还剩16页未读，
继续阅读
2023届四川省成都市高三摸底测试数学（理）试题含解析
展开
这是一份2023届四川省成都市高三摸底测试数学（理）试题含解析
2023届四川省成都市高三摸底测试数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，分别求出集合和集合，进而求出.【详解】集合，，又，，.故选：A.2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先对复数化简计算，然后再判断其在复平面内对应的点所在的位置【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B3．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）A． B．2 C．4 D．6【答案】D【分析】先画出可行区域，由几何意义求最值即可.【详解】画出可行区域如图，由得，则当直线经过点时，取最大值，.故选：D.4．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为，，即，又，所以.故选：B5．从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50~300kw·h之间，适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图．则直方图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数分别为（ ）A．0.0046，72 B．0.0046，70C．0.0042，72 D．0.0042，70【答案】A【分析】根据频率分布直方图的面积和为1，计算得x；再根据用电量落在区间内的频率计算用电量落在区间内的户数.【详解】根据频率分布直方图的面积和为1，得，解得，月用电量落在区间内的频率为，所以在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数为户.故选：A.6．已知函数若，且，则（ ）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.【详解】由题意知，，又，所以，所以，解得.故选：C7．已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知焦距为4，得出，又由双曲线方程求出渐近线方程，而直线与渐近线垂直，得出它们斜率之积为 ，从而得出、之间的关系，代入，解出、，写出方程即可.【详解】由已知焦距为4，所以 ，，又双曲线方程的渐近线方程为：，而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由 解得 ，所以双曲线方程为： 故选：C.8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件等价为在上恒成立，即在上恒成立，求解的取值情况即可得出结果.【详解】由题意，已知条件等价为在上恒成立，即在上恒成立，令，在上单调递减，，，的取值范围是.故选：B.9．赵爽是我国古代著名数学之家，他用于证明勾股定理的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小四边形构成，如图所示．已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，若在“赵爽弦图”中随机取一点，则该点取自四边形区域内的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图形可知大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，结合几何概型的计算公式即可得出结果.【详解】因为直角三角形的直角边的边长分别为3、4，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为4-3=1，所以大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，由几何概型的计算公式知，取自内部小正方形部分的概率为.故选：B10．若数据9，m，6，n，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，，17，的平均数和方差分别为（ ）A．13，4 B．14，4 C．13，8 D．14，8【答案】C【分析】根据数据9，m，6，n，5的平均数和方差，求出，得到数据11，9，，17，，进而利用平均数和方差的公式求解即可.【详解】数据9，m，6，n，5的平均数为，方差为，化简得 ，解得或，或，则数据11，9，，17，为或，两组数据有相同的平均数和方差，平均数为，方差为，故选：C11．如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点．有下列结论：①三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形；②直线平面；③在棱BC上存在一点E，使得平面平面；④若F为棱AB的中点，且三棱锥的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为．其中正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】对于①，根据正投影的特点，作出投影图形，证明并判断正投影图形；对于②，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，得出法向量与不垂直，进而得到结论错误；对于③，运用向量的坐标表示证明线面垂直，进而得出面面垂直；对于④，根据三棱锥的几何特征，找出外接球球心，进而求出外接球半径，得出外接球体积.