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2022届江苏省南京外国语、金陵中学、海安中学高三下学期5月模拟数学试题含解析
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2022届江苏省南京外国语、金陵中学、海安中学高三下学期5月模拟数学试题一、单选题1．设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}【答案】C【分析】利用集合相等求解.【详解】解：因为，所以，解得或，的取值集合为，故选：C2．已知复数（是虚数单位），则对应的点在第（ ）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义和复数在复平面对应点的特征进行求解即可.【详解】，显然对应的点在第一象限内，故选：A．3．八音是中国古代对乐器的总称，指金､石､土､革､丝､木､匏､竹八类，每类又包括若干种乐器.现有土､丝､竹三类乐器，其中土有缶､埙2种乐器；丝有琴､瑟､筑､琵琶4种乐器；竹有箫､笛､笼3种乐器.现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲､乙､丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（ ）A．24种 B．72种 C．144种 D．288种【答案】C【分析】根据题意，分2步进行分析：①由分步计数原理计算从这三类乐器中各选1种乐器的选法数目，②将选出的3种乐器安排给甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：从这三类乐器中各选1种乐器的选法有（种），将3种乐器分配给甲､乙､丙三位同学演奏的方法有（种），因此不同的分配方案共有（种）.故选：C.4．已知，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由同角的基本关系式和两角差的余弦公式，计算可得出答案.【详解】.故选：C.5．已知均为单位向量，且满足，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过向量的线性运算进行化简求值即可.【详解】，同理．故选：B.6．某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据独立事件的概率公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由题意，恰好通过两所大学招生考试的概率最大值为，故选：D．7．正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的每一条棱都相切，则球O的表面积为（ ）A．2π B．8π C． D．12π【答案】B【分析】求正四面体的棱切球，转化到正方体中即可.【详解】将正四面体补成一个正方体球与正四面体的棱都相切．则球与正方体的内切球，设正方体边长为，故选：B. 8．若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围.【详解】设切线：，即切线：，即，令在上单调递增，在上单调递减，所以故选：A．二、多选题9．某校为了解学生体能素质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）A．a=0.012B．这100名学生中成绩在[50，70）内的人数为52C．这100名学生成绩的中位数为65D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）【答案】ABD【分析】由概率之和为1可判断A；结合频率与频数的关系可判断B；结合中位数的公式可判断C；由平均数的公式可判断D.【详解】对于A，，，所以A正确．对于B，所以B正确；对于C，，中位数在，设中位数为，则，所以C错误．对于D，平均数，所以D正确．故选：ABD.10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，，若为等腰三角形，则直线的斜率可能为（ ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由抛物线的定义求得，设，得到，分、和，三种情况讨论，结合选项，即可求解.【详解】由题意，抛物线的焦点为，因为，由抛物线的定义，可得，设，可得，当时，可得，所以，则，所以B正确；当时，此时方程无解；当时，可得，所以，则，所以A正确.故选：AB11．已知函数=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，下列结论中不正确的是（ ）A．的一个周期是2π B．是偶函数C．在单调递减 D．的最大值不大于【答案】BCD【分析】A.利用周期函数的定义判断；B.利用的关系判断；C.由时判断；D.由判断.【详解】A.，，故正确；B.，，故错误；C.当时，，则，在无单调性，故错误； D.，故错误；故选：BCD12．如图，正方形ABCD-A1B1C1D1边长为1，P是 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A．BP的最小值为B． 的最小值为C．当P在直线上运动时，三棱锥 的体积不变D．