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湖北省十堰市2022年中考数学试卷解析版
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这是一份湖北省十堰市2022年中考数学试卷解析版，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省十堰市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．2的相反数是（ ）
A．2 B．－2 C．12 D．−12
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2的相反数是-2.
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可.
2．下列四个几何体中，主视图与俯视图不同的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、正方体的主视图与俯视图都是正方形，选项不符合题意；
B、圆柱横着放置时，主视图与俯视图都是长方形，选项不符合题意；
C、圆锥的主视图与俯视图分别为三角形、圆形，故符合题意；
D、球体的主视图与俯视图都是圆形，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】主视图就是从正面看得到的图形，俯视图就是上面看得到的图形，分别求出各几何体的主视图与俯视图，再判断即可.
3．下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3=a2 B．a2+2a2=3a2 C．(2a)3=6a3 D．(a+1)2=a2+1
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 a6÷a3=a3 ，故本选项错误，不符合题意；
B、 a2+2a2=3a2 ，故本选项正确，符合题意；
C、 (2a)3=8a3 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 (a+1)2=a2+2a+1 ，故本选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，据此即可判断A；合并同类项的时候，只把同类项的系数相加减，字母和字母的指数都不变，据此即可判断B；根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此即可判断C；根据完全平方公式的展开式是一个三项式即可判断D.
4．如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上.这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线
【解析】【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线.
故答案为：B.
【分析】根据“两点确定一条直线”进行解答即可.
5．甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5.下列说法中不一定正确的是（ ）
A．甲、乙的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙成绩的众数相同
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲射击成绩的方差是 1.1，乙射击成绩的方差是 1.5，且平均数都是8环，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲射击成绩比乙稳定，乙射击成绩的波动比甲较大，
∵甲、乙射靶 10 次，
∴甲、乙射中的总环数相同，
故A、B、C选项都正确，
但甲、乙射击成绩的众数不一定相同.
故D错误；
故答案为：D.
【分析】在数据的总个数及平均数一样的情况下，方差越大，数据的波动就越大，成绩越不稳定， 而众数就是一组数据中出现次数最多的数据，据此即可一一判断得出答案.
6．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗， 醐洒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清跴酒各几何?”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗䣾酒价值3斗谷子， 现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清洒， 酳酒各几斗? 如果设清酒 x 斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3(5−x)=30 B．3x+10(5−x)=30
C．x3+30−x10=5 D．x10+30−x3=5
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：根据题意，得：10x+3（5－x）=30，
故答案为：A.
【分析】 设清酒x斗， 则酳酒为（5－x）斗，根据“ 现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，建立关于x的方程即可.
7．如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB.如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，
∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，
∴19+2x=10，
∴x=0.5（cm）.
故答案为：B.
【分析】证明△AOB∽△COD，利用相似三角形的性质求出AB，再根据某零件的外径为10cm，可得19+2x=10，即可求出x值.
8．如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A．m(cosα−sinα) B．m(sinα−cosα)
C．m(cosα−tanα) D．msinα−mcosα
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°.
在Rt△CDB中，CD=m×cosα，BD=m×sinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）
=m（cosα-sinα）.
故答案为：A.
【分析】过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，根据锐角三角形函数的定义求出CD=
mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，可得AD=CD×tan45°=mcosα，根据AB=AD-BD即可求解.
9．如图， ⊙O 是等边 △ABC 的外接圆，点 D 是弧 AC 上一动点（不与 A ， C 重合），下列结论：①∠ADB=∠BDC ；②DA=DC ；③当 DB 最长时， DB=2DC ；④DA+DC=DB ，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴AB=BC ，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点D是 AC 上一动点，
∴AD 不一定等于 CD ，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当DB最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵⊙O 是等边△ABC 的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴DB=2DC ，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴DA+DC=DB ，故④正确；
∴正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】由△ABC是等边三角形及等弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=∠BDC=60°，故①正确；由点D是 AC 上一动点，故②错误；当DB最长时，DB为圆O的直径，结合 ⊙O 是等边△ABC的外接圆，可得BD⊥AC，从而求出∠ABD=∠CBD=30°，根据直角三角形的性质可求出DB=2CD，故③正确；如图，延长DA至点E，使AE=DC，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而证得△BDE是等边三角形，可得DE=BD，从而得出BD=DE=AD+AE=AD+CD，故④正确.
10．如图，正方形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y=k1x(k1>0) 和 y=k2x(k2>0) 的图象上.若 BD∥y 轴，点 D 的横坐标为3，则 k1+k2= （ ）
A．36 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）.
∴点D的坐标为（3， k23 ），
∴点C的坐标为（3-t， k23 +t）.
∵点C在反比例函数y= k2x 的图象上，
∴（3-t）（ k23 +t）=k2，化简得：t=3- k23 ，
∴点B的纵坐标为 k23 +2t= k23 +2（3- k23 ）=6- k23 ，
∴点B的坐标为（3，6- k23 ），
∴3×（6- k23 ）= k1 ，整理，得： k1 + k2 =18.
故答案为：B.
【分析】连接AC，与BD相交于点P，设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），可得点D（3， k23 ），点C（3-t， k23 +t），将点C代入y= k2x 中，可得t=3- k23，从而求出点B（3，6- k23 ），将点B坐标代入 y=k1x(k1>0)中，即可求解.
二、填空题
11．袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年努力，目前我国杂交水稻种植面积约为2.5亿亩.将250000000用科学记数法表示为 2.5×10n ，则 n= .
【答案】8
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解： ∵250000000=2.5×108=2.5×10n .
∴n=8
故答案为：8.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
12．关于 x 的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 .
【答案】0≤x＜10
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：该不等式组的解集为0≤x＜10
故答案为：0≤x＜10.
【分析】求出两解集的公共部分即可，注意：界点处是空心，不含“=”，界点处是实心，含“=”.
13．“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡 AF ， AG 分别架在墙体的点 B ， C 处，且 AB=AC ，侧面四边形 BDEC 为矩形，若测得 ∠FBD=55° ，则 ∠A= ° .
【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】 解：∵ 四边形BDEC为矩形
∴∠DBC=90°
∵∠FBD=55° ，
∴∠ABC=90°−55°=35°
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC=35°
∴∠A=180°−∠ABC−ACB=110°
故答案为：110.
【分析】由矩形的性质可得∠DBC=90°，利用平角的定义可求出∠ABC=35°，由AB=AC可得∠ACB=
∠ABC=35°，利用三角形的内角和即可求出∠A的度数.
14．如图，某链条每节长为 2.8cm ，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为 1cm ，按这种连接方式，50节链条总长度为 cm .
【答案】91
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：2节链条的长度是（2.8×2-1） cm ，
3节链条的长度是（2.8×3-1×2） cm ，
n节链条的长度是2.8n-1×（n-1） cm ，
所以50节链条的长度是：2.8×50-1×（50-1）
=140-1×49
=91 (cm)
故答案为：91.
