2021-2022学年河南省安阳市重点高中高三（下）调研数学试卷（文科）（九）（Word解析版）

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2021-2022学年河南省安阳市重点高中高三（下）调研数学试卷（文科）（九）一、单选题（本大题共12小题，共60分）设集合A={x|x2-x<2}，B={-2,-1,0,1,2}，则A∩B=( )A. {0} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2}设(i-1)z=i，则|z|=( )A. 12 B. 22 C. 1 D. 2已知a=log20.3，b=(12)0.3，c=15，则( )A. a0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是C左支上一点，点B是C渐近线上一点，O为坐标原点．若∠F1BO=90°，F2B=2OA，则C的离心率为______．若过点(a,0)，(0,b)分别只可以作曲线y=exx的一条切线，则a+b的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ccosA=2asinB，c=2b.(1)求A；(2)设D是AB边上靠近A的三等分点，CD=5，求△ABC的面积．为有效防控疫情，于2021年9月开始，多省份相继启动新冠疫苗加强免疫接种工作．新冠疫苗接种一段时间后，有保护效果削弱的情况存在，加强针的接种则会使这种下降出现“强势反弹”.研究结果显示，接种加强针以后，受种者的抗体水平将大幅提升，加强免疫14天后，抗体水平相当于原来10-30倍，6个月后，能维持在较高水平，并且对德尔塔等变异株出现良好交叉中和作用．某市开展加强免疫接种工作以来，在某一周的接种人数(单位：万人)如表所示：规定星期一为第1天，设天数为x(x=1,2,3,4,5,6,7)，当日接种人数为y．(1)若y关于x(x=1,2,3,4)具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；(2)根据所求的线性回归方程分别计算星期五，星期六的预报值y，并与当日接种人数的真实值y进行比较．若满足|y-y|≤0.1，则可用此回归方程预测以后的接种人数，并预测星期日的接种人数a；若不满足，请说明理由．参考公式：b=i=1n(xi-x-)(yi-y-)i=1n(xi-x-)2=i=1nxiyi-nxy-i=1nxi2-nx-2，a=y--bx-．如图，在四面体ABCD中，AB=AD，BC=CD，E为BD的中点，F为AC上一点．(1)求证：平面ACE⊥平面BDF；(2)若∠BCD=90°，∠BAD=60°，AC=3BC=23，求点B到平面ACD的距离．已知函数f(x)=ex-alnx+x+1x．(1)若x=1是f(x)的极值点，求a；(2)若a=1，证明：f(x)≥0．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，且过(4,2)．(1)求E的方程；(2)设E的左、右顶点分别为A，B，点C，D为E上与A，B不重合的两点，且∠CAD=90°．(ⅰ)证明：直线CD恒过定点P(-263,0)；(ⅱ)求△BCD面积的最大值．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρsin2θ=cosθ．(1)写出C的普通方程和一个参数方程；(2)若直线θ=π6和θ=2π3分别与C交于与O不重合的点A，B，求|AB|．已知不等式|x+1|+|x-m|≤4的解集为[-2,2]．(1)求m；(2)若正数a，b满足a+b=m，证明：a+b2+a2+b≤3．答案和解析1.【答案】B 【解析】解：由A={x|x2-x<2}={x|-10，则方程必有两根，要使切线只有一条，必有一根为0，则a=0，x1=2；设过点(0,b)的切线且与曲线y=exx相切于点(x2,ex2x2)，则切线方程为为y-ex2x2=ex2(x2-1)x22(x-x2)，代入点(0,b)可得b-ex2x2=ex2(x2-2)x22(0-x2)，整理得，b=(2-x2)ex2x2，令g(x)=(2-x)exx，则g'(x)=(-x2+2x-2)exx2，又-x2+2x-2=-(x-1)2-1<0，则g'(x)<0，∴函数g(x)在(-∞,0)，(0,+∞)上单调递减，且x<0时，g(x)<0，00，x>2时，g(x)<0，作出函数g(x)的大致图象如下，要使切线只有一条，则y=b与y=g(x)的图象只有一个交点，由图象可知，b≥0；∴a+b=b∈[0,+∞)．故答案为：[0,+∞)．