2022年辽宁省朝阳市中考数学试卷（Word解析版）

2022年辽宁省朝阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成的，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 如图所示的是由个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点，那么这个点取在阴影部分的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 新冠肺炎疫情期间，学校要求学生每天早晨入校前在家测量体温，七年三班第二学习小组名同学某天的体温单位：记录如下：，，，，，则这组数据的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 如图，在中，点是的中点，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，正比例函数为常数，且和反比例函数为常数，且的图象相交于和两点，则不等式的解集为(    )

A. 或 B.
C. 或 D. 或

9. 八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶，根据题意，所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，二次函数为常数，且的图象过点，对称轴为直线，且，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C. 为任意实数
D.
 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 光在真空中传播数据用科学记数法表示为______．
12. 甲、乙、丙、丁四名同学参加掷实心球测试，每人掷次，他们的平均成绩恰好相同，方差分别是，，，，则这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是______．
13. 计算：______．
14. 如图，在中，，，，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则的周长是______．

15. 如图，在矩形中，，，将线段绕点按逆时针方向旋转，当点的对应点恰好落在边上时，图中阴影部分的面积是______．

16. 等边三角形中，是边上的一点，，以为边作等边三角形，连接若，则等边三角形的边长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    先化简，简求值：，其中．
18. 本小题分
    某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买个篮球和个排球，共需元；若购买个篮球和个排球，共需元．
    求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
    该中学决定购买篮球和排球共个，总费用不超过元，那么最多可以购买多少个篮球？
19. 本小题分
    为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长单位：的一组数据，将所得数据分为四组：；：；：；：，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    本次一共抽样调查了______名学生．
    求出扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数．
    将条形统计图补充完整．
    若该校共有名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于．
20. 本小题分
    某社区组织，，，四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
    王明被安排到小区进行服务的概率是______．
    请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
21. 本小题分
    某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度旗杆底端有台阶该小组在处安置测角仪，测得旗杆顶端的仰角为，前进到达处，安置测角仪，测得旗杆顶端的仰角为点，，在同一直线上，测角仪支架高，求旗杆顶端到地面的距离即的长度．结果精确到参考数据：

22. 本小题分
    如图，是的直径，弦交于点，点为延长线上一点，．
    求证：是的切线；
    若的半径为，是的中线，且，求的长．

23. 本小题分
    某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件．
    求与之间的函数关系式．
    若该商店销售这种消毒用品每天获得元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
    设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
24. 本小题分
    【思维探究】
    如图，在四边形中，，，，连接求证：．
    小明的思路是：延长到点，使，连接根据，推得，从而得到，然后证明≌，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程．
    【思维延伸】
    如图，四边形中，，，连接，猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
    【思维拓展】
    在四边形中，，，与相交于点若四边形中有一个内角是，请直接写出线段的长．

25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接．
    求抛物线的解析式及点的坐标．
    如图，点为线段上的一个动点点不与点，重合，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值．
    动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，同时动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
倒数：乘积是的两数互为倒数．
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看，只有一层，共有四个小正方形，．
故选：．
根据主视图是从正面看到的图形判定则可．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，
即这个点取在阴影部分的概率是，
故选：．
根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．
本题主要考查几何概率的知识，熟练根据几何图形的面积得出概率是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项符合题意；
，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则，逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法法则，合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则，解题的关键是熟记相关法则并灵活运用．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
由平行四边形的性质可得，再根据三角形内角和定理，即可得到的度数，依据平行线的性质，即可得到的度数．
此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，，
所以这组数据的中位数为，众数为，
故选：．
将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：点是的中点，
，
．
故选：．
直接利用圆周角求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

8.【答案】 

【解析】解：正比例函数为常数，且和反比例函数为常数，且的图象相交于和两点，
，
不等式的解集为或，
故选：．
根据关于原点对称的点的坐标特征求得，然后根据函数的图象的交点坐标即可得到结论．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：设慢车每小时行驶，则快车每小时行驶，
根据题意可得：．
故选：．
设慢车每小时行驶，则快车每小时行驶，根据基地距学校，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，
故，不正确，不符合题意；

B.函数的对称轴为直线，则，
从图象看，当时，，
故不正确，不符合题意；

C.当时，函数有最大值为，
为任意实数，
，
，
为任意实数
故不正确，不符合题意；


D.，故，
，，故，
，
，
，
，故正确，符合题意；
故选：．
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】丁 

