2022-2023学年全国高二上学期开学摸底考试数学试卷B卷含解析

全国2022-2023学年高二上学期开学摸底考试数学试卷 B卷

考试时间：120分钟   满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2.已知非零向量a，b满足，则“”是“a，b均为单位向量”的(   ).

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

3.若函数在上的最大值为4，则a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

4.若函数的最大值是4，则a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

5.已知，，则(   )

A. B. C. D.

6.函数的定义域是(   ).

A.  B.

C.  D.

7.若,且为第三象限角,则的值等于(   )
A. B. C. D.

8.以点和为直径端点的圆的方程是(   )

A. B.

C. D.

9.已知向量，则下列结论正确的有(   )

A.  B.若，则

C.的最大值为2  D.的最大值为3

10.由一组样本数据得到的经验回归方程为，那么下面说法正确的有(   )

A.直线必经过点

B.直线至少经过点中的一个

C.直线的斜率为

D.经验回归方程最能代表样本数据中x,y之间的线性关系，大于0时x与y正相关，小于0时x与y负相关

11.4支球队进行单循环比赛（任意两支球队恰进行一场比赛），任意两支球队之间获胜的概率都是.单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小的顺序排列，成绩相同则名次相同.下列结论正确的是(   )

A.恰有4支球队并列第一为不可能事件 B.有可能出现恰有3支球队并列第一

C.恰有2支球队并列第一的概率为 D.只有1支球队为第一名的概率为

12.如图在正方体中,E为线段上的动点,则下列结论正确的是(   )

A.

B.平面平面

C.线段上必有F点使得平面平面

D.正方体内切球和外接球的半径比为1:2

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.i是虚数单位，则的值为________.

14.已知，，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_________.

15.过点作圆的切线l，直线与l平行，则与l间的距离为_______.

16.已知，，，则的最小值为___________.

三、解答题（本题共6小题，共70分。）

17. （10分）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，求实数a的取值范围.

18. （12分）若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上.

（1）求函数和的解析式；

（2）定义求函数的最大值及单调区间.

19. （12分）已知函数.

(1)若函数是偶函数，求的值；

(2)若，求的值域.

20. （12分）如图所示，在中，.

(1)用表示；

(2)M为内一点，且，证明：B，M，E三点共线.

21. （12分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被面所截得到的，其中，，，.

（1）求BF的长；

（2）求点C到平面的距离.

22. （12分）已知圆C的圆心在x轴上，且与直线相切于点.
（1）求圆C的方程;
（2）经过点作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点，若直线OA,OB的斜率之和等于8，求直线l的方程.

答案以及解析

1.答案：D

解析：本题考查交集的运算.，，.

2.答案：B

解析：因为，所以，

则，即，

若，则，即，则，不能说明a，b均为单位向量.

若a，b均为单位向量，即，则，所以，又因为a，b为非零向量，所以能说明.

综上所述，“”是“a，b均为单位向量”的必要不充分条件.故选B.

3.答案：C

解析：易知在上单调递增，在上单调递增.作出的大致图象，如图所示.

由图可知，，，所以a的取值范围为.

4.答案：C

解析：当时，若，则函数单调递增，没有最大值，因此必有，此时满足.当时，的最大值是4.因此有，解得，故.故选C.

5.答案：B

解析：本题考查指数与对数的转换及对数运算的性质..

6.答案：D

解析：因为正切函数的定义域为，

所以令，，得，，所以函数的定义域为.故选D.

7.答案：C

解析：,且为第三象限角，
，
.

8.答案：A

解析：由题意可得,圆心为线段的中点,

半径,故所求的圆的方程为.

9.答案：AC

解析：对于A，，A正确；对于B，若，则，B错误；对于C，，由，得当时，取得最大值，最大值为2，C正确；对于D，，由于，故，则，D错误.故选AC.

