江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-函数的单调性

江苏省2022年高考数学模拟题分类汇编-函数的单调性

一、单选题

1．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）下列函数既是奇函数，又是增函数的是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知，则，，的大小为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知偶函数的定义域为R，导函数为，若对任意，都有恒成立，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知，，，则（        ）

A． B．

C． D．

5．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·江苏南通·模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

7．（2022·江苏南通·模拟预测）已知，，，则（       ）

A． B．

C． D．

8．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

9．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）若，，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

10．（2022·江苏江苏·一模）已知，则当时，与的大小关系是（       ）

A．

B．

C．

D．不确定

11．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（       ）

A． B．

C． D．

12．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）设函数，，，，、、、、.记，、、，则（       ）

A． B．

C． D．

13．（2022·江苏·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

14．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知定义在上的函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

15．（2022·江苏南京·二模）已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

16．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）函数在的图像大致为

A． B． C． D．

17．（2022·江苏南京·模拟预测）已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

18．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）当时，不等式成立．若，则（       ）

A． B．

C． D．

19．（2022·江苏无锡·模拟预测）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（       ）

A．在上是“弱减函数”

B．在上是“弱减函数”

C．若在上是“弱减函数”，则

D．若在上是“弱减函数”，则

20．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知函数，，则（       ）

A．函数为偶函数

B．函数为奇函数

C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0

D．设，则的解集为

三、填空题

21．（2022·江苏盐城·三模）已知为的导函数，且满足，对任意的总有，则不等式的解集为__________．

22．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.

23．（2022·江苏苏州·模拟预测）设函数，，，取，，，，则，，的大小关系为________.（用“”连接）

四、解答题

24．（2022·江苏江苏·一模）已知实数，函数，是自然对数的底数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)求证：存在极值点，并求的最小值.

五、双空题

25．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数．

（1）不等式的解集为____________；

（2）若关于的方程有两个不等实数根，则实数的取值范围为________．

参考答案：

1．B

【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质逐项分析，即可选出答案.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：函数是偶函数，故不符合题意；

对于选项B：函数是奇函数，且是单调递增函数，故符合题意；

对于选项C：函数是非奇非偶函数，故不符合题意；

对于选项D：根据幂函数的性质可知函数是奇函数，但不是单调递增函数，故不符合题意；

故选：B

2．C

【分析】根据给定条件，构造函数，利用函数的单调性比较大小作答.

【详解】令函数，当时，求导得：，

则函数在上单调递减，又，，，

显然，则有，所以.

故选：C

【点睛】思路点睛：某些数或式大小比较问题，探讨给定数或式的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解.

3．C

【分析】令，结合条件可判断出在上单调递增，且函数为偶函数，进而可得.

【详解】令，则，则A错误；

令，则，

当时，由，

，则在上单调递增，

又因为偶函数的定义域为R，

∴为偶函数，在上单调递增，

，，故B错误；

，，故C正确；

由题意，不妨假设(c为常数)符合题意，此时，故D错误.

故选：C.

4．D

【分析】构造函数以及函数，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小.

【详解】令，，

当时，，，，单调递增，

，即，，即，

令，

，

令，

令，，

当时，，单调递增，

在上单调递减，，

，在上单调递减，

，即，

综上：.

故选：D.

5．D

【分析】由，可得，构造函数，利用函数的导数与单调性的关系，可得在上单调递增，进而可得，，从而即可得答案.

【详解】解：因为，

所以；

令，，

所以在上单调递增，

因为，所以，即，

所以，

所以；

同理，所以，即，也即，

所以，

所以.

综上，，

故选：D.

6．A

【分析】转化，结合的单调性，分析即得解

【详解】由题意，

令

令，故在单调递增；

令，故在单调递减；

由于，故即；

由于，故即；

又

又

故

故选：A

7．C

【分析】构造函数，，利用导数法判断其单调性判断.

【详解】令，，

则，，，

又，

所以在递增，

又，，

∴，

∴．

故选：C

8．A

【分析】构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化即可．

【详解】成立设，

则，即时是增函数，

当时，，此时；

时，，此时．

又是奇函数，所以时，；

时

则不等式等价为或，

可得或，

则不等式的解集是，

故选：．

9．D

【分析】结合特殊值、差比较法、函数的单调性等知识确定正确选项.

【详解】依题意，，

在上递增，所以，A选项错误.

在上递增，所以，B选项错误.

当时，，C选项错误.

，其中，

所以，在上递增，所以，D选项正确.

故选：D

10．B

【分析】求出函数的单调区间，令，得或，结合图像可得，，三段和的大小关系，再根据函数的单调性即可得出与的大小关系.

【详解】解：由函数，

得函数在上递增，在上递减，在上递增，

作出函数和的图像，如图所示，

令，得或，

结合图像可知，当时，，则，

当时，，则，

当时，，则，

综上所述，当时，.

故选：B.

11．A

【分析】令，根据导函数的正负可确定单调递减，由此得到，代入整理可得结果.

【详解】令，则，

，，，在上单调递减，

，，即，，

，.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数值大小关系的比较，解题关键是能够根据已知的不等式构造出新函数，通过单调性确定大小关系.

12．D

【分析】化简、、，利用函数单调性比较这三个数与的大小关系，即可得出结论.

【详解】函数在上单调递增，且，

所以，

，

因为，故函数在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以，函数的图象关于直线对称，

由题意可知，则，

因为，

所以，

，

因为，

故函数的图象关于点对称，

由题意可知，则，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

因为，

所以，

，

因为，

，

所以，，

因此，.

故选：D.

