天津市南开区2022届高三下学期一模数学试题及答案

天津市南开区2022届高三下学期一模数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

2．设，则“”是 “”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

4．某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有40万居民，估计居民中月均用水量在的人数为（　　）

A．4.8万 B．6万 C．6.8万 D．12万

5．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（　　）

A． B． C． D．

6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（　　）

A． B． C． D．

7．已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（　　）

A． B．2 C． D．

8．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法错误的是（　　）

A．函数是奇函数

B．函数的图象的一条对称轴方程为

C．函数的图象的一个对称中心为

D．函数在上单调递减区间是

9．已知函数．若函数的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

10．若复数z满足，则z的虚部为　     　．

11．的展开式中的项系数为　     　；

12．一个三角形的三边长分别为3、4、5，绕最长边旋转一周所得几何体的体积为　     　．

13．若，，，，则的最小值为　     　．

14．某质检员对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.8，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．设每台设备是否合格是相互独立的，则每台设备报废的概率为　     　；检测3台设备，则至少2台合格的概率为　     　．

15．在△ABC中，，，，则　     　；若M是△ABC所在平面上的一点，则的最小值为　     　．

三、解答题

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，．

（1）求c；

（2）求的值；

（3）求的值．

17．如图，P，O分别是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中点，，．

（1）求证：平面PBC；

（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

（3）求平面POC与平面PBC夹角的余弦值．

18．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且的周长是6．过点的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间，又线段AB的中点横坐标为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求的值．

19．已知数列满足，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，证明：；

（3）比较和的大小．

20．设函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若有两个极值点，求a的取值范围；

（3）当时，若，求证：．

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】A

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】C

7．【答案】D

8．【答案】C

9．【答案】A

10．【答案】3

11．【答案】-80

12．【答案】

13．【答案】

14．【答案】0.1；0.972

15．【答案】；

16．【答案】（1）解：由余弦定理得，

∴

（2）解：由正弦定理，得，解得．

∵，∴A为锐角，∴，

∴

（3）解：由(2)可得，

∵，∴

17．【答案】（1）证明：以点O为原点，直线OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，

由上得，，，

设平面PBC的法向量为，则由得

取，得，因为，所以，

又平面PBC，所以平面PBC．

（2）解：由（1）知平面PBC的法向量为，

因为，所以，

所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

（3）解：显然，平面POC的法向量为，

由（1）知平面PBC的法向量为，

设平面POC与平面PBC的夹角为，则

18．【答案】（1）解：由离心率，可得，

又因为的周长是6，所以，

所以，，故，所以椭圆的标准方程是

（2）解：设点，点．

若直线轴，则直线l不与椭圆C相交，不合题意．

当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为．

由消去y得，．①

由①的判别式，

解得，．由，可得．

将代入方程①，得，

则，．所以

19．【答案】（1）解：因为，所以数列是公差为1的等差数列，

因为的前5项和为15，所以，

所以，解得，所以．

设等比数列的公比为q，依题意，，又，

可得，解得，所以

（2）证明：由（1）得，

所以

，

故

（3）解：记，

①

②

②-①得

，

，

所以，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，因为

，

所以，

综上，．

20．【答案】（1）解：当时，，

依题意，，可得，又，

所以曲线在点处的切线方程为，即

（2）解：由，得，两边取对数可得，，

则有两个极值点等价于方程有两个不等正根．

令，，

①当时，，在上单调递增，

所以没有两个不等正根，从而没有两个极值点．

②当时，当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，

所以．由，得，

又取，，

因为在上单调递增，所以在有一个零点；

取，，

因为在上单调递减，所以在有一个零点．

所以，当时，有两个零点，从而有两个极值点．

（3）证明：当时，不等式即为．

因为，的所以，

故只需证明，即证明．

令，，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以．令，，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．所以，

所以，若，则．

即当时，若，不等式成立．