【专项复习】通用版小升初数学专题复习（30）通过操作实验探索规律（知识归纳+典例精析+拔高训练）

这是一份【专项复习】通用版小升初数学专题复习（30）通过操作实验探索规律（知识归纳+典例精析+拔高训练），共19页。试卷主要包含了通过操作实验探索规律等内容，欢迎下载使用。
¤ 知识归纳总结
一、通过操作实验探索规律
知识归纳
常考题型
例：小红把10根绳子打结连起来，变成一根长绳，这根长绳上有（ ）个结．
A、10 B、9 C、8
分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结…，以后每增加一根绳子就增加一个结，而结的数量要比绳子的数量少一．
解：结的数量要比绳子的数量少1，10跟绳子有：
10-1=9（个）；
答：10根绳子有9个结．
故选：B．
点评：本题关键是打结处的理解，每相邻的两根绳子就会有1个结，由此找出规律求解．
¤ 拔高训练备考
一．选择题（共6小题）
1．如图，一共有两个小盒子，每个小盒子里都装有一个整数。将这两个小盒子放进一个装有整数的大盒子里，在大盒子内“旅游一趟”，每个小盒子里的数都乘大盒子里所装的数，然后打开取出小盒子，小盒子里的数就变为24、20。大盒子里的数可能是下列选项中的（ ）
A．3B．4C．5D．8
2．小红把10根绳子打结连起来，变成一根长绳，这根长绳上有（ ）个结．
A．10B．9C．8
3．奇思发现蟋蟀每分钟叫的次数与气温有一定关系，下表是他通过实验记录的数据。按这个规律，气温18℃
，蟋蟀每分钟叫（ ）次。
A．87B．91C．98D．105
4．通过圆柱、圆锥相互倒沙子或水的实验，探究圆锥和圆柱体积之间的关系。描述说法错误的是（ ）
A．准备好等底、等高的圆柱、圆锥形容器
B．圆锥的体积是和它等底等高圆柱的体积的
C．把圆柱装满水，再往圆锥里倒，正好倒了三次
D．不用等底等高的圆柱和圆锥形容器就可以
5．一张长2厘米，宽1厘米的长方形硬纸板，先将一个顶点对准直尺上的“0”，然后翻滚一周后，起点的位置会落在（ ）
A．
B．
C．
6．篮球、乒乓球在1米高度自由落在大理石地面上，反弹结果是（ ）
A．篮球高B．乒乓球高C．差不多高D．不能确定
二．填空题（共6小题）
7．如图，四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第1号座位，小猴坐在第2号座位，小兔坐在第3号座位，小猫坐在第4号座位．以后它们不断地交换位子．第一次上下两排交换，第二次在第一次交换后左右两列交换．第3次再上下两排交换，第4次再左右两列交换…这样下去，第十四次交换座位后，小兔在第 号座位上．
8．探索与实践：如图，用“十字形”分割正方形，分割1次，分成了4个正方形；分割2次，分成了7个正方形（不计组合图形）；如果连续用“十字形”分割4次，分成了 个正方形；如果连续用“十字形”分割n次，分成了 个正方形。
9．昊昊背对着小雪，让小雪按下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步：从左边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．
这时，小雪准确说出了中间一堆牌的张数．聪明的同学，你认为中间的一堆这时候有 张．
10．如图所示，一条直线最多可以把圆分成2小块，2条直线最多可以把圆分成（2+2）块，3条直线最多可以把圆分成（2+2+3）块．以此类推，4条直线最多可以把圆分成 块，n条直线最多可以把圆分成 块．
11．有甲、乙两堆小球，甲堆小球比乙堆多，而且甲堆球数比130多，但不超过200，从甲堆拿出与乙堆同样多的球放入乙堆中；第二次，从乙堆拿出与甲堆剩下的同样多的球放到甲堆中；…，如此继续下去，挪动五次以后，发现甲、乙两堆的小球一样多．那么，甲堆原有小球 只．
12．已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB＝6cm，则图甲中的图形面积是 ，图乙中的a与b的值分别是 ．
三．应用题（共2小题）
13．如图．长方形ABCD中，AB＝12厘米，ED＝DA＝6厘米，小虫P从A出发，沿看长方形的边依次向B，C，D以每秒1厘米的速度移动．
（1）小虫P从A点出发几秒后，三角形APE是等腰直角三角形？
（2）当小虫P到达C时，另一只小虫Q以每秒2厘米的速度从A点出发．沿AB向B点移动，小虫Q从A点出发几秒后，四边形AQPE是梯形？
14．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同？（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）
四．解答题（共4小题）
15．数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在。如，在“曹冲称象”的故事里，把大象的质量转化为石头的质量；又如，推导圆的面积计算公式时，把圆转化为长方形……
（1）如图1有一种有意思的推导圆的面积方法，读一读，填一填。
这时，三角形的面积相当于圆的面积。
①观察这个三角形，底相当于圆的 ，高相当于圆的 。
②如果圆的半径是r，三角形的面积：S＝a×h÷2
那么圆的面积：S＝ × ÷2＝
（2）你还能用转化的数学思想来解决以下数学问题吗？如图2，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的 。
