专题10 集合间的基本关系-暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

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专题10 集合间的基本关系
【知识点梳理】
知识点1：Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．
知识点2：子集、真子集、集合相等的相关概念

【知识点拨】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．
(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．
(4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集．
(5)若A⊆B，且A≠B，则AB．
知识点3：空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
(2)规定：空集是任何集合的子集．
知识点4：集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．
(2)对于集合A，B，C，
①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；
②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．
(3)若A⊆B，A≠B，则AB．
【题型归纳目录】
题型1：确定集合的子集、真子集
题型2：集合间关系的判断
题型3：由集合间的关系求参数问题
【典型例题】
题型1：确定集合的子集、真子集
1．（2022·江西·高一阶段练习）设集合，且，则满足条件的集合的个数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合，利用集合的子集个数公式可求得结果.
【详解】
因为，由题意可知，集合为的子集，
则满足条件的集合的个数为.
故选：B.
2．（2022·四川·双流中学高一阶段练习）已知集合则集合的子集的个数为（       ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知，使用列举法写出集合A中的元素，然后根据元素的个数是用公式即可求解出其子集个数.
【详解】
集合用列举法书写为，则子集个数为．
故选：A．
3．（2022·河南焦作·高一期中）集合的子集个数是（       ）
A．4 B．3 C．1 D．与a的取值有关
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用根的判定式判断方程的解，即可得到集合含有2个元素，从而得到其子集数；
【详解】
解：∵中，
故关于x的一元二次方程有两个不等实根，
故集合一定有2个元素，
其子集有个．
故选：A.
4．（2022·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知集合A={1，2，3，4，5}，集合B={1，2}，若集合C满足：，则集合C的个数为（       ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合间的关系写出所有满足条件的集合C可得出答案.
【详解】
根据，集合可写成如下形式：


所以满足条件的集合C的个数为7个，选项B正确.
故选：B.
5．（2022·湖南·师大附中梅溪湖中学高一阶段练习）集合，，则集合的真子集的个数为（       ）
A．8 B．6 C．7 D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
先写出集合，再按照真子集的公式求解即可.
【详解】
，集合的真子集的个数为个.
故选：C.
19．（2022·湖南·高一课时练习）设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
首先写出的正约数，即可得到集合，再用列举法列出的所有子集；
【详解】
解：因为的正约数有、、、，所以，所以的子集有：、、、、、、、、、、、、、、、共16个；
20．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中高一期中）已知集合，且．
(1)求实数的值；
(2)写出集合A的所有子集．
【答案】(1)1
(2)，，，，，，，
【解析】
【分析】
（1）分类讨论哪个元素为3，并检验是否满足集合中元素的互异性；（2）结合第一问求出的集合A，写出所有子集.
(1)
∵，
当时，，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去
当时，或，当时，符合要求；当时，，此时集合A中有两个0，故舍去，综上：
(2)
由（1）知，，故A的所有子集为：，，，，，，，
题型2：集合间关系的判断
1．（2022·云南德宏·高一期末）下列四个选项中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合与集合的关系及元素与集合的关系判断即可；
【详解】
解：对于A：Ü，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：Ü，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D
2．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知集合，则正确表示集合U，，之间关系的维恩图是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项.
【详解】
∵，，
∴，故A正确，BCD错误.
故选：A.
3．（2022·北京八中高一期中）集合，，则M、P之间的关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
用列举法表示集合、，即可判断两集合的关系；
【详解】
解：因为，
，
所以，
故选：C
4．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期中）已知，，若，则的值为(       )
A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
A＝{－1，1}，若，则＝±1，据此即可求解﹒
【详解】
，，
若，则＝1或－1，故a＝1或－1．
故选：A．
5．（2022·青海西宁·高一期末）设，，，若，则（     ）.
A． B． C．.0 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两个集合相等，元素相同，得到，进而求出答案.
【详解】
由题意得：，所以
故选：A
6．（2022·湖南·怀化五中高一期中）①，②，③，④，其中正确的个数为(       )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系、集合与集合的关系即可判断.
【详解】
正确；
正确；
不正确，左边是数集，右边是点集；
不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同.
故正确的有①②，共2个.
故选：B.
7．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期中）下列各式中关系符号运用正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.
【详解】
根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；
根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；
根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.
故选：C.
8．（2022·山东·菏泽一中高一阶段练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【详解】
①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；
③空集是任意集合的子集，故，正确；
④空集没有任何元素，故，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
题型3：由集合间的关系求参数问题
1．（2022·江苏镇江·高一期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是__.
【答案】
【解析】
【分析】
由可知集合中的元素都在集合中，即把集合中的元素带入集合应该满足，从而得到的取值范围.
【详解】
解：，且，
，解得，
故的取值范围是.
故答案为：.
2．（2022·四川·攀枝花七中高一阶段练习）已知集合，，若，求实数的取值范围_______.
【答案】a＜3
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系画出数轴即可计算.
【详解】
∵，
∴A和C如图：