【详解】对于①，设的中点为，连接，，，如图，为的中点，，又平面，平面，点，在平面上的正投影分别为，且点在平面上的正投影分别为其本身，三棱锥在平面上的正投影图为，又，即为等腰三角形，①正确；对于②，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，即， ，，即，又，平面，平面，平面，即是平面的一个法向量，而，与不垂直，不与平面平行，②错误；对于③，如图设的中点为，连接，由②知，，，，，，即，，，即，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面，③正确；对于④，如图，若为棱AB的中点，又为棱的中点，，平面，平面，平面，，又，和有公共的斜边，设的中点为，则点到的距离相等，为三棱锥外接球的球心，为该球的直径，，，该球的体积为，④正确.综上所述，正确的结论为①③④.故选：D.12．若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于的零点，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意得，，则，即是，从而同构函数，，利用的单调性得到，代入求解即可.【详解】依题意得，，即，，，即，，，， 又，同构函数：，，则，又，，，，又，，单调递增，，.故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）函数零点即为函数的取值；（2）对的两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数，，其中应注意定义域；（3）运用导数研究函数的单调性，进而确定；（4）求解的值时，将替换后应注意分子的取值.二、填空题13．已知向量，，其中m，．若，则的值为______．【答案】4【分析】利用求出m、n，进而求出的值.【详解】因为向量，，且，所以，所以.故答案为：414．记函数的导函数是．若，则的值为______．【答案】3【分析】求导，令可得，然后可得.【详解】由题可得：所以，，解得，所以，，所以，，故答案为：315．设直线（t为参数）与抛物线相交于A，B两点，点．则的值为______．【答案】【分析】联立直线的参数方程与抛物线的方程，根据直线参数的几何意义求解即可【详解】联立直线的参数方程与抛物线的方程有，即.设对应的参数为，则，，故故答案为：16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．【答案】【分析】根据题意可得，且，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．故半径,即 ，且.又离心率，因为，结合题意有，设，则，易得对勾函数在上单调递增，故在上单调递增，故，即故答案为：三、解答题17．设函数，其中．若函数的图象在处的切线与x轴平行．(1)求a的值；(2)求函数的单调区间．【答案】(1)(2)单调递增区间为；单调递减区间为，【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）由（1）得，再求导分析函数的单调区间即可【详解】(1)．∵函数的图象在处的切线与x轴平行，∴，解得．此时，满足题意．∴．(2)由（1）得，故．令，解得或．当x变化时，，的变化情况如下表：∴函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．18．某建设行政主管部门对辖区内A，B，C三类工程共120个项目进行验收评估，规定评估分数在85分及其以上的项目被确定为“验收合格”项目，未达到85分的项目被确定为“有待整改”项目．现通过分层抽样的方法获得了三类工程的12个项目，其评估分数如下：A类：88，90，86，87，79； B类：85，82，91，74，92； C类：84，90．(1)试估算A，B，C这三类工程中每类工程项目的个数；(2)在选取的样本中，从B类的5个工程项目中随机选取2个项目进行深度调研，求选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的概率．【答案】(1)50，50，20(2)【分析】(1)根据分层抽样的定义即可分别求出三类工程项目的个数；(2)根据题意可知B类工程抽样的这5个项目中“验收合格”的项目有3个，“有待整改”的项目有2个，结合古典概型的概率公式计算即可.【详解】(1)根据分层抽样的定义，有A类工程有；B类工程有；C类工程有．∴A，B，C三类工程项目的个数可能是50，50，20．(2)易知在B类工程抽样的这5个项目中，被确定为“验收合格”的项目有3个，所得评估分数分别为85，91，92；被确定为“有待整改”的项目有2个，所得评估分数分别为82，74．记选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目为事件M．在B类工程的5个项目中随机抽取2个项目的评估分数数据组合有，，，，，，，，，，共计10种结果．抽取的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的评估分数数据组合有，，，，，，共计6种结果．故所求概率为．19．如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，，D为PC上一点，且，．(1)求AC的长；(2)若E为AC的中点，求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．设，分别求出，由求出AC的长；（2）分别求出平面，平面的法向量，由二面角向量计算公式代入即可求出答案.【详解】(1)∵平面ABC，AB，平面ABC，∴，．又，∴以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，设．则，．由，得，则．∵，即，∴，即．又，解得．∴AC的长为．(2)∵E为AC的中点，由（Ⅰ）知，．则，．设平面DBE的一个法向量为．由得令，得∴．设平面ABE的一个法向量为．设二面角的平面角为．∵，易知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．20．