重难点14三种抛物线解题方法（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）

重难点14三种抛物线解题方法（核心考点讲与练）

题型一:定义法求焦半径

一、单选题

1．（2022·全国·模拟预测（文））对于正数，，抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，线段与两个抛物线的交点分别为，．若，，则的值为（       ）

A．6 B． C．7 D．

2．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，以为直径的圆过点，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．1

3．（2022·广东佛山·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（       ）

A． B． C．2 D．

4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知抛物线：的焦点为F，Q为上一点，M为的准线上一点且轴.若为坐标原点，P在x轴上，且在点F的右侧，，，，则准线的方程为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

5．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线，焦点为F，直线l与抛物线交于A，B两点，则下列选项正确的是（       ）

A．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切

B．若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为1

C．若，则弦长AB最小值为8

D．当直线l过焦点F且斜率为2时，，，成等差数列

6．（2022·福建泉州·模拟预测）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（       ）

A．当时，最小值为1

B．当时，的最小值为3

C．当时，的最小值为4

D．当时，的最大值为2

7．（2022·全国·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的方程为，的焦点为，直线与交于，两点，且的中点到轴的距离为2，则下列结论正确的是（       ）

A．的准线方程为

B．的最大值为6

C．若，则直线的方程为

D．若，则面积的最小值为16

8．（2022·广东佛山·模拟预测）已知直线：与抛物线C：相交于A，B两点，点A在x轴上方，点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

9．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交该抛物线于，两点，点T（-1，0），则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．若三角形TAB的面积为S，则S的最小值为

D．若线段AT中点为Q，且，则

三、解答题

10．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）曲线C的方程为，点D的坐标，点P的坐标.

(1)设E是曲线C上的点，且E到D的距离等于4，求E的坐标：

(2)设A，B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与y轴分别交于M､N两点，线段MN的垂直平分线经过点P.证明；直线AB的斜率为定值，并求出此值.

11．（2022·河南焦作·三模（理））已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值．

12．（2022·贵州毕节·三模（理））已知抛物线的焦点为，且点与上点的距离的最大值为．

(1)求；

(2)当时，设，，是抛物线上的三个点，若直线，均与相切，求证：直线与相切．

题型二：定义转换法求距离的最值问题

一、单选题

1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定点，点为拋物线上一动点，到轴的距离为，则的最小值为（       ）

A．4 B．5 C． D．

2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，则的最小值为（       ）

A．1 B．

C． D．6

3．（2022·河北张家口·三模）已知点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为N，动点M满足最小值为3，则点M的轨迹长度为（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·全国·模拟预测）已知点P为抛物线上的动点，点F为抛物线的焦点，点，设点Q为以点P为圆心，为半径的圆上的动点，的最大值为，当点P在抛物线上运动时，则的最小值为（       ）

A． B． C．4 D．5

5．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知M是抛物线上一点，F为其焦点，，则的最小值为（       ）

A．10 B．9 C．8 D．7

6．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．下列说法正确的是(       )

A．

B．(O为坐标原点)的面积为

C．

D．若，P是抛物线上一动点，则的最小值为

二、多选题

7．（2022·河北·模拟预测）设抛物线的焦点为F，准线为l，为C上一动点，，则下列结论正确的是（       ）

A．当时，抛物线C在点P处的切线方程为 B．当时，的值为6

C．的最小值为3 D．的最大值为

8．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（       ）

A．的最小值为1 B．的最小值为

C．的最小值为4 D．的最小值为

9．（2022·福建福州·三模）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，以为圆心的圆与相切于点，点与抛物线的焦点不重合，且，，则（       ）

A．圆的半径是4

B．圆与直线相切

C．抛物线上的点到点的距离的最小值为4

D．抛物线上的点到点，的距离之和的最小值为4

三、填空题

10．（2021·山东·青岛西海岸新区第一高级中学高三期末）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则___________.

四、解答题

11．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆，经过拋物线的焦点的直线与交于两点，在点处的切线交于两点，如图.

(1)当直线垂直轴时，，求的准线方程；

(2)若三角形的重心在轴上，且，求的取值范围.

题型三：定义法求焦点弦

一、单选题

1．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）过抛物线的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若A、B两点横坐标的等差中项为2，则（       ）

A．8 B．6 C． D．4

2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于A、B两点，直线与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为2，则的最小值为（        ）

A．24 B．20 C．16 D．12

二、多选题

3．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（       ）

A．没有最大值也没有最小值 B．

C． D．

4．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点、，点在上的射影为，则 （       ）

A．若，则

B．以为直径的圆与准线相切

C．设，则

D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条

三、填空题

5．（2022·全国·模拟预测）抛物线的焦点F恰好是圆的圆心，过点F且倾斜角为的直线l与C交于不同的A，B两点，则______．

6．（2022·辽宁·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F与C交于A，B两点，与C的准线交于点P，若，则l的斜率为______．

四、解答题

7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线被所截得的弦长为.

(1)求抛物线的方程；

(2)已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围.

8．（2022·全国·模拟预测）直线l：kx－y－k＝0过抛物线C：的焦点F，且与C交于不同的两点A，B．

(1)若，，成等差数列，求实数k的值；

(2)试判断在x轴上存在多少个点，总在以AB为直径的圆上．