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高考数学二轮复习第2部分2.3导数在函数中的应用1导数与函数的单调性极值最值课件
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这是一份高考数学二轮复习第2部分2.3导数在函数中的应用1导数与函数的单调性极值最值课件，共31页。PPT课件主要包含了-2-，-4-，命题热点一，命题热点二，命题热点三，-5-，-6-，-7-，-8-，-9-等内容，欢迎下载使用。
一、导数与函数的单调性、极值、最值
利用导数讨论函数的单调性【思考】 函数的导数与函数的单调性具有怎样的关系?例1已知函数f(x)=(x+a)ex(a∈R).(1)讨论f(x)在区间[0,+∞)内的单调性;(2)若函数 在区间[0,+∞)内单调递增,求实数t的取值范围.
解 (1)f'(x)=(x+a+1)ex(x≥0).①当a+1≥0,即a≥-1时,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增;②当a+1<0,即a<-1时,令f'(x)=0,得x=-a-1.在区间[0,-a-1)内,f'(x)<0;在区间(-a-1,+∞)内,f'(x)>0.则f(x)在区间[0,-a-1)内单调递减,在区间(-a-1,+∞)内单调递增.综上,当a≥-1时,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增;当a<-1时,f(x)在区间[0,-a-1)内单调递减,在区间(-a-1,+∞)内单调递增.
题后反思利用函数的导数研究函数的单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数f'(x);(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数y=f(x)的定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0;②若已知y=f(x)的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在原点处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间.
利用导数求函数的极值或最值【思考】 函数的极值与导数有怎样的关系?如何求函数的最值?
题后反思1.利用导数研究函数的极值的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数f'(x);(3)①若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再求出极值(当根中有参数时,要注意分类讨论根是否在定义域内);②若已知极值大小或存在的情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在的情况,从而求解.2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
对点训练2已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0利用导数求与函数零点有关的参数范围【思考】 如何利用导数求与函数零点有关的参数范围?例3已知函数f(x)=2sin x-xcs x-x,f'(x)为f(x)的导数.(1)证明:f'(x)在区间(0,π)内存在唯一零点;(2)若当x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.
(2)解 由题设知f(π)≥aπ,f(π)=0,可得a≤0.由(1)知,f'(x)在区间(0,π)内只有一个零点,设为x0,且当x∈(0,x0)时,f'(x)>0;当x∈(x0,π)时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,x0)内单调递增,在区间(x0,π)内单调递减.又f(0)=0,f(π)=0,所以,当x∈[0,π]时,f(x)≥0.又当a≤0,x∈[0,π]时,ax≤0,故f(x)≥ax.因此,a的取值范围是(-∞,0].
题后反思与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的交点个数问题(或者转化为两个熟悉函数图象的交点问题),进而确定参数的取值范围.
1.已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1
解析 ∵y'=aex+ln x+1,∴k=y'|x=1=ae+1=2,∴ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.
2.若函数f(x)=xln x-x3+x2-ax有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,1]C.[-1,0)D.(-∞,0)
解析 由f(x)=0,得a=ln x-x2+x.
因此当x>1时,g'(x)<0,g(x)∈(-∞,0);当00,g(x)∈(-∞,0),从而f(x)要有两个不同的零点,需a<0.
3.(2020全国Ⅰ,文15)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .
5.若函数f(x)=x2-x+1+aln x在区间(0,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围是 .
6.(2020全国Ⅰ,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.
一、导数与函数的单调性、极值、最值
利用导数讨论函数的单调性【思考】 函数的导数与函数的单调性具有怎样的关系?例1已知函数f(x)=(x+a)ex(a∈R).(1)讨论f(x)在区间[0,+∞)内的单调性;(2)若函数 在区间[0,+∞)内单调递增,求实数t的取值范围.
解 (1)f'(x)=(x+a+1)ex(x≥0).①当a+1≥0,即a≥-1时,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增;②当a+1<0,即a<-1时,令f'(x)=0,得x=-a-1.在区间[0,-a-1)内,f'(x)<0;在区间(-a-1,+∞)内,f'(x)>0.则f(x)在区间[0,-a-1)内单调递减,在区间(-a-1,+∞)内单调递增.综上,当a≥-1时,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增;当a<-1时,f(x)在区间[0,-a-1)内单调递减,在区间(-a-1,+∞)内单调递增.
题后反思利用函数的导数研究函数的单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数f'(x);(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数y=f(x)的定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0;②若已知y=f(x)的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在原点处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间.
利用导数求函数的极值或最值【思考】 函数的极值与导数有怎样的关系?如何求函数的最值?
题后反思1.利用导数研究函数的极值的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数f'(x);(3)①若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再求出极值(当根中有参数时,要注意分类讨论根是否在定义域内);②若已知极值大小或存在的情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在的情况,从而求解.2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
对点训练2已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0
(2)解 由题设知f(π)≥aπ,f(π)=0,可得a≤0.由(1)知,f'(x)在区间(0,π)内只有一个零点,设为x0,且当x∈(0,x0)时,f'(x)>0;当x∈(x0,π)时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,x0)内单调递增,在区间(x0,π)内单调递减.又f(0)=0,f(π)=0,所以,当x∈[0,π]时,f(x)≥0.又当a≤0,x∈[0,π]时,ax≤0,故f(x)≥ax.因此,a的取值范围是(-∞,0].
题后反思与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的交点个数问题(或者转化为两个熟悉函数图象的交点问题),进而确定参数的取值范围.
1.已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1
解析 ∵y'=aex+ln x+1,∴k=y'|x=1=ae+1=2,∴ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.
2.若函数f(x)=xln x-x3+x2-ax有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,1]C.[-1,0)D.(-∞,0)
解析 由f(x)=0,得a=ln x-x2+x.
因此当x>1时,g'(x)<0,g(x)∈(-∞,0);当0
3.(2020全国Ⅰ,文15)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .
5.若函数f(x)=x2-x+1+aln x在区间(0,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围是 .
6.(2020全国Ⅰ,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.