已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，再将点代入椭圆方程中，结合可求出，从而可求出椭圆方程，（2）设直线，，，将直线方程代入椭圆方程消去，整理后利用根与系数的关系，可得，表示出直线AP的斜率，直线的斜率，而，代入化简即可【详解】(1)由，得（c为半焦距），∵点在椭圆E上，则．又，解得，，．∴椭圆E的方程为．(2)由（1）知．设直线，，．由消去x，得．显然．则，．∴．由，，得直线AP的斜率，直线的斜率．又，，，∴．∴．∵．∴．21．已知函数．(1)证明：；(2)设函数，，其中．若函数存在非负的极小值，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过二次导数求函数最小值可证；（2）求导，分类讨论求极小值，然后可得.【详解】(1)．令，则．∵，，∴恒成立，即在R上为增函数．又，∴当时，有；当时，有．∴函数在区间上为减函数，在上为增函数．∴，∴．(2)．由（1）知在R上为增函数．∴当时，有，即；当时，有，即．（i）当时，∵在R上恒成立，∴当时，；当时，．∴函数在上为减函数，在上为增函数．∴，即；（ii）当时，由，解得，，且在R上单调递减．①当时，．∵当时，有；当时，有；当时，有，∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．∴．不符合题意；②当时，．∴时，有恒成立，故在R上为减函数．∴函数不存在极小值点，不符合题意；③当时，．∵当时，有；当时，有；当时，有，∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．∴．不符合题意．综上所述，若函数存在非负的极小值，则a的取值范围为．【点睛】导数中分类讨论问题通常从以下两个方向进行：1、根据导函数是否存在零点进行分类；2、根据导函数的零点的大小关系分类.22．如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧，所在圆的圆心分别为，，M是半圆弧上的一个动点．(1)当时，求点M的极坐标；(2)以O为坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系．若点N为线段的中点，求点N的轨迹方程．【答案】(1)(2)（为参数，且）【分析】（1）由题意得到点M的极角为，在中，利用正弦定理列出方程，求得的长，即可求解；（2）求得的参数方程为，结合线段的中点N的坐标为，利用中点坐标公式，即可求解.【详解】(1)解：由，，可得点M的极角为．在等腰中，由正弦定理得，即．所以，所以点M的极坐标为．(2)解：由题意，在直角坐标系中，点M在以为圆心，1为半径的半圆弧上，其参数方程为（为参数，且）．设线段的中点N的坐标为，又由点，，根据中点坐标公式可得 ，所以点N的轨迹方程为（为参数，且）． 0200单调递减单调递增单调递减
2023届四川省成都市高三摸底测试数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，分别求出集合和集合，进而求出.【详解】集合，，又，，.故选：A.2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先对复数化简计算，然后再判断其在复平面内对应的点所在的位置【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B3．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）A． B．2 C．4 D．6【答案】D【分析】先画出可行区域，由几何意义求最值即可.【详解】画出可行区域如图，由得，则当直线经过点时，取最大值，.故选：D.4．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为，，即，又，所以.故选：B5．从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50~300kw·h之间，适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图．则直方图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数分别为（ ）A．0.0046，72 B．0.0046，70C．0.0042，72 D．0.0042，70【答案】A【分析】根据频率分布直方图的面积和为1，计算得x；再根据用电量落在区间内的频率计算用电量落在区间内的户数.【详解】根据频率分布直方图的面积和为1，得，解得，月用电量落在区间内的频率为，所以在被调查的用户中月用电量落在区间内的户数为户.故选：A.6．已知函数若，且，则（ ）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.【详解】由题意知，，又，所以，所以，解得.故选：C7．已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知焦距为4，得出，又由双曲线方程求出渐近线方程，而直线与渐近线垂直，得出它们斜率之积为 ，从而得出、之间的关系，代入，解出、，写出方程即可.【详解】由已知焦距为4，所以 ，，又双曲线方程的渐近线方程为：，而直线的斜率，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由 解得 ，所以双曲线方程为： 故选：C.8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件等价为在上恒成立，即在上恒成立，求解的取值情况即可得出结果.【详解】由题意，已知条件等价为在上恒成立，即在上恒成立，令，在上单调递减，，，的取值范围是.故选：B.9．赵爽是我国古代著名数学之家，他用于证明勾股定理的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小四边形构成，如图所示．