【分析】由一节链条的长度，分别求出2节链条、3节链条的总长度，然后从数字得出规律n节链条的长度是2.8n-1×（n-1），将n=50代入计算即可.
15．如图，扇形 AOB 中， ∠AOB=90° ， OA=2 ，点 C 为 OB 上一点，将扇形 AOB 沿 AC 折叠，使点 B 的对应点 B' 落在射线 AO 上，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】2π+4–4 2
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AB，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB= OA2+OC2=22+22=22 ，
由折叠可得： AB′=AB=22 ， CB′=CB ，
∴OB′=22−2 ，
设OC=x，则 CB′=CB =2-x，
在Rt△COB'中，由勾股定理，得
(22−2)2+x2=(2−x)2 ，
解得：x= 22−2 ，
S阴影=S扇形-2S△AOC
= 90π×22180−2×12OA⋅OC
= 90π×22180−2×12×2×(22−2)
=2π+4–4 2 ，
故答案为：2π+4–4 2 .
【分析】连接AB，由勾股定理求出AB=22，由折叠可得AB′=AB=22 ， CB′=CB ，即可得出OB′=22−2 ，设OC=x，则 CB′=CB =2-x，在Rt△COB' 中，由勾股定理建立关于x方程，求解即得OC，根据S阴影=S扇形-2S△AOC即可求解.
16．【阅读材料】如图①，四边形 ABCD 中， AB=AD ， ∠B+∠D=180° ，点 E ， F 分别在 BC ， CD 上，若 ∠BAD=2∠EAF ，则 EF=BE+DF .
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形 ABCD .已知 CD=CB=100m ， ∠D=60° ， ∠ABC=120° ， ∠BCD=150° ，道路 AD ， AB 上分别有景点 M ， N ，且 DM=100m ， BN=50(3−1)m ，若在 M ， N 之间修一条直路，则路线 M→N 的长比路线 M→A→N 的长少 m （结果取整数，参考数据： 3≈1.7 ）.
【答案】370
【知识点】二次根式的加减法；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，延长AB、DC 交于点E ，连接 CM、CN ，
∵∠D=60° ， ∠ABC=120° ， ∠BCD=150° ，
∴∠A=30° ， ∠E=90° ，
∵DC=DM=100
∴△DCM 是等边三角形，
∴∠DCM=60° ，
∴∠BCM=90° ，
在 Rt△BCE 中， BC=100 ， ∠ECB=180°−∠BCD=30° ，
EB=12BC=50 ， EC=3EB=503 ，
∴DE=DC+EC=100+503 ，
Rt△ADE 中， AD=2DE=200+1003 ， AE=3DE=1003+150 ，
∴AM=AD−DM=200+1003−100=100+1003 ，
AN=AB−BN=(AE−EB)−BN
=(1003+150−50)−50(3−1)
=503+150 ，
∴AM+AN=100+1003+503+150=250+1503 ，
Rt△CMB 中， BM=BC2+CM2=1002
∵EN=EB+BN=50+50(3−1)=503=EC
∴△ECN 是等腰直角三角形
∴∠NCM=∠BCM−∠NCB=∠BCM−(∠NCE−∠BCE)=75°=12∠DCB
由阅读材料可得 MN=DM+BN=100+50(3−1)=50(3+1) ，
∴ 路线 M→N 的长比路线 M→A→N 的长少 250+1503−50(3+1)=200+1003≈370m .
故答案为：370.
【分析】延长AB、DC 交于点E ，连接 CM、CN ，由四边形内角和求出∠A=30°，利用三角形内角和求出∠E=90°，易求△DCM是等边三角形，在Rt△BCE中，易求∠ECB=30°，可得EB=12BC
=50，EC=3EB=503，即得DE=DC+EC=100+503，利用直角三角形的性质及线段的和差，可求出AM、AN，即可求出AM+AN的值，求出△ECN是等腰直角三角形，由阅读材料可得 MN=DM+BN=100+50(3−1)=50(3+1)， 从而得出路线 M→N 的长比路线 M→A→N 的长少AM+AN-MN，据此计算即可.
三、解答题
17．计算： (13)−1+|2−5|−(−1)2022 .
【答案】解： (13)−1+|2−5|−(−1)2022
=3+5−2−1
= 5
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂、绝对值、乘方法则分别进行计算，再计算有理数的加减法即可.
18．计算： a2−b2a÷(a+b2−2aba) .
【答案】解：原式＝ (a+b)(a−b)a÷(a2+b2−2aba)
=(a+b)(a−b)a×a(a−b)2
=a+ba−b .
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式加法法则计算，再将除法转化为乘法，同时将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而进行即可化简.
19．已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x−3m2=0 .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 α ， β ，且 α+2β=5 ，求 m 的值.
【答案】（1）证明： Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1⋅(−3m2)=4+12m2 ，
∵12m2≥0 ，
∴4+12m2≥4>0 ，
∴ 该方程总有两个不相等的实数根
（2）解： ∵ 方程的两个实数根 α ， β ，
由根与系数关系可知， α+β=2 ， α⋅β=−3m2 ，
∵α+2β=5 ，
∴α=5−2β ，
∴5−2β+β=2 ，
解得： β=3 ， α=−1 ，
∴−3m2=−1×3=−3 ，即 m=±1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒大于零即可；
（2） 由根与系数关系可知α+β=2① ， α⋅β=−3m2 ②，由α+2β=5③，联立①③可求出α，β的值，再代入②求出m值即可.
20．某兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图表.
抽取的学生视力情况统计表
类别
调查结果
人数
A
正常
48
B
轻度近视
76
C
中度近视
60
D
重度近视
m
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：m= ，n= ；
（2）该校共有学生1600人，请估算该校学生中“中度近视”的人数；
（3）某班有四名重度近视的学生甲、乙、丙、丁，从中随机选择两名学生参加学校组织的“爱眼护眼”座谈会，请用列表或画树状图的方法求同时选中甲和乙的概率.
【答案】（1）200；108
（2）解：1600× 60200 =480（人），
即估计该校学生中“中度近视”的人数约为480人
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2，
所以甲和乙两名学生同时被选中的概率为 212 = 16
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：所抽取的学生总数为m=48÷24%=200（人），
n= 360× 60200 =108，
故答案为：200，108；
【分析】（1）利用m=A类人数÷A类百分比，n=C类所占比列×360°，分别计算即可；
（2）利用样本 “中度近视” 所占比例乘以1600即得结论；
（3）此题是抽取不放回类型，利用树状图列举出共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2，然后利用概率公式计算即可.
21．如图， ▱ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ， E ， F 分别是 OA ， OC 的中点.
（1）求证： BE=DF ；
（2）设 ACBD=k ，当 k 为何值时，四边形 DEBF 是矩形？请说明理由.
