2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第六章　数列 高考解答题专项三　数列中的综合问题（课件）

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考情分析数列是高考考查的重点内容,在近几年的高考试卷中,数列解答题的命题趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,以考查数列的基本知识、基本方法为主,渗透综合应用能力的考查,一般放在解答题的前三个题目位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.
例1.在①anan+1= ·4n;②Sn=kan- ;③Sn=an+n2-2n+k这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的正整数m存在,求出m的值;若m不存在,请说明理由.在数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且　　　　　,是否存在正整数m,使得Sm,Sm+1,Sm+2成等差数列? 
所以Sm=2m-1,Sm+1=2m+1-1,Sm+2=2m+2-1.
若Sm,Sm+1,Sm+2成等差数列,则2(2m+1-1)=(2m-1)+(2m+2-1),整理得2m=0.因为m∈N*,所以无解,故不存在正整数m,使得Sm,Sm+1,Sm+2成等差数列.
整理得3m=0.由于m∈N*,所以无解,故不存在正整数m,使得Sm,Sm+1,Sm+2成等差数列.若选择条件③,即Sn=an+n2-2n+k.因为a1=1,所以1=1+1-2+k,所以k=1,因此Sn=an+n2-2n+1.当n≥2时Sn-1=an-1+(n-1)2-2(n-1)+1,两式相减得an=an-an-1+2n-3,于是an-1=2n-3,所以an=2n-1,
所以Sm=m2,Sm+1=(m+1)2,Sm+2=(m+2)2.若Sm,Sm+1,Sm+2成等差数列,则2·(m+1)2=m2+(m+2)2,整理知该式无解,故不存在正整数m,使得Sm,Sm+1,Sm+2成等差数列.
方法点拨解决结构不良试题的基本策略
对点训练1(2021湖南师大附中高三模拟)在①Sn+1=2Sn+1,②a2=2,③Sn=an+1-1这三个条件中选择两个,补充在下面的问题中,给出解答.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足　　　　　,　　　　　,又知等差数列{bn}为递增数列,且满足b1=2,b1,b2,b5成等比数列. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
解 方案一:选择条件①②.(1)由题意,当n=1时,S2=2S1+1,即a1+a2=2a1+1,化简得a2=a1+1.又a2=2,∴a1=1.当n≥2时,由Sn+1=2Sn+1,可得Sn=2Sn-1+1,两式相减,可得an+1=2an.∵a2=2a1也满足上式,∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴an=1·2n-1=2n-1.设等差数列{bn}的公差为d(d>0),则b2=2+d,b5=2+4d.
∵b1,b2,b5成等比数列,∴ =b1b5,即(2+d)2=2(2+4d),化简整理得d2-4d=0,解得d=0(舍去),或d=4,∴bn=2+4(n-1)=4n-2.
(2)由(1)知,cn=anbn=(4n-2)·2n-1=(2n-1)·2n,则Tn=c1+c2+…+cn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n,2Tn=1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,两式相减得-Tn=1·21+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1
方案二:选择条件①③.(1)由题意,当n=1时,S2=2S1+1,即a1+a2=2a1+1,化简得a2=a1+1,将n=1代入Sn=an+1-1,可得a1=a2-1,此时选择条件①③并不能计算出a1或a2的值,无法计算出数列{an}的通项公式,故方案二不成立.
方案三:选择条件②③.(1)由题意,当n=1时,a1=S1=a2-1=2-1=1.当n≥2时,由Sn=an+1-1,可得Sn-1=an-1,两式相减得an+1=2an.∵a2=2a1也满足上式,∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴an=1·2n-1=2n-1.设等差数列{bn}的公差为d(d>0),则b2=2+d,b5=2+4d∵b1,b2,b5成等比数列,∴ =b1b5,即(2+d)2=2(2+4d),化简整理得d2-4d=0,解得d=0(舍去),或d=4,∴bn=2+4(n-1)=4n-2.
例2.(2021新高考Ⅰ,17)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;(2)求{an}的前20项和.
名师点析解决数列中奇偶项问题的方法(1)求奇偶分列的数列的通项公式时,首先要确定奇数项和偶数项的首项,其次要重点确定好通项公式中的项数n与an所在奇数项、偶数项中的项数之间的关系.一般地,当n为奇数时,an在奇数项组成的数列中为第 项;当n为偶数时,an在偶数项组成的数列中为第 项.(2)求奇偶分列的数列的前n项和时,可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,然后相加,也可以采用整体思想,把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再求S2k-1=S2k-a2k;还可以寻求奇数项和与偶数项和的关系,转化为求奇数项(或偶数项)和的问题.
对点训练2(2021福建师大附中高三模拟)在公差大于0的等差数列{an}中,
(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(-1)nanan+1,求数列{bn}的前2n项和S2n.
设等差数列{an}的公差为d,由a1a2=2,a2a3=6,得a1(a1+d)=2,(a1+d)(a1+2d)=6.因为d>0,所以a1=1=d,故数列{an}的通项公式为an=1+n-1=n.
(2)由(1)知anan+1=n(n+1),所以bn=(-1)nanan+1=(-1)nn(n+1).因为b2n-1+b2n=-(2n-1)·2n+2n·(2n+1)=4n,所以数列{bn}的前2n项和
考向1.数列与不等式的综合例3.(2021浙江,20)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=- ,且4Sn+1=3Sn-9.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),记数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
名师点析数列与不等式综合问题的求解策略(1)判断数列问题中的一些不等关系时,可以利用数列的单调性或借助数列对应函数的单调性比较大小.(2)解决数列中不等式恒成立问题时,仍可采用分离参数求最值的方法,但要注意变量n的取值为正整数.
对点训练3(2021新高考Ⅱ,18)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)求使Sn>an成立的n的最小值.
解 (1)由等差数列的性质可得,S5=5a3,则a3=5a3,∴a3=0.设等差数列的公差为d,从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2.S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,从而-d2=-2d.由于公差不为零,故d=2,数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6.(2)由数列的通项公式可得a1=2-6=-4,则Sn=n×(-4)+ ×2=n2-5n.不等式Sn>an,即n2-5n>2n-6,整理可得(n-1)(n-6)>0,解得n6.又n为正整数,∴n的最小值为7.
考向2.数列与函数、不等式的综合例4.(2021山东济南高三一模)在各项均为正数的数列{an}中,a1=1,
证明 (1)先证明ln(x+1)0时,f(x)