设出切点坐标，表示出切线方程，代入点求得x12-(a+2)x1+a=0和b=(2-x2)ex2x2，由方程只有一个解，可求得a，b的范围，进而得到答案．本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题． 17.【答案】解：(1)由于在△ABC中，ccosA=2asinB，利用正弦定理：2sinBcosA=sinCcosA=2sinAsinB，故tanA=1，由于A∈(0,π)，所以A=π4；(2)由于D是AB边上靠近A的三等分点，CD=5，如图所示：故AD=23b，AC=b，CD=5，在△ACD中，利用余弦定理：CD2=AD2+AC2-2AD⋅AC⋅cosA，整理得5=b2+29b2-2b⋅23b⋅22，解得b=3．故c=32，所以S△ABC=12bcsinA=12×3×32×22=92．【解析】(1)直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换求出A的值；(2)利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理和余弦定理及三角形的面积的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 18.【答案】解：(1)由表中数据可得，x-=14×(1+2+3+4)=2.5，y-=14×(1.7+1.9+2.1+2.3)=2，i=14(xi-x-)(yi-y-)=(1-2.5)×(1.7-2)+(2-2.5)×(1.9-2)+(3-2.5)×(2.1-2)+(4-2.5)×(2.3-2)=1，i=14(xi-x-)2=5，b=15，则a=y--bx-=2-15×52=32，故y关于x的线性回归方程为y=15x+32．(2)当x=5时，y=15×5+32=52，则|y-y|=|2.5-2.4|=0.1，满足|y-y|≤0.1，当x=6时，y=15×6+32=2.7，则|y-y|=|2.7-2.5|=0.2，不满足|y-y|≤0.1，故此方程不可以预测以后的接种人数，也不能用来预测星期日的接种人数a．【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．(2)分别判断出当x=5或x=6时，是否满足|y-y|≤0.1，即可求解．本题主要考查线性回归方程的求解，掌握最小二乘法公式是解本题的关键，属于基础题． 19.【答案】(1)证明：∵AB=AD，BC=CD，E为BD的中点， ∴AE⊥BD，CE⊥BD，又AE∩EC=E，∴BD⊥平面AEC，而BD⊂平面BDF，∴平面ACE⊥平面BDF；(2)解：在等腰直角三角形BCD中，由BC=CD=2，可得BD=22，又AB=AD，∠BAD=60°，∴AB=AD=BD=22，则AE=6，在△ACE中，cos∠AEC=AE2+CE2-AC22AE⋅CE=6+2-122×6×2=-33，∴sin∠AEC=1-(-33)2=63，∴S△AEC=12AE⋅EC⋅sin∠AEC=12×6×2×63=2，VB-ACD=13S△AEC⋅BD=43，∵AD2+CD2=12=AC2，∴∠ADC=90°，则S△ACD=12AD⋅CD=22，设点B到平面ACD的距离为h，VB-ACD=13S△ACD⋅h=13×22h=43，解得h=2．故点B到平面ACD的距离为2．【解析】(1)由已知证明AE⊥BD，CE⊥BD，再由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面AEC，进一步可得平面ACE⊥平面BDF；(2)求出四面体A-BCD的体积，再由等体积法求点B到平面ACD的距离．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题． 20.【答案】解：(1)由题意，知x>0，f'(x)=ex-(ax+1)⋅x-(alnx+x+1)x2=ex-a-alnx-1x2，则f'(1)=e-(a-1)=0，解得a=e+1；当a=e+1时，f'(x)=ex-e-(e+1)lnxx2=x2ex+(e+1)lnx-ex2，当x>1时，x2ex>e，(e+1)lnx>0，x2ex+(e+1)lnx-e>0，f'(x)>0，当00)，则h'(x)=(x+1)ex>0，又h(12)=12e12-1〈0,h(1)=e-1〉0，则存在x0∈(12,1)使g'(x)=0，则x0ex0-1=0，x0ex0=1，ex0=1x0，x0=ln1x0=-lnx0，则函数g(x)在(0,x0)单减，在(x0,+∞)单增，则g(x)≥g(x0)=x0ex0-lnx0-x0-1=1+x0-x0-1=0，则f(x)=g(x)x=ex-lnx+x+1x≥0．