以点B为球心，为半径的球面与面 的交线长为【答案】ACD【分析】当时，BP最小,结合正三角形性质，求得B到直线的距离，判断A;建立空间直角坐标系，利用空间向量，设求得点，结合两点间的距离公式，求得PA+PC的最小值，判断B;根据当P在直线A1D上运动时，三棱锥的底面积以及高的变化情况，可确定体积不变没判断C;根据题意确定以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可求得交线长，判断D.【详解】对于A，当时，BP最小，由于到直线的距离对．对于B,以为坐标原点建系，以 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,设,,表示平面上之间的距离，表示平面上之间的距离，错；对于C,,平面，平面到平面的距离为定值,为定值，则为定值，对．对于D，由于平面，设与平面交于点，，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，在以为圆心，为半径的圆上，由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，交线长为正确．故选：ACD【点睛】本题考查了空间几何中的距离以及距离和的最值问题，以及三棱锥体积和几何体中的轨迹问题，综合性强，要求充分发挥空间想象能力，解答时要能借助于几何体的直观图，明确空间的点线面的位置关系，灵活应用空间向量以及相关相关知识解决问题.三、填空题13．已知二项式的展开式中含的项的系数为80．则实数______．【答案】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式的通项公式为：，令，因此有：，故答案为：14．设函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称，若，实数m的值为________．【答案】1【分析】根据题意求出，从而列出方程，求出.【详解】∵，函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称∴，∴∴∴．故答案为：115．在平面直角坐标系中，已知,若在以点为圆心，为半径的圆上存在不同的两点,使得，则的取值范围为___．【答案】【详解】试题分析：设点到直线AB距离为则由题意得,其中M为AB中点，因此，【解析】直线与圆位置关系四、双空题16．德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去……、经过n次操作后，共删去______个小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过，则至少需要操作______次．（）【答案】 9【分析】通过观察可知每次删掉的正方形数和保留下来的正方形数为等比数列，然后根据等比数列的求和公式可解.【详解】由题可知，每次删掉的正方形数构成公比为4，首项为5的等比数列，所以经过n次操作后，共删去的正方形个数；易知，第次操作后共保留个小正方形，其边长为，所以，保留下来的所有小正方形面积之和为由，得所以，至少需要9次操作才能使保留下来的所有小正方形面积之和不超过.故答案为：，9.五、解答题17．已知数列各项都不为，且满足，(1)求的通项公式；(2)若，的前n项和为，求取得最小值时的n的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由得时，， ①②得，分奇偶项即可求出 （2）由得，当时，，当时，当时，取得最小值【详解】(1)①当时，②①②的奇数项和偶数项各自成等差数列且为奇数），（为偶数(2)，当时，，当时，当时，取得最小值18．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对边，．(1)求cosC的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理将已知条件转化为“边”的等式，再利用余弦定理即可求得cosC的值；（2）首先利用角C的值和已知条件判断出角A为锐角，再利用两角和的正弦公式求得的值，进而利用正弦定理即可求得的值．【详解】(1)由，可得则，由正弦定理得由余弦定理得整理得，又，则则，(2)由（1）可知，又，则，由，可知角A为钝角或锐角若A为钝角，则这与内角和为矛盾，即A不能为钝角， 为锐角，由，可得19．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1是菱形，平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，G是棱CC1上一点，且．(1)证明：EF平面ABB1A1；(2)若三棱锥C1-ABC的体积为1，且二面角A-EG-F的余弦值为，求t的值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取中点，连接证明，原题即得证；（2）证明平面，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】(1)证明：取中点，连接为的中点，为的中点，四边形为平行四边形，平面平面，平面.(2)解：平面平面过作平面，，为中点，，如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，由，设平面和平面的一个法向量分别为,∴,∴，设二面角的平面角为,.20．自2022年3月起，新冠肺炎本土疫情已波及全国27个省份，呈现出点多､面广､频率大的特点．