已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，若在“赵爽弦图”中随机取一点，则该点取自四边形区域内的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图形可知大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，结合几何概型的计算公式即可得出结果.【详解】因为直角三角形的直角边的边长分别为3、4，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为4-3=1，所以大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，由几何概型的计算公式知，取自内部小正方形部分的概率为.故选：B10．若数据9，m，6，n，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，，17，的平均数和方差分别为（ ）A．13，4 B．14，4 C．13，8 D．14，8【答案】C【分析】根据数据9，m，6，n，5的平均数和方差，求出，得到数据11，9，，17，，进而利用平均数和方差的公式求解即可.【详解】数据9，m，6，n，5的平均数为，方差为，化简得 ，解得或，或，则数据11，9，，17，为或，两组数据有相同的平均数和方差，平均数为，方差为，故选：C11．如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点．有下列结论：①三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形；②直线平面；③在棱BC上存在一点E，使得平面平面；④若F为棱AB的中点，且三棱锥的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为．其中正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】对于①，根据正投影的特点，作出投影图形，证明并判断正投影图形；对于②，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，得出法向量与不垂直，进而得到结论错误；对于③，运用向量的坐标表示证明线面垂直，进而得出面面垂直；对于④，根据三棱锥的几何特征，找出外接球球心，进而求出外接球半径，得出外接球体积.【详解】对于①，设的中点为，连接，，，如图，为的中点，，又平面，平面，点，在平面上的正投影分别为，且点在平面上的正投影分别为其本身，三棱锥在平面上的正投影图为，又，即为等腰三角形，①正确；对于②，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，即， ，，即，又，平面，平面，平面，即是平面的一个法向量，而，与不垂直，不与平面平行，②错误；对于③，如图设的中点为，连接，由②知，，，，，，即，，，即，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面，③正确；对于④，如图，若为棱AB的中点，又为棱的中点，，平面，平面，平面，，又，和有公共的斜边，设的中点为，则点到的距离相等，为三棱锥外接球的球心，为该球的直径，，，该球的体积为，④正确.综上所述，正确的结论为①③④.故选：D.12．若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于的零点，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意得，，则，即是，从而同构函数，，利用的单调性得到，代入求解即可.【详解】依题意得，，即，，，即，，，， 又，同构函数：，，则，又，，，，又，，单调递增，，.故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）函数零点即为函数的取值；（2）对的两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数，，其中应注意定义域；（3）运用导数研究函数的单调性，进而确定；（4）求解的值时，将替换后应注意分子的取值.二、填空题13．已知向量，，其中m，．若，则的值为______．【答案】4【分析】利用求出m、n，进而求出的值.【详解】因为向量，，且，所以，所以.故答案为：414．记函数的导函数是．若，则的值为______．【答案】3【分析】求导，令可得，然后可得.【详解】由题可得：所以，，解得，所以，，所以，，故答案为：315．设直线（t为参数）与抛物线相交于A，B两点，点．则的值为______．【答案】【分析】联立直线的参数方程与抛物线的方程，根据直线参数的几何意义求解即可【详解】联立直线的参数方程与抛物线的方程有，即.设对应的参数为，则，，故故答案为：16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．【答案】【分析】根据题意可得，且，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．故半径,即 ，且.又离心率，因为，结合题意有，设，则，易得对勾函数在上单调递增，故在上单调递增，故，即故答案为：三、解答题17．设函数，其中．若函数的图象在处的切线与x轴平行．(1)求a的值；(2)求函数的单调区间．【答案】(1)(2)单调递增区间为；单调递减区间为，【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）由（1）得，再求导分析函数的单调区间即可【详解】(1)．∵函数的图象在处的切线与x轴平行，∴，解得．此时，满足题意．∴．(2)由（1）得，故．令，解得或．当x变化时，，的变化情况如下表：∴函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．18．某建设行政主管部门对辖区内A，B，C三类工程共120个项目进行验收评估，规定评估分数在85分及其以上的项目被确定为“验收合格”项目，未达到85分的项目被确定为“有待整改”项目．