【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：

（1）判断各个数值所在的区间；

（2）利用函数的单调性直接解答.

数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.

13．A

【分析】由给定的不等式构造函数对求导，根据已知条件可判断非得单调性，将所求解不等式转化为有关的不等式，利用单调性脱去即可求解.

【详解】令，则可得

所以是上的奇函数，

，

当时，，所以，

是上单调递增，

所以是上单调递增，

因为，

由可得即，

由是上单调递增，可得 解得：，

所以不等式的解集为，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数，根据已知条件判断的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式 .

14．D

【解析】本题首先可根据题意得出函数的图像关于点中心对称且，然后根据基本不等式得出，则函数在上单调递增，最后将不等式转化为或，通过计算即可得出结果.

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，

所以函数的图像关于点中心对称，且，

当时，，

则，当且仅当时取等号，

故，函数在上单调递增，

因为函数的图像关于点中心对称，

所以函数在上单调递增，

不等式可化为或，

，即，解得，

，即，解得，

故不等式的解集为，

故选：D.

【点睛】关键点点睛：若函数是偶函数，则函数的图像关于直线对称；若函数是奇函数，则函数的图像关于点中心对称，考查通过基本不等式求最值，考查根据导函数判断函数单调性，是难题.

15．D

【分析】利用题目条件，构造辅助函数，由导数大于0，得出单调递增，原不等式转化，利用单调性可解不等式.

【详解】令，， 故在R上单调递增.

又，且，

故原不等式可转化为，所以，

解得.

故选：D.

【点睛】本题考查了导数的综合应用、利用函数单调性解不等式等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.

16．B

【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．

【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．

【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

17．B

【分析】Sn•，①n为奇数时，Sn•，根据单调性可得：Sn≤2；②n为偶数时，Sn•，根据单调性可得：≤Sn．可得Sn的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，即可得出．

【详解】Sn•，

①n为奇数时，Sn•，可知：Sn单调递减，且•，∴Sn≤S1＝2；

②n为偶数时，Sn•，可知：Sn单调递增，且•，∴S2≤Sn．

∴Sn的最大值与最小值分别为：2，．

考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，

∴A．

B．

∴B﹣A的最小值．

故选B．

【点睛】本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题，考查了恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．AD

【分析】将给定不等式变形，构造函数，利用函数单调性，逐项分析判断作答.

【详解】当时，不等式，令，则在上单调递增，

因，则，A正确；

因，则，B不正确；

由知，，有，则，

由选项A知，，即，C不正确；

由得，，则，D正确.

故选：AD

【点睛】关键点睛：涉及两个量的大小，构造函数，分析并运用函数的单调性是求解作答的关键.

19．BCD

【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.

【详解】对于A，在上单调递减，不单调，故A错误；

对于B，，在上，函数单调递减，

，，∴在单调递增，故B正确；

对于C，若在单调递减，由，得，

∴，在单调递增，故C正确；

对于D，在上单调递减，

在上恒成立，

令，，令，

，

∴在上单调递减，，

∴，∴在上单调递减，，

∴，

在上单调递增，

在上恒成立，

∴，

令，，

∴在上单调递增，，

∴，

综上：，故D正确.

故选：BCD.

20．BCD

【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案

【详解】对于A：，定义域为，，

则为奇函数，故A错误；

对于B：，定义域为，

，

则为奇函数，故B正确；

对于C：，，都为奇函数，

则为奇函数，

在区间上的最大值与最小值互为相反数，

必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；

对于D：，则在上为减函数，

，则在上为减函数，

则在上为减函数，

若即，

则必有，解得，

即的解集为，故D正确；

故选：BCD

21．##

【分析】构造新函数，利用已知条件，可以判断单调递增，利用的单调性即可求出不等式的解集

【详解】设函数，则

又   

所以在上单调递增，又

故不等式 可化为

由的单调性可得该不等式的解集为．

故答案为：

22．

【分析】先求导，根据题意在上恒成立，整理得在上恒成立，即求.

【详解】由知，

,

∵函数在上是减函数，

，又，

∴，即在上恒成立，

而，，

．

故答案为：．

23．

【分析】分别根据三个函数的单调性、对称性，结合裂项相消法，化简求得，并判断的范围，从而可得结论.

【详解】当时，在区间上递增且恒大于零，

故

当时，是一个关于的对称函数，满足，

且其在上递增，在上递减，

故

，

当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故

，故，

故答案为：

【点睛】本题主要考查二次函数的单调性、正弦函数的单调性，考查了裂项相消法的应用，同时考查了运算能力、转化思想单调应用，属于综合题.

24．(1)单调增区间为，单调减区间为

(2)证明见解析，的最小值是e．

【分析】（1）求导，根据的正负判定函数的增减即可；

（2）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.

（1）

（1）当时，，

则

令，得；

令，得；

所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．

（2）

（2）

令，因为，

所以方程，有两个不相等的实根，

又因为，

所以，

令，列表如下:

所以存在极值点.

所以存在使得成立，

所以存在使得，

所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数，

记，

所以，

当时，单调递减；

当时，单调递增．

所以当时，的最小值为．

所以需要，

即需要，

即需要，

即需要

因为在上单调递增，且，

所以需要，

故的最小值是e．

25．         

【分析】由图像可知函数为“不增”函数，利用函数的单调性即可解出不等式；根据函数图像可得，由换元法可得一元二次方程在上有两个不等实数根，

结合二次函数的性质即可得出结果.

【详解】作出函数图像，该函数为“不增”函数，

所以，解得，

所以解集为；

由函数图像可得，

令，在区间上有两个不等实数根，

则有解得．

故答案为：；.