【答案】（1）证明：如图，连接 DE，BF ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD ，
∵E，F 分别是 OA ， OC 的中点，
∴OE=12OA=12OC=OF ，
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形，
∴BE=DF .
（2）解：由（1）已证：四边形 DEBF 是平行四边形，
要使平行四边形 DEBF 是矩形，则 BD=EF ，
∵OE=12OA=12OC=OF ，
∴EF=OE+OF=12OA+12OC=OA=12AC ，即 AC=2EF ，
∴k=ACBD=2EFEF=2 ，
故当 k=2 时，四边形 DEBF 是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）连接 DE、BF ， 证明四边形DEBF是平行四边形，可得BE=DF；
（2）由（1）已证：四边形DEBF是平行四边形，要使平行四边形DEBF是矩形，则BD=EF ，由平行四边形的性质及线段的中点可求出AC=2EF，从而求出k值.
22．如图， △ABC 中， AB=AC ， D 为 AC 上一点，以 CD 为直径的 ⊙O 与 AB 相切于点 E ，交 BC 于点 F ， FG⊥AB ，垂足为 G .
（1）求证： FG 是 ⊙O 的切线；
（2）若 BG=1 ， BF=3 ，求 CF 的长.
【答案】（1）证明：如图，连接 DF，OF ，
∵OF=OD ，
则 ∠ODF=∠OFD ，
设 ∠ODF=∠OFD=β ， ∠OFC=α ，
∵OF=OC ，
∴∠OFC=∠OCF=α ，
∵DC 为 ⊙O 的直径，
∴∠DFC=90° ，
∴∠DFO+OFC=∠DFC=90° ，
即 α+β=90° ，
∵AB=AC ，
∴∠B=∠ACB=α ，
∵FG⊥AB ，
∴∠GFB=90°−∠B=90°−α=β ，
∵∠DFB=∠DFC=90° ，
∴∠DFG=90°−∠GFB=90°−β=α ，
∴∠GFO=GFD+DFO=α+β=90° ，
∵OF 为 ⊙O 的半径，
∴FG 是 ⊙O 的切线；
（2）解：如图，连接 OE ，
∵AB 是 ⊙O 的切线，则 OE⊥AB ，又 OF⊥FG，FG⊥AB ，
∴ 四边形 GEOF 是矩形，
∵OE=OF ，
∴ 四边形 GEOF 是正方形，
∴GF=OF=12DC ，
在 Rt△GFB 中， BG=1 ， BF=3 ，
∴FG=BF2−GB2=22 ，
∴DC=22 ，
由（1）可得 ∠BFG=∠FDC=β ，
∵FG⊥AB，DF⊥FC ，
∴sinβ=GBBF=FCDC ，
∴13=FC22 ，
解得 FC=223 .
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接DF、OF，由同圆半径相等可得∠ODF=∠OFD ，设 ∠ODF=∠OFD=β ， ∠OFC=α ，由等腰三角形的性质可得 ∠OFC=∠OCF=α ，∠B=∠ACB=α ，由圆周角定理得α+β=90° ，由垂直的定义直角三角形的性质得∠GFB=90°−∠B=β ， 由垂直的定义得∠DFG=90°−∠GFB=90°−β=α ，即得∠GFO=∠GFD+∠DFO =α+β=90°，根据切线的判定定理即证；
（2）连接OE， 易证四边形GEOF是正方形，可得GF=OF=12DC ，在Rt△GFB中 ，由勾股定理可得FG=22， 由（1）可得 ∠BFG=∠FDC=β ，从而得出sinβ=GBBF=FCDC ，据此求出FC的长.
23．某商户购进一批童装，40天销售完毕.根据所记录的数据发现，日销售量 y （件）与销售时间 x （天）之间的关系式是 y=2x，0
（2）当 0
【答案】（1）30
（2）解：设销售额为 w 元，
①当 0≤x≤20 时，由图可知，销售单价 p=40 ，
此时销售额 w=40×y=40×2x=80x
∵80>0 ，
∴w 随 x 的增大而增大
当 x=20 时， w 取最大值
此时 w=80×20=1600
②当 20
将（20，40）、（40，30）代入得：
20k+b=4040k+b=30 解得 k=−12b=50
∴p=−12x+50
∴w=py=(−12x+50)⋅2x=−x2+100x=−(x−50)2+2500
∵−1<0 ，
∴当 20
此时 w=−(30−50)2+2500=2100
∵1600<2100
∴w 的最大值为2100，
∴当 0
解得 x≥24
∴24≤x≤30
当 30
∴30
∴日销售量不低于48件的时间段有9天.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：当 x=15 时，销售量 y=2x=30 ；
故答案为：30；
【分析】（1）将x=15代入y=2x中，求出y值即可；
（2）设销售额为W元，①当 0≤x≤20 时，由图可知，销售单价 p=40 ，此时销售额 w=40×y=40×2x=80x ，根据一次函数的性质求解； ②当 20
（1）如图1，当 α=90° 时，线段 BF 与 CF 的数量关系是 ；
（2）如图2，当 0°<α<90° 时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若 α=60° ， AB=43 ， BD=m ，过点 E 作 EP⊥BN ，垂足为 P ，请直接写出 PD 的长（用含有 m 的式子表示）.
【答案】（1）BF=CF
（2）解：成立；理由如下：
连接AF，如图所示：
根据旋转可知， ∠DAE=α ，AE=AD，
∵∠BAC=α ，
∴∠EAC−∠CAD=α ， ∠BAD−∠CAD=α ，
∴∠EAC=∠BAD ，
∵AC=AB，
∴ΔACE≌ΔABD ，
∴∠ACE=∠ABD=90° ，
∴∠ACF=180°−90°=90° ，
∵在Rt△ABF与Rt△ACF中 AB=ACAF=AF ，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF （HL），
∴BF=CF.
（3）解： PD=6−m2 或PD=0或 PD=m2−6
【知识点】锐角三角函数的定义；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：BF=CF；理由如下：
连接AF，如图所示：
根据旋转可知， ∠DAE=α=90° ，AE=AD，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAC+∠CAD=90° ， ∠BAD+∠CAD=90° ，
∴∠EAC=∠BAD ，
∵AC=AB，
∴ΔACE≌ΔABD （SAS），
∴∠ACE=∠ABD=90° ，
∴∠ACF=180°−90°=90° ，
∵在Rt△ABF与Rt△ACF中 AB=ACAF=AF ，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF （HL），
∴BF=CF.
