2021-2022学年山东省威海市乳山一中、银滩高级中学高一（下）开学数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年山东省威海市乳山一中、银滩高级中学高一（下）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 为四边形所在平面上一点，，则为(    )

A. 四边形对角线交点 B. 中点
C. 中点 D. 边上一点

3. 平面向量与的夹角为，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数在区间上的大致图象如图所示，则的解析式可能为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知向量，，在轴上有一点，使有最小值，则点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数在内不存在对称中心，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，则(    )

A. 点第一次到达最高点需要
B. 在水轮转动的一圈内，点距离水面的高度不低于共有的时间
C. 点距离水面的距离单位：与时间单位：的函数解析式为
D. 当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
 

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列选项正确的是(    )

A.
B.
C. 若终边上有一点，则
D. 若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为

10. 下列命题中正确的是(    )

A. 向量与不共线，则与都是非零向量
B. 已知，，是平面内任意三点，则
C. 若为所在平面内任一点，且满足，则为等腰三角形
D. 若向量与同向，且，则

11. 下列关于平面向量的说法中不正确的是(    )

A. ，，若，则
B. 单位向量，，则
C. 若点为的重心，则
D. 若，，则

12. 已知函数，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 的图象关于对称
C. 若，则
D. 若，，，则

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若两个单位向量，满足，则______．
14. 已知函数，在上单调递增，那么常数的取值范围为______．
15. 已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______ ．
16. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在上的值域为______．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知，其中是第四象限角．
    化简；
    若，求，．
18. 本小题分
    已知，．
    Ⅰ若向量在方向上的投影为，求及与的夹角．
    Ⅱ若与垂直，求
19. 本小题分
    已知函数．
    求函数的单调递增区间；
    若，判断方程的根的个数．
20. 本小题分
    如图，在中，设，，，，，，，与交于点．
    求；
    若，求的值．

21. 本小题分
    已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数为奇函数．
    求的解析式；
    求的对称轴及单调区间；
    若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
22. 本小题分
    在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且，，，三点满足．
    求证：，，三点共线；
    若函数的最小值为，求实数的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：


．
．
故选：．
直接利用诱导公式化简求值即可．
本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了向量的三角形法则，属于基础题．
利用向量的三角形法则及向量的加减法化简即可得出．
【解答】
解：，，
又，
，
，
点为线段的中点．
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：由已知，
，
．
故选：．
根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．
本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，
则
．
故选：．
由三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式，计算可得所求值．
本题考查三角函数的求值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于，，可知为偶函数，不符合题意，故A错误；
对于，，可知为偶函数，不符合题意，故B错误；
对于，当时，，与题中图象不符，故C错误，
对于，为奇函数，其函数值变化符合图象，故的解析式可能为．
故选：．
判断函数的奇偶性，可判断的可能性；取特殊值可说明不符合题意；结合的奇偶性可判断．
本题考查了函数图象，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，可得：
，，
因此，，
二次函数，当时取得最小值为，
当时，取得最小值，此时，
故选：．
设，可得、含有的坐标形式，由向量数量积的坐标运算公式得的表达式，结合二次函数的图象与性质，可得当时，取得最小值，得到本题答案．
本题着重考查了向量数量积的坐标运算公式和二次函数的性质等知识，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
在内不存在对称中心，
，，，，
，，，
或，
当时，；当时，．
的取值范围为．
故选：．
在内不存在对称中心，则，，然后解出的范围即可．
本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想与运算求解能力，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设点距离水面的高度为米和秒的函数解析式为，
由题意，，，
，解得，
，
，则，
当时，，
，则，
又，
，
，故C不正确；
对于，令，解得，点第一次到达最高点需要，故A错误；
对于，令，，解得，即在水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于，故B不正确；
对于，令，点在水面下方，距离水面，故D正确．
故选：．
由题意设出函数解析式，由最大值与最小值列式求得与的值，由周期求得，再由时，求解，得到函数解析式，进而根据函数解析式逐项判断即可得解．
本题考查三角函数模型的应用，考查型函数的图象和性质，考查运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数知识，诱导公式的应用，弧度制与角度制的互化，三角函数的定义以及扇形的面积公式，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．
利用诱导公式判断选项A，由弧度制与角度制的互化，即可判断选项B，由三角函数的定义，即可判断选项C，由扇形的面积公式，即可判断选项D．
【解答】
解：，故A正确；
，故B正确；
若终边上有一点，则，故C不正确；
若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的半径为，面积为，故D不正确．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：对于：因为零向量与任意向量共线，所以A正确；
对于：由平面向量的加法法则，可知，所以B正确；
对于：设的中点为，因为，所以，所以，即，又的中点为，所以为等腰三角形，即C正确；
对于，因为向量不是实数，所以不能比较大小，向量的模可以比较大小，所以不正确．
故选：．
利用向量的定义，向量的加法以及向量的数量积，向量的模的大小比较，判断选项的正确即可．
本题考查了平面向量的基础概念与运算法则，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：：，
，解得，A错误；
：，，B正确；
：设延长交的中点，则，
，C正确；
：，不平行时，满足，得不出，D错误．
故选：．
根据平行向量的坐标关系即可判断A错误；根据向量坐标的数乘运算即可求出的坐标，进而判断B正确；根据重心的性质，向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可判断C正确；举的例子即可说明D错误．
本题考查了平行向量的坐标关系，向量数乘的坐标运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，重心的性质，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，，A错误．
对于，，所以的图象关于对称，B正确．
对于，当时，，很显然当时，不具有单调性，C错误．
对于，当时，，很显然，，，必有，D正确．
故选：．
根据正弦函数的性质依次判断即可．
本题主要考查正弦函数的性质，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，两个单位向量，满足，则有，
变形可得，
则有，必有，
故答案为：．
根据题意，由数量积的计算公式可得，变形可得，又由，计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：最小正周期，所以是的一个单调递增区间，
因为在上单调递增，所以，
又，所以，即常数的取值范围为
故答案为：
先写出函数的最小正周期，再根据正弦函数的单调性，即可得解．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查数量积与向量的夹角，得出，且与不共线是解决问题的关键，属中档题．由向量坐标的运算可得的坐标，由题意可得，且与不共线，解不等式可得实数的取值范围．
【解答】

