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    2022届广东省惠州市第一中学等六校联盟高三下学期第六次联考数学试题含解析

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    2022届广东省惠州市第一中学等六校联盟高三下学期第六次联考数学试题含解析

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    这是一份2022届广东省惠州市第一中学等六校联盟高三下学期第六次联考数学试题含解析,共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2022届广东省惠州市第一中学等六校联盟高三下学期第六次联考数学试题一、单选题1.设集合,集合,则       A B C D【答案】C【分析】先求解集合,再根据集合的运算性质即可得到结果【详解】故选:C2.已知是关于的方程的一个根,为虚数单位,则       A B C D【答案】C【分析】代入原方程并化简,进而解出p,q,最后求得答案.【详解】根据题意,,所以,所以.故选:C.3.已知,则(       A BC D【答案】C【分析】利用指数函数和对数函数的单调性以及中间值进行比较即可.【详解】 故选:C.4.已知函数的部分图像如图所示,则将的图像向左平移个单位后,所得图像的函数解析式为(       A BC D【答案】B【分析】先由图像求出,然后利用平移变换和诱导公式计算出结果.【详解】由题由图所以,向左平移个单位后,得到故选:B.5.一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环,两个半圆半径分别为24,则该圆台的体积是(       A B C D【答案】D【分析】求出上下底面圆的半径,进而求出高线,利用圆台体积公式进行求解.【详解】设圆台上底面圆半径为,则,解得:设圆台下底面圆的半径为,则,解得:圆台的母线长为4-2=2画出圆台,如下:过点DDEAB于点E,则由勾股定理得:所以圆台的体积为.故选:D6.如图,神舟十二号的飞行轨道是以地球球心为左焦点的椭圆(图中虚线),我们把飞行轨道上的点与地球表面上的点的最近距离叫近地距离,最远距离叫远地距离.设地球半径为,若神舟十二号飞行轨道的近地距离是,远地距离是,则神舟十二号的飞行轨道的离心率为(       A B C D【答案】D【分析】以运行轨道长轴所在直线为轴,地心为左焦点建立平面直角坐标系,设椭圆方程为,根据题意列出方程组,解方程组即可.【详解】以运行轨道长轴所在直线为轴,地心为左焦点建立平面直角坐标系,设椭圆方程为其中根据题意有 所以 所以椭圆的离心率故选:7.定义在上的函数满足.的图象关于直线对称,则下列选项中一定成立的是(       A B C D【答案】A【分析】根据,令,可求得,再根据函数的对称性可得,再令,可求得,即可得出答案.【详解】解:因为函数满足所以,所以的图象关于直线对称,所以,且所以所以无法求出.故选:A.8.已知平面向量满足,且,则最小值为(       A B C D【答案】D【分析】根据,得到,不妨设,利用坐标法求解.【详解】解:因为所以,又所以如图所示:不妨设所以因为所以,即表示点C在以为圆心,以2为半径的圆上,所以最小值为故选:D二、多选题9.若,且,则(       A B C D【答案】AC【分析】a2b代入即可判断A,利用特殊值可判断B,利用基本不等式可求ab的范围,从而可判断C,利用和基本不等式可求的范围,从而判断D.【详解】对于A,且,解得,故A正确;对于B,不妨取,则不满足,故B错误;对于C,且,当且仅当时,等号成立,,故C正确;对于D,且当且仅当,即时等号成立,3,故D错误.故选:AC10.为庆祝建团100周年,六校组织开展团史知识竞赛活动,以学校为单位参加比赛,某校在6道团史题中(4道选择和2道填空),不放回地依次随机抽取3道题作答,设事件次抽到选择题,则下列结论中正确的是(       A B.事件互斥C D【答案】AD【分析】利用古典概型的概率公式,条件概率的概率公式以及互斥事件的定义求解即可.【详解】,选项A正确;事件可以同时发生,不是互斥,选项B错误;,选项C错误;,选项D正确.故选:AD.11.已知P(xy)为曲线上一动点,则(       A.若zxy,则z的最大值为1B.存在一个定点和一条定直线,使得点P到该定点的距离等于点P到该定直线的距离CP到直线y=-x2的距离的最小值为D的最小值为6【答案】ABD【分析】由曲线为抛物线的右半部分(包含原点)即可判断B正确;借助二次函数的最值即可判断A正确;数形结合判断C选项错误;利用抛物线的定义即可求出的最小值,从而判断D正确.