江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-用导数研究函数的极值

这是一份江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-用导数研究函数的极值，共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-用导数研究函数的极值

一、单选题
1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（       ）
A．-1 B．2 C．-3 D．4
2．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（       ）
A．（0，5] B．（0，5）
C．（0，） D．（0，]
3．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知，，有如下结论：
①有两个极值点；
②有个零点；
③的所有零点之和等于零.
则正确结论的个数是（       ）
A． B． C． D．

二、多选题
4．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知函数.如下四个命题
甲：该函数的最大值为；
乙：该函数图像的两条对称轴之间的距离的最小值为；
丙：该函数图象关于对称；
丁：该函数图像可以由的图象平移得到.
有且只有一个是假命题，那么下列说法正确的是（       ）
A．函数是偶函数 B．的值可唯一确定
C．函数的极小值点为 D．函数在区间上单调递增
5．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上可能（       ）
A．单调递增 B．有零点 C．有最小值 D．有极大值
6．（2022·江苏·模拟预测）设函数的导函数存在两个零点、，当变化时，记点构成的曲线为，点构成的曲线为，则（       ）
A．曲线恒在轴上方
B．曲线与有唯一公共点
C．对于任意的实数，直线与曲线有且仅有一个公共点
D．存在实数，使得曲线、分布在直线两侧
7．（2022·江苏南京·二模）已知函数，，则（       ）
A．函数在上无极值点
B．函数在上存在唯一极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为
D．若，则的最大值为
8．（2022·江苏江苏·二模）已知直线y=a与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则（       ）
A． B． C． D．
9．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数记为，则下列结论正确的是（       ）．
A．若，R，则在处取得极值
B．若是偶函数，则为奇函数
C．若是周期为的周期函数，则也是周期为的周期函数
D．若的图象关于直线对称，则的图象关于点中心对称
10．（2022·江苏苏州·模拟预测）对于函数，下列说法正确的有（       ）
A．在处取得极大值
B．只有一个零点
C．
D．若在上恒成立，则

三、填空题
11．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为________．

四、解答题
12．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数，
(1)判断是否存在实数，使得在处取得极值？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由；
(2)若，当时，求证：．
13．（2022·江苏苏州·模拟预测）函数．
(1)求函数在上的极值；
(2)证明：有两个零点．
14．（2022·江苏常州·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值，
(2)对任意实数，恒成立，求正实数a的取值范围．
15．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知函数，其中.
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.
16．（2022·江苏江苏·一模）已知实数，函数，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)求证：存在极值点，并求的最小值.
17．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数
(1)讨论函数在（，）上极值点的个数；
(2)当时，.其中为的导函数，求实数m的取值范围.
18．（2022·江苏江苏·一模）设函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若为函数的两个不等于1的极值点，设，记直线的斜率为，求证：.
19．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知，函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上存在两个不同的极值点.
①求的取值范围；
②若当时恒有成立，求实数的取值范围.
（参考数据：，）
20．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
21．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知函数(mR)的导函数为．
（1）若函数存在极值，求m的取值范围；
（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意mR，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．
22．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知函数f(x)=-x3+ax2-4.
(1)若f(x)在x=2处取得极值,且关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围;
(2)若存在x0∈(0,+∞),使得不等式f(x0)>0成立,求实数a的取值范围.