解：，
．
与的夹角为锐角．
，且与不共线．
，且．
解得且．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】解：将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，
若函数为偶函数，则 ，
所以，
故函数
因为，，
所以，，
则函数在的值域为．
故答案为：．
由题意利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在的值域．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
 

17.【答案】解：为第四象限角，
．
，
可得，
由是第四象限角，可得． 

【解析】由为第四象限角，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解．
由题意利用结论以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查三角函数化简求值，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数基本关系式的合理运用．
 

18.【答案】解：Ⅰ由向量数量积的几何意义知， 等于与在方向上的投影的乘积，
．
设与的夹角，，
则，．
Ⅱ若与垂直，，，
． 

【解析】Ⅰ由题意利用两个向量的数量积的定义，求及与的夹角．
Ⅱ根据题意，，可得 的值，再根据，计算求得结果．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求向量的模，属于基础题．
 

19.【答案】解：．
由，得，
函数的增区间为．
由于，当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为函数在上的单调递增区间为．
方程的根的个数也就是函数与函数图象的交点个数．
由知，在为增函数，在为减函数，在为增函数，
而，
，
根据图象可知，当时，方程无解，当时，方程有个根，当或时，方程有个根．
 

【解析】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用辅助角公式进行化简，利用函数的单调性以及函数与方程之间的关系进行转化是解决本题的关键，属于中档题．
利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可．
利用函数与方程的关系进行转化，利用数形结合进行求解即可．
 

20.【答案】解：，，
；
，
所以，
因为，，共线，所以，
所以，
即，解得． 

【解析】将分别用表示，再利用数量积公式直接计算即可；
根据，，共线，可得，由此可建立方程组，解出即可．
本题考查平面向量的线性运算以及两向量共线的条件，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：，．
又为奇函数，且，则，，故．
令，求得，，可得的图象的对称轴为，．
令，求得，可得函数的增区间为．
令，求得，可得函数的减区间为．
由于，故，恒成立，
整理可得．
由，得：，故，
即取值范围是． 

【解析】利用正弦函数的周期性、奇偶性，求得和的值，可得的解析式．
利用正弦函数的单调性求得函数的单调区间．
利用正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，求得的范围．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性、奇偶性，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．
 

22.【答案】证明：在平面直角坐标系中，为坐标原点，
，，且，
，，三点满足．

，
又，有公共点，，，三点共线．
解：，，，

，
，，
函数
，
即

，
，，
当，即时，当时，
，
解得或，又时，．
当，即时，当时，
解得，
又，，
综上所述，的值为或． 

【解析】推导出，从而，，有公共点，由此能证明，，三点共线．
由，，，，从而，，进而函数，由此能求出的值．
本题考查三点共线的证明，考查实数值的求法，考查向量加法定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．