【解析】(1)直接求导，由f'(1)=0解出a=e+1，再检验此时x=1是f(x)的极值点即可；(2)将f(x)≥0转化为证g(x)=xex-lnx-x-1≥0，求导确定单调性，借助隐零点得x0ex0=1，x0=-lnx0，由g(x)≥g(x0)=0即可证明．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．21.【答案】解：(1)依题意，椭圆E的离心率e=a2-b2a=1-b2a2=22，即a2=2b2，椭圆E：x22b2+y2b2=1过(4,2)，于是得162b2+4b2=1，解得b2=12，a2=24，所以椭圆E的方程为x224+y212=1．(2)(i)由(1)知，A(-26,0)，依题意，直线CD不垂直于y轴，且不过点A，设直线CD：x=ty+m，m≠-26，由x=ty+mx2+2y2=24消去x并整理得：(t2+2)y2+2tmy+m2-24=0，Δ=4t2m2-4(t2+2)(m2-24)=8(12t2+24-m2)>0，设C(x1,y1)，D(x2,y2)，则y1+y2=-2tmt2+2，y1y2=m2-24t2+2，而x1+x2=t(y1+y2)+2m=-2t2mt2+2+2m=4mt2+2，x1x2=(ty1+m)(ty2+m)=t2y1y2+tm(y1+y2)+m2=t2(m2-24)t2+2-2t2m2t2+2+m2=2m2-24t2t2+2，而AC=(x1+26,y1),AD=(x2+26,y2)，又∠CAD=90°，则AC⋅AD=(x1+26)(x2+26)+y1y2=x1x2+26(x1+x2)+24+y1y2 =2m2-24t2t2+2+86mt2+2+24+m2-24t2+2=3m2+86m+24t2+2=0，解得m=-26(舍去)或m=-263，所以直线CD：x=ty-263恒过定点P(-263,0)．(ii)由(i)知，m=-263，y1+y2=46t3(t2+2)，y1y2=-643(t2+2)，P(-263,0)，而B(26,0)，则|BP|=863，△BCD面积S=12|BP||y1-y2|=463(y1+y2)2-4y1y2=46396t29(t2+2)+2563(t2+2) =32t2+169t2+2=32t2+169(t2+169)+29，令u=t2+169≥43，则S=32u+29u在[43,+∞)上单调递减，则当u=43，即t=0时，Smax=643，所以△BCD面积的最大值是643．【解析】(1)利用给定离心率，求出a2，b2的关系，再利用给定的点即可计算作答．(2)(i)由(1)求出点A，B的坐标，设出直线CD的方程，利用韦达定理，借助向量数量积求解作答；(ii)由(i)求出点C，D纵坐标差的绝对值，再建立函数关系，求出函数最大值作答．本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)曲线C的极坐标方程为2ρsin2θ=cosθ，根据x=ρcosθy=ρsinθx2+y2=ρ2，转换为直角坐标方程为y2=x2．转换为参数方程为x=2t2y=t(t为参数)．(2)由直线θ=π6和θ=2π3分别与C交于与O不重合的点A，B，故2ρsin2θ=cosθθ=π6，整理得ρA=3；同理2ρsin2θ=cosθθ=2π3，整理得ρB=-13；由于|OA|=3,|OB|=13，OA⊥OB，所以|AB|=(3)2+(13)2=273．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用极径的应用和余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)∵|x+1|+|x-m|≤4的解集为[-2,2]．∴当x=2时，|2+1|+|2-m|=4，解得m=1或3，当x=-2时，|-2+1|+|-2-m|=4，解得m=1或-5，综上所述，m=1．(2)证明：∵a+b=m=1，∴(a+b2+a2+b)2≤=(1+1)[a+b2+a2+b]=3(a+b)=3，当且仅当a=b=12时，等号成立，∴a+b2+a2+b≤3．【解析】(1)当x=2时，|2+1|+|2-m|=4，当x=-2时，|-2+1|+|-2-m|=4，分别求出两个方程m的值，再取公共解，即可求解．(2)结合柯西不等式，即可求证．本题主要考查不等式的证明，掌握柯西不等式是解本题的关键，属于中档题．题号一二三总分得分星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日接种人数1.71.92.12.32.42.5a

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