＝18.故选B.
(2)(多选)在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有( )
A．成绩在[70,80]分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
答案 ABC
解析 根据频率分布直方图得，成绩出现在[70,80]的频率最大，故A正确；不及格的考生人数为10×(0.010＋0.015)×4000＝1000，故B正确；根据频率分布直方图估计考生竞赛成绩的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5分，故C正确；0.1＋0.15＋0.2＝0.45＜0.5,0.1＋0.15＋0.2＋0.3＝0.75＞0.5，所以考生竞赛成绩的中位数为70＋eq \f(0.5－0.45,0.3)×10≈71.67分，故D错误．故选ABC.
常见统计图的特点
(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．
(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．
(3)准确理解频率分布直方图的数据特点
①频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．
②频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．
1.(多选)比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象能力指标值为4，乙的数学抽象能力指标值为5，则下面叙述正确的是( )
A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
答案 AC
解析 对于A，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故A正确；对于B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故B错误；对于C，甲的六维能力指标值的平均值为eq \f(1,6)×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝eq \f(23,6)，乙的六维能力指标值的平均值为eq \f(1,6)×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4>eq \f(23,6)，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，故C正确；对于D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故D错误．故选AC.
2．新型冠状病毒疫情发生后，口罩的需求量大增，某口罩工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取80名工人，将他们随机分成两组，每组40人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．
第一种生产方式40名工人完成同一生产任务所用时间(单位：min)如表：
第二种生产方式40名工人完成同一生产任务所用时间(单位：min)如扇形图所示：
(1)请填写第一种生产方式完成任务所用时间的频数分布表，并作出频率分布直方图；
(2)试从扇形图中估计第二种生产方式的平均数；
(3)根据频率分布直方图和扇形图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由．
解 (1)第一种生产方式完成任务所用时间的频数分布表如下：
频率分布直方图如下：
(2)从扇形图中估计第二种生产方式的平均数为65×0.25＋75×0.5＋85×0.2＋95×0.05＝75.5 min.
(3)从频率分布直方图中估计第一种生产方式的平均数为65×0.1＋75×0.2＋85×0.45＋95×0.25＝83.5 min，
从平均数的角度发现：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需要的时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需要的时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
多角度探究突破
考向二 用样本估计总体
角度 总体百分位数的估计
例4 (1)一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36，则这组数据的一个四分位数是( )
A．15 B．25
C．50 D．75
答案 A
解析 由小到大排列的结果：6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49，一共11项，由11×25%＝2.75,11×50%＝5.5,11×75%＝8.25，故第25百分位数是15，第50百分位数是40，第75百分位数是43.故选A.
(2)如图是将高三某班80名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________.(结果保留两位小数)
答案 124.44
解析 由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.0225)×10×100%＝92.5%，因此，80%分位数一定位于[120,130)内．由120＋eq \f(0.80－0.70,0.925－0.70)×10≈124.44，故此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44.
角度 分层随机抽样的均值与方差
例5 (2022·广东珠海模拟)某学校在上报《国家学生体质健康标准》高三年级学生的肺活量单项数据中，采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其肺活量平均数为3000 mL，方差为10；抽取了女生30人，其肺活量平均数为2500 mL，方差为20，则可估计高三年级全体学生肺活量的平均数为________，方差为________.
答案 2700 60280
解析 把男生样本记为x1，x2，…，x20，其平均数记为eq \(x,\s\up6(－))，方差记为seq \\al(2,x)；把女生样本记为y1，y2，…，y30，其平均数记为eq \(y,\s\up6(－))，方差记为seq \\al(2,y)；把总样本数据的平均数记为eq \(z,\s\up6(－))，方差记为s2.由eq \(x,\s\up6(－))＝3000，eq \(y,\s\up6(－))＝2500，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(20,20＋30)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(30,20＋30)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(2,5)×3000＋eq \f(3,5)×2500＝2700.
根据方差的定义，总样本方差为s2＝eq \f(1,50)[eq \(∑,\s\up6(20),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(z,\s\up6(－)))2＋eq \(∑,\s\up6(30),\s\d4(j＝1)) (yj－eq \(z,\s\up6(－)))2]＝eq \f(1,50)[eq \(∑,\s\up6(20),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－))＋eq \(x,\s\up6(－))－eq \(z,\s\up6(－)))2＋eq \(∑,\s\up6(30),\s\d4(j＝1)) (yj－eq \(y,\s\up6(－))＋eq \(y,\s\up6(－))－eq \(z,\s\up6(－)))2]．由eq \(∑,\s\up6(20),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))＝eq \(∑,\s\up6(20),\s\d4(i＝1))xi－20eq \(x,\s\up6(－))＝0，可得eq \(∑,\s\up6(20),\s\d4(i＝1))2(xi－eq \(x,\s\up6(－)))(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(z,\s\up6(－)))＝2(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(z,\s\up6(－)))·eq \(∑,\s\up6(20),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))＝0.同理可得eq \(∑,\s\up6(30),\s\d4(j＝1))2(yj－eq \(y,\s\up6(－)))(eq \(y,\s\up6(－))－eq \(z,\s\up6(－)))＝0.
