山西省2022届高三理数第二次模拟试卷及答案

山西省2022届高三理数第二次模拟试卷

一、单选题

1．（　　）

A． B． C． D．

2．若，则（　　）

A． B． C． D．

3．已知集合，，若有2个元素，则实数的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

4．2022年北京冬奥会开幕式各个代表团所身着的运动鞋服品牌一度成为热议话题，运动鞋服是近年来新消费市场中规模相当庞大的品类，下图为2021年中国消费者运动鞋服购置品牌偏好调查，根据该图，下列说法错误的是（　　）

A．2021年中国运动鞋服消费者为父母长辈购买运动鞋服时选择国产品牌的占比超过70%

B．2021年中国运动鞋服消费者没有为孩子购买运动鞋服的占比低于20%

C．2021年中国运动鞋服消费者在为自己购买运动鞋服时选择国外品牌的占比不超过

D．2021年中国运动鞋服消费者在为朋友购买运动鞋服时选择国产品牌的人数超过选择国外品牌人数的2倍

5．的展开式中的常数项为（　　）

A．13 B．17 C．-13 D．-17

6．已知圆柱的高，圆，都在球O的表面上，且球O的表面积是圆柱侧面积的2倍，则球O的半径为（　　）

A．4 B．32 C． D．

7．已知，若对任意，关于x的方程无实根，则实数a的范围是（　　）

A． B． C． D．

8．我们把短边与长边之比为的矩形称为黄金分割矩形，黄金分割矩形看起来比较“和谐”，日常生活中的矩形用品(如书本､课桌､衣柜)和建筑物中的一些矩形结构(如窗户､房间等)，都常设计成黄金分割的样式，若一面积为的黄金分割矩形一条短边的两个顶点在抛物线的准线上，另一条短边的中点为抛物线C的焦点F，则该黄金分割矩形与抛物线C的一个交点到F的距离为(　　)

A． B． C． D．

9．若存在实数x，y，使得成立，且对任意a，，，则实数t的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

10．下面关于函数的结论，其中错误的是（　　）

A．的值域是

B．是周期函数

C．的图象关于直线对称

D．当时

11．在菱形中，，点在菱形所在平面内，则的最小值为（　　）

A． B．-3 C． D．

12．已知是的一个零点，是的一个零点，，则（　　）

A． B．

C． D．或

二、填空题

13．已知函数给出下列结论：①是偶函数；②在上是增函数；③若，则点与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为　     　．

14．已知三棱锥的所有棱长都相等，点E为AD中点，点F为底面BCD内的动点，记EF的最小值为，最大值为，则　     　.

15．△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的面积，则a的最小值为　     　．

16．过椭圆左焦点F的直线与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴及y轴各有唯一公共点M，N，则的取值范围是　        　.

三、解答题

17．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．

参考数据：，，，其中．

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

（1）由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）；

（2）已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的分布列与期望．

18．已知数列的前n项和为，若，．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）从下面两个条件中选一个，求数列的前n项的和．

①；

②．

19．在四棱锥中，AC，BC，CD两两垂直，AC＝BC＝BE＝1，CD＝2，BE//CD．

（1）求证：平面ACE⊥平面ADE；

（2）求直线BD与平面ACE所成角的正弦值．

20．已知双曲线经过点，，，，中的3个点.

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知点M，N是双曲线C上与其顶点不重合的两个动点，过点M，N的直线，都经过双曲线C的右顶点，若直线，的斜率分别为，，且，判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由

21．已知．

（1）若的图象在x＝0处的切线过点，求a的值；

（2）若，，求证：．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）射线（且）与曲线C分别交于点A，B，求的值.

23．已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若时，，求a的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】D

4．【答案】C

5．【答案】A

6．【答案】C

7．【答案】A

8．【答案】D

9．【答案】B

10．【答案】C

11．【答案】C

12．【答案】A

13．【答案】①③

14．【答案】

15．【答案】6

16．【答案】

17．【答案】（1）解：设，则，

因为，，，

所以．

把代入，得．

即关于的回归方程为

（2）解：由题意知，

，，

由得

所以，的取值依次为0，1，2，3，4，

，，

，，

，

所以X的分布列为

18．【答案】（1）证明：因为，所以，

则，

两式相减得，

所以，

以上两式相减得，

所以数列是等差数列

（2）解：中令 得，又，

所以等差数列的公差，

所以，，

若选①：

若，，则

；

若，

，

所以；

若选②：

19．【答案】（1）证明：因为AC，BC，CD两两垂直，，面BCDE， 面BCDE，

所以AC⊥平面BCDE.

因为平面BCDE，所以AC⊥DE.

在直角梯形BCDE中，连结CE.

由且BC＝BE＝1，CD＝2，

可得，，所以DE⊥CE.

因为，面ACE，面ACE，所以DE⊥平面ACE.

因为平面ADE，

所以平面ACE⊥平面ADE．

（2）解：因为AC，BC，CD两两垂直，以点C为原点，直线CA，CB，CD分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，

则，，，，，

所以，，，

设平面ACE的法向量为，则有，得，

取z＝1，得，

设直线BD与平面ACE所成角为，

则．

所以直线BD与平面ACE所成角的正弦值为．

20．【答案】（1）解：由于关于轴对称，所以要么都在双曲线上，要么都不在双曲线上.

点不可能都在双曲线上，因为双曲线经过3个点，所以都在双曲线上.

将的坐标代入得，

由都在双曲线上可知、都不在双曲线上，

所以点在双曲线上，故，

结合可得，

所以双曲线的方程为.

（2）解：设，其中，故可设直线的方程为，

由消去并化简得，

，.

因为双曲线的右顶点为，且，

所以

，

所以，代入得，

当时，，

所以直线过定点.

21．【答案】（1）解：因为，

所以，

所以，，

因为的图象在x＝0处的切线过点，

所以，即a＝1

（2）证明：要证，即证，

即证，

因为，，所以，，

设，则可化为，

因为，在上是减函数，

所以问题转化为，时，即，

即，时，

设，因为，则在上是增函数，

所以，

所以在上是增函数，所以，

所以，时，

即，时．

22．【答案】（1）解：，

，，

所以曲线的极坐标方程为

（2）解：依题意且，

，解得.

代入得，.

设，则，

所以

23．【答案】（1）解：当时， ，

所以等价于： 或或，

解得 或，

故时，不等式的解集为

（2）解：时，，即，

即，

因为 ，

故，即，

而时， ，当且仅当时取等号，

故 ，即a的取值范围为