现通过分层抽样的方法获得了三类工程的12个项目，其评估分数如下：A类：88，90，86，87，79； B类：85，82，91，74，92； C类：84，90．(1)试估算A，B，C这三类工程中每类工程项目的个数；(2)在选取的样本中，从B类的5个工程项目中随机选取2个项目进行深度调研，求选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的概率．【答案】(1)50，50，20(2)【分析】(1)根据分层抽样的定义即可分别求出三类工程项目的个数；(2)根据题意可知B类工程抽样的这5个项目中“验收合格”的项目有3个，“有待整改”的项目有2个，结合古典概型的概率公式计算即可.【详解】(1)根据分层抽样的定义，有A类工程有；B类工程有；C类工程有．∴A，B，C三类工程项目的个数可能是50，50，20．(2)易知在B类工程抽样的这5个项目中，被确定为“验收合格”的项目有3个，所得评估分数分别为85，91，92；被确定为“有待整改”的项目有2个，所得评估分数分别为82，74．记选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目为事件M．在B类工程的5个项目中随机抽取2个项目的评估分数数据组合有，，，，，，，，，，共计10种结果．抽取的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的评估分数数据组合有，，，，，，共计6种结果．故所求概率为．19．如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，，D为PC上一点，且，．(1)求AC的长；(2)若E为AC的中点，求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．设，分别求出，由求出AC的长；（2）分别求出平面，平面的法向量，由二面角向量计算公式代入即可求出答案.【详解】(1)∵平面ABC，AB，平面ABC，∴，．又，∴以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，设．则，．由，得，则．∵，即，∴，即．又，解得．∴AC的长为．(2)∵E为AC的中点，由（Ⅰ）知，．则，．设平面DBE的一个法向量为．由得令，得∴．设平面ABE的一个法向量为．设二面角的平面角为．∵，易知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．20．已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，再将点代入椭圆方程中，结合可求出，从而可求出椭圆方程，（2）设直线，，，将直线方程代入椭圆方程消去，整理后利用根与系数的关系，可得，表示出直线AP的斜率，直线的斜率，而，代入化简即可【详解】(1)由，得（c为半焦距），∵点在椭圆E上，则．又，解得，，．∴椭圆E的方程为．(2)由（1）知．设直线，，．由消去x，得．显然．则，．∴．由，，得直线AP的斜率，直线的斜率．又，，，∴．∴．∵．∴．21．已知函数．(1)证明：；(2)设函数，，其中．若函数存在非负的极小值，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过二次导数求函数最小值可证；（2）求导，分类讨论求极小值，然后可得.【详解】(1)．令，则．∵，，∴恒成立，即在R上为增函数．又，∴当时，有；当时，有．∴函数在区间上为减函数，在上为增函数．∴，∴．(2)．由（1）知在R上为增函数．∴当时，有，即；当时，有，即．（i）当时，∵在R上恒成立，∴当时，；当时，．∴函数在上为减函数，在上为增函数．∴，即；（ii）当时，由，解得，，且在R上单调递减．①当时，．∵当时，有；当时，有；当时，有，∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．∴．不符合题意；②当时，．∴时，有恒成立，故在R上为减函数．∴函数不存在极小值点，不符合题意；③当时，．∵当时，有；当时，有；当时，有，∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．∴．不符合题意．综上所述，若函数存在非负的极小值，则a的取值范围为．【点睛】导数中分类讨论问题通常从以下两个方向进行：1、根据导函数是否存在零点进行分类；2、根据导函数的零点的大小关系分类.22．如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧，所在圆的圆心分别为，，M是半圆弧上的一个动点．(1)当时，求点M的极坐标；(2)以O为坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系．若点N为线段的中点，求点N的轨迹方程．【答案】(1)(2)（为参数，且）【分析】（1）由题意得到点M的极角为，在中，利用正弦定理列出方程，求得的长，即可求解；（2）求得的参数方程为，结合线段的中点N的坐标为，利用中点坐标公式，即可求解.【详解】(1)解：由，，可得点M的极角为．在等腰中，由正弦定理得，即．所以，所以点M的极坐标为．(2)解：由题意，在直角坐标系中，点M在以为圆心，1为半径的半圆弧上，其参数方程为（为参数，且）．设线段的中点N的坐标为，又由点，，根据中点坐标公式可得 ，所以点N的轨迹方程为（为参数，且）． 0200单调递减单调递增单调递减
相关试卷
四川省成都市2024届高三摸底测试（成都零诊） 理数答案： 这是一份四川省成都市2024届高三摸底测试（成都零诊） 理数答案，共4页。
四川省成都市2024届高三摸底测试（成都零诊） 理数： 这是一份四川省成都市2024届高三摸底测试（成都零诊） 理数，共4页。
2023届四川省成都市高三三诊数学（理）试题含解析： 这是一份2023届四川省成都市高三三诊数学（理）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