∴a＜3.
故答案为：a＜3.
3．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
结合数轴图与集合包含关系，观察即可得到参数的范围.
【详解】
在数轴上表示出集合A，B，

由于，如图所示，则.
4．（2022·上海市晋元高级中学高一期中）已知集合，，且，则实数的取值集合为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
讨论和两种情况，根据包含关系得出实数的取值集合.
【详解】

当时，，满足；
当时，，因为，所以或，解得或
即实数的取值集合为.
故答案为：
5．（2022·四川自贡·高一期中）已知集合A={|2＜＜+1，B=＜＜5，求满足AB的实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合之间的关系，列出相应的不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】
由题意，
集合，
因为，若，则，解得，符合题意；
若，则，解得，
所求实数的取值范围为.
6．（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）设集合，，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求集合A的子集的个数．
【答案】(1){或}
(2)
【解析】
【分析】
（1）按照集合是空集和不是空集分类讨论求解；
（2）确定集合中元素（个数），然后可得子集个数．
(1)
当即时，，符合题意；
当时，有，解得．
综上实数的取值范围是或；
(2)
当时，，所以集合的子集个数为个．


【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知集合，，则满足的集合C的个数为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【解析】
【分析】
由题知，，进而根据集合关系列举即可得答案.
【详解】
解：由题知，,
所以满足的集合有，
故集合C的个数为7个.
故选：B
2．（2022·安徽·高一期中）已知集合，则集合A的子集个数为（       ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，再求出子集的个数.
【详解】
∵，∴，解得，∵，∴，则集合的子集个数为.
故选：B.
3．（2022·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（       ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】A
【解析】
【分析】
根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.
【详解】
中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；