故答案为：BF=CF；
（3）∵α=60° ，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60° ， AB=AC=BC=43 ，
当 ∠BAD<60° 时，连接AF，如图所示：
根据解析（2）可知， Rt△ABF≌Rt△ACF ，
∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC=30° ，
∵AB=43 ，
∴tan∠BAF=tan30°=BFAB ，
即 BF=AB×tan30°=43×33=4 ，
∴CF=BF=4 ，
根据解析（2）可知， ΔACE≌ΔABD ，
∴CE=BD=m ，
∴EF=CF+CE=4+m ，
∠FBC=∠FCB=90°−60°=30° ，
∴∠EFP=∠FBC+∠FCB=60° ，
∵∠EPF=90° ，
∴∠FEP=90°−60°=30° ，
∴PF=12EF=12(4+m)=2+m2 ，
∴BP=BF+PF=4+2+m2=6+m2 ，
∴PD=BP−BD=6+m2−m=6−m2 ；
当 ∠BAD=60° 时，AD与AC重合，如图所示：
∵∠DAE=60° ， AE=AD ，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADB=90°−∠BAC=30° ，
∴∠ADE=60°+30°=90° ，
∴此时点P与点D重合， PD=0 ；
当 ∠BAD>60° 时，连接AF，如图所示：
根据解析（2）可知， Rt△ABF≌Rt△ACF ，
∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC=30° ，
∵AB=43 ，
∴tan∠BAF=tan30°=BFAB ，
即 BF=AB×tan30°=43×33=4 ，
∴CF=BF=4 ，
根据解析（2）可知， ΔACE≌ΔABD ，
∴CE=BD=m ，
∴EF=CF+CE=4+m ，
∵∠FBC=∠FCB=90°−60°=30° ，
∴∠EFP=∠FBC+∠FCB=60° ，
∵∠EPF=90° ，
∴∠FEP=90°−60°=30° ，
∴PF=12EF=12(4+m)=2+m2 ，
∴BP=BF+PF=4+2+m2=6+m2 ，
∴PD=BD−BF=m−(6+m2)=m2−6 ；
综上分析可知， PD=6−m2 或PD=0或 PD=m2−6 .
【分析】（1）连接AF，根据SAS证明ΔACE≌ΔABD，可得∠ACE=∠ABD=90°，再证明Rt△ABF≌Rt△ACF，可得BF=CF；
（2）成立 ，理由：连接AF，先证明ΔACE≌ΔABD ，可得∠ACE=∠ABD=90° ， 再证明Rt△ABF≌Rt△ACF （HL），可得BF=CF；
（3）易求△ABC为等边三角形，可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60° ， AB=AC=BC=43 ，
分三种情况：①当 ∠BAD<60° 时，②当 ∠BAD=60° 时，AD与AC重合，③当 ∠BAD>60° 时，据此分别求解即可.
25．已知抛物线 y=ax2+94x+c 与 x 轴交于点 A(1，0) 和点 B 两点，与 y 轴交于点 C(0，−3) .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 是抛物线上一动点（不与点 A ， B ， C 重合），作 PD⊥x 轴，垂足为 D ，连接 PC .
①如图1，若点 P 在第三象限，且 ∠CPD=45° ，求点 P 的坐标；
②直线 PD 交直线 BC 于点 E ，当点 E 关于直线 PC 的对称点 E′ 落在 y 轴上时，求四边形 PECE′ 的周长.
【答案】（1）解：把点 A(1，0) ， C(0，−3) 代入得：
a+94+c=0c=−3 ，解得： a=34c=−3 ，
∴抛物线解析式为 y=34x2+94x−3
（2）解：①如图，过点C作CQ⊥DP于点Q，
∵点C（0，-3），
∴OC=3，
∵∠CPD=45° ，
∴△CPQ为等腰直角三角形，
∴CQ=PQ，
设点 P(m，34m2+94m−3) ，则OD=-m， PD=−34m2−94m+3 ，
∵PD⊥x 轴，
∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，
∴四边形OCQD为矩形，
∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，
∴PQ=DP−DQ=−34m2−94m+3−3=−34m2−94m ，
∴−m=−34m2−94m ，
解得： m=−53 或0（舍去），
∴点 P(−53，−143) ；
②如图，过点E作EM∥x轴于点M，
令y=0， 34x2+94x−3=0 ，
解得： x1=−4，x2=1 （舍去），
∴点B（-4，0），
∴OB=4，
∴BC=OB2+OC2=5 ，
设直线BC的解析式为 y=kx+n(k≠0) ，
把点B（-4，0），C（0，-3）代入得：
−4k+n=0n=−3 ，解得： k=−34n=−3 ，
∴直线BC的解析式为 y=−34x−3 ，
∵点 E 关于直线 PC 的对称点 E′ 落在 y 轴上时，
∴CE=CE′ ， PE=PE′ ， ∠PCE=∠PCE′ ，
∵DP⊥x轴，
∴PD∥CE′，
∴∠CPE=∠PCE′ ，
∴∠CPE=∠PCE ，
∴CE=PE，
∴PE=PE′=CE=CE′ ，
∴四边形 PECE′ 为菱形，
∵EM∥x轴，
∴△CEM∽△CBO，
∴EMOB=CEBC ，
设点 P(t，34t2+94t−3) ， 则点 E(t，−34t−3) ，
当点P在y轴左侧时，EM=-t，
当-4＜t＜0时， PE=(−34t−3)−(34t2+94t−3)=−34t2−3t ，
∴CE=PE=−34t2−3t ，
∴−t4=−34t2−3t5 ，
解得： t=−73 或0（舍去），
∴PE=−34t2−3t=3512 ，
∴四边形 PECE′ 的周长为 4PE=4×3512=353 ；
当点P在y轴右侧时，EM=-t，
当t≤-4时， PE=(34t2+94t−3)−(−34t−3)=34t2+3t ，
∴−t4=34t2+3t5 ，解得： t=−173 或0（舍去），
此时 PE=34t2+3t=8512 ，
∴四边形 PECE′ 的周长为 4PE=4×8512=853 ；
当点P在y轴右侧，即t＞0时，EM=t， PE=(34t2+94t−3)−(−34t−3)=34t2+3t ，
∴t4=34t2+3t5 ，解得： t=−73 或0，
不符合题意，舍去；
综上所述，四边形 PECE′ 的周长为 853 或 353 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）①过点C作CQ⊥DP于点Q，易得△CPQ为等腰直角三角形，可得CQ=PQ，根据抛物线上点的坐标特点，设点 P(m，34m2+94m−3) ，则OD=-m， PD=−34m2−94m+3，可证四边形OCQD为矩形，可得QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，从而得出PQ=DP−DQ=−34m2−94m=-m ，解出m即得点P坐标；②过点E作EM∥x轴于点M，先求出B坐标，再求出BC的长，利用待定系数法求直线BC的解析式为 y=−34x−3，由于点E关于直线PC的对称点E'落在y轴上时，可得CE=CE′， PE=PE′ ， ∠PCE=∠PCE′ ， 从而可证四边形PECE'为菱形，利用平行线可证△CEM∽△CBO，可得 EMOB=CEBC ， 设点 P(t，34t2+94t−3) ， 则点 E(t，−34t−3) ， 分点P在y轴左侧时和点P在y轴右侧时分别进行求解即可.