10.答案：ACD

解析：经验回归直线一定过样本点的中心，故A正确；经验回归直线可以不经过所有的样本点，故B不正确；通过最小二乘法知，C是正确的；经验回归方程是一次函数，由一次函数的性质可知，D是正确的.因此正确的有ACD.

11.答案：ABD

解析：4支球队（记为a，b，c，d）进行单循环比赛，有，，，，，，共6场比赛.因为每场比赛都有2种不同结果（如这场比赛有a胜b负和a负b胜这2种结果），所以6场比赛的所有结果共有（种）.选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队值获胜，那么4支球队所得分值就不可能都一样，故4支球队并列第一是不可能事件，A正确.选项B，在，，，，，6场比赛中，比如依次获胜的可以是a，b，c，a，c，b，此时a，b，c3支球队都获得2分，并列第一，故B正确.选项C，在，，，，，6场比赛中，从4支球队中选2支球队并列第一有ab，ac，ad，bc，bd，cd6种可能，不妨设ab并列第一，根据场比赛结果分类：其中第一类a赢b，则需6场比赛中a和b都能胜2场，c和d都至多胜1场，在，，，，，6场比赛中，获胜的球队依次有a，b，d，a，c，b和a，b，c，d，a，b两种情况；同理，第二类b赢a，也有两种情况，故恰有2支球队并列第一的概率为，故C错误.选项D，从4支球队中选1支为第一名有4种可能；这支球队比赛的3场应该都获胜，则另外3场的可能比赛结果有（种），故只有1支球队为第一名的概率为，故D正确.故选ABD.

12.答案：ABC

解析：在正方体中,平面平面,所以.因为底面为正方形,所以,,所以平面,因此,故选项A正确;因为平面,所以平面平面,所以平面平面,故选项B正确;当F为的中点,E为的中点时,,因此当F为中点时,平面平面,故选项C正确;正方体的内切球半径为,正方体的外接球半径为,故内切球和外接球的半径比为,故选项D错误,故选ABC.

13.答案：

解析：.

14.答案：

解析：与b的夹角为钝角，

，解得.由题意得a与b不共线，则，解得，的取值范围是.

15.答案：

解析：由题意，知直线的斜率，则直线l的方程为，即.由l与圆C相切,得,解得，所以l的方程为，的方程为，则两直线间的距离为.

16.答案：7

解析：由题意，，，，

，当且仅当，即，时等号成立，

故答案为：7.

17.答案：先考虑A，B均为空集的情况，应用补集思想求解.

对于集合A，由，解得；

对于集合B，由，解得.

因为A，B两个集合中至少有一个集合不为空集，

所以a的取值范围是或，且.

18.答案：（1）设，因为点在幂函数的图象上，所以，解得，即.

设，因为点在幂函数的图象上，所以，解得，即.

（2）在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，可得函数的图象如图所示（图中实线部分）.

由题意及图象可知根据函数的解析式及图象可知，函数的最大值为1，单调递增区间为，单调递减区间为和.

19.答案：

(1)由题意得是偶函数，

所以.

因为，所以.

(2)由题意得，

因为，所以，

所以，

所以的值域为.

20.答案：

(1)因为，所以，

所以.

因为，所以，所以.

(2)因为，所以.

因为，所以，即与共线.

因为与有公共点B，所以B，M，E三点共线.

21.答案：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

设，四边形为平行四边形，

，即，

，，

.

于是，即BF的长为.

（2）设为平面的法向量，

则即

令，得，，则.

由（1）知，

点C到平面的距离.

22.答案：（1）依题意，设圆心,
则有，
整理得，所以，即圆心为，
于是半径，
故圆C的方程为.
（2）依题意，直线l的斜率一定存在，设为，则l的方程为，联立直线l的方程与圆C的方程，可得消去y，整理得.
因为直线与圆相交，所以，
解得，且.
设，，
则，，
于是
,
所以，得，满足题意，所以直线l的方程为，即.