高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题三立体几何与空间向量理科第1讲空间几何体三视图表面积与体积文理学案含解析

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专题三　立体几何与空间向量(理科)专题三　立体几何(文科)第1讲　空间几何体、三视图、表面积与体积(文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向　⊙︱考情分析︱1．简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问．2．空间几何体的侧面展开图、截面及简单的组合体问题．3．在一些基础题目中，经常与传统文化结合考查．4．经常在客观题的后几题中考查与球有关的切、接问题．⊙︱真题分布︱(理科)年份卷别题号考查角度分值2020Ⅰ卷3、10与棱锥有关的计算；体积、点到直线的距离、线面角、直线到平面的距离10Ⅱ卷7三视图5Ⅲ卷8由三视图求几何体的表面积52019Ⅰ卷12垂直、外接球、体积5Ⅱ卷18空间几何体的结构特征、直观图、数学文化12Ⅲ卷8、16空间两直线的位置关系的判定，简单几何体的组合体、长方体和棱锥的体积102018Ⅰ卷7三视图，几何体表面的最短距离5Ⅱ卷16圆锥的性质及侧面积的计算5Ⅲ卷3、10数学文化与三视图的识别、球与多面体、体积的最值、面面垂直10(文科)年份卷别题号考查角度分值2020Ⅰ卷3、12与棱锥有关的计算；求球的表面积10Ⅱ卷11、20(2)在求点到面的距离时涉及球的表面积；求四棱锥的体积11Ⅲ卷9由三视图求几何体的表面积52019Ⅰ卷16点到平面的距离5Ⅱ卷16多面体的棱长与面的个数5Ⅲ卷16多面体的体积52018Ⅰ卷9三视图，几何体表面的最短路径问题5Ⅱ卷16圆锥的体积计算5Ⅲ卷3、12数学文化与三视图，与外接球有关的空间几何体体积的最值问题10KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点　考点一　空间几何体的三视图(1)三视图的长度特征，三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．(2)空间想象能力与多观察实物相结合是解决此类问题的关键．(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．(4)注意画直观图时长度的变化．(5)求几何体体积问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．典例1　(1)(2020·成都模拟)如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是(　A　)(2)(2020·唐山二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为(　B　)A．2　　 B．3C．　　 D．2(3)(2020·金山区二模)如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是(　C　)A．2＋　　 B．1＋C．2＋　　 D．1＋【解析】　(1)根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为柱体．当选A时，正视图的中间的竖线为虚线．选项BCD都有可能．(2)如图所示，在棱长为2的正方体中，点C为所在棱的中点，则题中的三视图所对应的几何体为四棱锥P－ABCD，正方体的棱长为2，易知其棱长分别为：PA＝2，PB＝2，PD＝2，PC＝＝3，则最长的棱长为3．(3)水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1＋，S＝(1＋＋1)×2＝2＋.1．三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．2．将三视图还原为直观图常用的方法有两种：(1)直接拼凑法，多用于主、侧视图底边与水平线平行的三视图．(2)截图法，多用于主或侧视图与水平线不平行的三视图．3．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)．(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．1．(2020·浙江模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面两两垂直的平面共有(　C　)A．3对　　 B．4对　C．5对　　 D．6对【解析】　根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：平面与平面的位置关系：平面ABCD⊥平面PBC、平面ABCD⊥平面PCD、平面PBC⊥平面PCD、平面PAB⊥平面PBC、平面PAD⊥平面PCD.故选C．2．(2020·房山区二模)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为(　C　)A．2　　 B．2　C．2　　 D．4 【解析】　根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个三棱锥体和一个四棱锥体的组合体．如图所示：根据三视图中的长度：AB＝AE＝2，AB′＝2，AD＝2，所以最长的侧棱长为2.故选C．考点二　空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；(2)S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；(3)S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上、下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；(3)V台＝(S＋＋S′)h(S，S′分别为上、下底面面积，h为高)(不要求记忆)．