湖北省十堰市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．2的相反数是（ ）
A．2 B．－2 C．12 D．−12
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2的相反数是-2.
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可.
2．下列四个几何体中，主视图与俯视图不同的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、正方体的主视图与俯视图都是正方形，选项不符合题意；
B、圆柱横着放置时，主视图与俯视图都是长方形，选项不符合题意；
C、圆锥的主视图与俯视图分别为三角形、圆形，故符合题意；
D、球体的主视图与俯视图都是圆形，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】主视图就是从正面看得到的图形，俯视图就是上面看得到的图形，分别求出各几何体的主视图与俯视图，再判断即可.
3．下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3=a2 B．a2+2a2=3a2 C．(2a)3=6a3 D．(a+1)2=a2+1
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 a6÷a3=a3 ，故本选项错误，不符合题意；
B、 a2+2a2=3a2 ，故本选项正确，符合题意；
C、 (2a)3=8a3 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 (a+1)2=a2+2a+1 ，故本选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，据此即可判断A；合并同类项的时候，只把同类项的系数相加减，字母和字母的指数都不变，据此即可判断B；根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此即可判断C；根据完全平方公式的展开式是一个三项式即可判断D.
4．如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上.这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线
【解析】【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线.
故答案为：B.
【分析】根据“两点确定一条直线”进行解答即可.
5．甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5.下列说法中不一定正确的是（ ）
A．甲、乙的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙成绩的众数相同
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲射击成绩的方差是 1.1，乙射击成绩的方差是 1.5，且平均数都是8环，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲射击成绩比乙稳定，乙射击成绩的波动比甲较大，
∵甲、乙射靶 10 次，
∴甲、乙射中的总环数相同，
故A、B、C选项都正确，
但甲、乙射击成绩的众数不一定相同.
故D错误；
故答案为：D.
【分析】在数据的总个数及平均数一样的情况下，方差越大，数据的波动就越大，成绩越不稳定， 而众数就是一组数据中出现次数最多的数据，据此即可一一判断得出答案.
6．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗， 醐洒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清跴酒各几何?”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗䣾酒价值3斗谷子， 现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清洒， 酳酒各几斗? 如果设清酒 x 斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3(5−x)=30 B．3x+10(5−x)=30
C．x3+30−x10=5 D．x10+30−x3=5
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：根据题意，得：10x+3（5－x）=30，
故答案为：A.
【分析】 设清酒x斗， 则酳酒为（5－x）斗，根据“ 现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，建立关于x的方程即可.
7．如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB.如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，
∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，
∴19+2x=10，
∴x=0.5（cm）.
故答案为：B.
【分析】证明△AOB∽△COD，利用相似三角形的性质求出AB，再根据某零件的外径为10cm，可得19+2x=10，即可求出x值.
8．如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A．m(cosα−sinα) B．m(sinα−cosα)
C．m(cosα−tanα) D．msinα−mcosα
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°.
在Rt△CDB中，CD=m×cosα，BD=m×sinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）
=m（cosα-sinα）.
故答案为：A.
【分析】过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，根据锐角三角形函数的定义求出CD=
mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，可得AD=CD×tan45°=mcosα，根据AB=AD-BD即可求解.
9．如图， ⊙O 是等边 △ABC 的外接圆，点 D 是弧 AC 上一动点（不与 A ， C 重合），下列结论：①∠ADB=∠BDC ；②DA=DC ；③当 DB 最长时， DB=2DC ；④DA+DC=DB ，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴AB=BC ，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点D是 AC 上一动点，
∴AD 不一定等于 CD ，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当DB最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵⊙O 是等边△ABC 的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴DB=2DC ，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴DA+DC=DB ，故④正确；
∴正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】由△ABC是等边三角形及等弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=∠BDC=60°，故①正确；由点D是 AC 上一动点，故②错误；当DB最长时，DB为圆O的直径，结合 ⊙O 是等边△ABC的外接圆，可得BD⊥AC，从而求出∠ABD=∠CBD=30°，根据直角三角形的性质可求出DB=2CD，故③正确；如图，延长DA至点E，使AE=DC，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而证得△BDE是等边三角形，可得DE=BD，从而得出BD=DE=AD+AE=AD+CD，故④正确.
10．如图，正方形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y=k1x(k1>0) 和 y=k2x(k2>0) 的图象上.若 BD∥y 轴，点 D 的横坐标为3，则 k1+k2= （ ）
A．36 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）.
∴点D的坐标为（3， k23 ），
∴点C的坐标为（3-t， k23 +t）.
∵点C在反比例函数y= k2x 的图象上，
∴（3-t）（ k23 +t）=k2，化简得：t=3- k23 ，
∴点B的纵坐标为 k23 +2t= k23 +2（3- k23 ）=6- k23 ，
∴点B的坐标为（3，6- k23 ），
∴3×（6- k23 ）= k1 ，整理，得： k1 + k2 =18.
故答案为：B.
【分析】连接AC，与BD相交于点P，设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），可得点D（3， k23 ），点C（3-t， k23 +t），将点C代入y= k2x 中，可得t=3- k23，从而求出点B（3，6- k23 ），将点B坐标代入 y=k1x(k1>0)中，即可求解.
二、填空题
11．袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年努力，目前我国杂交水稻种植面积约为2.5亿亩.将250000000用科学记数法表示为 2.5×10n ，则 n= .
【答案】8
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解： ∵250000000=2.5×108=2.5×10n .
∴n=8
故答案为：8.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
12．关于 x 的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 .
【答案】0≤x＜10
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：该不等式组的解集为0≤x＜10
故答案为：0≤x＜10.
【分析】求出两解集的公共部分即可，注意：界点处是空心，不含“=”，界点处是实心，含“=”.
13．“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡 AF ， AG 分别架在墙体的点 B ， C 处，且 AB=AC ，侧面四边形 BDEC 为矩形，若测得 ∠FBD=55° ，则 ∠A= ° .
【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】 解：∵ 四边形BDEC为矩形
∴∠DBC=90°
∵∠FBD=55° ，
∴∠ABC=90°−55°=35°
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC=35°
∴∠A=180°−∠ABC−ACB=110°
故答案为：110.
【分析】由矩形的性质可得∠DBC=90°，利用平角的定义可求出∠ABC=35°，由AB=AC可得∠ACB=
∠ABC=35°，利用三角形的内角和即可求出∠A的度数.
14．如图，某链条每节长为 2.8cm ，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为 1cm ，按这种连接方式，50节链条总长度为 cm .
【答案】91
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：2节链条的长度是（2.8×2-1） cm ，
3节链条的长度是（2.8×3-1×2） cm ，
n节链条的长度是2.8n-1×（n-1） cm ，
所以50节链条的长度是：2.8×50-1×（50-1）
=140-1×49
=91 (cm)
故答案为：91.