参考答案：
1．B
【分析】对求导，由函数在处取极小值，所以，所以，，对求导，求单调区间及极大值，由的极大值为4，列方程得解.
【详解】解：，所以
因为函数在处取极小值，所以，所以，，，
令，得或，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递增，所以在处有极大值为，解得，所以.
故选：B
2．A
【分析】利用导数求解，将问题转化为
或在区间上恒成立，然后利用正弦函数的图象求解即可.
【详解】由已知条件得，
∵函数在区间上无极值，
∴函数在区间上单调，
∴或在区间上恒成立，
当时，，
∵，∴，在此范围内不成立；
当时，，
∵，∴，即，解得，
则的取值范围是，
故选：.
3．D
【分析】利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可判断命题①的正误；利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可判断命题②的正误；由得出，设，由推导出，由此可判断出命题③的正误.综合可得出结论.
【详解】，则，.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，函数的最小值为.
，.
令，当时，，则函数在上单调递增，
则，所以，当时，.
，，
由零点存在定理可知，函数在和上各有一个零点，
所以，函数有两个极值点，命题①正确；
设函数的极大值点为，极小值点为，则，
则，所以，
函数的极大值为，
构造函数，则，
所以，函数在上单调递减，
当时，；当时，.
，，，则，即.
同理可知，函数的极小值为.
，.
由零点存在定理可知，函数在区间、、上各存在一个零点，
所以，函数有个零点，命题②正确；
令，得，，则，
令，则，
所以，函数所有零点之和等于零，命题③正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的零点、极值点相关命题的判断，利用导数分析函数的单调性是判断的关键，考查推理能力，属于难题.
4．ABD
【分析】根据题意得到命题乙和命题丁矛盾，结合三角函数的图象与性质，分类讨论，可判断假命题为丁，由此求得函数 的解析式，故可求出的表达式，判断A;求出的值，可判断B;令令，则，判断C; 当时，求出，根据函数 的单调性，判断D.
【详解】由命题甲：该函数的最大值为，可得；
由命题乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可得；
由命题丁：由，可知，；
所以命题乙和命题丁矛盾；
若假命题是乙，则，
由命题丙：：该函数图象的一个对称中心为，，
可得，
故，，不满足条件；
若假命题是丁，则，
由命题丙：该函数图象的一个对称中心为，，可得，
可得，，，可得，所以假命题是丁，
故，
则，为偶函数，A正确；
由以上分析可知，故B正确；
令，则，
因此函数极小值点为，故C错误；
当时，，此时函数 单调递减，
故在时单调，故D正确；
故选：．
5．AD
【分析】由已知条件可得，，然后根据正弦型函数的基本性质逐项判断可得结论.
【详解】因为且，则，，
所以，函数在上不可能有零点，B错；
当时，即当时，在上单调递增，A对；
函数在上可能有极大值，但无最小值，C错D对.
故选：AD.
6．AD
【分析】求出曲线、对于的方程，数形结合可判断ABC选项；求出函数在处的切线方程，数形结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则，
令可得或，
因为函数存在两个零点、，则，即.
当时，即当时，，则，
当时，即当时，，则，
则曲线为函数的图象以及射线，
且当时，，所以，曲线在轴上方，A对；
对于B选项，当时，即当时，，
则，
当时，即当时，，则
所以，曲线为函数的图象以及射线，
由图可知，曲线、无公共点，B错；
对于C选项，对于函数，，
此时函数在上单调递减，且，
结合图象可知，当时，直线与曲线没有公共点，C错；
对于D选项，对于函数，，则，
又因为，所以，曲线在处的切线方程为，即.
构造函数，则，
，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，所以，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，
当时，，即，
当时，，即，
所以，曲线、分布在直线的两侧，D对.

故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的相关问题，解题的关键在于求出两曲线的方程，作出图形，利用图形以及导数的相关知识求解.
7．AD
【分析】A选项，二次求导，得到的单调性，得到答案；B选项，二次求导，得到在上单调递增，从而判断出无极值点；C选项，根据A选项得到的的单调性得到不等式，参变分离后，构造函数，求出其最大值得到答案；D选项，结合AB选项求出的函数单调性及同构，构造函数，进行求解.
【详解】对于A：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，故函数在上无极值点，故A正确；
对于B：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则函数在上无极值点，故B错误；
对于C：由A得在上单调递增，不等式恒成立，则恒成立，故恒成立.设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故C错误；
对于D：若，则.由A，B可知函数在上单调递增，在上单调递增，∵，∴，，且，当时，，设，设，则，令，解得，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，此时，故的最大值为，故D正确.
故选：AD.
【点睛】构造函数，研究其单调性，极值，最值，从而证明出结论，或者求出参数的取值范围，经常考察，也是难点之一，要能结合函数特征，合理构造函数进行求解.
8．ACD
【分析】画出函数图像，得到x1，x2，x3的范围，由得出A正确，由得出B错误，由得出C正确，由得出D正确.
【详解】