A. B. C. D.
16．如图所示，AB＝12厘米，ED＝DA＝6厘米，小虫P从A出发，沿着长方形的边依次向B，C，D以每秒1厘米的速度移动．
（1）小虫P从A点出发几秒后，三角形APE是等腰直角三角形？
（2）当小虫P到达C时，另一只小虫Q以每秒2厘米的速度从A点出发，沿AB向B点移动，
①小虫Q从A点出发几秒后，四边形AQPE是梯形？
②当∠QPD＝45度时，四边形AQPE的面积是多少平方厘米？
17．据了解，火车票按“”的方法来确定．已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元．下表是沿途各站至H站的里程数：
例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为：（元）．
（1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）；
（2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价66元，马上说下一站就到了．请问王大妈实际乘车的里程数是多少千米？在哪两个站之间？（要求写出解答过程）．
18．有一根弯曲的铁丝如下图1．按下面的虚线剪切，把铁丝分成几段．
（1）在括号里填写适当的数．
图1
（2）剪切5次，把铁丝分成几段？剪切10次呢？
（3）猜想：按照上面的方法剪切多少次时，铁丝分成70段？
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【分析】两个小盒子里最后变为的24和20，是由原来两个小盒子里的整数都去乘大盒子里的整数得来的，所以大盒子里的数是24和20的公因数，据此分析各选项的数，找出正确的选项。
【解答】解：3是24的因数，不是20的因数，所以3不是24和20的公因数，A选项错误；
4是24的因数，也是20的因数，所以4是24和20的公因数，B选项正确；
5不是24的因数，是20的因数，所以5不是24和20的公因数，C选项错误；
8是24的因数，不是20的因数，所以8不是24和20的公因数，D选项错误。
故选：B。
【点评】解答此题需要掌握公因数意义并据此判断某个数是否是两个数的公因数，此题文字较多，注意读懂题意。
2．【分析】两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结…，以后每增加一根绳子就增加一个结，而结的数量要比绳子的数量少一．
【解答】解：结的数量要比绳子的数量少1，10跟绳子有：
10﹣1＝9（个）；
答：10根绳子有9个结．
故选：B．
【点评】本题关键是打结处的理解，每相邻的两根绳子就会有1个结，由此找出规律求解．
3．【分析】从统计表观察可知本题中的规律是：气温每上升1℃，蟋蟀每分钟叫的次数就会增加7次，据此规律即可求出气温18℃时蟋蟀每分钟叫多少次。
【解答】解：70﹣63＝7，77﹣70＝7……，也就是说气温每上升1℃，蟋蟀每分钟叫的次数就会增加7次；
63+（18﹣12）×7
＝63+42
＝105（次）
答：气温18℃时，蟋蟀每分钟叫105次。
故选：D。
【点评】本题的关键是认真观察找出：气温每上升1℃，蟋蟀每分钟鸣叫的次数会增加几次．然后按照这一规律，求出气温18℃时蟋蟀每分钟叫多少次。
4．【分析】实验准备：等底登高的圆柱圆锥形的容器一组；不等底等高的圆柱圆锥形容器一组，水或沙子。
实验操作：
1、把圆柱形容器倒满水，再往圆锥里倒，正好倒了三次。
2、将圆锥里装满沙子，往圆柱里倒，则也需要三次正好倒满。
实验结论：通过实验可以发现，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的三倍，圆锥的体积是圆柱体积的。
【解答】研究探索圆柱圆锥体积之间的关系必须有等底等高这个前提条件。
故选：D。
【点评】经历猜测、验证的数学发现推导结论是一种良好的推理思想。
5．【分析】依据题意可知：翻滚一周后，起点会移动一个长方形的周长，由此根据长方形的周长＝（长+宽）×2，代入数据计算即可解答。
【解答】解：长方形硬纸板翻滚一周后，起点会移动一个长方形的周长，
（2+1）×2
＝3×2
＝6（厘米）
答：起点的位置会落在6厘米处。
故选：C。
【点评】此题考查了对长方形周长的认识，关键是要牢记公式。
6．【分析】一般的标准比赛用的篮球在地板上的反弹高度为起始高度的；因此反弹结果：1×＝（米）。
乒乓球的反弹高度为起始高度的，因此反弹结果：1×（米）。
因为＞，所以篮球高。
【解答】解：篮球：1×＝（米）。
乒乓球：1×（米）。
因为＞，所以篮球高.
