考点03 函数及其性质（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）

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考点03函数及其性质（核心考点讲与练）

1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
5.函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
6.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
7.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数
关于原点对称
偶函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数
关于y轴对称
8.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2.已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3.函数的对称性与单调性，指数式、对数式的大小比较．
比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．
4.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．

函数及其表示
一、单选题
1．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，可知为方程的解的个数，判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数即可求解．
【详解】解：设，则方程有个根，即有个根，
，
所以在上单调递增，在，上单调递减，且，
当时，，
设，令得，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
作出与的大致函数图象，如图所示：

由图象可知的交点个数可能为1，2，3，4，
又，所以的值为2，3，4．
故选：D．
2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意，画出图形，结合，分和进行讨论，解得的范围，从而即可得实数的取值范围．
【详解】解：作出函数的图象如图，

因为，若，由在上单调递增，且，
则，解得；
若，则，解得；
综上，，解得或.
所以实数的取值范围是．
故选：A.
3．（2022·河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数解析式可得，，画出函数图象，则原不等式等价于，结合函数的单调性，即可得到，解得即可；
【详解】解：因为，所以，，
则，即，
的函数图象如下所示：

由函数图象可知当时且在上单调递减，所以等价于，即，解得，即；
故选：A
4．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（       ）（是自然对数的底数）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据函数的定义域可排除CD.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，
由，
所以函数为奇函数，不符合题意；
对于B，函数的定义域为，
由，
所以函数为偶函数，符合题意；
对于C，函数，
则，得且，
故函数的定义域为且，
结合函数图像可知，不符题意；
对于D，函数的定义域为且，
结合函数图像可知，不符题意.
故选：B.
5．（2022·天津·耀华中学模拟预测）已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数在在上为单调函数，且当时单调递减，则满足，可得到的范围；再将有三个不同的零点问题转化为函数和有三个交点问题，画出两个函数的图象，可先判断当时存在两个交点，则只需满足时有且仅有一个交点即可，进而求解，综合得到的范围.
【详解】由题，因为在上为单调函数，且时，单调递减，
所以，解得，
在同一坐标系中画出和的图象，如图所示：

由图象可知当时，和的图象有两个交点，
故只需当时，和的图象有且只有一个交点，
当，即，即时，满足题意；
当，即时，只需与相切，
联立可得，则，解得，
综上，的取值范围是
故选：D
6．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知函数，则图象为下图的函数可能是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A选项，利用当时，排除A选项，B选项，利用时，排除B选项，D选项，利用奇偶性排除D选项，C选项，满足图象要求.
【详解】A选项，，其中当时，恒成立，故A选项错误；
B选项，，当时，，不合要求，B错误；
C选项，，当时，，当时，，当时，，且为非奇非偶函数，故符合要求.
D选项，， 定义域为R，且，故为奇函数，图象关于原点对称，不合题意，D错误.
故选：C
7．（2021·全国·模拟预测）已知函数的定义域是（m，n为整数），值域是，则满足条件的整数对的个数是（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，并画出函数的大致图像即可
【详解】