在上单调递增，在上单调递减，.
，
在上单调递增，在上单调递减，.
，则，A对.
在上单调递增，
，B错.
在单调递减，，C对.
对.
故选：ACD.
9．CD
【分析】通过举反例判断选项AB的真假，证明选项CD正确即得解.
【详解】解：A. 如由于函数是增函数，所以不是极值点，所以该选项错误；
B. 如是偶函数，但是不是奇函数，所以该选项错误；
C. 是周期为的周期函数，所以，所以也是周期为的周期函数，所以该选项正确；
D. 的图象关于直线对称，所以，所以，所以的图象关于点中心对称，所以该选项正确.
故选：CD
10．AB
【分析】对A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解．
【详解】对于A，函数，，
令，即，解得，
当时，，故在上为单调递增函数，
当时，，故在上为单调递减函数，
在时取得极大值，故A正确；
对于B，在上为单调递增函数，，函数在上有唯一零点，
当时，恒成立，即函数在上没有零点，故有唯一零点，故B正确；
对于C，在上为单调递减函数，，，故C错误；
对与D，由在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，令，解得：，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，，故D错误．
故选：AB
【点睛】方法点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数单调性和极值，研究不等式恒成立问题，要利用分离参数法处理恒成立问题，再转化为最值问题，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题．
11．
【分析】根据函数的对称性和零点，结合函数极大值点的定义进行求解即可.
【详解】由，所以函数关于直线对称，
于是有：，
由，
于是，解得，
令，所以，
令时，，，
令时，，，
因为在区间上有且只有一个极大值点，
所以（为函数的最小正周期），因为，
所以有，即，
当时，，所以，
此时有两个极大值点，不符合题意；
当时，，此时此时有一个极大值点，符合题意，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用函数的对称性、零点、函数极值的定义和正弦函数的性质是解题的关键.
12．(1)不存在这样的实数；理由见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）假设存在这样的实数，利用求解的值，代入函数中，利用导数求解函数的单调性，根据函数在某点存在极值点的充要条件判断是否存在；
（2）因为，取代入不等式中，化简不等式，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值，即可证明不等式.
(1)
假设存在这样的实数，则有，即．
当，，令，
因为，所以在上为单调增函数，在上为单调减函数，
所以，即在上为单调减函数，
所以不存在这样的实数．
(2)
因为，，所以，
要证，即证．
令，则．
，
令，，，则，
当，，故函数在区间上单调递增，
，故，从而得在区间为单调增函数，
所以，得证．
【点睛】本题主要考查学生对函数极值点的理解，对可导函数而言，导数为0是极值点的必要非充分条件；考查了一个重要的函数模型和一个典型的构造函数的类型；转化主元证明不等式是不等式证明常考的类型之一．
13．(1)极大值，；极小值，；
(2)详见解析.

【分析】（1）由题可得，进而可得；
（2）当时，利用导数可得函数的最小值，进而可得函数有两个零点，当，时，利用导数可得，即得.
（1）∵，∴，，由，可得，或，∴，单调递增，，单调递减，，单调递增，∴时，函数有极大值，时，函数有极小值；
（2）∵，∴，∴，当时，单调递增，即单调递增，又，故存在，，所以单调递减，单调递增，∴时，函数，，，故时，有两个零点，当时，，对于函数，则，又，∴，，即，此时函数没有零点，当时，，由上可知，故当时，函数没有零点，综上，函数有两个零点．
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
14．(1)极大值为，无极小值
(2)

【分析】（1）求得，利用导数求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；
（2）令，求得，转化为，
设，求得，得出函数的单调性与最值，结合零点的存在定理得到存在唯一，使得，进而求得的值.
(1)
解：由题意，函数，可得，令，可得，


1



0


递增
极大值
递减

所以函数的极大值为，无极小值．
(2)
解：令，
可得，
因为对任意实数，恒成立，即，
设，，可得，
若时，；
若，令，可得
当时，，单调递减；
当，，单调递增，
所以，所以，
两边取指数得到，
因为当时，，
所以在递减，
又由，
由零点存在定理知，存在唯一，使得，
x

1



0
-

递增
极大值
递减

所以，因为，则，所以．
【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
15．(1)
(2)

【分析】（1）求出，由函数在上单调递增，转化为在上恒成立.令，利用导数判断出在上单调递增，求出，即可求出的取值范围；
(2)先判断出时有两个极值点，且.得到.令，则，得到，.令利用二次求导判断出在上递增.求出，得到的取值范围是.
(1)
因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
故令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，故，
所以，即的取值范围是.
(2)
.
对函数，设上一点为，
过点的切线方程为，
将代入上式得，
所以过的的切线方程为
所以，要使与有两个交点，则.
此时有两个极值点，且.
，
令，则，所以，
所以，即，所以，
令，令，
所以在上递增.
因为，所以在上恒成立.所以在上恒成立.
所以在上递增.
又，
所以当时，，
所以的取值范围是.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
16．(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)证明见解析，的最小值是e．

【分析】（1）求导，根据的正负判定函数的增减即可；
（2）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.
（1）
（1）当时，，
则
令，得；
令，得；
所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．
（2）
（2）
令，因为，
所以方程，有两个不相等的实根，
又因为，
所以，
令，列表如下:





-
0
+

减
极小值
增

所以存在极值点.
所以存在使得成立，
所以存在使得，
所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数，
记，
所以，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以当时，的最小值为．
所以需要，
即需要，
即需要，
即需要
因为在上单调递增，且，
所以需要，
故的最小值是e．
17．(1)1；
(2).