【详解】由题意知:,即曲线为抛物线的右半部分(包含原点),由抛物线定义可知,B正确;,当时,A正确;由图像可知,原点到直线y=-x2的距离最小,此时距离为C错误;设点,易知抛物线焦点为,准线为,设点到准线的距离为D正确.故选:ABD.12.数列满足,定义函数是数列的特征函数,则下列说法正确的是(       A.当时,数列单调递增B.当时,C.当时,D.当方程有唯一解时,存在,对任意,都有【答案】BC【分析】利用数列的单调性可判断A选项;推导出数列为等比数列,结合等比数列的通项公式可判断B选项;利用数学归纳法可判断C选项;取,结合等比数列的通项公式可判断D选项.【详解】对于A,当时,,故数列单调递减,故A错误;对于B,当时,,则故数列是以为公比,为首项的等比数列,,所以,,故B正确;对于C,当时,则因为,则,故根据数列迭代递推,不完全归纳可猜想成立,证明如下:(1)当时,2)假设当时,则当时,,则.综上,故C正确;对于D,取,则有唯一的解,则所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列,则所以,时,D.故选:BC.【点睛】方法点睛:已知数列的递推关系求通项公式的典型方法:1)当出现时,构造等差数列;2)当出现时,构造等比数列;3)当出现时,用累加法求解;4)当出现时,用累乘法求解.三、填空题13.若曲线在点处的切线与直线平行,则___________【答案】【分析】求得函数的导数,得到,根据,即可求解.【详解】由函数,可得,可得因为曲线在点处的切线与直线平行,可得,解得.故答案为:.14.已知,则___________.【答案】【分析】将已知条件展开后可得出的值,通过的取值范围可判断出的符号,通过即可求解.【详解】.故答案为:.15.一只红铃虫产卵数和温度有关,现测得一组数据,可用模型拟合,设,其变换后的线性回归方程为,若为自然常数,则________.【答案】【分析】经过变换后将非线性问题转化为线性问题,在求样本点的中心,回归直线一定过该点,即可求出参数.【详解】经过变换后,得到,根据题意,故,又,故,故,于是回归方程为一定经过,故,解得,即,于是.故答案为:.四、双空题16.在侧棱长为2的正三棱锥中,两两垂直,分别为的中点,则三棱锥的外接球的表面积为___________,若上的动点,是平面上的动点,则的最小值是___________.【答案】          【分析】由三角形ADCAEC为直角三角形,可得斜边AC中点M即为三棱锥的外接球球心,从而即可求解;当最小时,平面,则Q在线段DG上,将三角形沿翻折,使之与三角形共面,从而即可计算最短距离.【详解】解:因为DA DBDC两两垂直,所以,因为ME分别为ACAB的中点, 所以所以,故M为三棱锥的外接球球心,所以三棱锥的外接球的表面积在正三棱锥中,EAB中点,平面CE中点为G,连接AC中点,M G=A E=平面即为在平面上的射影,最小时,平面,故Q在线段DG.如图,将三角形沿翻折,使之与三角形共面,此时,的最小值,即为点的距离,过点于点故答案为:.五、解答题17.已知的内角ABC的对边分别为abc.(1)B(2)面积为,求周长.【答案】(1)(2)【分析】1)根据正弦定理和两角和公式即可得到结果2)根据三角形面积公式以及余弦定理即可得到结果【详解】(1)因为,由正弦定理:,即.(2)由题意知由余弦定理得,又,故所以的周长.18.如图,在五面体中,为边长为2的等边三角形,平面.(1)求证:平面平面(2)若直线与平面所成角的正切值为,求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】1)取的中点为的中点为,由中位线得,进而得到四边形为平行四边形,然后得到,再利用线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明.2)先由直线与平面所成角的正切值计算出,然后建立空间直角坐标系用向量法计算二面角,也可以用几何法得到二面角的平面角再计算.【详解】(1)的中点为的中点为,连接因为平面平面,故为等边三角形,,所以MN分别为BEAB所在棱的中点,所以,所以,故四边形为平行四边形,所以平面,所以平面平面,故平面平面.(2)由(1)可知,为直线与平面所成角,,则,解得法一:向量法(通性通法)如图建立空间直角坐标系设平面的法向量,则,解得,则平面是平面的一个法向量所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为.