2023年高考文科数学《极坐标系与参数方程》知识点总结及题型归纳与训练

2022年高考文科数学《极坐标系与参数方程》知识点总结及题型归纳与训练

一、知识点总结

1、极坐标方程与普通方程的互化

2、点P的极坐标中的几何意义：表示点P到原点的距离，即而表示把极轴即x轴正半轴逆时针旋转到所成的角。

看到题目出现到原点的距离就要想到，而要求出，就要先求出，再把代入该点所在曲线的极坐标方程。

3、直线的参数方程

（为参数），记定点为P

①  首先必须先判断一条直线的参数方程是否是标准的直线参数方程的形式（需满足两个条件：1、两个t的系数的平方和=1， 2、关于y的方程中t的系数为正）

②  直线参数方程中的几何意义

表示直线的倾斜角

直线上一点A的坐标显然由t的值来决定，此时表示点A到定点P距离。

4、直线与曲线交于两点，若涉及到直线的参数方程中出现的定点P到两点的距离，即：（其中点P坐标必须为）等长度的问题，则需把直线的标准参数方程与曲线的普通方程联立方程组，得到关于的关键方程，然后使用韦达定理， 弦长公式，，

中点到点的距离，, 

，

5、注意：直线的参数方程与圆的参数方程非常相似，一定要注意区别。

6、圆的参数方程

，（为参数）   其中为圆心坐标，为半径

的几何意义是：若点P在圆上，则点P在圆上的位置（或坐标）由来决定，表示把过圆心且平行于x轴正半轴的射线逆时针旋转到圆心与点P的连线所成的角。

7、椭圆的参数方程

椭圆的参数方程为

椭圆的参数方程为

8、极坐标方程与参数方程的互化，通过普通方程搭桥转化。

9、题目涉及到曲线上的点到直线距离最值问题，该曲线上点的坐标一定设为参数方程；若为圆上的点到直线距离最值问题，则可依据圆的性质来解决。具体如下：

求圆上一点到直线距离的最值有两个方法：

①   用几何方法：如图所示

②   参数方程方法：用参数方程设出圆上点的坐标，再用点到直线的距离公式，这里要用到三角函数的知识。

法①的优点在于易求距离，但难于求取得最值时点的坐标，而法②虽稍难于求距离，但易求取得最值时点的坐标。

求椭圆上一点到直线距离的最值：把椭圆上的点用参数方程设出来，然后用点到直线的距离公式。

10、坐标变化下求新曲线的方程使用参数方程最简单，或者使用代入法（相关点法）也可。

11、过原点的直线的极坐标方程是（其中为直线的倾斜角）

二、题型归纳

题型一  极坐标与直角坐标的互化

例1 （1）以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段的极坐标方程．

（2）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线和交点的直角坐标．

【答案】（1）.        （2） 

【解析】（1）  化成极坐标方程为

即.  ∵，∴线段在第一象限内(含端点)，  ∴

（2）因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为.由，得曲线的直角坐标方程为.由得，故曲线与曲线交点的直角坐标为．

【易错点】容易忽略参数范围

【思维点拨】　(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．

(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换．

题型二 伸缩变换及求曲线的极坐标方程

例1 将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线.

(1)写出曲线的方程；

(2)设直线：与的交点为，，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程．

【答案】(1)曲线C的方程为.(2).

【解析】　(1)设为圆上的点，在已知变换下变为曲线上的点，依题意，得，

由得，即曲线的方程为.

(2)由解得或

不妨设，，则线段的中点坐标为，所求直线斜率为，

于是所求直线方程为，化为极坐标方程，并整理得，

即.

【易错点】伸缩变换易变错

【思维点拨】　求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．

题型三  参数方程与普通方程的互化

例1  已知直线的参数方程为(参数)，圆的参数方程为(参数)，求直线被圆所截得的弦长．

【答案】

【解析】由，消参数后得普通方程为，由，消参数后得普通方程为，显然圆心坐标为，半径为.由于圆心到直线的距离为，根据勾股定理，所求弦长为.

【易错点】参数方程化普通方程.

【思维点拨】本题考查直线和圆的联立问题，就是把参数方程转化为直角坐标系下的普通方程.

例2在直角坐标系中，已知椭圆的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(参数)，直线垂直于直线且过椭圆的右焦点.

（1）求椭圆的普通方程和直线的参数方程；

（2）直线交椭圆于、两点，求．

【答案】（1）椭圆的方程为，直线的参数方程为(为参数).

（2）.