由，得或
由，得
易知当时，为增函数，当时，为减函数，其图像如上图所示
若使的定义域是（m，n为整数），值域是，满足条件的整数数对有，，，，共5个
故选：D
8．（2020·南开中学模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】对于A：由定义域不同,即可判断；
对于B：由定义域不同，即可判断；
对于C：由对应关系不同，即可判断；
对于D：对应关系相同，定义域相同，可以判断为同一函数.
【详解】对于A：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，所以A错误；
对于B：的定义域为，的定义域为R，定义域不同，所以B错误；
对于C：，对于，对应关系不同，故C错误；
对于D：定义域为R, ，定义域为R，二者对应关系相同，定义域相同，为同一函数.
故选：D
9．（2020·广东中山·模拟预测）下列各组表示同一函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】两个函数若是同一函数，需定义域和对应关系相同，根据定义判断选项.
【详解】A.的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
B.和的定义域是，且，两个函数的解析式相同，所以是同一函数；
C.，，两个函数的定义域都是，两个函数的对应关系不同，所以不是同一函数；
D.的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.
故选：B
10.（2020·全国·一模）网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的“鞋号”（单位：.号），第二行是脚长（单位：），请根据表中数据，思考：他们家正好有一款“32号”的女鞋在搞打折，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是（       ）
鞋码
35
36
37
38
39
脚长
225
230
235
240
245
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先建立函数关系，再求解即可.
【详解】解：设“脚长”为，“鞋号”为，根据题意发现与满足的函数关系，
当时，，
故选：B.
【点睛】本题考查函数关系的建立，是基础题.
二、多选题
11．（2022·江苏南通·模拟预测）已知定义在R上的函数的图象连续不间断，当时，，且当时，，则下列说法正确的是（       ）
A．
B．在上单调递减
C．若，则
D．若是的两个零点，且，则
【答案】ACD
【分析】对于A，在中令，即可判断A；
对于B，对两边求导，结合，即可得出在上单调递增，即可判断B.
对于C，分别讨论和 ，再结合在上单调递增，上单调递减，即可判断C.
对于D，先证明，则，再令，而由，所以，所以，即可判断D.
【详解】对于A，在中令，则，所以，故A正确；
对于B，当时，，对两边求导，则，
所以时，，
所以，令，，，
所以在上单调递增，所以B错；
对于C，由B知，在上单调递增，上单调递减，由知不可能均大于等于1，否则，则，这与条件矛盾，舍去.
①若，则，满足条件，此时，；’
②若，则，而，则
，
所以，而，所以
，C正确；
对于D，由在上单调递增，上单调递减，知，
注意到，，，
所以，
若，则，则，
所以
()，这与矛盾，舍去.
所以，在时，中，令，而由，所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0 A．0 B． C． D．1
【答案】AC
【分析】根据题意中周期点定义，分别求出当、、、时的函数周期，进而得出结果.
【详解】A：时，，周期为1，周期为2也正确，故A正确；
B：时，，
所以不是的周期点.故B错误；
C：时，，周期为1，周期为2也正确.故C正确；
D：时，，
不是周期为2的周期点，故D错误.
故选：AC.
13．（2022·江苏江苏·一模）下列函数中，最大值是1的函数有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】化简变形各个选项中的函数解析式，再求其最大值即可判断作答.
【详解】对于A，，当且仅当，即时取“=”，
即当时，，A不正确；
对于B，，当且仅当，即时取“=”，
即当时，，B正确；
对于C，，当且仅当，即时取“=”，
即当时，，C正确；
对于D，依题意，由，都有意义，且得：，且，且，，
，显然最大值为1，
此时，，而使函数无意义，即不能取到1，D不正确.
故选：BC
14．（2021·江西·模拟预测）已知函数，则下列叙述正确的是（       ）
A．的值域为 B．在区间上单调递增
C． D．若，则的最小值为-3
【答案】BCD
【分析】将函数转化为，再逐项判断.
【详解】
函数，
A. 的值域为，故错误；
B. 在区间上单调递增，故正确；
C. ，故正确；
D. 因为，则的最小值为，故正确；
故选：BCD
15．（2021·江西·模拟预测）下列各组函数中表示同一个函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AB
【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断．
【详解】A中两个函数定义域都是，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数；
B中两个函数定义域都是，对应法则都是取平方，是同一函数；
C中定义域是，的定义域是，不是同一函数；
D中的定义域是，的定义域是，不是同一函数．
故选：AB．
16．（2021·全国·模拟预测）已知函数，则和满足（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】直接代入计算即可判断A；判断的单调性，可得成立,计算的值可判断B；分别计算以及可判断C；直接计算可判断D.
【详解】解:选项A:.故A正确;
选项B:为增函数，则成立，
，故B正确;
选项C: ，故C正确;
选项D:,故D错误.
故选：ABC
【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题.
三、填空题
17．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数________.
①定义域为；②值域为；③对任意且，均有.
【答案】（答案不唯一）
【分析】直接按要求写出一个函数即可.
【详解】，定义域为；，，值域为；
是增函数，满足对任意且，均有.
故答案为：（答案不唯一）.
18．（2022·山东淄博·一模）以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则______．
【答案】
【分析】将回归方程化为，再与模型比较系数，即可得到答案.
【详解】由，得，，所以.
故答案为：.
19．（2022·全国·模拟预测）已知，则______．
【答案】
【分析】解法一：分别令，，解出，再整体代入求解.
解法二：令，解出后，再代入求解.
【详解】解法一：令，可得，令，可得，
故．
解法二：令，可得，则，
故．
故答案为：
20．（2022·重庆·模拟预测）已知定义在R上的函数不是常值函数，且同时满足：①；②对任意，均存在使得成立；则函数______．（写出一个符合条件的答案即可）
【答案】(答案不唯一)
【分析】由题设函数性质分析知：关于对称且值域为或，写出一个符合要求的函数即可.
【详解】由知：关于对称，
由对任意，均存在使得成立知：函数值域为或或全体实数，
∴符合要求.
故答案为：(答案不唯一).
四、双空题
21．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数的定义域为R，且满足，当时，若，则实数___________，___________.
【答案】          ##
【分析】①先由得到，再由解析式分别求出，由解出即可；
②直接代入对应解析式计算即可.
【详解】①由可知，又故，
又，故，；
②.
故答案为：；.
22．（2022·江苏·金陵中学二模）已知函数，则的最小正周期为___________；当时，的值域为___________.
【答案】         
【分析】先根据函数周期性的定义说明是函数的一个周期，在利用导数说明函数的单调性，从而证明是最小正周期；
根据函数的单调性可求得最大值，再比较时端点处的函数值大小，即可求得答案.
【详解】因为，
故为的一个周期,
而当时，，
由题意可知，
令，得，故，，
因为当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，故的最小正周期为π，
且在上的最大值为，而，，
故，故当时，函数的值域为,
故答案为：；
23．（2022·山东济南·一模）已知函数，对任意非零实数x，均满足.则的值为___________；函数的最小值为___________.
【答案】     0    
【分析】根据给定条件求出待定系数a，b，进而求出的解析式，代值计算可得，变形函数式并借助二次函数求解最值作答.
【详解】函数，因对任意非零实数x，均满足，
则，有，
即，由等式两边展开式最高次项系数得：，即，
当时，，解得，经检验得，，，对任意非零实数x成立，
因此，
，
，当即时，，
所以的值为0，函数的最小值为.
故答案为：0；
函数的基本性质
一、函数的单调性
一、单选题
1．（2022·天津·耀华中学模拟预测）已知函数，则下述关系式正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据，为偶函数，在（0，+∞）上单调递减求解.
【详解】解：∵，
∴f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴.
∵，
∴，
故选：A.
2．（2022·广东广州·二模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.
【详解】对：容易知是偶函数，且在单调递减，故错误；
对：容易知是偶函数，当时，，
其在单调递增，在单调递减，故错误；
对：容易知是偶函数，当时，是单调增函数，故正确；
对：容易知是奇函数，故错误；
故选：C.
3．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，当时，都有，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析奇偶性，分析周期性，由分析单调性，结合题意选出答案.
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以向左平移一个单位关于直线对称，
所以关于直线（轴）对称，
所以是偶函数，
所以，
又因为，
令得：，
所以，
所以，
所以
所以周期为4，
，当时，都有，
所以，
所以在单调递增，
所以草图如下：

