新教材高一数学必修第二册暑假作业第02练《平面向量的数量积》（2份打包，解析版+原卷版）

第02练  平面向量的数量积

【知识梳理】

知识点一 平面向量数量积的含义与物理意义

【知识点的知识】

1、向量的夹角概念：

    对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．

2、向量的数量积概念及其运算：

（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做

即：＝||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．

注意：

① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；  

②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；

③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．

（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0

（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，

3、向量的夹角公式：

4、向量的模长：

5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．

知识点二 平面向量数量积的性质及其运算

【知识点的知识】

1、平面向量数量积的重要性质：

设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：

（1）＝＝||cosθ；

（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）

（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；

特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）

（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）

（5）||≤||||

2、平面向量数量积的运算律

（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；

（3）分配律：（）•≠•（）

【平面向量数量积的运算】

平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．

知识点三 数量积表示两个向量的夹角

【知识点的知识】

我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．

知识点四 向量的投影

【知识点的知识】

1、两个向量的数量积及其性质：

（1）•＝||||cos＜，＞；

（2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）；

（3）||2＝2，||＝．

2、向量的投影：||cosθ＝∈R，称为向量在方向上的投影．                                         

1．已知，，且，则在上的投影向量为　　

A． B． C． D．

2．已知，且与夹角，则在上的投影为　　

A．1 B． C． D．

3．已知向量，，则在上的投影向量为　　

A． B． C． D．

4．已知为的外心，若，则　　

A． B． C． D．

5．已知为所在平面内一点，若，，，则　　

A． B．8 C． D．16

6．若，，且，则的值为　　

A． B．1 C． D．

7．设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为　　

A． B． C． D．

8．如图，在等腰梯形中，，则　　

A． B． C． D．

9．在中，，，，，分别是边上的三等分点，则的值是　　

A．6 B． C．8 D．

10．在中，，，，则　　

A． B． C． D．15

11．若向量，满足，，，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

二．多选题（共2小题）

12．已知向量，的夹角为，且，，则和在方向上的投影的数量分别等于　　

A．4 B．2 C．1 D．

13．在中，，边上的中线，则下列说法正确的有　　

A． B． 

C． D．的最大值为

三．填空题（共2小题）

14．已知向量，方向相反，且，，则在方向上的数量投影为 　　．

15．已知向量，满足，，与的夹角为，则　　．

16．如图，是圆的弦，已知，则　　．

17．在中，，，，则在方向上的投影为　　．

18．已知三点在平面直角坐标系所在平面内，点、分别在、轴正半轴上滑动，，，，则的最大值为 　　．

19．已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为 　　．

20．已知向量满足为非零的实数），设向量的夹角为，有下列四个命题．其中正确的命题有 　　（填写所有正确结论的编号）．

①存在，使得；

②不存在，使得；

③当变化时，的最大值为1；

④当变化时，的最小值为．

21．在平面内，定点，，，，满足，且，则　　；平面内的动点，满足，则的最大值是 　　．

22．在梯形中，与相交于点．若，则　　；若，为线段延长线上的动点，则的最小值为 　　．

23．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连着等腰直角三角形，等腰直角三角形上再连接正方形，，如此继续，正方形的边长为1，为正方形上的任一点，则的最大值为 　　．