山东省泰安市2022年中考数学真题解析版

这是一份山东省泰安市2022年中考数学真题解析版，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省泰安市2022年中考数学真题
一、单选题
1．|−5| 的倒数是（　　）
A．15 B．−15 C．5 D．−5
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【解答】解： |−5| 的倒数为 1÷|−5|=1|−5|=15 .
故答案为：A.
【分析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数再结合绝对值的意义即可得出答案.
2．计算（a3）2•a3的结果是（　　）
A．a8 B．a9 C．a10 D．a11
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】（a3）2•a3= a6 • a3=a9 ，
故答案为：B．

【分析】利用幂的乘方及同底数幂的乘法计算即可。
3．某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的俯视图是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】找到从上面看所得到的图形即可：空心圆柱由上向下看，看到的是一个圆环．
故答案为：C
【分析】根据所给几何体和俯视图的定义对每个选项一一判断即可。
4．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PAPM=PF ，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故答案为：C．
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案.
5．某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是（　　）

A．15.5，15.5 B．15.5，15 C．15，15.5 D．15，15
【答案】D
【知识点】条形统计图；平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为： 13×2+14×6+15×8+16×3+17×2+18×12+6+8+3+2+1 =15（岁），
该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22（人），
则第11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁，
故选：D．
【分析】根据年龄分布图和平均数、中位数的概念求解．本题考查了确定一组数据的平均数，中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间.如果设规定日期为x天，下面所列方程中错误的是（　　）
A．2x+xx+3=1 B．2x=3x+3
C．(1x+1x+3)×2+x−2x+3=1 D．1x+xx+3=1
【答案】D
【知识点】根据数量关系列出方程
【解析】【解答】解：设规定日期为x天，
由题意可得，(1x+1x+3)×2+x−2x+3=1，
整理得2x+xx+3=1，或2x=1−xx+3或2x=3x+3.
则ABC选项均正确，
故答案为：D.
【分析】设规定日期为x天，由题意可得：(1x+1x+3)×2+x-2x+3=1，化简即可判断.
7．如图，函数 y=ax2−2x+1 和 y=ax−a ( a 是常数，且 a≠0 )在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．不符合题意；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣ −22a ＞0．符合题意；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣ −22a ＞0，和x轴的正半轴相交．不符合题意；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据每一个图像中一次函数的走势得出a的取值范围，在a的这一取值范围下，再根据二次函数的图象与系数之间的关系即可做出判断。
8．已知方程3−aa−4−a=14−a，且关于x的不等式a A．2 【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：3-a-a2+4a=-1，即a2-3a-4=0，
分解因式得：（a-4）（a+1）=0，
解得：a=-1或a=4，
经检验a=4是增根，分式方程的解为a=-1，
当a=-1时，由a＜x≤b只有4个整数解，得到3≤b＜4．
故答案为：D．
【分析】先求出分式方程的解，再根据不等式a 9．如图，点I为的△ABC内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI=2CD，IC=6，ID=5时，IE的长为（　　）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DI=DC=DM，
∴∠ICM=90°，
∴CM=IM2−IC2=8，
∵AI=2CD=10，
∴AI=IM，
∵AE=EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE=12CM=4，
故答案为：C．
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM，先利用勾股定理求出CM的长，再证明IE是△ACM的中位线，即可得到IE=12CM=4。
10．一元二次方程−14x2+2x+12=−53x+15根的情况是（　　）
A．有一个正根，一个负根
B．有两个正根，且有一根大于9小于12
C．有两个正根，且都小于12
D．有两个正根，且有一根大于12
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意二次函数y=−14x2+2x+12，与y交与点（0，12）与x轴交于（-4，0）（12，0），一次函数y=−53x+15，与y交与点（0，15）与x轴交于（9，0）
因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象限，所以两根都大于0，且有一根大于12
故答案为：D．
【分析】画出函数图象，找准图象与坐标轴的交点，结合图象可选出答案。
11．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1， ΔABC 经过平移后得到 ΔA1B1C1 ，若 AC 上一点 P(1.2，1.4) 平移后对应点为 P1 ，点 P1 绕原点顺时针旋转 180∘ ，对应点为 P2 ，则点 P2 的坐标为（　　）

A．(2.8，3.6) B．(−2.8，−3.6)
C．(3.8，2.6) D．(−3.8，−2.6)
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1．
∵P（1.2，1.4），∴P1（﹣2.8，﹣3.6）．
∵P1与P2关于原点对称，∴P2（2.8，3.6）．
故答案为：A．
【分析】由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，再根据关于原点对称点的坐标特点是横纵坐标都互为相反数，即可求解。
12．如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=3，ON=5，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（　　）
A．34 B．35 C．34−2 D．35−2
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：ON′=ON=5，OM′=OM=3，∠N′OQ=∠M′OB=30°，
∴∠NON′=60°，∠MOM'=60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，
∴在Rt△M′ON′中，
M′N′=32+52=34．
故答案为：A．