【分析】由一节链条的长度，分别求出2节链条、3节链条的总长度，然后从数字得出规律n节链条的长度是2.8n-1×（n-1），将n=50代入计算即可.
15．如图，扇形 AOB 中， ∠AOB=90° ， OA=2 ，点 C 为 OB 上一点，将扇形 AOB 沿 AC 折叠，使点 B 的对应点 B' 落在射线 AO 上，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】2π+4–4 2
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接AB，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB= OA2+OC2=22+22=22 ，
由折叠可得： AB′=AB=22 ， CB′=CB ，
∴OB′=22−2 ，
设OC=x，则 CB′=CB =2-x，
在Rt△COB'中，由勾股定理，得
(22−2)2+x2=(2−x)2 ，
解得：x= 22−2 ，
S阴影=S扇形-2S△AOC
= 90π×22180−2×12OA⋅OC
= 90π×22180−2×12×2×(22−2)
=2π+4–4 2 ，
故答案为：2π+4–4 2 .
【分析】连接AB，由勾股定理求出AB=22，由折叠可得AB′=AB=22 ， CB′=CB ，即可得出OB′=22−2 ，设OC=x，则 CB′=CB =2-x，在Rt△COB' 中，由勾股定理建立关于x方程，求解即得OC，根据S阴影=S扇形-2S△AOC即可求解.
16．【阅读材料】如图①，四边形 ABCD 中， AB=AD ， ∠B+∠D=180° ，点 E ， F 分别在 BC ， CD 上，若 ∠BAD=2∠EAF ，则 EF=BE+DF .
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形 ABCD .已知 CD=CB=100m ， ∠D=60° ， ∠ABC=120° ， ∠BCD=150° ，道路 AD ， AB 上分别有景点 M ， N ，且 DM=100m ， BN=50(3−1)m ，若在 M ， N 之间修一条直路，则路线 M→N 的长比路线 M→A→N 的长少 m （结果取整数，参考数据： 3≈1.7 ）.
【答案】370
【知识点】二次根式的加减法；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，延长AB、DC 交于点E ，连接 CM、CN ，
∵∠D=60° ， ∠ABC=120° ， ∠BCD=150° ，
∴∠A=30° ， ∠E=90° ，
∵DC=DM=100
∴△DCM 是等边三角形，
∴∠DCM=60° ，
∴∠BCM=90° ，
在 Rt△BCE 中， BC=100 ， ∠ECB=180°−∠BCD=30° ，
EB=12BC=50 ， EC=3EB=503 ，
∴DE=DC+EC=100+503 ，
Rt△ADE 中， AD=2DE=200+1003 ， AE=3DE=1003+150 ，
∴AM=AD−DM=200+1003−100=100+1003 ，
AN=AB−BN=(AE−EB)−BN
=(1003+150−50)−50(3−1)
=503+150 ，
∴AM+AN=100+1003+503+150=250+1503 ，
Rt△CMB 中， BM=BC2+CM2=1002
∵EN=EB+BN=50+50(3−1)=503=EC
∴△ECN 是等腰直角三角形
∴∠NCM=∠BCM−∠NCB=∠BCM−(∠NCE−∠BCE)=75°=12∠DCB
由阅读材料可得 MN=DM+BN=100+50(3−1)=50(3+1) ，
∴ 路线 M→N 的长比路线 M→A→N 的长少 250+1503−50(3+1)=200+1003≈370m .
故答案为：370.
【分析】延长AB、DC 交于点E ，连接 CM、CN ，由四边形内角和求出∠A=30°，利用三角形内角和求出∠E=90°，易求△DCM是等边三角形，在Rt△BCE中，易求∠ECB=30°，可得EB=12BC
=50，EC=3EB=503，即得DE=DC+EC=100+503，利用直角三角形的性质及线段的和差，可求出AM、AN，即可求出AM+AN的值，求出△ECN是等腰直角三角形，由阅读材料可得 MN=DM+BN=100+50(3−1)=50(3+1)， 从而得出路线 M→N 的长比路线 M→A→N 的长少AM+AN-MN，据此计算即可.
三、解答题
17．计算： (13)−1+|2−5|−(−1)2022 .
【答案】解： (13)−1+|2−5|−(−1)2022
=3+5−2−1
= 5
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂、绝对值、乘方法则分别进行计算，再计算有理数的加减法即可.
18．计算： a2−b2a÷(a+b2−2aba) .
【答案】解：原式＝ (a+b)(a−b)a÷(a2+b2−2aba)
=(a+b)(a−b)a×a(a−b)2
=a+ba−b .
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式加法法则计算，再将除法转化为乘法，同时将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而进行即可化简.
19．已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x−3m2=0 .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 α ， β ，且 α+2β=5 ，求 m 的值.
【答案】（1）证明： Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1⋅(−3m2)=4+12m2 ，
∵12m2≥0 ，
∴4+12m2≥4>0 ，
∴ 该方程总有两个不相等的实数根
（2）解： ∵ 方程的两个实数根 α ， β ，
由根与系数关系可知， α+β=2 ， α⋅β=−3m2 ，
∵α+2β=5 ，
∴α=5−2β ，
∴5−2β+β=2 ，
解得： β=3 ， α=−1 ，
∴−3m2=−1×3=−3 ，即 m=±1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒大于零即可；
（2） 由根与系数关系可知α+β=2① ， α⋅β=−3m2 ②，由α+2β=5③，联立①③可求出α，β的值，再代入②求出m值即可.
20．某兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图表.
抽取的学生视力情况统计表
类别
调查结果
人数
A
正常
48
B
轻度近视
76
C
中度近视
60
D
重度近视
m
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：m= ，n= ；
（2）该校共有学生1600人，请估算该校学生中“中度近视”的人数；
（3）某班有四名重度近视的学生甲、乙、丙、丁，从中随机选择两名学生参加学校组织的“爱眼护眼”座谈会，请用列表或画树状图的方法求同时选中甲和乙的概率.
【答案】（1）200；108
（2）解：1600× 60200 =480（人），
即估计该校学生中“中度近视”的人数约为480人
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2，
所以甲和乙两名学生同时被选中的概率为 212 = 16
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：所抽取的学生总数为m=48÷24%=200（人），
n= 360× 60200 =108，
故答案为：200，108；
【分析】（1）利用m=A类人数÷A类百分比，n=C类所占比列×360°，分别计算即可；
（2）利用样本 “中度近视” 所占比例乘以1600即得结论；
（3）此题是抽取不放回类型，利用树状图列举出共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2，然后利用概率公式计算即可.
21．如图， ▱ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ， E ， F 分别是 OA ， OC 的中点.
（1）求证： BE=DF ；
（2）设 ACBD=k ，当 k 为何值时，四边形 DEBF 是矩形？请说明理由.