由图像可得：且
所以

所以选项C正确.
故选: C.
4．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知实数满足，，，，，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令，利用导数可求得的单调性，可知有两个不等解，并得到，，根据和可确定的大小关系.
【详解】由题意得：；
令，则，
当时，；当时，；
在上的单调递减，在上单调递增；；
又，当时，；
方程有两个不等解，，；
，又，
，，；
又，，；
综上所述：.
故选：D.
二、多选题
5．（2022·广东茂名·二模）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（       ）（注…为自然对数的底数）
A． B． C． D．1
【答案】BCD
【分析】根据题意，化简得到，令，可得，得出在上是减函数，结合，即可求解.
【详解】由题意，，得，则等价于，即，
所以，则，
令，可得，又，
所以在上是减函数，
所以，解得，则.
故m可能值B、C、D符合要求.
故选：BCD.
6．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，当时，，为非零常数，则下列说法正确的是（       ）
A．当时，
B．当时，在单调递增
C．当时，在的值域为
D．当，且时，若将函数与的图象在的个交点记为，则
【答案】BC
【分析】对于A，可推导得到，由可知A错误；
对于B，由在上的单调性与在单调性相同可知B正确；
对于C，可推导出，则在和上单调递增，在上单调递减，由此确定，知C正确；
对于D，根据图象可确定与有个交点坐标，可求得为等差数列，为等比数列，利用等差和等比数列求和公式知D错误.
【详解】对于A，当时，，则，
当时，，，
，A错误；
对于B，当时，在上的单调性与在的单调性相同，
在上单调递增，在上单调递增，B正确；
对于C，由得：，
依次类推可得：，，……，则；
，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，
；
；
在上的值域为，C正确；
对于D，由图象可知：与的图象在有个交点，且，，

且，数列是等差数列，数列是等比数列，
，D错误.
故选：BC.
7．（2022·广东广东·一模）下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据题意，结合三角函数的图象性质以及图象的变换，一一判断即可.
【详解】对于选项A，因为在上单调递减，所以上单调递减，故A错；
对于选项B，结合的图象性质，易知是以为周期且在上单调递增的偶函数，故B正确；
对于选项C，结合的图象性质，易知没有 周期性，故C错；
对于选项D，令，易知是以为周期且在上单调递增的偶函数，因也是单调递增的，所以是以为周期且在上单调递增的偶函数，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为_________.
【答案】12
【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根得，最后根据基本不等式求最值.
【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为，
，，
所以，为奇函数，
又在单调递减，
所以在单调递减，在出连续，
在单调递减，
所以在上单调递减，
，，
，即，
所以
，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为12.
故答案为：12
9．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
【答案】
【分析】转化原函数为，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解
【详解】函数，定义域为，
又，
因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，
因此，解得.
故答案为：
10．（2022·北京丰台·一模）设函数的定义域为，能说明“若函数在上的最大值为，则函数在上单调递增“为假命题的一个函数是__________.
【答案】，，（答案不唯一）
【分析】根据题意，可以构造在定义域为上，先减后增的函数，满足最大值为1，即可得答案.
【详解】根据题意，要求函数的定义域为，在上的最大值为，但在上不是增函数，
可以考虑定义域为上，先减后增的函数的二次函数，
函数，符合，
故答案为：，，（答案不唯一）.
四、解答题
11．（2022·江苏江苏·一模）已知实数，函数，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)求证：存在极值点，并求的最小值.
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)证明见解析，的最小值是e．
【分析】（1）求导，根据的正负判定函数的增减即可；
（2）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.
（1）当时，，
则
令，得；
令，得；
所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．
（2）
令，因为，
所以方程，有两个不相等的实根，
又因为，
所以，
令，列表如下:





-
0
+

减
极小值
增
所以存在极值点.
所以存在使得成立，
所以存在使得，
所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数，
记，
所以，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以当时，的最小值为．
所以需要，
即需要，
即需要，
即需要
因为在上单调递增，且，
所以需要，
故的最小值是e．
12．（2022·山东青岛·一模）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)设函数，若，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意，利用分离参数法得到对恒成立.设，利用导数判断出函数在上单调递增，求出；
（2）把题意转化为，恒成立.由为的一个极小值点，解得.代入原函数验证成立.
(1)由题意知
因为函数在上单调递增，所以，
即对恒成立
设，则
当时，
当时，
所以函数在上单调递增
所以
(2)由题知
所以，
因为，所以，
即为的最小值，为的一个极小值点，
所以，解得
当时，
所以
①当时，（当且仅当时等号成立）
所以在上单调递增
②当时，若，；
若，
所以在上单调递减
综上，在上单调递减，在上单调递增
所以当时，
13．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知函数，，且
(1)若，且，试比较与的大小关系，并说明理由；
(2)若，且，证明：
（i）；
（ii）.
（参考数据：）
【答案】(1)，理由见解析(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）由时，，，可得，构造，求导分析单调性，由，故，分析即得解；
（2）（i）由题意，，先证明，代入分析可得，构造，求导分析单调性，结合而，即得解；
（ii）构造，可得，再构造，，分析即得解
(1)对函数，求导得：
，
当时，.
而，.
由，知，
因此，唯一且
由知，.
构造，则.
故在单调递增；
因此，由知.
故，结合单调性知.
(2)（i）证明：由题意得.
构造，则，.
因此.
因此.
故.
因此
故.
因此.
构造，则.
而，，因此.
（ii）由知.
因此.
构造，则.
因此在上单调递减.
因此，故.
因此，结合单调性知，故.
构造，，则.
因此在上单调增，上单调减.
而当时，，单调减.
因此，.
而，因此，因此.
因此.
二、函数的最值
一、单选题
1．（2021·湖南·模拟预测）已知奇函数为上的增函数，且在区间上的最大值为9，最小值为-6，则的值为（       ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】D
【分析】由题意结合函数的单调性及奇函数的性质即可得解.
【详解】因为奇函数为上的增函数，且在区间上的最大值为9，最小值为-6，
所以，，
所以．
故选：D.
2．（2022·浙江嘉兴·二模）设a，，若时，恒有，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用特殊值及解决恒成立问题常用分离参数转化为求最值问题即可求解.
【详解】当时，恒有，
当时，原式化为；
当时，原式化为，即，
.
又时，恒成立；
，即恒成立；
恒成立；
当时，恒成立，
令，则
由二次函数的性质，知在单调递增；
，即，
又，，则.
对于A，，故A不正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C 正确；
对于D，，故D不正确.
故选：C.
3．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）设，则有（       ）
A．存在成立 B．任意恒成立
C．任意恒成立 D．存在成立
【答案】B
【分析】利用配方法可得，即得.
【详解】∵

