人教版九年级上册期末复习：第4讲 几何问题与一元二次方程-解题技巧训练 （含解析）

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第4讲  几何问题与一元二次方程 【板块一】  判别式 根系关系与勾股定理【方法技巧】根系关系＋勾股，建立方程. 【 题型一 】  判别式、根系关系与三角形 【例1】已知关于x的一元二次方程 －（2k＋1）x＋4k－3＝0（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a＝，且两条直角边长b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长         【题型二】 判别式、根系关系与四边形【例2】已知关于x方程－（k＋1）x＋ ＋1＝0的两个根是一个矩形两邻边的长.(1)k取何值时，方程有两个实数根？(2)当矩形的对角线长为 时，求k的值.     【题型三】判别式、根系关系与几何【例3】如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且关于x的方程（a＋c）＋2bx＋c＝a有两个相等的实数根.（1）判断△ABC的形状；（2）若CD平分∠ACB，且AD⊥BD,AD、BD为方程－2mx＋ ＝0的两根，试确定m与n的数量关系，并说明理由.    针对练习1 已知关于x的方程－（2k＋1）x＋4（k－）＝0，若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另一边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长.      已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 －mx＋ －＝0的两个实数根.（1）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB＝2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？        如图，四边形ABCD 中，∠DAB＝∠DCB＝90°,CD和BC的长是关于x的方程－(m＋2)x＋(2－m＋)＝0的两个实数根，若AD＝2，求AC的长.       4.如图，矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b（a＞b）.（1）若a,b是－kx＋k＋4＝0的两根，且满足 ＋ ＝40，求k的值；（2）在（1）的条件下，P为CD上一点（异于C、D两点），当P在什么位置时，△APB为直角三角形？（3）P为DC上一点（异于C、D两点），当a，b满足什么条件时，使△APB为直角三角形的P点有且只有一个？               【板块二】 运动与方程点运动形成三角形的面积或线段的长度.【题型一】  运动＋面积【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm.点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.（1）       如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PCQ的面积为8cm？（2）       点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.    【题型二】 运动＋勾股【例2】如图，已知A,B,C,D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直移动到点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动（P点停止移动时，点Q也停止移动）.设移动的时间为ë（s），问（1）       当t为何值时，P、Q两点间的距离是10cm？（2）       当t为何值时，P、Q两点间的距离最小？最小距离为多少？（3）       P、Q两点间距离能否是18cm？若能，求出t的值;若不能，请说明理由.        针对练习21.如图所示:在平面直角坐标系中，四边形OACB为矩形，C点坐标为（3,6），若点P从O点沿OA向A点以1cm/s的速度运动，点Q从A点沿AC以2cm/s的速度运动，如果P、Q分别从O、A同时出发，问：（1）经过多长时间，△PAQ的面积为2c ？（2）△PAQ的面积能否达到3c？（3）经过多长时间，P,Q两点之间的距离为 cm？        2.如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm,BC＝6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多长时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 ；（2）是否存在时间ë，使△AMN的面积达到3.5 c，若存在，求出时间t,若不存在，说明理由.