故选：A。
【点评】作用于篮球上的力大，弹性高。
二．填空题（共6小题）
7．【分析】根据题意每四次就回到原来的图形，那么14÷4＝3…2所以第十四次就和第二次相同，故此得出答案．
【解答】解；因为第一次上下两排交换，第二次在第一次交换后左右两列交换．第3次再上下两排交换，第4次再左右两列交换…这样下去，所以每四次重复一次，14÷4＝3（个）…2（个）
故此第十四次和第二次相同，小兔在2号位置．
故答案为：2
【点评】解答本题的依据是；找出几次就重复会去即可．
8．【分析】根据题干分割1次，得到4个正方形，可以写成（1+1×3）个；分割2次得到7个正方形，可写成（1+2×3）个……由此可得每分割一次就增加3个正方形，由此可得，分割n次，得到（1+3n）个正方形，由此即可解决问题。
【解答】解：分割1次，得到4个正方形，可以写成（1+1×3）个；
分割2次得到7个正方形，可写成（1+2×3）个；
……
由此可得每分割一次就增加3个正方形，
分割4次得到正方形的个数：
1+3×4
＝1+12
＝13（个）
由此可得，分割n次，得到（1+3n）个正方形。
答：连续用“十字形”分割4次，分成了13个正方形；如果连续用“十字形”分割n次，分成了（1+3n）个正方形。
故答案为：13，（1+3n）。
【点评】此类问题一般都要根据已知的图形中的数量特点找出变化的规律，得出一般的关系式进行解答。
9．【分析】设每堆牌原来各有a张，按照操作步骤，求出中间的一堆最后的张数即可．
【解答】解：设每堆牌原来各有a张，第二步、三步操作后：
左边一堆还有：（a﹣1）张；
中间一堆有：a+1+1＝（a+2）张；
第四步操作：
中间的张数：
（a+2）﹣（a﹣1），
＝a+2﹣a+1，
＝a﹣a+2+1，
＝3（张）；
故答案为：3．
【点评】本题也可以采用赋值法，令每堆牌原来各有2张，再根据操作求解．
10．【分析】根据已知的一条直线、2条直线、3条直线把这个圆分成的情况，归纳总结出规律，再依照规律进行解答即可解决问题．
【解答】解：1条直线分平面为2（块）
2条直线分平面为2+2＝4（块）
3条直线分平面为2+2+3＝7（块）
依此类推，4条直线最多可以把圆分成2+2+3+4＝11（块），
…，
则n条直线最多可以把圆分成2+2+3+4+5+…+n＝1+（块）
答：4条直线最多可以把圆分成 11块，n条直线最多可以把圆分成1+块．
故答案为：11；1+．
【点评】本题关键是先通过特殊的情况研究，从而得出一般的规律；这是我们研究问题常用的方法，希望同学们掌握．
11．【分析】先列表找出甲乙两堆球移动5次后的情况，再根据最后相等找出原来甲乙两堆球的比例关系．然后根据甲堆球的范围130﹣﹣200之间进行求解．
【解答】解：设甲乙原有小球数为a和b，五次挪动的情况如下表：
故有11a﹣21b＝22b﹣10a，于是21a＝43b，即a：b＝43：21．
注意到小球个数是整数，且130＜a≤200，且a+b应为偶数（否则不能平分）．
于是有a：b＝86：42＝172：84，所以a＝172．
故答案为：172．
【点评】抓住最后的数量相等，找出原来两堆球数量之间的关系，再根据取值范围得出结论．
12．【分析】根据图例知：图中P点的运动与相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系用图乙来表示，从图中可知，当P运动4秒是到达C点中，这是BC的长度就是2×4厘米，P从C点运动到D点用了6﹣4秒，CD的长度就是（6﹣4）×2厘米，P点从D运动到E用了9﹣6秒，DE和长度就是（9﹣6）×2厘米，EF和长度就是AB﹣CD，AF的长度就是BC+DE．据此解答．
【解答】解：根据以上分析知：
BC的长度是：
2×4＝8（厘米），
CD的长度是：
（6﹣4）×2，
＝2×2，