【解析】（1）椭圆中的，椭圆的方程为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的参数方程为(为参数)

（2）将直线的参数方程(为参数)代入椭圆的方程中得到关于的一元二次方程，设是所对应的参数，则

根据参数的几何意义可知:

【易错点】直线参数方程的表示要用标准形式，参数几何意义及参数的符号

【思维点拨】线段长度与参数几何意义之间的联系

考点四 极坐标方程与参数方程的综合应用

例1　在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求，的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求的面积．

【答案】(1)的极坐标方程为，的极坐标方程为.

（2）

【解析】（1）因为，所以的极坐标方程为，

的极坐标方程为.

（2）将代入，得，解得.

故，即.由于的半径为1，所以为等腰直角三角形，

所以的面积为.

【易错点】第二问求三角形面积易化为直角坐标求点，求距离求面积，计算量大易错.

【思维点拨】　(1)已知直角坐标方程化极坐标系方程直接运用公式带入化简即可；(2)注意运用极坐标求解．

例2在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标系方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．

【答案】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为；

（2）的最小值为，此时的直角坐标为.

【解析】　（1）的普通方程为.的直角坐标方程为.

（2）由题意，可设点的直角坐标为．

因为是直线，所以的最小值即为到距离的最小值，

.

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

【易错点】解题方法选择不当导致计算量太大而出错.

【思维点拨】与圆锥曲线有关的最值问题转化为参数形式比较容易求解.

【巩固训练】

题型一  极坐标与直角坐标的互化

1. 在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于，两点．当是等边三角形时，求的值．

【答案】

【解析】　由可得，即由可得.

设圆的圆心为，与的两交点，与构成等边三角形，如图所示．

由对称性知，.在中，易求，

∴点的坐标为．

又∵在上，

即，解得(舍去)或.

2.已知圆的极坐标方程为，求圆的半径．

【答案】

【解析】 由题意得，

所以，即，

从而，即，故圆的半径为．

3.在直线坐标系中，曲线：（为参数，）

其中.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：.

(1)求与交点的直角坐标；

(2)若与相交于点，与相交于点，求的最大值.

【答案】(1)与交点的直角坐标为和．(2)当时，最大值为．

【解析】 （1）曲线的直角坐标方程为，

曲线的直角坐标方程为．

联立，解得或．

所以与交点的直角坐标为和．

（2）曲线的极坐标方程为，其中．

因此得到极坐标为，的极坐标为．

所以，

当时，取得最大值，最大值为．

题型二 伸缩变换及求曲线的极坐标方程

1.已知曲线的极坐标方程为，在以极点为直角坐标原点，极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．

（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）在平面直角坐标系中，设曲线经过伸缩变换得到曲线，若为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离．

【答案】（1），     （2）

【解析】（1）由（为参数）消去参数得直线的普通方程.

，，.即曲线的直角坐标方程.

        （2）由可得代入方程可得.

已知为曲线上任意一点，可设，其中为参数；

则点到直线的距离；

点到直线的最小距离.

题型三  参数方程与普通方程的互化

1.(1)求直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数．

(2)在平面直角坐标系中，若直线：(为参数)过椭圆：(为参数)的右顶点，求常数的值．

【答案】(1)直线与曲线有2个交点；        (2).

【解析】(1)将消去参数得直线；将消去参数得圆.

又圆心到直线的距离.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．

(2)直线的普通方程为，椭圆的普通方程为

∴椭圆的右顶点坐标为，若直线过，则，.

2. 在直角坐标系中，圆的方程为.

（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；

（2）直线的参数方程是（为参数），与交于两点，，求的斜率.

【答案】(1)圆的极坐标方程为.   （2）的斜率.

【解析】（1）整理圆的方程得，

由可知圆的极坐标方程为.

（2）将直线的参数方程代入圆:化简得，，

设两点处的参数分别为，则，

所以，解得，

的斜率.

考点四 极坐标方程与参数方程的综合应用

1.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为(为参数)，直线和圆交于，两点，是圆上不同于，的任意一点．

(1)求圆心的极坐标；

(2)求面积的最大值．

【答案】(1) .            （2）.

【解析】（1）由圆的极坐标方程为得

把代入可得圆C的直角坐标方程为，即

∴圆心坐标为，  ∴圆心的极坐标为.

（2）由题意，得直线的直角坐标方程为.

∴圆心到直线的距离，∴.

点到直线的距离的最大值为，

∴面积的最大值为.

2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.

在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求.

【答案】(1)极坐标方程.       （2）.

【解析】 （1）将化为直角坐标方程为，从而可知其表示圆.

令，，代入得极坐标方程.

（2）将化为直角坐标方程为，.

两式相减可得它们的公共弦所在直线为.

又公共点都在上，故的方程即为公共弦.

又为，，即为，从而可知.