中国疾控中心流行病学专家表示，由于奥密克戎传染性强､隐匿性强，症状比较轻，增加了第一时间发现最早病例的难度，这就造成了多省多起疫情同时发生．某学校为了保障教学活动的正常进行，决定加强学生的核酸检测，同时为了避免过度防疫，造成人力､财力等不必要的浪费，核酸检测作如下要求：每班班级人数50人，每次按学号随机抽取30人，每周抽两次．(1)一周内，高三（1）班的甲同学被抽取到的次数为X，求X的分布列和数学期望；(2)设一周内，两次都被抽取到的人数为变量Y，则Y的可能取值是哪些？其中Y取到哪一个值的可能性最大？请说明理由．【答案】(1)分布列见解析；期望为(2)的所有可能取值为，取到18的可能性最大；理由见解析【分析】（1）由题意，得到每次抽取甲同学被抽到的概率均为，且的所有可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；（2）根据题意，得到的所有可能取值为，结合，得到，求得的范围，即可求解.【详解】(1)解：每次抽取甲同学被抽到的概率均为，所以的所有可能取值为，可得，所以随机变量的分布列为：所以期望为.(2)解：随机变量的所有可能取值为，则，所以，可得，解得，所以随机变量取到18的可能性最大.21．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，连结PF1，PF2并延长，分别交椭圆于点A，B．已知APF2的周长为，F1PF2面积最大值为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当P不是椭圆的顶点时，试分析直线OP和直线AB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是定值；【分析】（1）根据APF2的周长为和F1PF2面积最大值为4，得到4a=，bc=4求解；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得点A的坐标，同理得到点B的坐标，再利用斜率公式求解.【详解】(1)解：如图所示：由题意得，解得，所以椭圆的方程为(2)设直线的方程为，由得，，即，，，，同理可得，，为定值22．已知函数=e2x，，m>0，设(1)若函数有两个零点，求实数m的取值范围；(2)若直线是直线=e2x的一条切线，求证：a>b，都有．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据零点存在性定理进行判定；（2）根据题意，求出切线，然后转化所给不等式逐步分析求证.【详解】(1)当时，单调递减；当时，单调递增，要使有两个零点，首先必有当时，注意到在和上各有一个零点，符合题意综上：取值范围为(2)证明：，设与切于要证：证：即证：，即证：令证明：构造在上，证毕！【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 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2022届江苏省南京外国语、金陵中学、海安中学高三下学期5月模拟数学试题一、单选题1．设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}【答案】C【分析】利用集合相等求解.【详解】解：因为，所以，解得或，的取值集合为，故选：C2．已知复数（是虚数单位），则对应的点在第（ ）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义和复数在复平面对应点的特征进行求解即可.【详解】，显然对应的点在第一象限内，故选：A．3．八音是中国古代对乐器的总称，指金､石､土､革､丝､木､匏､竹八类，每类又包括若干种乐器.现有土､丝､竹三类乐器，其中土有缶､埙2种乐器；丝有琴､瑟､筑､琵琶4种乐器；竹有箫､笛､笼3种乐器.现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲､乙､丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（ ）A．24种 B．72种 C．144种 D．288种【答案】C【分析】根据题意，分2步进行分析：①由分步计数原理计算从这三类乐器中各选1种乐器的选法数目，②将选出的3种乐器安排给甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：从这三类乐器中各选1种乐器的选法有（种），将3种乐器分配给甲､乙､丙三位同学演奏的方法有（种），因此不同的分配方案共有（种）.故选：C.4．已知，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由同角的基本关系式和两角差的余弦公式，计算可得出答案.【详解】.故选：C.5．已知均为单位向量，且满足，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过向量的线性运算进行化简求值即可.【详解】，同理．故选：B.6．某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据独立事件的概率公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由题意，恰好通过两所大学招生考试的概率最大值为，故选：D．7．正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的每一条棱都相切，则球O的表面积为（ ）A．