【解析】解：，，，，
，
这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是丁，
故答案为：丁．
利用方差的意义可得答案．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先算除法，去绝对值，再合并即可．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题可知，为线段的垂直平分线，
，
，，，
，
的周长为．
故答案为：．
由题可知，为线段的垂直平分线，则，由勾股定理可得，则的周长为，即可得出答案．
本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：将线段绕点按逆时针方向旋转，
，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
由旋转的性质可得，由锐角三角函数可求，由勾股定理可求的长，分别求出扇形和四边形的面积，即可求解．
本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，

与都是等边三角形，
，，，
，
即．
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
等边三角形的边长为，
故答案为：．
先证明≌，再根据全等三角形的性质即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明≌是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式



，
，
原式． 

【解析】把除化为乘，再算同分母的分式相加，化简后求出的值，代入即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
 

18.【答案】解：设每个篮球的价格是元，每个排球的价格是元，
根据题意得：，
解得，
每个篮球的价格是元，每个排球的价格是元；
设购买个篮球，
根据题意得：，
解得，
答：最多可以购买个篮球． 

【解析】设每个篮球的价格是元，每个排球的价格是元，可得：，即可解得每个篮球的价格是元，每个排球的价格是元；
设购买个篮球，可得：，即可解得最多可以购买个篮球．
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式．
 

19.【答案】 

【解析】解：本次调查的学生人数为名，
故答案为：；
表示组的扇形圆心角的度数为；
组人数为名，
补全图形如下：

名．
答：估计该校最近两周有名学生的每日平均睡眠时长大于或等于．
由组人数及其所占百分比求出总人数；
用乘以组人数所占比例即可；
根据总人数求出组人数，从而补全图形；
用总人数乘以睡眠时长大于或等于人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确计算的前提．
 

20.【答案】 

【解析】解：王明被安排到小区进行服务的概率是，
故答案为：；
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有种结果，
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为．
根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：延长交于点，

由题意得：
，，，
设，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
旗杆顶端到地面的距离即的长度约为． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：，，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：是直径，
，
，
，，
，
，
是直径，
是的切线；
解：作于点，

的半径为，
，
，，
∽，
，
，
，
是的中线，，
，
． 

【解析】由圆周角定理得，则，从而说明，即可证明结论；
作于点，利用∽，得，求出的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出，利用等腰三角形的性质可得答案．
本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出的长是解题的关键．
 

23.【答案】解：设每天的销售量件与每件售价元函数关系式为：，
由题意可知：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
，
解得：，舍去，
若该商店销售这种消毒用品每天获得元的利润，则每件消毒用品的售价为元；
，
，
，
，
，且为整数，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为．
答：每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
根据每件的销售利润每天的销售量，解一元二次方程即可；
利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系．
 

24.【答案】证明：如图中，延长到点，使，连接．

，
，

，
在和中，
，
≌，
，，
，
的等边三角形，
，
，
；

解：结论：．
理由：如图中，过点作于点，交的延长线于点．

，
，
，
，
，，
≌，
，，
，，
，
，
，
≌，
，
；

解：如图中，当时，过点作于点，于点．

，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
．

如图中，当时，同法可证，，

综上所述，满足条件的的长为或． 

【解析】如图中，延长到点，使，连接证明≌，推出，，推出的等边三角形，可得结论；
结论：如图中，过点作于点，交的延长线于点证明≌，推出，，证明≌，推出，可得结论；
分两种情形：如图中，当时，过点作于点，于点如图中，当时，分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：由题意得，
，
，
，
当时，，
，，
；
设直线的解析式为：，
，
，
，
设点，，
，
当时，；
如图，

--，，，
，
，
作轴于，
，
当时，
，
，
四边形时矩形，
，
由得，
，
，
，
，
如图，

当时，作轴于，作轴于，
，
可得四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
如图，

当时，
，
，
，
，
综上所述：或或 

【解析】将，两点坐标代入抛物线的解析式求得，的值，进而得出解析式，当时，求出方程的解，进而求得点坐标；
由，两点求出的解析式，进而设出点和点坐标，表示出的长，进一步得出结果；
要使以点，，，为顶点的四边形是菱形，只需是等腰三角形，所以分为，和，结合图象，进一步得出结果．
本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．