＝4（厘米），
DE的长度是：
（9﹣6）×2，
＝3×2，
＝6（厘米），
EF＝AB﹣CD＝6﹣4＝2（厘米），
AF＝BC+DE＝8+6＝14（厘米），
图甲的面积是：
6×8+6×2，
＝48+12，
＝60（平方厘米），
a的值是：
×AB×BC，
＝×6×8，
＝24（平方厘米），
b的值是：
9+2÷2+14÷2，
＝9+1+7，
＝17（秒）．
答：甲中的图形面积是60平方厘米，图乙中的a与b的值分别是24平方厘米，17秒．
故答案为：60平方厘米，24平方厘米，17秒．
【点评】本题的关键是让学生看明白图乙中P点的移动规律．
三．应用题（共2小题）
13．【分析】（1）由图可知：当小虫P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形；然后求出A点到B点的距离及A点到CD中点的距离，进而根据：路程÷速度＝时间，分别解答即可；
（2）当DP∥AQ时，AQPE就是梯形，可设小虫Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，列式为12﹣x＝2x，解答即可．
【解答】解：（1）如图：
当小虫P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形，
需要：12÷1＝12（秒）；
当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形，
需要：（12+6+6）÷1
＝24÷1
＝24（秒）；
答：小虫P从A点出发12秒后，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；经过24秒后，三角形APE第二次成为等腰直角三角形．
（2）如图：
可设小虫Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，
12﹣x＝2x
3x＝12
x＝4
答：小虫Q从A点出发4秒后，四边形AQPE是梯形．
【点评】明确当小虫P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形；是解答此题的关键．
14．【分析】由题意可知，1、9、15、31这四个数为奇数，这四堆石子共有1+9+15+31＝56个，由于56÷4＝14个，14是一个偶数，1和3都为奇数，根据数和的奇偶性可知，奇数±奇数＝偶数，偶数±奇数＝奇数，即因为每操作一次改变一次奇偶性，即：第奇次操作后每堆数量是偶数，第偶次操作后每堆数量是奇数；所以，需要奇数次操作后才有可能每堆数量相等；又因为，它们除以3的余数分别是1，0，0，1，结果都是2；而每一次操作后有奇数堆（3堆）改变余数结果，所以，要有偶数堆改变余数结果需要偶数次操作，在本题中，4堆都要改变，所以需偶数次操作矛盾，所以结果是不可能的．
【解答】解：因为总数为1+9+15+31＝56，
56÷4＝14，
14是一个偶数；
1和3都为奇数，根据数和的奇偶性可知，每操作一次改变一次奇偶性，即：
第奇次操作后每堆数量是偶数，第偶次操作后每堆数量是奇数
所以，需要奇数次操作后才有可能每堆数量相等；
又它们除以3的余数分别是1，0，0，1，结果都是2；
而每一次操作后有奇数堆（3堆）改变余数结果，
所以，要有偶数堆改变余数结果需要偶数次操作，
在本题中，4堆都要改变，所以需偶数次操作矛盾，所以结果是不可能的．
【点评】在求出平均数的基础上，根据数的奇偶性进行分析是完成本题的关键．
四．解答题（共4小题）
15．【分析】（1）圆在转化成三角形的时，形状发生了变化，面积没有变，三角形的面积等于圆的面积，观察三角形，底相当于圆的周长，高相当于圆的半径。三角形的面积＝底×高÷2⇒圆的面积：s＝2.