2π B．8π C． D．12π【答案】B【分析】求正四面体的棱切球，转化到正方体中即可.【详解】将正四面体补成一个正方体球与正四面体的棱都相切．则球与正方体的内切球，设正方体边长为，故选：B. 8．若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围.【详解】设切线：，即切线：，即，令在上单调递增，在上单调递减，所以故选：A．二、多选题9．某校为了解学生体能素质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）A．a=0.012B．这100名学生中成绩在[50，70）内的人数为52C．这100名学生成绩的中位数为65D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）【答案】ABD【分析】由概率之和为1可判断A；结合频率与频数的关系可判断B；结合中位数的公式可判断C；由平均数的公式可判断D.【详解】对于A，，，所以A正确．对于B，所以B正确；对于C，，中位数在，设中位数为，则，所以C错误．对于D，平均数，所以D正确．故选：ABD.10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，，若为等腰三角形，则直线的斜率可能为（ ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由抛物线的定义求得，设，得到，分、和，三种情况讨论，结合选项，即可求解.【详解】由题意，抛物线的焦点为，因为，由抛物线的定义，可得，设，可得，当时，可得，所以，则，所以B正确；当时，此时方程无解；当时，可得，所以，则，所以A正确.故选：AB11．已知函数=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，下列结论中不正确的是（ ）A．的一个周期是2π B．是偶函数C．在单调递减 D．的最大值不大于【答案】BCD【分析】A.利用周期函数的定义判断；B.利用的关系判断；C.由时判断；D.由判断.【详解】A.，，故正确；B.，，故错误；C.当时，，则，在无单调性，故错误； D.，故错误；故选：BCD12．如图，正方形ABCD-A1B1C1D1边长为1，P是 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A．BP的最小值为B． 的最小值为C．当P在直线上运动时，三棱锥 的体积不变D．以点B为球心，为半径的球面与面 的交线长为【答案】ACD【分析】当时，BP最小,结合正三角形性质，求得B到直线的距离，判断A;建立空间直角坐标系，利用空间向量，设求得点，结合两点间的距离公式，求得PA+PC的最小值，判断B;根据当P在直线A1D上运动时，三棱锥的底面积以及高的变化情况，可确定体积不变没判断C;根据题意确定以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可求得交线长，判断D.【详解】对于A，当时，BP最小，由于到直线的距离对．对于B,以为坐标原点建系，以 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,设,,表示平面上之间的距离，表示平面上之间的距离，错；对于C,,平面，平面到平面的距离为定值,为定值，则为定值，对．对于D，由于平面，设与平面交于点，，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，在以为圆心，为半径的圆上，由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，交线长为正确．故选：ACD【点睛】本题考查了空间几何中的距离以及距离和的最值问题，以及三棱锥体积和几何体中的轨迹问题，综合性强，要求充分发挥空间想象能力，解答时要能借助于几何体的直观图，明确空间的点线面的位置关系，灵活应用空间向量以及相关相关知识解决问题.三、填空题13．已知二项式的展开式中含的项的系数为80．则实数______．【答案】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式的通项公式为：，令，因此有：，故答案为：14．设函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称，若，实数m的值为________．【答案】1【分析】根据题意求出，从而列出方程，求出.【详解】∵，函数y=的图象与的图象关于直线y=x对称∴，∴∴∴．故答案为：115．在平面直角坐标系中，已知,若在以点为圆心，为半径的圆上存在不同的两点,使得，则的取值范围为___．【答案】【详解】试题分析：设点到直线AB距离为则由题意得,其中M为AB中点，因此，【解析】直线与圆位置关系四、双空题16．德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去……、经过n次操作后，共删去______个小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过，则至少需要操作______次．（）【答案】 9【分析】通过观察可知每次删掉的正方形数和保留下来的正方形数为等比数列，然后根据等比数列的求和公式可解.【详解】由题可知，每次删掉的正方形数构成公比为4，首项为5的等比数列，所以经过n次操作后，共删去的正方形个数；易知，第次操作后共保留个小正方形，其边长为，所以，保留下来的所有小正方形面积之和为由，得所以，至少需要9次操作才能使保留下来的所有小正方形面积之和不超过.