2022届江西省新余市第一中学高三5月全真模拟考试数学（理）试题含解析

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2022届江西省新余市第一中学高三5月全真模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数（为虚数单位），则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解.【详解】解：，所以.故选：B.2．已知集合，，则的子集个数为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简集合A、B,再根据集合的交集运算即可.【详解】，，∴，∴的子集个数为8.故选：C.3．党的十八夫以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族儿千年的贫困问题，取符历史性成就，同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年，下图为2013年至.2019年每年我国农村减贫人数的条形图．根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为（       ）①平均每年减贫人数超过万；②每年减贫人数均保持在万以上；③打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年减的规律；④历年减人数的中位数是（万人）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用题目中条形图的规律，中位数的应用逐一判断①②③④即可得正确选项.【详解】对于①：由条形图知：平均每年减贫人数超过万，故①正确；对于②：每年减贫人数均保持在万以上；故②正确；对于③：打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年减的规律，故③正确；对于④：历年减人数的中位数是（万人），故④不正确，所以①②③正确，④不正确，正确的个数为，故选：C.4．记为等比数列的前n项和.若，，则（       ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.故选：A.5．若，则“”是“”的（       ）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】B【分析】利用充分条件，必要条件的定义直接判断作答.【详解】依题意，取，满足，而，当时，，当且仅当时取“=”，则，“”是“”的必要不充分条件.故选：B6．若，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题利用和倍角公式进行整理，同时注意，化简整理得，再利用求．【详解】∵，则∴，整理得，则故选：B．7．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（       ）A．21尺 B．25 C．29尺 D．33尺【答案】C【分析】根据葛藤绕圆柱7周，由7个圆柱的侧面展开图拼成的矩形的对角线求解.【详解】如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，由题意得：2丈=20尺，圆周长BE=3尺，则葛藤绕圆柱7周后长为尺，故选：C8．已知是单位向量，且，若向量，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】从目标分析，需要求得，，故先从两边平方，求得，进而求得，然后计算，即可得到所求.【详解】由，两边平方，得：，因为，是单位向量，所以，得，则，，所以，所以与的夹角为.故选B9．已知双曲线的右焦点为，圆（为双曲线的半焦距）与双曲线的一条渐近线交于两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的方程是A． B．C． D．【答案】D【解析】渐近线过圆心，代入求出渐近线，点在圆上，得，由中点及线段的中点，由中位线得渐近线与平行，建立方程组求解.【详解】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，代入圆，得，则，所以.易知点在圆上，所以，得，即①.因为线段的中点落在另一条渐近线上，且，所以，与该渐近线垂直，所以该渐近线与平行，得②.解①②组成的方程组，得，所以双曲线的方程为.故选：D.【点睛】本题考查利用双曲线的几何性质求双曲线方程.求双曲线方程的思路:(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在轴上或轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为求解．10．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于.A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4，∴正四面体体积为，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为，则，∴，设小球的半径为，则，∴，∴球的表面积，故选C.点睛：本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键；先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积.11．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（       ）A． B．C． D．点P的坐标为【答案】D【分析】联立方程可解得，则，根据导数可得，可判断，利用点斜式可求得两条切线方程和，联立求P，再求，可判断．【详解】联立方程，消去得：，解得或即，则，A正确；∵，即对于，切线斜率分别为∴，即，B正确；在点A的切线方程为，即同理可得在点B的切线方程为联立方程，解得，即P，D不正确；∵，则，∴，即，C正确；故选：D．12．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是（       ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】令，根据导数判断出的单调性并求得最值，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图像可得结果.【详解】不等式，即，不等式成立则，令，则.令，得或；，得，在和上单调递增，在上单调递减，，且.如图所示当时，至多有一个整数解.当时，在区间内的解集中有且仅有三个整数，只需，即，解得.故选：C【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，考查利用导数研究函数的单调性最值和函数图像，考查数形结合思想的应用，属于中档题.二、填空题13．已知函数则______.【答案】7【分析】根据函数每段的定义域求解.【详解】因为函数所以，所以7，故答案为：714．函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为__________.【答案】12【分析】分别在上、上求得函数与轴所围成封闭图形的面积，再把这两个值加起来，即得所求.【详解】由题意可得：围成的封闭图形的面积为:，故答案为：12【点睛】本题主要考查了定积分的的几何意义，属于基础题.15．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______．【答案】【分析】利用分步计数原理可知，第一步将名毕业生分成组，第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，即可求解.