又，
∴恒成立，
即恒成立，故ACD错误.
故选：B.
4．（2022·重庆·二模）已知，若对任意恒成立，则实数m的最大值为（       ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】由题意，先求出与的关系，则题中不等式可以分离参数得恒成立，又，则只需由基本不等式求出的最小值，即可得出结果
【详解】，
因为对任意恒成立，且，
所以，对任意恒成立
令，由基本不等式易得，当时，取得最小值，且，
故选：B
5．（2022·天津实验中学模拟预测）已知函数，若∃∈R，使得成立，则实数m的取值范围为(       )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】问题等价于，求出解不等式即可.
【详解】x＜2时，f(x)＝，
x＞2时，f(x)＝＞1，
故，∴，解得.
故选：B.
二、多选题
6．（2022·湖北·一模）已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．是偶函数 B．在（0，+∞）上单调递减
C．是周期函数 D．≥-1恒成立
【答案】AD
【分析】判定的奇偶性判断选项A；判定的单调性判断选项B；判定的周期性判断选项C；求得的最小值判断选项D.
【详解】的定义域为R
，
则为偶函数.故选项A判断正确；
时，
恒成立，则为上增函数.
故选项B判断错误；选项C判断错误；
又为偶函数，则为上减函数
又，则的最小值为.故选项D判断正确；
故选：AD
7．（2022·福建漳州·一模）已知函数，则（       ）
A．的定义域为 B．是偶函数
C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为
【答案】AD
【分析】根据函数的解析式，分别从定义域、奇偶性、零点、最值考察即可求解.
【详解】对A，由解析式可知的定义域为，故A正确；
对B，因为，可知是奇函数，故B不正确；
对C,，得，故C不正确；
对D, 当时，，当且仅当时取等号，
故D正确.
故选：AD
三、填空题
8．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学模拟预测）已知平面单位向量，满足.设，，向量，的夹角为，则的最大值是_______________.
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值，即得的最大值.
【详解】，
，
，
，
∴当时，取得最小值，
则取得最大值，的最大值是.
故答案为：.
9．（2022·湖北·一模）已知函数（x>0），若的最大值为，则正实数a=___________.
【答案】1
【分析】依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值.
【详解】令，则，则
令
当时，在上单调递增，
则，即的最大值为
则，解之得.
当时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为
则，解之得（舍）
综上，所求正实数
故答案为：1
10．（2020·山东临沂·二模）若，，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】利用基本不等式的最小值，由此可得出实数的取值范围.
【详解】，，则，
由基本不等式可得，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
因此实数的取值范围是.
故答案为：.
11．（2021·北京延庆·模拟预测）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…），对于函数以下结论正确的是______．
①如果，那么函数为奇函数；
②如果，那么为单调函数；
③如果，那么函数没有零点；
④如果那么函数的最小值为2．
【答案】②③
【分析】利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质对①②③④逐一分析即可得到结论.
【详解】对①：当时，函数，此时为偶函数，故①错误.
对②：当时，令，函数在其定义域上为单调递增函数，函数在其定义域上也为单调递增函数，故函数在其定义域上为单调递增函数；当，函数在其定义域上为单调递减函数，函数在其定义域上也为单调递减函数，故函数在其定义域上为单调递减函数；综上：如果，那么为单调函数；故②正确.
对③：当时，函数，
当时，函数；
综上：如果，那么函数没有零点；故③正确.
对④：由，则，
当时，函数；
当时，函数；
故时，函数没有最小值；故④错误.
故答案为：②③
12．（2021·浙江浙江·二模）设，，若，且的最大值是，则___________.
【答案】4
【分析】令=d与已知等式联立消元得一元二次方程，利用判别式法即可得解.
【详解】令=d，由消去a得：，即，
而，，则，，，
依题意，解得.
故答案为：4
四、解答题
13．（2022·海南·模拟预测）已知函数.
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)设，若当时，，求实数a的取值范围.
【答案】(1)最大值为，最小值为(2)
【分析】（1）对函数求导，利用导数在函数最值中的应用，即可求出结果；
（2）对函数求导，分和，两种情况研究函数的单调性，利用函数的单调性求出的最大值，再结合，即可求出结果.
(1)解：由条件得，
当时，有，，，所以，
即在上单调递减，
因此在区间上的最大值为，最小值为.
(2)解：由题意得，
所以，
若，当时，有，
所以在上单调递增，所以，符合题意.
若，令，则，
当时，，所以在上单调递减.
又因为，，所以在上存在一个零点，
当时，，即，所以单调递减，
此时，不符合题意.
综上可知，a的取值范围是.
14．（2021·江西·模拟预测）设函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)若，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性可得答案；
（2）转化为，使得，令，转化为在有解，构造函数利用单调性可得答案.
(1)因为函数是定义在上的奇函数，所以，且，
设，则，所以，所以，
所以.
(2)若，使得，由（1）知即，使得，
令，则转化为在有解，
令，
设，则，
因为，所以，所以，即
在时是单调递增函数，所以，
所以，
所以实数的取值范围是.
三、函数的奇偶性
一、单选题
1．（2022·广东茂名·二模）已知，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定函数的奇偶性，由导数确定单调性，然后由奇偶性变形不等式，由单调性求解．
【详解】由题意知的定义域为R，且，得为奇函数，且，且在上单调递增．
由得，即．解得．
故选：B．
2．（2022·湖南湘潭·三模）函数的部分图象大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先通过奇偶性排除C选项，再结合时排除A、B选项即可.
【详解】易知，函数定义域为R，因为，所以是奇函数，排除C选项；
当时，，则，排除A、B选项.
故选：.
3．（2022·广东茂名·二模）已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】首先利用方程组法求函数的解析式，由解析式判断的对称性，利用导数分析的单调性及极值点，根据函数有唯一的零点知极小值，即可求正实数值.
【详解】由题设，，可得：，
由，易知：关于对称.
当时，，则，
所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大，
所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得.
故选：B
4．（2021·全国·模拟预测）已知为定义在R上的奇函数，且当时，，则（       ）
A．﹣2022 B．2022 C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质和对数运算法则即可求解.
【详解】因为为定义在R上的奇函数，且当时，，
所以，
故选：C.
5．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数，若且，则有（       ）
A．可能是奇函数，也可能是偶函数 B．
C．时， D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义结合即可判断A；令，利用导数结合已知判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断BCD即可得解.
【详解】解：若是奇函数，则，
又因为，与矛盾，
所有函数不可能时奇函数，故A错误；
令，
则，
因为，，
所以，所以函数为增函数，
所以，即，
所以，故B错误；
因为，所以，，
所以，
故，即，
所以，故C错误；
有，即，故D正确.
故选：D.
6．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（       ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，计算可得，经检验均符合题意，即可得解.
【详解】由为奇函数，
所以，
所以，可得，
解得，
当时，的定义域为，符合题意，
当时，的定义域为符合题意，
故选：D
7．（2022·湖北·二模）已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判断的奇偶性与单调性，由题意列不等式后求解
【详解】由得定义域为，
，故为偶函数，
而，在上单调递增，
故在上单调递增，
则可化为，得
解得
故选：D
8．（2022·天津三中二模）设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（       ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【答案】C
【分析】令函数，得出函数为奇函数，其图象关于原点对称，进而求得函数的图象关于点中心对称，得到当时，再结合倒序相加法，即可求解.
【详解】令函数，则，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，
可得的图象关于点中心对称，
即当，可得，
设
，
所以