【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值，再利用勾股定理求出M′N′=32+52=34即可。
二、填空题
13．地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是　 　（用科学记数法表示，保留2位有效数字）
【答案】7.1×10-7
【知识点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，
∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷（1.4×1018）≈7.1×10-7．
故答案是：7.1×10-7．

【分析】利用科学记数法及有效数字的定义求解即可。
14．如图,△ ABC 中,∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED，连 CE,则线段 CE 的长等于　 　
【答案】75
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BE交AD于点O，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，
∴BC= 32+42=5 ，AD=BD=2.5，
∴12 BC·AH= 12 AC·AB，即2.5AH=6，
∴AH=2.4，
由折叠的性质可知，AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD是BE的垂直平分线，△BCE是直角三角形，
∴S△ADB= 12 AD·OB= 12 BD·AH，
∴OB=AH=2.4，
∴BE=4.8，
∴CE= 52−4.82=75 .
故答案为： 75 .
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BE交AD于点O，根据勾股定理算出BC=5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD=BD=2.5，利用三角形的面积法，由12 BC·AH= 12 AC·AB列出方程求解算出AH的长，由折叠的性质可知，AE=AB，DE=DB=DC，从而可以判断出AD是BE的垂直平分线，△BCE是直角三角形，利用三角形的面积法，由S△ADB= 12 AD·OB= 12 BD·AH，得出OB=AH=2.4，进而即可得出BE的长，最后根据勾股定理算出CE的长.
15．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】23−23π
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OO′，BO′．
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等边三角形，∴∠AOO′=60°，OO′=OA，∴O′落在⊙O上．∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B是等边三角形，∴∠AO′B=120°．∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）= 12 ×1×2 3 ﹣（ 60⋅π×22360 ﹣ 12 ×2× 3 ）=2 3 ﹣ 2π3 ．故答案为：2 3 ﹣ 2π3 ．
【分析】连接OO′，BO′．根据旋转的性质得出∠OAO′=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，从而判断出△OAO′是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOO′=60°，OO′=OA，进而得出O′落在⊙O上，然后再判断出△OO′B是等边三角形根据等边三角形的性质及周角的定义得出∠B′O′B=120°，根据等腰三角形的性质得出∠O′B′B=∠O′BB′=30°，然后利用图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）即可得出答案。
16．观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为　 　．
【答案】不存在
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；
n=2时，“•”的个数是6=3×2；
n=3时，“•”的个数是9=3×3；
n=4时，“•”的个数是12=3×4；
……
∴第n个图形中“•”的个数是3n；
又∵n=1时，“○”的个数是1=1×(1+1)2；
n=2时，“○”的个数是3=2×(2+1)2，
n=3时，“○”的个数是6=3×(3+1)2，
n=4时，“○”的个数是10=4×(4+1)2，
……
∴第n个“○”的个数是n(n+1)2，
由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022
∴3n−n(n+1)2=2022①，n(n+1)2−3n=2022②
解①得：无解
解②得：n1=5+162012，n2=5−162012
故答案为：不存在

【分析】根据前几项中图形的个数与序号的关系可得第n个图形中“•”的个数是3n；第n个“○”的个数是n(n+1)2，再根据题意列出方程3n−n(n+1)2=2022，n(n+1)2−3n=2022，再求解并判断即可。
17．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i=1：3，且点A，B，C，D，在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是　 　．
【答案】(20+103)m
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH=BF，BH=DF，
∵斜坡的斜面坡度i=1：3，
∴DF：CF=1：3，
设DF=x m，CF=3x m，
∴CD=DF2+CF2=2x=20，
∴x=10，
∴BH=DF=10m，CF=103m，
∴DH=BF=103+30（m），
∵∠ADH=30°，
∴AH=33DH=10+103（m），
∴AB=AH+BH=20+103（m），
故答案为：(20+103)m．