法二:几何法:延长EDAC的延长线于S,连接BS,则平面平面由(1)易知,则,所以平面平面,所以为平面与平面所成的锐二面角,,则,故所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为.19.记是公差不为零的等差数列的前项和,若的等比中项.(1)求数列的通项公式;(2),求数列的前20项和.【答案】(1)(2)【分析】1)设等差数列的公差为,然后根据的等比中项求出首项和公差即可;2)通过裂项相消法求出数列的前20项和.【详解】(1)由题意知设等差数列的公差为,则因为,解得,可得所以数列是以1为首项和公差为1的等差数列,所以(2)由(1)可知设数列的前和为,则所以所以数列的前20和为20.新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播,感染人群年龄大多数是岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长,感染到他人的可能性越高.现对个病例的潜伏期(单位:天)进行调查,统计发现潜伏期平均数为,方差为.如果认为超过天的潜伏期属于长潜伏期,按照年龄统计样本,得到下面的列联表:年龄/人数长期潜伏非长期潜伏50岁以上6022050岁及50岁以下4080 1)是否有的把握认为长期潜伏与年龄有关;2)假设潜伏期服从正态分布,其中近似为样本平均数近似为样本方差.i)现在很多省市对入境旅客一律要求隔离天,请用概率的知识解释其合理性;ii)以题目中的样本频率估计概率,设个病例中恰有个属于长期潜伏的概率是,当为何值时,取得最大值.附:0.10.050.0102.7063.8416.635,则.【答案】1)有;(2)(i)答案见解析;(ii250.【分析】1)根据列联表中的数据,利用求得,与临界表值对比下结论;2(ⅰ)根据,利用小概率事件判断; (ⅱ)易得一个患者属于长潜伏期的概率是,进而得到,然后判断其单调性求解.【详解】1)依题意有由于,故有的把握认为长期潜伏与年龄有关;2(ⅰ)若潜伏期得知潜伏期超过天的概率很低,因此隔离天是合理的;(ⅱ)由于个病例中有个属于长潜伏期,若以样本频率估计概率,一个患者属于长潜伏期的概率是于是时,时,.故当时,取得最大值.【点睛】方法点睛:利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式的三个条件:(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.21.已知函数.(1)时,求证:上有唯一极大值点;(2)没有零点,求的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】1)求出导函数,然后设,再进行求导并判断出函数的单调性,进而结合零点存在定理确定出原函数的单调性,最后证明问题;2)设,进而讨论函数的零点问题,进而确定出函数的零点问题,最后求出答案.【详解】(1),则.在区间上,,则在区间上是减函数.,所以上有唯一零点.于是,时,单调递增,时,单调递减,所以上有唯一极大值点.(2),令,则,则上是增函数.因为,所以恰有一个零点.,得,代入,得,解得.所以当时,的唯一零点为0,此时,故无零点,符合题意.,此时的定义域为.时,在区间上是减函数;时,在区间上是增函数.所以.,故当且仅当,即时,无零点,符合题意.综上,的取值范围是.【点睛】本题第(1)问运用了二次求导和零点存在定理,问题非常典型,可以作为范例;第(2)问应当注意0不是函数的零点,此处容易出错.22.在一张纸上有一圆,定点,折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合,这样每次折叠都会留下一条直线折痕,设折痕与直线的交点为.(1)求点的轨迹方程;(2)曲线上一点N,点AB分别为直线在第一象限上的点与在第四象限上的点,若,求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】1)依题意可得,即可得到,根据双曲线的定义可得点的轨迹为以为焦点,实轴长为8的双曲线,从而求出的轨迹方程;2)设,且,根据,即可得到,再表示出,设的倾斜角为,利用二倍角公式即同角三角函数的基本关系求出,再根据及对勾函数的性质计算可得;【详解】(1)解:依题意可得点关于对称,则.则点的轨迹为以为焦点,实轴长为8的双曲线,,又,故所以双曲线方程为(2)解:由题意知,分别为双曲线的渐近线,,且.∴整理得,即,同理的倾斜角为.因为,易知函数上单调递减,在上单调递增,时,,当时,面积取值范围是.

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