【答案】（1）证明：如图，连接 DE，BF ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD ，
∵E，F 分别是 OA ， OC 的中点，
∴OE=12OA=12OC=OF ，
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形，
∴BE=DF .
（2）解：由（1）已证：四边形 DEBF 是平行四边形，
要使平行四边形 DEBF 是矩形，则 BD=EF ，
∵OE=12OA=12OC=OF ，
∴EF=OE+OF=12OA+12OC=OA=12AC ，即 AC=2EF ，
∴k=ACBD=2EFEF=2 ，
故当 k=2 时，四边形 DEBF 是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）连接 DE、BF ， 证明四边形DEBF是平行四边形，可得BE=DF；
（2）由（1）已证：四边形DEBF是平行四边形，要使平行四边形DEBF是矩形，则BD=EF ，由平行四边形的性质及线段的中点可求出AC=2EF，从而求出k值.
22．如图， △ABC 中， AB=AC ， D 为 AC 上一点，以 CD 为直径的 ⊙O 与 AB 相切于点 E ，交 BC 于点 F ， FG⊥AB ，垂足为 G .
（1）求证： FG 是 ⊙O 的切线；
（2）若 BG=1 ， BF=3 ，求 CF 的长.
【答案】（1）证明：如图，连接 DF，OF ，
∵OF=OD ，
则 ∠ODF=∠OFD ，
设 ∠ODF=∠OFD=β ， ∠OFC=α ，
∵OF=OC ，
∴∠OFC=∠OCF=α ，
∵DC 为 ⊙O 的直径，
∴∠DFC=90° ，
∴∠DFO+OFC=∠DFC=90° ，
即 α+β=90° ，
∵AB=AC ，
∴∠B=∠ACB=α ，
∵FG⊥AB ，
∴∠GFB=90°−∠B=90°−α=β ，
∵∠DFB=∠DFC=90° ，
∴∠DFG=90°−∠GFB=90°−β=α ，
∴∠GFO=GFD+DFO=α+β=90° ，
∵OF 为 ⊙O 的半径，
∴FG 是 ⊙O 的切线；
（2）解：如图，连接 OE ，
∵AB 是 ⊙O 的切线，则 OE⊥AB ，又 OF⊥FG，FG⊥AB ，
∴ 四边形 GEOF 是矩形，
∵OE=OF ，
∴ 四边形 GEOF 是正方形，
∴GF=OF=12DC ，
在 Rt△GFB 中， BG=1 ， BF=3 ，
∴FG=BF2−GB2=22 ，
∴DC=22 ，
由（1）可得 ∠BFG=∠FDC=β ，
∵FG⊥AB，DF⊥FC ，
∴sinβ=GBBF=FCDC ，
∴13=FC22 ，
解得 FC=223 .
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接DF、OF，由同圆半径相等可得∠ODF=∠OFD ，设 ∠ODF=∠OFD=β ， ∠OFC=α ，由等腰三角形的性质可得 ∠OFC=∠OCF=α ，∠B=∠ACB=α ，由圆周角定理得α+β=90° ，由垂直的定义直角三角形的性质得∠GFB=90°−∠B=β ， 由垂直的定义得∠DFG=90°−∠GFB=90°−β=α ，即得∠GFO=∠GFD+∠DFO =α+β=90°，根据切线的判定定理即证；
（2）连接OE， 易证四边形GEOF是正方形，可得GF=OF=12DC ，在Rt△GFB中 ，由勾股定理可得FG=22， 由（1）可得 ∠BFG=∠FDC=β ，从而得出sinβ=GBBF=FCDC ，据此求出FC的长.
23．某商户购进一批童装，40天销售完毕.根据所记录的数据发现，日销售量 y （件）与销售时间 x （天）之间的关系式是 y=2x，0
（2）当 0
【答案】（1）30
（2）解：设销售额为 w 元，
①当 0≤x≤20 时，由图可知，销售单价 p=40 ，
此时销售额 w=40×y=40×2x=80x
∵80>0 ，
∴w 随 x 的增大而增大
当 x=20 时， w 取最大值
此时 w=80×20=1600
②当 20
将（20，40）、（40，30）代入得：
20k+b=4040k+b=30 解得 k=−12b=50
∴p=−12x+50
∴w=py=(−12x+50)⋅2x=−x2+100x=−(x−50)2+2500
∵−1<0 ，
∴当 20
此时 w=−(30−50)2+2500=2100
∵1600<2100
∴w 的最大值为2100，
∴当 0
解得 x≥24
∴24≤x≤30
当 30
∴30
∴日销售量不低于48件的时间段有9天.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：当 x=15 时，销售量 y=2x=30 ；
故答案为：30；
【分析】（1）将x=15代入y=2x中，求出y值即可；
（2）设销售额为W元，①当 0≤x≤20 时，由图可知，销售单价 p=40 ，此时销售额 w=40×y=40×2x=80x ，根据一次函数的性质求解； ②当 20
（1）如图1，当 α=90° 时，线段 BF 与 CF 的数量关系是 ；
（2）如图2，当 0°<α<90° 时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若 α=60° ， AB=43 ， BD=m ，过点 E 作 EP⊥BN ，垂足为 P ，请直接写出 PD 的长（用含有 m 的式子表示）.
【答案】（1）BF=CF
（2）解：成立；理由如下：
连接AF，如图所示：
根据旋转可知， ∠DAE=α ，AE=AD，
∵∠BAC=α ，
∴∠EAC−∠CAD=α ， ∠BAD−∠CAD=α ，
∴∠EAC=∠BAD ，
∵AC=AB，
∴ΔACE≌ΔABD ，
∴∠ACE=∠ABD=90° ，
∴∠ACF=180°−90°=90° ，
∵在Rt△ABF与Rt△ACF中 AB=ACAF=AF ，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF （HL），
∴BF=CF.
（3）解： PD=6−m2 或PD=0或 PD=m2−6
【知识点】锐角三角函数的定义；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：BF=CF；理由如下：
连接AF，如图所示：
根据旋转可知， ∠DAE=α=90° ，AE=AD，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAC+∠CAD=90° ， ∠BAD+∠CAD=90° ，
∴∠EAC=∠BAD ，
∵AC=AB，
∴ΔACE≌ΔABD （SAS），
∴∠ACE=∠ABD=90° ，
∴∠ACF=180°−90°=90° ，
∵在Rt△ABF与Rt△ACF中 AB=ACAF=AF ，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF （HL），
∴BF=CF.