（2）瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，为底面积×10+底面积×（16﹣14），也就是底面积×12；水的体积为底面积×10，由于水与容器的底面积相等，所有容积比＝。
【解答】解：（1）三角形的面积＝圆的面积
底×高÷2
圆的周长×半径÷2＝2πr×r÷2＝πr2
（圆的周长公式是2πr）
（2）瓶子的容积：底面积×10+底面积×（16﹣14）＝底面积×12。
水的体积：底面积×10。
水与容器的底面积相等，所有容积比＝。
【点评】转化是把新旧知识有机的结合起来的一种数学学习方法。
16．【分析】（1）由图可知：当小虫P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形；然后求出A点到B点的距离及A点到CD中点的距离，进而根据：路程÷速度＝时间，分别解答即可；
（2）①当DP∥AQ时，AQPE就是梯形，可设小虫Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，列式为12﹣x＝2x，解答即可．
②当∠QPD＝45°时，PF＝6cm，PC+AQ＝6cm．又因为小虫Q 的速度是小虫P 的2倍，所以小虫Q 行驶路程也是小虫P 的2倍，AQ＝6÷＝4cm，r然后将其分割成一个梯形AQPD 和一个三角形PED，分别求出这两个图形面积，进一步解答即可．
【解答】解：（1）如图：
当小虫P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形，
需要：12÷1＝12（秒）；
当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形，
需要：（12+6+6）÷1
＝24÷1
＝24（秒）；
答：小虫P从A点出发12秒后，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；经过24秒后，三角形APE第二次成为等腰直角三角形．
（2）①如图：
可设小虫Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，
12﹣x＝2x
3x＝12
x＝4
答：小虫Q从A点出发4秒后，四边形AQPE是梯形．
②如图：
图中小虫Q从A 点向上运动，小虫P 同时从C 点向下运动时，当∠QPD＝45°时，PF＝6cm，PC+AQ＝6cm．又因为小虫Q 的速度是小虫P 的2倍，所以小虫Q 行驶路程也是小虫P 的2倍，AQ＝6÷＝4cm．而四边形AQPE 为四边形，可以将其分割成一个梯形AQPD 和一个三角形PED，分别求出这两个图形面积是（4+10）×6÷2＝42cm2，6×10÷2＝30cm2，所以四边形面积为72 cm2．
【点评】明确当小虫P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形；是解答此题的关键．解决本题我们运用了等腰直角三角形的知识、梯形的性质及行程问题的基本数量关系，运用了转化的解题策略，还运用了分情况全面考虑问题的方法．
17．【分析】（1）根据车票价按“”代入数据即可求得A站至F站的火车票价；
（2）设王大妈行了x千米，根据车票价的计算公式可得＝66，计算出x的值，再根据每站之间的距离可算出王大妈是从哪儿上车，从哪儿下车．
【解答】解：（1）
＝
＝153.72（元）
≈154（元），
答：A站至F站的火车票价约是154元；
（2）设王大妈行了x千米
＝66
180x＝66×1500
180x＝999000
x＝550，
622﹣72＝550
答：王大妈实际乘车550千米，从D站上车到G站下车．
故答案为：154，550千米，从D站上车到G站下车．
【点评】此题考查了学生对于范例的理解，培养了学生学以致用的能力，由于阅读量大，还考查了学生的分析能力．
18．【分析】（1）查出每次剪完后，可剪的段数，再进行填空．
（2）根据观察剪的段数是：剪的次数减1乘3的积再加4的和，就是剪的段数可用式子：y＝4+3（x﹣1）来表示．
可求出剪5次，剪10次可剪的段数．
（3）根据y＝4+3（x﹣1）可求出剪的次数．
【解答】解：（1）
（2）4+3×（5﹣1）
＝4+3×4
＝4+12
＝16（段）
4+3×（10﹣1）
＝4+3×9
＝4+27
＝31（段）
答：剪切5次，把铁丝分成16段，剪切10次可分成31段．
（3）当y＝70时，
70＝4+3（x﹣1）
70＝4+3x﹣3
3x＝69
x＝23
答：按照上面的方法剪切23次时，铁丝分成70段．
故答案为：7，10．
【点评】本题的关键是找出规律再进行解答．气温/C
12
13
14
15
蟋蟀每分钟叫的次数
63
70
77
84
车站名
A
B
C
D
E
F
G
H
各站至H站的里程数（单位：千米）
1500
1130
910
622
402
219
72
0
4段
段
段
开始
1
2
3
4
5
甲
a
a﹣b
2a﹣2b
3a﹣5b
6a﹣10b
11a﹣21b
乙
b
2b
3b﹣a
6b﹣2a
11b﹣5a
﹣10a+22b