3．球的表面积和体积公式(1)S球表＝4πR2(R为球的半径)；(2)V球＝πR3(R为球的半径)．考向1　空间几何体的表面积典例2　(1)(2020·河西区二模)已知正四棱锥P－ABCD的底面是边长为的正方形，其体积为，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为(　C　)A．π　　 B．2π　C．4π　　 D．6π(2)(2020·黄山二模)若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的表面积为(　B　)A．36　　 B．36＋8C．36＋18　　 D．36＋24【解析】　(1)设正四棱锥P－ABCD的顶点P在底面的投影为O，则V正四棱锥＝S底·PO＝×()2×PO＝PO，由题意可得PO＝，所以PO＝2，由题意可得所求的圆柱的底面直径2R＝BD＝×，所以R＝1，高h＝＝1，所以S圆柱表面积＝2S底＋S侧＝2πR2＋2πR·h＝2π×12＋2π×1×1＝4π，故选C．(2)由该棱柱的三视图可知，该棱柱的高是3，底面边长是4的正三棱柱，则棱柱的底面积是×4×2＝4，每个侧面面积是4×3＝12，所以该三棱柱的表面积为2×4＋12×3＝36＋8，故选B．求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积．(3)由几何体的三视图求其表面积：①关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小；②还原几何体的直观图，套用相应的面积公式．3．(1)(2020·梅州二模)某几何体的三视图如图所示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为(　D　)A．2π　　 B．4πC．16π　　 D．不存在(2)(2020·江苏省宿迁市重点中学一模)已知一圆锥的体积为π，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为__3π__.【解析】　(1)由题意可知几何体是圆锥，设底面半径为r，r∈(0,2)，高为h，则2r＋2＝8，即r＋＝4，所以圆锥的侧面积为：πr·＝πr·(4－r)＝2π(4r－r2)，当且仅当r＝2时，侧面积取得最大值，但是r＜2，所以该几何体侧面积没有最大值．故选D．(2)设圆锥底面半径为r，又母线与底面所成角为，则母线l＝2r，求得圆锥的高为h＝r，则π＝πr2·r，解得r＝1．故圆锥的表面积S＝πr2＋πlr＝π＋2π＝3π.考向2　空间几何体的体积典例3　(1)(2020·葫芦岛模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，在A，B，C，D，C1，D1这六个顶点中，选择两个点与A1，B1构成正三棱锥P，在剩下的四个顶点中选择两个点与A1，B1构成正三棱锥Q，M表示P与Q的公共部分，则M的体积为(　A　)A．　　 B．　C．　　 D．1(2)(2020·安丘市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为πR2．设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则＝(　A　)A．2　　 B．　C．1　　 D．(3)(2020·四川省成都外国语学校月考)某几何体的三视图如图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为(　A　)A．＋2　　 B．＋4C．＋2　　 D．＋4【解析】　(1)如图，由题意，P和Q分别为三棱锥B1－A1BC1和三棱锥A1－AB1D1，设平面A1BC1与平面AB1D1的交线为EF，则M为四面体A1B1EF.取A1B1的中点O，连接EO，可得EO⊥平面A1B1F，又S△A1B1F＝×2×2＝1．则M的体积V＝S△A1B1F·EO＝×1×1＝.故选A．(2)由球的半径为R，得半球表面积为2πR2，又酒杯内壁表面积为πR2，∴圆柱的侧面积为πR2．设圆柱的高为h，则2πR·h＝πR2，即h＝R.∴V1＝πR2·R＝πR3，V2＝πR3．∴＝＝2．故选A．(3)由已知中的三视图可得，该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组合而成，如图，其中半圆锥的底面半径为1，三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形，它们的高分别为：与2，则该几何体的体积V＝××π×12×＋×22×2＝＋2.故选A．求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体．4．(1)(2020·北京昌平区期末)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　C　)A．　　 B．　C．1　　 D．2(2)(2020·贵阳一中、云师大附中、南宁三中联考)如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.【解析】　(1)该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示所以VABC－A′B′C′＝×1×1×2＝1，故选C．(2)由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为＝，高为＝，则其体积为×2＝.考点三　多面体与球的切、接问题1．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．