故答案为：BF=CF；
（3）∵α=60° ，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60° ， AB=AC=BC=43 ，
当 ∠BAD<60° 时，连接AF，如图所示：
根据解析（2）可知， Rt△ABF≌Rt△ACF ，
∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC=30° ，
∵AB=43 ，
∴tan∠BAF=tan30°=BFAB ，
即 BF=AB×tan30°=43×33=4 ，
∴CF=BF=4 ，
根据解析（2）可知， ΔACE≌ΔABD ，
∴CE=BD=m ，
∴EF=CF+CE=4+m ，
∠FBC=∠FCB=90°−60°=30° ，
∴∠EFP=∠FBC+∠FCB=60° ，
∵∠EPF=90° ，
∴∠FEP=90°−60°=30° ，
∴PF=12EF=12(4+m)=2+m2 ，
∴BP=BF+PF=4+2+m2=6+m2 ，
∴PD=BP−BD=6+m2−m=6−m2 ；
当 ∠BAD=60° 时，AD与AC重合，如图所示：
∵∠DAE=60° ， AE=AD ，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADB=90°−∠BAC=30° ，
∴∠ADE=60°+30°=90° ，
∴此时点P与点D重合， PD=0 ；
当 ∠BAD>60° 时，连接AF，如图所示：
根据解析（2）可知， Rt△ABF≌Rt△ACF ，
∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC=30° ，
∵AB=43 ，
∴tan∠BAF=tan30°=BFAB ，
即 BF=AB×tan30°=43×33=4 ，
∴CF=BF=4 ，
根据解析（2）可知， ΔACE≌ΔABD ，
∴CE=BD=m ，
∴EF=CF+CE=4+m ，
∵∠FBC=∠FCB=90°−60°=30° ，
∴∠EFP=∠FBC+∠FCB=60° ，
∵∠EPF=90° ，
∴∠FEP=90°−60°=30° ，
∴PF=12EF=12(4+m)=2+m2 ，
∴BP=BF+PF=4+2+m2=6+m2 ，
∴PD=BD−BF=m−(6+m2)=m2−6 ；
综上分析可知， PD=6−m2 或PD=0或 PD=m2−6 .
【分析】（1）连接AF，根据SAS证明ΔACE≌ΔABD，可得∠ACE=∠ABD=90°，再证明Rt△ABF≌Rt△ACF，可得BF=CF；
（2）成立 ，理由：连接AF，先证明ΔACE≌ΔABD ，可得∠ACE=∠ABD=90° ， 再证明Rt△ABF≌Rt△ACF （HL），可得BF=CF；
（3）易求△ABC为等边三角形，可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60° ， AB=AC=BC=43 ，
分三种情况：①当 ∠BAD<60° 时，②当 ∠BAD=60° 时，AD与AC重合，③当 ∠BAD>60° 时，据此分别求解即可.
25．已知抛物线 y=ax2+94x+c 与 x 轴交于点 A(1，0) 和点 B 两点，与 y 轴交于点 C(0，−3) .
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P 是抛物线上一动点（不与点 A ， B ， C 重合），作 PD⊥x 轴，垂足为 D ，连接 PC .
①如图1，若点 P 在第三象限，且 ∠CPD=45° ，求点 P 的坐标；
②直线 PD 交直线 BC 于点 E ，当点 E 关于直线 PC 的对称点 E′ 落在 y 轴上时，求四边形 PECE′ 的周长.
【答案】（1）解：把点 A(1，0) ， C(0，−3) 代入得：
a+94+c=0c=−3 ，解得： a=34c=−3 ，
∴抛物线解析式为 y=34x2+94x−3
（2）解：①如图，过点C作CQ⊥DP于点Q，
∵点C（0，-3），
∴OC=3，
∵∠CPD=45° ，
∴△CPQ为等腰直角三角形，
∴CQ=PQ，
设点 P(m，34m2+94m−3) ，则OD=-m， PD=−34m2−94m+3 ，
∵PD⊥x 轴，
∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，
∴四边形OCQD为矩形，
∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，
∴PQ=DP−DQ=−34m2−94m+3−3=−34m2−94m ，
∴−m=−34m2−94m ，
解得： m=−53 或0（舍去），
∴点 P(−53，−143) ；
②如图，过点E作EM∥x轴于点M，
令y=0， 34x2+94x−3=0 ，
解得： x1=−4，x2=1 （舍去），
∴点B（-4，0），
∴OB=4，
∴BC=OB2+OC2=5 ，
设直线BC的解析式为 y=kx+n(k≠0) ，
把点B（-4，0），C（0，-3）代入得：
−4k+n=0n=−3 ，解得： k=−34n=−3 ，
∴直线BC的解析式为 y=−34x−3 ，
∵点 E 关于直线 PC 的对称点 E′ 落在 y 轴上时，
∴CE=CE′ ， PE=PE′ ， ∠PCE=∠PCE′ ，
∵DP⊥x轴，
∴PD∥CE′，
∴∠CPE=∠PCE′ ，
∴∠CPE=∠PCE ，
∴CE=PE，
∴PE=PE′=CE=CE′ ，
∴四边形 PECE′ 为菱形，
∵EM∥x轴，
∴△CEM∽△CBO，
∴EMOB=CEBC ，
设点 P(t，34t2+94t−3) ， 则点 E(t，−34t−3) ，
当点P在y轴左侧时，EM=-t，
当-4＜t＜0时， PE=(−34t−3)−(34t2+94t−3)=−34t2−3t ，
∴CE=PE=−34t2−3t ，
∴−t4=−34t2−3t5 ，
解得： t=−73 或0（舍去），
∴PE=−34t2−3t=3512 ，
∴四边形 PECE′ 的周长为 4PE=4×3512=353 ；
当点P在y轴右侧时，EM=-t，
当t≤-4时， PE=(34t2+94t−3)−(−34t−3)=34t2+3t ，
∴−t4=34t2+3t5 ，解得： t=−173 或0（舍去），
此时 PE=34t2+3t=8512 ，
∴四边形 PECE′ 的周长为 4PE=4×8512=853 ；
当点P在y轴右侧，即t＞0时，EM=t， PE=(34t2+94t−3)−(−34t−3)=34t2+3t ，
∴t4=34t2+3t5 ，解得： t=−73 或0，
不符合题意，舍去；
综上所述，四边形 PECE′ 的周长为 853 或 353 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）①过点C作CQ⊥DP于点Q，易得△CPQ为等腰直角三角形，可得CQ=PQ，根据抛物线上点的坐标特点，设点 P(m，34m2+94m−3) ，则OD=-m， PD=−34m2−94m+3，可证四边形OCQD为矩形，可得QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，从而得出PQ=DP−DQ=−34m2−94m=-m ，解出m即得点P坐标；②过点E作EM∥x轴于点M，先求出B坐标，再求出BC的长，利用待定系数法求直线BC的解析式为 y=−34x−3，由于点E关于直线PC的对称点E'落在y轴上时，可得CE=CE′， PE=PE′ ， ∠PCE=∠PCE′ ， 从而可证四边形PECE'为菱形，利用平行线可证△CEM∽△CBO，可得 EMOB=CEBC ， 设点 P(t，34t2+94t−3) ， 则点 E(t，−34t−3) ， 分点P在y轴左侧时和点P在y轴右侧时分别进行求解即可.
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