【分析】（1）求导，再对分两个区间讨论得解；
（2）转化条件为函数恒成立，结合导数、及端点效应即可得解.
(1)
解：由题得，
当时，.
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减.
所以函数在（，）上极值点的个数为1.
(2)
解：由题得在上恒成立，
即恒成立，
因为，
①若，在上单调递增，，符合题意；
②若令，
则，所以在单调递增，且，
（i）若，，
在上单调递增，，符合题意；
（ii）若，，
则存在，使得当时，，单调递减，
此时，不合题意；
综上，.
【点睛】方法点睛：求参数的取值范围常用的方法有两种：（1）分离参数法，分离参数求最值；（2）分类讨论.要根据具体情况灵活选择方法求解.
18．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出，即可求出切点坐标，从而求出切线方程；
（2）首先求出函数的导函数，依题意在上有两个不等于的正根，即可得到韦达定理，不妨设，所以，根据两点斜率公式得到，即证，根据对数平均不等式可得，只需证明，令，依题意即证，，再构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证；
(1)
解：因为，所以，，所以，所以切点为，切线的斜率，所以切线方程为
(2)
解：因为
因为为函数的两个不等于1的极值点，所以在上有两个不等于的正根，所以，所以，不妨设，所以，所以




要证即证，
即，
令，则，所以当时，，所以函数在上单调递增，故，即，所以在上恒成立，因为，所以，所以，即，
即，所以，
下面只需证明，令，因为，所以，所以，所以，
即证，，
即证，，令，，，所以在上单调递减，所以，得证；
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
19．（1）；（2）①；②.
【分析】（1）利用导数的几何意义，求处的切线方程即可.
（2）①由题意知，有两个不相等的正根，即可求的取值范围；②由①得到的单调区间，可知要使时，恒有成立，只需满足，而，结合①的结论得，则，构造中间函数并应用导数研究单调性，确定的范围，即可比较的大小，进而求的取值范围.
【详解】（1）当时，，则，
∴，，即所求的切线方程为.
（2）①，
设在上的极值点为，，则，是方程的两正根，
∴，解得.
②由①知：当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
∴要使时，恒有成立，只需满足.
由，，则，又，
∴，.
设，，则.
∴，在上单调递减，即，从而.
由，得，又，
∴，得.
【点睛】关键点点睛：第二问，①求的解析式，将问题转化为有两个不相等的正根求参数范围；②由①判断的区间单调性，将问题转化为，再构造中间函数并应用导数求的范围，并比较的大小关系.
20．（I）；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.
【详解】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：

所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.
21．（1）（2）{1，2}．
【解析】（1）求解导数，表示出，再利用的导数可求m的取值范围；
（2）表示出，结合二次函数知识求出的最小值，再结合导数及基本不等式求出的最值，从而可求正整数k的取值集合．
【详解】（1）因为，所以，
所以，
则，
由题意可知，解得；
（2）由（1）可知，，
所以
因为
整理得，
设，则，所以单调递增，
又因为，
所以存在，使得，
设，是关于开口向上的二次函数，
则，
设，则，令，则，
所以单调递增，因为，
所以存在，使得，即，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，
又由题意可知，所以，
解得，所以正整数k的取值集合为{1，2}．
【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题一般转化为导数的零点问题，恒成立问题要逐步消去参数，转化为最值问题求解，适当构造函数是转化的关键，本题综合性较强，难度较大，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
22．（1）；（2）
【分析】（1）求出导函数，f（x）在x=2处取得极值，求出a，然后求解函数的极值，通过关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求解实数m的取值范围；
（2）求出函数的最大值，利用最大值大于0，即可满足条件，利用函数的导数判断函数的单调性，结合a的取值讨论，求解即可．
【详解】(1)f'(x)=-3x2+2ax,由题意得f'(2)=0,即-12+4a=0,解得a=3,经检验a=3满足条件,
则f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x.
令f'(x)=0,得x=0或x=2,
当x在[-1,1]内变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
f'(x)

-
0
+

f(x)
0
↘
-4
↗
-2

∵关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根,
∴-40,x∈(0,+∞)即可,
f'(x)=-3x2+2ax=-3x,
①若a≤0,则当x>0时,f'(x)0,得a>3.
综上,a>3.
【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，难度比较大．