故答案为：，9.五、解答题17．已知数列各项都不为，且满足，(1)求的通项公式；(2)若，的前n项和为，求取得最小值时的n的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由得时，， ①②得，分奇偶项即可求出 （2）由得，当时，，当时，当时，取得最小值【详解】(1)①当时，②①②的奇数项和偶数项各自成等差数列且为奇数），（为偶数(2)，当时，，当时，当时，取得最小值18．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对边，．(1)求cosC的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理将已知条件转化为“边”的等式，再利用余弦定理即可求得cosC的值；（2）首先利用角C的值和已知条件判断出角A为锐角，再利用两角和的正弦公式求得的值，进而利用正弦定理即可求得的值．【详解】(1)由，可得则，由正弦定理得由余弦定理得整理得，又，则则，(2)由（1）可知，又，则，由，可知角A为钝角或锐角若A为钝角，则这与内角和为矛盾，即A不能为钝角， 为锐角，由，可得19．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1是菱形，平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，G是棱CC1上一点，且．(1)证明：EF平面ABB1A1；(2)若三棱锥C1-ABC的体积为1，且二面角A-EG-F的余弦值为，求t的值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取中点，连接证明，原题即得证；（2）证明平面，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】(1)证明：取中点，连接为的中点，为的中点，四边形为平行四边形，平面平面，平面.(2)解：平面平面过作平面，，为中点，，如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，由，设平面和平面的一个法向量分别为,∴,∴，设二面角的平面角为,.20．自2022年3月起，新冠肺炎本土疫情已波及全国27个省份，呈现出点多､面广､频率大的特点．中国疾控中心流行病学专家表示，由于奥密克戎传染性强､隐匿性强，症状比较轻，增加了第一时间发现最早病例的难度，这就造成了多省多起疫情同时发生．某学校为了保障教学活动的正常进行，决定加强学生的核酸检测，同时为了避免过度防疫，造成人力､财力等不必要的浪费，核酸检测作如下要求：每班班级人数50人，每次按学号随机抽取30人，每周抽两次．(1)一周内，高三（1）班的甲同学被抽取到的次数为X，求X的分布列和数学期望；(2)设一周内，两次都被抽取到的人数为变量Y，则Y的可能取值是哪些？其中Y取到哪一个值的可能性最大？请说明理由．【答案】(1)分布列见解析；期望为(2)的所有可能取值为，取到18的可能性最大；理由见解析【分析】（1）由题意，得到每次抽取甲同学被抽到的概率均为，且的所有可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；（2）根据题意，得到的所有可能取值为，结合，得到，求得的范围，即可求解.【详解】(1)解：每次抽取甲同学被抽到的概率均为，所以的所有可能取值为，可得，所以随机变量的分布列为：所以期望为.(2)解：随机变量的所有可能取值为，则，所以，可得，解得，所以随机变量取到18的可能性最大.21．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，连结PF1，PF2并延长，分别交椭圆于点A，B．已知APF2的周长为，F1PF2面积最大值为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当P不是椭圆的顶点时，试分析直线OP和直线AB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是定值；【分析】（1）根据APF2的周长为和F1PF2面积最大值为4，得到4a=，bc=4求解；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得点A的坐标，同理得到点B的坐标，再利用斜率公式求解.【详解】(1)解：如图所示：由题意得，解得，所以椭圆的方程为(2)设直线的方程为，由得，，即，，，，同理可得，，为定值22．已知函数=e2x，，m>0，设(1)若函数有两个零点，求实数m的取值范围；(2)若直线是直线=e2x的一条切线，求证：a>b，都有．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据零点存在性定理进行判定；（2）根据题意，求出切线，然后转化所给不等式逐步分析求证.【详解】(1)当时，单调递减；当时，单调递增，要使有两个零点，首先必有当时，注意到在和上各有一个零点，符合题意综上：取值范围为(2)证明：，设与切于要证：证：即证：，即证：令证明：构造在上，证毕！【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 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