所以.
故选：C.
二、多选题
9．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（       ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
【答案】ABD
【分析】令可推导得，结合的值可知A正确；令可推导得，结合可推导知B正确；根据单调性可知C错误；当时，根据的对称中心及其在时的值域可确定时满足，知D正确.
【详解】对于A，令，则，即，
又，；
令得：，，，，
则由可知：当时，，A正确；
对于B，令，则，即，
，
由A的推导过程知：，，B正确；
对于C，为上的增函数，
当时，，则；当时，，则，
不存在非零实数，使得任意，，C错误；
对于D，当时，；
由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；
当时，为上的增函数，，，，
；
由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
10．（2022·广东深圳·二模）已知函数是偶函数，则___________．
【答案】##0.5
【分析】依据偶函数的定义建立方程即可求解.
【详解】由题意知：是偶函数，
则，
即：
即：
即：，解得：.
故答案为：.
11．（2022·山东菏泽·一模）已知奇函数在区间上是增函数，且，，当，时，都有，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】根据函数的单调性将不等式进行转化，根据函数奇偶性和单调性的关系以及抽象函数关系判断出函数在区间上也是增函数 ，利用赋值法求得特殊值，再根据函数的单调性进行求解即可．
【详解】不等式等价为，
即或，
即或，
是奇函数，且，   
，
故 ，则 ，
，
，
又奇函数在区间上是增函数 ，故在区间上也是增函数，
故即或，
此时 ；
而即 或，
此时 ；
故不等式的解集为，
故答案为：
12．（2022·山东枣庄·一模）已知函数是偶函数，则实数的值为______．
【答案】2
【分析】直接由偶函数得到，化简求解即可.
【详解】由题意知：定义域为R，函数是偶函数，则，
即，化简得，解得.
故答案为：2.
四、函数的周期性
一、单选题
1．（2022·山东济宁·一模）定义在R上的奇函数满足，则（       ）
A．0 B．1 C．－1 D．2022
【答案】A
【分析】求出函数的周期，利用周期和可得答案.
【详解】因为，可得，
所以，
所以的周期为4，
函数是定义在上的奇函数，所以，
所以，
.
故选：A.
2．（2022·福建·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，且，则（       ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的概念和性质可得f（x）是周期为4的函数，将f（2021）化为f（1）即可.
【详解】因为f（x）为奇函数，
所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f（x－1），
所以f（x＋3）＝f（x＋2＋1）＝－f（x＋2－1）＝f（x－1），
所以，
即f（x）是周期为4的函数，
故f（2021）＝f（1）＝－f（－1）＝－1.
故选：D
3．（2022·江苏江苏·二模）已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝(       )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据g(x＋1)得到g(x)关于x＝1对称，得到，结合g(x)＝(x－1)和f(x)为偶函数即可得f(x)周期为4，故可求出f(2.5)＝2，则即可求值﹒
【详解】为偶函数，则关于对称，即，
即，即，
关于对称，又f(x)是定义域为R的偶函数，
∴，
∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)，
周期为，
∴，
.
故选：D.
二、多选题
4．（2022·河北·模拟预测）若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（       ）
A．函数的图象关于点对称
B．2是函数的一个周期
C．
D．
【答案】AC
【分析】本题考查抽象函数的对称性与周期性，利用函数是奇函数得到关系式和，即可逐个判断出选项.
【详解】函数是奇函数，，函数图象关于点对称，故A正确；
函数是周期为2，所以的周期为4，故B错误；
函数是周期为2的奇函数， ，故C正确；
，无法判断的值，故D错误.
故选：AC.
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则（       ）
A．是函数的一个周期
B．是函数的一条对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．函数在上单调递增
【答案】ABC
【分析】根据给定条件利用周期定义、对称性性质判断选项A，B；换元借助二次函数最值判断选项C；利用复合函数单调性判断选项D作答.
【详解】因，A正确；
因
，B正确；
令，有，则，，
因为在上单调递增，即函数的最大值为，最小值为， C正确；
函数由和复合而成，函数在上单调递增，
在上递增，在上递减，则函数在上不单调，D不正确.
故选：ABC
6．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，函数且，则下列结论正确的有（       ）
A．是周期为的周期函数
B．当时，
C．若在上单调递减，则
D．若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据周期性定义可知A正确；由，可知B错误；
由分段函数单调性可确定两段函数单调性及分段处大小关系，由此得到不等式组知C正确；
分别在和两种情况下，采用数形结合的方式确定不等关系，解得的范围，知D正确.
【详解】对于A，，是周期为的周期函数，A正确；
对于B，当时，，，
又是周期为的周期函数，当时，，B错误；
对于C，若在上单调递减，则，，C正确；
对于D，当时，若在上有个不同的实数根，则大致图象如下图所示，