空集是任一集合的子集，所以正确；
是的子集，所以错误；
任何集合是其本身的子集，所以正确；
a是的元素，所以正确.
故选：A.
4．（2022·安徽宣城·高一期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】
当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，由可得，解得，此时.
综上所述，.
故选：A.
5．（2022·上海交大附中高一期中）已知复数a、b满足，集合，则的值为（       ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合的性质可知，或，且，进而求解即可.
【详解】
由题意，或，
所以，
故选：D.
6．（2022·天津市实验中学滨海学校高一阶段练习）设集合，，则两集合间的关系是（       ）
A． B．Ü C．Ü D．
【答案】B
【解析】
【分析】
变形，，分析比较即可得解.
【详解】
由题意可
即为的奇数倍构成的集合，
又，
即为的整数倍构成的集合，，即Ü
故选：B
7．（2022·全国·高一课时练习）同时满足：①，②，则的非空集合M有（       ）
A．6个 B．7个
C．15个 D．16个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解.
【详解】
时，；时，；时，；时，；，，
∴非空集合M为，，，，，，，共7个．
故选：B
8．（2019·广西·南宁市第十九中学高一期中）已知A＝{x|3a﹣1＜x＜2a+3}，B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，A⊆B，则a的取值范围为（　　）
A．{a|a≤} B．{a|a≤或a≥0}
C．{a|a≥4} D．{a|a≤0或a≥4}
【答案】C
【解析】
【分析】
分别讨论A是否为空集，结合集合的关系，可得a的不等式组，解不等式可得所求范围．
【详解】
由题意知，
当时，，解得，满足题意；
当时，a＜4，由A⊆B，即有，解得，即无解；
综上，．
故选：C．
二、多选题
9．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）下列关系正确的是（        ）
A． B．
C． D．Ü
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.
【详解】
由空集的定义知：，A正确.
,B正确.
，C错误.
Ü,D正确.
故选：ABD.
10．（2022·广东·高一期末）以下满足的集合A有（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案.
【详解】
由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集，
则所有符合条件的集合A为,,.
选项BD均不符合要求，排除.
故选：AC
11．（2022·浙江·金华市曙光学校高一期中）在上定义运算，若关于的不等式的解集是集合的子集，则整数的取值可以是（　　）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据给定的运算列出关于x的一元二次不等式，再分情况求出不等式的解集即可讨论作答.
【详解】
由在上定义的运算：得，，即，
当a=1时，不等式的解集为空集，而，则a=1，
当a>1时，不等式的解集为{x|1 当a<1时，不等式的解集为{x|a 综上所述，a的取值范围是{a|0≤a≤1}，又a为整数，所以a=0或a=1.
故选：AB
12．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（       ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.
【详解】
因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，
故选：BCD.
三、填空题
13．（2022·云南·高一阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数a的值是____．
【答案】±1
【解析】
【分析】
分析出集合A有1个元素，对a讨论方程解的情况即可.
【详解】
因为集合有且仅有两个子集，
所以集合A有1个元素.
当a=1时，，符合题意；
当a≠1时，要使集合A只有一个元素，只需，解得：；
综上所述： 实数a的值是1或-1.
故答案为：±1.
14．（2022·上海市晋元高级中学高一期中）若对任意的，有，则称是“伙伴关系集合”，则集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________.
【答案】
【解析】
【分析】
在集合的子集中列举出满足“伙伴关系集合”的集合，从而可得结果.
【详解】
因为，则，就称是伙伴关系集合，集合，
所以具有伙伴关系的集合有共7个.
故答案为：
15．（2022·天津·油田三中高一阶段练习）（1）已知集合，，且，则实数a的值为______．
（2）若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为______．
【答案】     或或0    
【解析】
【分析】
（1）分情况讨论，满足题意；当时，，因为，故得到或，解出即可；（2）分情况讨论，当时，满足题意；当时，只需要满足解不等式组即可.
【详解】
已知集合，
当，满足；
当时，，
因为，故得到或
解得或；
不等式对一切实数x都成立，
当时，满足题意；
当时，只需要满足
解得
综上结果为：.
故答案为：或或0；
16．（2022·全国·高一专题练习）设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件按集合A是否是分类讨论，再借助一元二次方程根的情况列式求解作答.
【详解】
因不等式的解集为A，且，
则当时，，解得：，此时满足，即，
当时，不妨令()，则一元二次方程在上有两个根，
于是有，解得或，解得：，
则有，综合得：，
所以a的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
17．（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）设集合，，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求集合A的子集的个数．
【答案】(1){或}
(2)
【解析】
【分析】
（1）按照集合是空集和不是空集分类讨论求解；
（2）确定集合中元素（个数），然后可得子集个数．
(1)
当即时，，符合题意；
当时，有，解得．
综上实数的取值范围是或；
(2)
当时，，所以集合的子集个数为个．
18．（2022·湖南·高一课时练习）（1）集合{a, b, c, d}的所有子集的个数是多少？
（2）集合{a1, a2, …， an}的所有子集的个数是多少？
【答案】（1）16；（2）2n
【解析】
【分析】
设集合为集合的子集，利用分步计数原理分析每个元素出现的情况，即得解
【详解】
（1）由题意，若为集合{a, b, c, d}的子集
则集合中的元素只能从a, b, c, d中选择，每个元素出现或者不出现有两种可能
故集合的不同情形有种情况
故集合{a, b, c, d}的所有子集的个数是
（2）由题意，若为集合{a1, a2, …， an}的子集
则集合中的元素只能从a1, a2, …， an中选择，每个元素出现或者不出现有两种可能
故集合的不同情形有种情况
故集合{a1, a2, …， an}的所有子集的个数是
19．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列每对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，{是的约数}；
(3)，.
【答案】(1)BÜA
(2)Ü
(3)Ü
【解析】
【分析】
（1）分析A，B集合中元素的关系，即得解；
（2）列举法表示集合D，即得解；
（3）列举法表示集合E，即得解
(1)
由题意，任取，有，故
且，故BÜA
(2)
由于{是的约数}
故Ü
(3)
由于
故Ü
20．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
【解析】
(1)若，则关于x的方程没有实数解，
则，且，
所以，实数m的取值范围是；
(2)若A恰有一个元素，
所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：当时，，满足题意；
当时，，所以．
综上所述，m的取值范围为．
21．（2022·北京顺义·高一期末）已知关于不等式的解集为.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若非空集合，请直接写出符合条件的整数的集合.
【解析】
(1)因方程的根为或，
而不等式的解集为，则2，3是方程的二根，
所以.
(2)因为，即有，解得：，
所以实数的取值范围为.
(3)因非空，则，当时，，显然集合不是集合的子集，
当时，，而，则，
所以整数的集合是.
22．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）由题得，解即得解；
（2）由题得，再对集合分三种情况讨论得解.
(1)
解：由题得.
若是的子集，则，
所以.
(2)
解：若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，
得，即，符合要求；
③若为双元素集合，，则.
综上所述，或.