【详解】第一步将名毕业生分成组，且每组至少人，一共有3种分配方案，即1、1、4或1、2、3或2、2、2，其中1、1、4分配方式有种,1、2、3, 分配方式有种,2、2、2，分配方式有种,第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其分法有种，利用分步计数原理可知，分配方案的总数为，故答案为：.16．已知函数，若函数的部分图象如图，函数，则下列结论正确的是___________．（填序号）①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象；④函数在区间上的单调递减区间为．【答案】③【分析】由函数的图象确定的最大值和最小值，有两种情形，不论哪一种都有最大值与最小值的差为4，从而得，再由求得得函数解析式，然后根据余弦函数的性质判断各选项．【详解】由函数的部分图象知的最大值是1，最小值是－3，或最大值是3，最小值是－1，不论哪种情形都有，，若，则，，无解，若，则，，又，所以，，时，，①错；时，，②错；的图象向左平移个单位长度可得到的图象，③正确；时，，，先减后增，④错．故答案为：③．三、解答题17．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18．随着中国实施制造强国战略以来，中国制造（Made in China）逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制.某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如下频率分布直方图：(1)为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在和的两组中抽取3件产品，记取自的产品件数为，求的分布列和数学期望；(2)该企业采用混装的方式将所有的产品按200件一箱包装，质量指标在内的产品利润是5元，质量指标在之外的利润是3元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱产品的利润.【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：(2)（元）【分析】（1）根据频率分布直方图计算两个范围内的产品数，得出可能的取值，分别求概率，列出分布列，计算期望.（2）设质量指标在内有件，每箱产品的利润为元，利用数学期望求出利润即可.【详解】(1)解：样本中质量指标在的产品有件，质量指标在的有件，可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为：，，，，随机变量的分布列为所以期望.(2)解：设质量指标在内有件，每箱产品的利润为元，则质量指标在外的有件，由题意知，因为，所以，所以（元）.19．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB，沿DE将折起，使点A到达点F的位置，且．(1)求证：平面BFC⊥平面BCDE；(2)若直线DF与平面BCDE所成的角的正切值为，求平面DEF与平面DFC的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明BF⊥平面BCDE，再由面面垂直的判定定理证明平面BFC⊥平面BCDE；(2)由线面角的定义结合条件求出AD，建立空间直角坐标系利用向量方法求二面角的大小.【详解】(1)AE＝EF＝2，EB＝1，，所以，所以，所以BF⊥BE，又因为DE⊥AB，所以DE⊥EF，DE⊥EB．又，所以DE⊥平面BEF，因为平面BEF，所以BF⊥DE，因为EB，平面BCDE，，所以BF⊥平面BCDE，又平面BFC，所以平面BFC⊥平面BCDE；(2)设AD＝a，则，由（1）知BF⊥平面BCDE，所以∠FDB为直线DF与平面BCDE所成的角，所以，所以，解得，以E为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（-2，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），C（3，2，0），，∴，，设为平面DFC的一个法向量，则，即，令，则z＝2，所以，由（1）知，平面DEF⊥平面BEF，过B引EF的垂线交EF于M，则BM⊥平面DEF，求得，则为平面DEF的一个法向量．所以，所以平面DEF与平面DFC的夹角的余弦值为．20．已知椭圆的右顶点为，离心率为．过点与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线，分别交直线于点M，N．(1)求椭圆E的方程；(2)设O为原点．求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由题得到关于的方程组，解方程组即得解；（2）设，只需证明.设直线l的方程为，联立椭圆方程得韦达定理，根据三点共线得到，，求出即得证.【详解】(1)解：由题得所以椭圆E的方程为.(2)解：要证，只需证，只需证明只需证明只需证明设，只需证明只需证明.设直线l的方程为，联立椭圆方程得，设，所以，又三点共线，所以，同理，所以，所以所以.所以.21．已知函数，.若函数在定义域内有两个不同的极值点.(1)求实数a的取值范围；(2)当时，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析．【分析】(1)在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、.研究的单调性和零点情况即可求出a的范围；(2)设，由(1)知且，则，将a=代入要证的不等式，可将不等式化为，令，则不等式化为，问题转化为在(0，1)恒成立即可．【详解】(1)函数定义域为，在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、．设，由，当时，，在上单调递增，至多只有一个零点，不符题意；当时，在上，单调递增；在上，单调递减，∴当时，，函数有两个零点，则必有，即，解得．易证，证明如下：令，，当时，，单调递减，当时，单调递增，故，故，得证．∴，又，∴在和上各有一个零点、，此时：故在定义域内有两个不同的极值点时，a的范围为；(2)方法1：由(1)可知是的两个零点，不防设，由且，得．∵．令，则，记，，则，令，．又，则，即，∴在上单调递增，故，即成立．∴不等式成立．方法2：欲证，由，，则只需证：．不妨设，则且，则，∴，令，则，记，，由，即在上单调递增，故，即成立.故．【点睛】本题第一问关键是找到x=1和x=，判断，，从而根据零点存在性定理判断在和上各有一个零点；第二问的关键是利用是的两个零点用替换a，再利用换元将双变量转化为单变量进行证明．22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)已知点，直线和曲线相交于、两点，求的值【答案】(1)，；(2)【分析】（1）消去参数得普通方程，利用公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把直线方程化为标准参数方程，代入曲线的直角坐标方程，利用参数几何意义计算．【详解】(1)由得利用，得，即为的普通方程，由，得，即，即，直线的直角坐标方程为；(2)点在直线上，可得其参数方程为（为参数），把代入得，，所以，，不同号．．23．设函数，恒成立.（1）求实数的取值范围；（2）求证：【答案】（1）；（2）详见解析.【分析】（1）由恒成立，转化为恒成立，令，求得函数的最大值，得到的不等式，即可求解.（2）转化为证明，利用基本不等式，即可作出证明.【详解】（1）由题意知恒成立，即恒成立，即恒成立.令可得函数在上是增函数，在上是减函数，所以，则，即，整理得，解得，综上实数的取值范围是.（2）由，知，即，所以要证，只需证，即证，又，成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的恒成立问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，以及合理使用基本不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.012300↓极小值↑极大值↓