，解得：；
当时，若在上有个不同的实数根，则大致图象如下图所示，

，解得：；
综上所述：的取值范围为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
7．（2022·广东茂名·二模）请写出一个函数_______，使之同时具有以下性质：①图象关于y轴对称；②，．
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据题设函数性质的描述，只需写出一个周期为4的偶函数，结合余弦函数的性质即可写出函数解析式.
【详解】由题设，写出一个周期为4的偶函数即可，
所以满足题设要求.
故答案为：(答案不唯一)
8．（2022·重庆·二模）已知定义域为R的函数满足且，则函数的解析式可以是______.
【答案】（答案不唯一）；
【分析】根据题意，得到函数是定义域上的奇函数，且周期为2，进而得到函数的解析式.
【详解】由题意，函数满足且，
可得函数是定义域上的奇函数，且周期为2，
可令函数的解析式为（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）；
五、函数的对称性
一、单选题
1．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在时的值域为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由对称性先求出的解析式，再由平移得出的解析式，再由正弦函数的性质得出其值域.
【详解】设为的图像上一点，则点关于直线对称的点为
由题意点在函数的图象上，则
所以，则
当时，，则
所以
故选：C
2．（2021·全国·模拟预测）已知函数，且对任意的实数x，恒成立.若存在实数，，…，（），使得成立，则n的最大值为（       ）
A．25 B．26 C．28 D．31
【答案】B
【分析】求解本题的关键：一是根据已知条件得到，，从而求出函数的解析式；二是根据函数的解析式的结构特征换元求得时的值域；三是根据题意得到.
【详解】由题意得，，所以解得所以
.
令，若，则.
令，，故，即当时，.存在，，…，（）使得成立，即存在，，…，（），使得，由时，的最小值为2，最大值为51，得，得，又，所以可得n的最大值为26.
故选：B.
3．（2021·浙江·模拟预测）已知定义在上的图象连续的函数的导数是，，当时，，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设，易知，构造，利用导数研究其在上的单调性，并确定对称轴，进而得到的单调性，由等价于，即可求解集.
【详解】当时，，即有．
令，则当时，，故在上单调递增．
∵，
∴关于直线对称，故在上单调递减，
由等价于，则，得．
∴的解集为．
故选：A.
4．（2021·广东·梅州市梅江区嘉应中学模拟预测）已知定义在R上的函数满足：对任意，都有，且当时，（其中为的导函数）．设，，，则a，b，c的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知确定函数的对称性与单调性，然后把“”后面自变量的值转化为同一单调区间上，可得大小关系．
【详解】由，得的图象关于直线对称，又时，，所以，即在上单调递减，所以在上单调递增，
，，，，
，，所以，
所以．
故选：C．
二、多选题
5．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知三次函数，若函数的图象关于点（1，0）对称，且，则（       ）
A． B．有3个零点
C．的对称中心是 D．
【答案】ABD
【分析】由题设且，可得，代入解析式，结合已知条件即可判断选项的正误.
【详解】由题设，，且，
所以，整理得，
故，可得，故，
又，即，A正确；有3个零点，B正确；
由，则，所以关于对称，C错误；
，D正确.
故选：ABD
三、填空题
6．（2022·重庆·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式__________.
①的定义域为，值域为；
②；
③在上单调递减.
【答案】
【分析】根据②判断函数对称性，结合①③的性质选择函数即可.
【详解】因为，
所以函数的对称轴为：，该函数可以是二次函数，
又因为的定义域为，值域为，在上单调递减，
所以该二次函数为：，
故答案为：
7．（2022·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．
【答案】9
【分析】根据给定条件，构造函数，，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.
【详解】由，令，，
显然与的图象都关于直线对称，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，

观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，
这6个点两两关于直线对称，有，则，
所以函数的所有零点之和为9.
故答案为：9

一、单选题
1．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
2．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（       ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】C
【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.
【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数.
故选：C
3．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】由题知：，解得且.
所以函数定义域为.
故选：B
4．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．



所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
5．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
6．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
二、填空题
7．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
三、解答题
8．（2021·全国·高考真题（文））已知函数．

（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.
【详解】（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.


一、单选题
1. （2022·全国·模拟预测）已知函数的值域为，则a的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【分析】利用函数的单调性分别求出和时，所对应函数解析式的范围，根据函数的值域即可求出的取值范围.
【详解】由已知得
当时，，值域为；
当时，，值域为；
∵函数的值域为，
∴，则a的最小值为1.
故选：A.
2. （2022·北京·北师大实验中学模拟预测） 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性、在上的单调性即可判断作答.
【详解】对于A，函数定义域是，不是偶函数，A不是；
对于B，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递增，B是；
对于C，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递减，C不是；
对于D，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递减，D不是.
故选：B
3. （2022·全国·模拟预测） 函数在上的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】先求函数的定义域，根据函数的奇偶性，排除部分选项，再利用特殊点处的函数值排除不合适的选项，即可得解.
【详解】由题知的定义域为R，，所以是偶函数，排除A；
，排除B，D.
故选：C.
4. （2022·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A. e B. 1 C. D.
【答案】C
【分析】根据分段函数的定义及对数的运算即可求得答案.
【详解】由题意，.
故选：C.
5. （2022·全国·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】解法一，利用特殊值，即可排除选项；解法二，通过特殊值，以及时，，即可排除选项.
【详解】解法一 由，排除A；由，排除C；因为，所以，排除B.
故选：D.
解法二 当时，，，排除B；由，排除A，C.
故选：D.
6. （2022·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由题设得且关于中心对称，利用导数及对称性研究在R上单调性，再讨论的符号并利用单调性解不等式.
【详解】由得：且关于成中心对称．
当时， ，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增，由中心对称可得：在R上单调递增．
由得：或，解得.
故选：A．
7. （2022·全国·模拟预测）若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】法一：由题设得，结合二次函数的性质研究符号，进而确定的单调性，求得不同情况下的最值并结合，即可求参数范围；
法二：由题设可得、，应用作差法，与比较大小，即可确定最值结合，即可求参数范围；
【详解】法一：由题意，，对于，
当，即时，，在上单调递增，
所以，即，因此；
当，即时，由、且，则在上有两个不相等的实根，，
不妨设，则上，上，上，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由此，，.
由，则，同理可得，
所以，，则，解得，与矛盾.
综上，.
法二：由题意得：，.
当时，，即，
所以；
，又，，即，
所以.
综上，，即，得.
故选：B.
8. （2022·全国·模拟预测） 已知为R上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由将原不等式转化为，然后利用的图象与性质将问题转化为，解不等式即可得解.
【详解】由，得，
设，
则在上单调递增，∵为奇函数，
∴为偶函数，
而，则，解得：，
故选：C.
9. （2022·广东汕头·一模）定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据条件可得出函数是以4为周期的周期函数，作出，的图象，根据函数为偶函数，原问题可转化为当时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可.
【详解】因为，且为偶函数
所以，即，
所以函数是以4为周期的周期函数，
作出，在同一坐标系的图象，如图，