【分析】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，设DF=x m，CF=3x m，先利用CD=DF2+CF2=2x=20，求出x的值，再利用锐角三角函数求出AH和BH的长，最后利用线段的和差可得AB的长。
18．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1，PB= 5 .下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为 2 ；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+ 6 ；⑤S正方形ABCD=4+ 6 .其中正确结论的序号是　 　.
【答案】①③⑤
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∵在△APD和△AEB中，
AE=AP∠EAB=∠PADAB=AD ，
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；
故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE= BP2−PE2 = 5−2 = 3 ，
∴BF=EF= 62 ，
故此选项不正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP= 2 ，
又∵PB= 5 ，
∴BE= 3 ，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE= 3 ，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP= 12 S正方形ABCD- 12 ×DP×BE= 12 ×（4+ 6 ）- 12 × 3 × 3 = 12 + 62 .
故此选项不正确.
⑤∵EF=BF= 62 ，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+ 6 ，
∴S正方形ABCD=AB2=4+ 6 ，
故此选项正确.
故答案为：①③⑤.
【分析】根据余角的性质求出∠EAB=∠DAP，结合AP=AE，AD=AB，利用SAS证明△APD≌△DAP，则可判断 ① ；从而得出∠APD=∠AEB，根据角的和差关系求出∠BED=∠BAD=90°，则可判断 ③ ；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，所以△BFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE和BF的长度，则可判断②；再根据勾股定理求出AB2，即正方形ABCD的面积，即可判断⑤；根据S△APD+S△APB =S△AEB+S△APB=S△AEP+S△PEB，则求出△AEP与△PEB的面积，即可判断④.
三、解答题
19．
（1）若单项式xm−ny14与单项式−12x3y3m−8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；
（2）先化简，再求值：(xx+1+1x−1)÷1x2−1，其中x=2−1．
【答案】（1）解：由题意可得m−n=3①3m−8n=14②，
②−①×3，可得：−5n=5，
解得：n=−1，
把n=−1代入①，可得：m−(−1)=3，
解得：m=2，
∴m的值为2，n的值为-1；
（2）解：原式=[x(x−1)+(x+1)(x+1)(x−1)]⋅(x+1)(x−1)
=x2−x+x+1(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)
=x2+1，
当x=2−1时，
原式=(2−1)2+1=2−22+1+1=4−22．
【知识点】利用分式运算化简求值；同类项
【解析】【分析】（1）根据同类项的定义可得m−n=3①3m−8n=14②，解方程组即得m、n的值；
（2）跟姐姐分式的混合运算将原式化简，再将x值代入计算即可.
20．如图，反比例函数y＝mx的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．
【答案】（1）解：把点A（2，6）代入y＝mx，得m＝12，
则y＝12x．
把点B（n，1）代入y＝12x，得n＝12，
则点B的坐标为（12，1）．
由直线y＝kx＋b过点A（2，6），点B（12，1）得2k+b=612k+b=1，
解得k=−12b=7，
则所求一次函数的表达式为y＝−12x＋7；
（2）解：如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7）．
∴PE＝|m﹣7|．
∵S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，
∴12×|m﹣7|×（12﹣2）＝5
∴|m﹣7|＝1
∴m1＝6，m2＝8
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先将点A的坐标代入y=mx求出m的值，再将点B的坐标代入反比例求出n的值，最后将点A、B的坐标代入y＝kx＋b求出k、b的值即可；
（2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，根据S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，可得12×|m﹣7|×（12﹣2）＝5，再求出m的值即可得到答案。
21．为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　，d=　 　；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名.现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
【答案】（1）1；4；92.5；95
（2）解：200×410=80，
估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人
（3）解：画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，
所以抽到同年级学生的概率=820=25．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）a=1，b=4，
八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
所以八年级成绩的中位数c=90+952=92.5，
七年级成绩中95出现的次数最多，则d=95；
故答案为1，4，92.5，95；
【分析】（1）先求出a=1，b=4，再根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）求出 200×410=80， 即可作答；
（3）先画树状图，再求出共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8， 最后求概率即可。
22．某电子商品经销店欲购进A、B两种平板电脑，若用9000元购进A种平板电脑12台，B种平板电脑3台；也可以用9000元购进A种平板电脑6台，B种平板电脑6台．
（1）求A、B两种平板电脑的进价分别为多少元？