典例4　(1)(2020·6月份模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝，BD＝2，二面角A－BD－C是钝角．若三棱锥A－BCD的体积为2．则三棱锥A－BCD的外接球的表面积是(　C　)A．12π　　 B．π　C．13π　　 D．(2)(2020·湖北模拟)某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为(　C　)A．16π　　 B．12π　C．9π　　 D．8π(3)(2020·陕西渭南二模)体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为__6__.【解析】　(1)取BD的中点K，连接AK，CK，由已知△ABD和△BCD是全等的等腰三角形，所以AK⊥BD，CK⊥BD，∴∠AKC为二面角A－BD－C的平面角，且BD⊥平面AKC，AK＝CK，所以V＝×AK×CK×sin∠AKC×BD＝2，又AK＝＝2，故sin∠AKC＝，因为∠AKC为钝角，所以∠AKC＝120°，设△ABD，△BCD的外接圆的圆心分别为M，N，则M，N分别在AK，CK上且MK＝NK，连接DM，由(2－AM)2＋3＝DM2，其中AM＝DM，解得AM＝，同理CN＝，所以MK＝NK＝，过M，N分别作平面ABD，平面BCD的垂线，两垂线的交点O为四面体ABCD的外接球的球心，连接OK，则OK平分∠AKC，∴∠OKN＝60°，从而ON＝，OK＝，在Rt△ONC中，ON＝，CN＝AM＝，外接球的半径为OC＝＝＝，所以四面体ABCD外接球的表面积S＝4πr2＝4π×＝13π，故选C．(2)根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥体．如图所示：所以设该三棱锥体的外接球的球心为O，外接球的半径为OA＝r，则：r2＝(2－r)2＋()2，解得r2＝.故S＝4π×＝9π.故选C．(3)设球的半径为R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2．设底面边长为a，则a＝1，所以a＝2.所以V＝×2×3×2＝6.解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：5．(1)(2020·吴忠一模)已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面积为，一个侧面的周长为6，则正三棱柱ABC－A1B1C1外接球的表面积为(　C　)A．4π　　 B．8π　C．16π　　 D．32π(2)(2020·宁德二模)在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，若其外接球的表面积为12π，则SA＝(　B　)A．1　　 B．2　C．2　　 D．4【解析】　(1)∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面积为，一个侧面的周长为6，故正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2.得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r＝1．又由正三棱柱的侧棱长为2，则球心到圆O的球心距d＝，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2＝r2＋d2＝4，R＝2，∴外接球的表面积S＝4πR2＝16π.故选C．(2)如图，由SA⊥平面ABC，得SA⊥AC，SA⊥BC，又AB⊥BC，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，得BC⊥SB.∴SC为三棱锥S－ABC的外接球的一条直径．由已知可得：4π×()2＝12π，得SC2＝12．又AC2＝AB2＋BC2＝8，∴SA＝＝2．故选B．YI CUO QING LING MIAN SHI WU易错清零·免失误　1．对几何概念理解不透致误典例1　给出下列四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；④底面是矩形的平行六面体是长方体．其中正确的命题是__②③__(写出所有正确命题的序号)．【错解1】　①②③【错解2】　②③④【剖析】　①是错误的，因为底面可能是菱形；④是错误的，因为长方体的侧棱必须与底面垂直．【正解】　②③2．三视图识别不准确典例2　已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是____.【错解】　【剖析】　没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系．【正解】　如图所示，作几何体S－ABCD且知平面SCD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，作SE⊥CD于点E，得SE⊥面ABCD且SE＝20．∴VS－ABCD＝S正方形ABCD·SE＝.∴这个几何体的体积是.3．在求球的表面积或体积时相互关系理不清典例3　若一个球的体积扩大了8倍，则它的表面积扩大了(　D　)A．2倍　　 B．4倍C．倍　　 D．倍【错解】　设原来球的半径为r.体积扩大后球的半径为R，则有πR3＝8·πr3，∴R＝2r，选A．【剖析】　上述解法审题有误．一个球的体积扩大了8倍，相当于扩大后球的体积是原来球的体积的9倍．关于表面积扩大了几倍的问题，上述解法也是错误的．【正解】　设原来球的半径为r，体积扩大后球的半径为R，则有πR3＝9·πr3，∴R＝3·r.原来球的表面积为4πr2，体积扩大后球的表面积为4πR2＝4π·(3·r)2＝3·4πr2，较原来球的表面积扩大了(3－1)倍，正确答案为D．