因为方程至少有8个实数解，
所以，图象至少有8个交点，
根据，的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，
由图可知，当时，只需，即，
当时，只需，即，
当时，由图可知显然成立，
综上可知，.
故选：B
二、多选题
10. （2022·辽宁大东·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且为偶函数，若当时，，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【分析】确定函数的周期性，然后由周期性、奇偶性求值．
【详解】是偶函数，即图象关于轴对称，所以的图象关于直线对称，
又是奇函数，
所以，
所以，所以是周期为8的周期函数，
，所以，，A错；
，B正确；
，而，所以，C错；
，D正确．
故选：BD．
11. （2022·河北·模拟预测）已知定义在上的偶函数，其导函数为，当时，.则（ ）
A. B. 函数在区间上单调递减
C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为
【答案】BC
【分析】对于A，由偶函数的性质判断，对于B，由已知可得时，，从而可判断，对于CD，令，先判断其奇偶性，然后利用导数可判断出在上单调递减，再将转化为，则，再利用其单调性可解得，
【详解】对于A，由为偶函数，不一定为0，所以A错误，
对于B，当时，由，有，可得函数在上单调递减，所以B正确，
对于CD，令，
∴，为偶函数.
当时，，∴在上单调递减.
又∵为偶函数，故在上单调递增.
由，得，
∴，即.
∴.∴，解得.所以C正确，D错误，
故选：BC
12. （2022·江苏泰州·一模） 定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A. 在上是“弱减函数”
B. 在上是“弱减函数”
C. 若在上是“弱减函数”，则
D. 若在上是“弱减函数”，则
【答案】BCD
【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.
【详解】对于A，在上单调递减，不单调，故A错误；
对于B，，在上，函数单调递减，
，，∴在单调递增，故B正确；
对于C，若在单调递减，由，得，
∴，在单调递增，故C正确；
对于D，在上单调递减，
在上恒成立，
令，，令，
，
∴在上单调递减，，
∴，∴在上单调递减，，
∴，
在上单调递增，
在上恒成立，
∴，
令，，
∴在上单调递增，，
∴，
综上：，故D正确.
故选：BCD.
13. （2022·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 当时，函数在上单调递增
D. 若函数在上存在零点，则a的取值范围是
【答案】BCD
【分析】利用周期的定义可判断A，利用对称性的概念可判断B，利用复合函数的单调性可判断C，由题可得在上有解，然后利用函数的单调性即求.
【详解】因为，所以时，，故A错误；
因为，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，设，
当时，单调递减且，又函数在上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，故C正确；
设，则当时，，又在上有解，故方程在上有解，得在上有解，易知在上单调递减，所以，故D正确.
故选：BCD.
14. （2022·山东菏泽·一模）对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德（公元前287—公元前212）借助正96边形得到著名的近似值：．我国数学家祖冲之（430—501）得出近似值，后来人们发现，这是一个“令人吃惊的好结果” ．随着科技的发展，计算的方法越来越多．已知，定义的值为的小数点后第n个位置上的数字，如，，规定．记，，集合为函数的值域，则以下结论正确的有（ ）
A. B.
C. 对 D. 对中至少有两个元素
【答案】AC
【分析】对于A：根据定义，直接求出，即可判断；
对于B：根据定义，直接求出的值域为，即可判断；
对于C：求出，即可判断；
对于D：求出k=10时，的值域为，即可否定结论.
【详解】对于A：由题意，集合为函数的值域，所以集合为函数的值域.
所以由可得：，，，，，，，，，，故.故A正确.
对于B：由题意，集合为函数的值域，所以集合为函数的值域.
规定．记，，
所以，令，，则，
因为
，
所以



所以的值域为.故B错误.
对于C：因为，所以，所以对.故C正确；
对于D：
由C的推导可知：.
因为，，
所以，令，，则，
因为
，
所以

，
，


即k=10时，的值域为.故D错误.
故选：AC
三、填空题
15. （2022·山东潍坊·一模） 已知函数则______.
【答案】7
【分析】根据函数每段的定义域求解.
【详解】因为函数
所以，
所以7，
故答案为：7
16. （2022·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】首先判断函数的单调性及奇偶性，将脱掉“f”，得到，然后构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得解.
【详解】由，得，
∵，，等号不会同时取得，
∴，
∴函数为增函数.
∵，
∴函数为奇函数；
故，即，
∴，可得，
令，则，
且，
当时，， 单调递增，此时时，，
当时，，单调递减，此时时，，
所以不等式的解集为.
17. （2022·全国·模拟预测） 已知函数为偶函数，则__________.
【答案】1
【分析】由函数为偶函数可得，化简整理得，从而可求出的值
【详解】由偶函数的定义得，
所以，即，
所以，即，
整理得，
此等式在函数的定义域内恒成立，所以，即.
故答案为：1
18. （2022·全国·模拟预测）已知函数（且），若不等式的解集为，则a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由得到a取不同值时x的范围，由的解集为得到及，即可得出答案.
【详解】若，则，即，
当时，，当时，.
由的解集为，得，，
故，所以解得，
又因为，所以，又，所以.
故答案为：