因此s2＝eq \f(1,50)[eq \(∑,\s\up6(20),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＋eq \(∑,\s\up6(20),\s\d4(i＝1)) (eq \(x,\s\up6(－))－eq \(z,\s\up6(－)))2＋eq \(∑,\s\up6(30),\s\d4(j＝1)) (yj－eq \(y,\s\up6(－)))2＋eq \(∑,\s\up6(30),\s\d4(j＝1)) (eq \(y,\s\up6(－))－eq \(z,\s\up6(－)))2]＝eq \f(1,50){20[seq \\al(2,x)＋(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(z,\s\up6(－)))2]＋30[seq \\al(2,y)＋(eq \(y,\s\up6(－))－eq \(z,\s\up6(－)))2]}＝eq \f(1,50){20[102＋(3000－2700)2]＋30[202＋(2500－2700)2]}＝60280.据此可估计高三年级全体学生肺活量的平均数为2700，方差为60280.
角度 均值方差的应用
例6 (2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为eq \(x,\s\up6(－))和eq \(y,\s\up6(－))，样本方差分别记为seq \\al(2,1)和seq \\al(2,2).
(1)求eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－))，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果eq \(y,\s\up6(－))－eq \(x,\s\up6(－))≥2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
解 (1)由表中的数据可得：
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(9.8＋10.3＋10.0＋10.2＋9.9＋9.8＋10.0＋10.1＋10.2＋9.7,10)
＝10，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(10.1＋10.4＋10.1＋10.0＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.5,10)
＝10.3，
seq \\al(2,1)＝eq \f(1,10)×[(9.8－10)2＋(10.3－10)2＋(10.0－10)2＋(10.2－10)2＋(9.9－10)2＋(9.8－10)2＋(10.0－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(9.7－10)2]＝0.036，
seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)×[(10.1－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.0－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋(10.6－10.3)2＋(10.5－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.5－10.3)2]＝0.04.
(2)由(1)中的数据可得eq \(y,\s\up6(－))－eq \(x,\s\up6(－))＝10.3－10＝0.3，
2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10))＝2eq \r(\f(0.036＋0.04,10))＝2eq \r(0.0076)
＝eq \r(0.0304)，
因为0.3＝eq \r(0.09)>eq \r(0.0304)，所以eq \(y,\s\up6(－))－eq \(x,\s\up6(－))>2eq \r(\f(s\\al(2,1)＋s\\al(2,2),10)).所以可以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．

1．频率分布直方图中第p百分位数的计算
(1)确定百分位数所在的区间[a，b]．
(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a＋eq \f(p%－fa%,fb%－fa%)×(b－a)．
2．众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论
(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小．
(2)方差的简化计算公式：s2＝eq \f(1,n)[(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－neq \(x,\s\up6(－))2]，或写成s2＝eq \f(1,n)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－eq \(x,\s\up6(－))2，即方差等于原始数据平方的平均数减去平均数的平方．
3.有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是________(填“众数”“中位数”或“平均数”)．
答案 中位数
解析 因为7位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，所以把13个不同的分数按从小到大排序，只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
4．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为eq \(x,\s\up6(－))＝3小时，方差为s2＝1.966，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))1＝2.7，eq \(x,\s\up6(－))2＝3.1，eq \(x,\s\up6(－))3＝3.3，又已知高一学生、高二学生每天读书时间的方差分别为seq \\al(2,1)＝1，seq \\al(2,2)＝2，则高三学生每天读书时间的方差seq \\al(2,3)＝________.
答案 3
解析 由题意可得，1.966＝eq \f(800,2000)×[1＋(2.7－3)2]＋eq \f(600,2000)×[2＋(3.1－3)2]＋eq \f(600,2000)×[seq \\al(2,3)＋(3.3－3)2]，解得seq \\al(2,3)＝3.
5．(2021·天津河西区期末)某校为了解全校高中学生五一假期参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．
(1)求这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时的人数；
(2)估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数．
解 (1)100×[1－(0.04＋0.12＋0.05)×2]＝58，即这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时的人数为58.
(2)由频率分布直方图可以看出，最高矩形底边中点的横坐标为7，故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时．
(0.04＋0.12)×2＝0.32；(0.04＋0.12＋0.15)×2＝0.62，中位数t满足6sB B．eq \(x,\s\up6(－))AsB
C.eq \(x,\s\up6(－))A>eq \(x,\s\up6(－))B，sA