2022年中考数学基础题提分讲练专题：24 计算能力提升（含答案）

专题24  计算能力提升专题卷

（时间：90分钟   满分120分）

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．使得式子有意义的x的取值范围是（　　）

A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4

【答案】D

【解析】

解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，

解得：x＜4

即x的取值范围是：x＜4

故选D．

【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．

2．已知，则的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由，得

，

解得．

2xy=2×2.5×（-3）=-15，

故选A．

3．若，且，则的值是（　　）

A．4 B．2 C．20 D．14

【答案】A

【解析】

解：由a：b＝3：4知，

所以．

所以由得到：，

解得．

所以．

所以．

故选：A．

【点睛】

考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若，则．

4．已知二元一次方程组，则的值是（    ）

A． B．5 C． D．6

【答案】C

【解析】

，

得，，解得，

把代入①得，，解得，

∴，

故选C.

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组，分式化简求值，正确掌握相关的解题方法是关键.

5．是关于的一元一次方程的解，则（  ）

A． B． C．4 D．

【答案】A

【解析】

将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，

得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.

故选A.

【点睛】

此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键

6．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

A、原式＝，所以A选项错误；

B、原式＝，所以B选项错误；

C、原式＝2，所以C选项错误；

D、原式＝，所以D选项正确．

故选D．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

7．估计的值应在（   ）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

【答案】C

【解析】

解：=2+6=2+

又因为4＜＜5

所以6＜2+＜7

故答案为C.

【点睛】

本题考查了二次根式的化简，其中明确化简方向和正确的估值是解题的关键.

8．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）

A． B．

C．且 D．且

【答案】D

【解析】

∵关于x的一元二次方程有实数根，∴且△≥0，即，解得，∴m的取值范围是且．故选D．

考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．

9．若方程的两个实数根为α,β，则α+β的值为（　　）

A．12 B．10 C．4 D．-4

【答案】A

【解析】

解：方程的两个实数根为，

，，

；

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．

10．在△ABC中，若=0，则∠C的度数是（ ）

A．45° B．60° C．75° D．105°

【答案】C

【解析】

由题意，得 cosA=，tanB=1，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．
故选C．

11．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为，

故选A．

【点睛】

本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．

12．若方程有增根，那么的值是（  ）

A． B．或 C． D．或

【答案】D

【解析】

关于x的方程去分母，

得x+5+x-5=m,即2x=m

因为方程有增根，

所以x＝5或−5

当x＝5时，m=2x=10；

当x＝−5时，m=2x=-10；

所以m的值为10或−10,故选D.

【点睛】

此题主要考查了分式方程的增根，在增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得字母参数的值．

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．计算的结果等于_____________．

【答案】2

【解析】

解：原式=3﹣1=2．

故答案为2．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，熟记平方差公式是解题的关键．

14．已知实数m，n满足，，且，则=      ．

【答案】．

【解析】

由时，得到m，n是方程的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．

试题解析：∵时，则m，n是方程3x2﹣6x﹣5=0的两个不相等的根，∴，．

∴原式===，故答案为．

考点：根与系数的关系．

15．已知， ，则代数式的值为__________________

【答案】

【解析】

16． 一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°==1．类似地，可以求得sin15°的值是_______．

【答案】．

【解析】

sin15°=sin（60°﹣45°）=sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°==．故答案为．

考点：特殊角的三角函数值；新定义．

17．已知，且，则的值为__________．

【答案】12

【解析】

∵，

∴设a=6x，b=5x，c=4x，

∵a+b-2c=6，

∴6x+5x-8x=6，

解得：x=2，

故a=12．

故答案为12．

点睛：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．

18．在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____．

【答案】20

【解析】

设原来红球个数为x个，

则有=，

解得，x=20，

经检验x=20是原方程的根.

故答案为20.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.

三、解答题（每小题6分，共12分）

19．计算：．

【答案】2

【解析】

根据“负数的绝对值是它的相反数”可得，根据“”可得，根据正切公式可得，则原式．

【点睛】

本题综合考查绝对值的计算公式、正余弦公式、幂的计算公式.

20．解方程

（1）                       （2）

【答案】（1）;（2）是方程的解.

【解析】

 (1)x2-2x=5，

x2-2x+1=5+1，

(x-1)2=6，

x-1=±，

∴；

(2)方程两边同时乘以(x-2)(x+1)，得

x+1=4(x-2)，

解得：x=3，

检验：当x=3时，(x-2)(x+1)≠0，

所以x=3是原方程的解.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握相关解法是解题的关键.解分式方程时注意要进行检验.

四、解答题（每小题8分，共16分）

21．先化简，再求值：，其中.

【答案】.

【解析】

原式=.

将代入原式得

【点睛】

此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.

22．（1）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，求线段c的长；

（2）已知，且a+b﹣5c＝15，求c的值．

【答案】(1)4;(2)-4

【解析】

（1）∵a，b，c，d是成比例线段
∴，
即，
∴c=4；
（2）设=k，则a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+b-5c=15
∴2k+3k-20k=15
解得：k=-1
∴c=-4．

【点睛】

此题考查比例线段，解题关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．

五、解答题（每小题9分，共18分）

23．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．

(1)求实数k的取值范围．

(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） k＞；（2）4．

【解析】

解：（1）由题意知△＞0，∴[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣2k+2）＞0，整理得：4k﹣7＞0，解得：k；

（2）由题意知x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+2=（k+1）2+1＞0，∴x1，x2同号．

∵x1+x2=2k﹣1＞=，∴x1＞0，x2＞0．

∵|x1|﹣|x2|，∴x1﹣x2，∴x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+2）=5，整理，得：4k﹣12=0，解得：k=3．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．

24．若x，y为实数，且y＝＋＋．求－的值．

【答案】

【解析】

解：要使y有意义，必须，即 ∴　x＝．当x＝时，y＝．

又∵　－＝－

＝||－||

∵x＝，y＝，∴　＜．

∴　原式＝－＝2

当x＝，y＝时，原式＝2＝．

【点睛】

主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

六、解答题（每小题10分，共20分）

25．有三张正面分别写有数字-1，1，2的卡片，它们除数字不同无其它差别，现将这三张卡片背面朝上洗匀后． 

（1）随机抽取一张，求抽到数字2的概率；

（2）先随机抽取一张，以其正面数字作为k值，将卡片放回再随机抽一张，以其正面的数字作为b值，请你用恰当的方法表示所有可能的结果，并求出直线y=kx+b的图像不经过第四象限的概率．

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）∵有三张正面分别写有数字-1，1，2的卡片，它们背面完全相同，

∴P（抽到数字2）= 

（2）列表：

可能出现的结果有9种，使得直线y=kx+b的图像不经过第四象限的结果有4种，既(1,1)，(2,1)，(1,2)，(2,2)所以P（图像不经过第四象限）=

【点睛】

此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

26．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．

（1）代数式x2﹣2的不变值是　   　，A＝　   　．

（2）说明代数式3x2+1没有不变值；

（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．

【答案】（1）﹣1和2；3；（2）见解析；（3）﹣3或1

【解析】

解：（1）依题意，得：x2﹣2＝x，

即x2﹣x﹣2＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝2，

∴A＝2﹣（﹣1）＝3．

故答案为：﹣1和2；3．

（2）依题意，得：3x2 +1＝x，

∴3x2﹣x+1＝0，

∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，

∴该方程无解，即代数式3x2+1没有不变值．

（3）依题意，得：方程x2﹣bx+1= x即x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，

∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，

∴b1＝﹣3，b2＝1．

答：b的值为﹣3或1．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．