新高考数学二轮专题《圆锥曲线》第11讲 阿基米德三角形问题（2份打包，解析版+原卷版）

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第11讲 阿基米德三角形问题一、解答题 1．设定点F(0，1)，动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切.（1）求动点E的轨迹C的方程；（2）设A，B是曲线C上的两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线.2．如图，已知抛物线的焦点为F过点的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N ．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为证明：为定值3．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点．（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上．4．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F为抛物线C的焦点．以F为圆心，p为半径作圆，与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线y＝kx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P，求证：△PAB为直角三角形．5．已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点．（1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；（2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上．6．已知动点在轴上方，且到定点距离比到轴的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，点，分别异于原点，在曲线的，两点处的切线分别为，，且与交于点，求证：在定直线上.7．已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p＞0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线E于A，B两点，且满足OA⊥OB．①求证直线l过定点；②设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程．8．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.（1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值；（2）记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.9．已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.10．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.11．已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程.12．抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，为原点，的面积为2.（1）求拋物线的方程.（2）为直线上一个动点，过点作拋物线的切线，切点分别为，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标.13．已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.14．如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|–1.（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.15．如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、，满足、的中点均在抛物线上.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）设中点为，且，，证明：；（3）若是曲线（）上的动点，求面积的最小值.16．设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB．17．如下图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．（Ⅰ）设线段的中点为；（ⅰ）求证：平行于轴；（ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；（Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．