（2）考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板电脑，已知A型平板电脑售价为700元/台，B型平板电脑售价为1300元/台．根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板电脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍．假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
【答案】（1）解：设A、B两种平板电脑的进价分别为x元、y元．由题意得，12x+3y=90006x+6y=9000，
解得x=500y=1000，
答：A、B两种平板电脑的进价分别为500元、1000元；
（2）解：设商店准备购进B种平板电脑a台，则购进A种平板电脑30000−1000a500台，
由题意，得 2a≤30000−1000a50030000−1000a500≤2.8a，
解得12.5≤a≤15，
∵a为整数，
∴a=13或14或15．
设总利润为w，则：w=（700-500）×30000−1000a500+（1300-1000）a=-100a+12000，
∵-100＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴为使利润最大，该商城应购进B种平板电脑13台，A种平板电脑30000−1000×13500＝34台．
答：购进B种平板电脑13台，A种平板电脑34台．
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B两种平板电脑的进价分别为x元、y元，根据题意列出方程组12x+3y=90006x+6y=9000求解即可；
（2）设商店准备购进B种平板电脑a台，则购进A种平板电脑30000−1000a500台，列出不等式组求出a=13或14或15，再根据题意列出函数解析式w=（700-500）×30000−1000a500+（1300-1000）a=-100a+12000，最后利用一次函数的性质求解即可。
23．正方形ABCD中，P为AB边上任一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且DE=EF，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．
（1）求证：△AEG是等腰直角三角形；
（2）求证：AG+CG=2DG；
（3）若AB=2，P为AB的中点，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵DE=EF，AE⊥DP，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF，
∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，
∴∠AFD=∠PAE，
∵AG平分∠BAF，
∴∠FAG=∠GAP．
∵∠AFD+∠FAE=90°，
∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°
∴2∠GAP+2∠PAE=90°，
即∠GAE=45°，
∴△AGE为等腰直角三角形；
（2）证明：作CH⊥DP，交DP于H点，
∴∠DHC=90°．
∵AE⊥DP，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠DHC．
∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，
∴∠ADE=∠DCH．
∵在△ADE和△DCH中，
∠AED=∠DHC∠ADE=∠DCHAD=DC，
∴△ADE≌△DCH（AAS），
∴CH=DE，DH=AE=EG．
∴EH+EG=EH+HD，
即GH=ED，
∴GH=CH．
∴CG=2GH．
∵AG=2EG，
∴AG=2DH，
∴CG+AG=2GH+2HD，
∴CG+AG=2（GH+HD），
即CG+AG=2DG．
（3）解：如图，过点F作FN⊥CD交AB，CD分别于点M，N，则四边形AMND是矩形，
∴AD∥FN，
∴MN=AD=2，
∵P为AB的中点，AB=2，则AP=12AB=1，
∵AD∥FN，
∴∠DFN=∠ADF，
∴tan∠ADP=tan∠DFN，
∴APAD=DNFN=PMFM=12，
设MB=x，则PM=1−x，则FM=2PM=2−2x，
Rt△AFM中，AF=AB=2，AM=AB−MB=2−x，
AF2=FM2+AM2，
即22=(2−2x)2+(2−x)2，
解得x=25或x=2（舍去），
∴BM=25，FM=2−2×25=65，
Rt△FMB中，FB=FM2+MB2=(65)2+(25)2=2510．
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）由条件可以得出∠AFD=∠PAE，再由直角三角形的性质两锐角互余及角平分线的性质就可以得出2∠GAP+2∠PAE=90°，从而求出结论；
（2）作CH⊥DP，交DP于H点，可以得出△ADE≌△DCH，根据全等三角形的性质就可以得出△GHC是等腰直角三角形，由其性质就可以得出CG=2GH ，AG=2EG，再根据线段的和差及等量代换可得CG+AG=2DG；
（3）过点F作FN⊥CD交AB，CD分别于点M，N，则四边形AMND是矩形，根据tan∠ADP=tan∠DFN可得APAD=DNFN=PMFM，设MB=x，则PM=1−x，则FM=2PM=2−2x，利用勾股定理列出方程22=(2−2x)2+(2−x)2，求出x的值，再求出 BM=25，FM=2−2×25=65，最后利用勾股定理求出FB的长即可。
24．如图，抛物线y=mx2+3mx−2m+1的图象经过点C，交x轴于点A(x1，0)，B(x2，0)（点A在点B左侧），且x2−x1=5连接BC，D是AC上方的抛物线一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于与∠BAC的两倍？若存在，求点D得横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由y=mx2+3mx−2m+1，令y=0，即mx2+3mx−2m+1=0
则x1⋅x2=−2m+1m=−2+1m，x1+x2=−3
∵交x轴于点A(x1，0)，B(x2，0)（点A在点B左侧），且x2−x1=5
∴(x1−x2)2=25
即(x1+x2)2−4x1x2=25
∴(−3)2−4×(−2+1m)=25
解得m=−12
∴ 抛物线的函数表达式为y=−12x2−32x+2；
（2）解：由y=−12x2−32x+2，令y=0，则−12x2−32x+2=0
解得x1=−4，x2=1
则A(−4，0)，B(1，0)
令x=0，则y=2
即C(0，2)
设直线AC的解析式为y=kx+b
则−4k+b=0b=2
解得k=12b=2
∴直线AC的解析式为y=12x+2
过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N，
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴S△DCE：S△BCE=DE：BE=DM：BN，
设D（a，−12a2−32a+2），
∴M（a，12a+2），
∵B（1.0），
∴N（1，52），
∴S△DCE：S△BCE=DM：BN=（-12a2-2a）：52
∴S△DCE：S△BCE=-15（a+2）2+45；
∴当a=-2时，S1：S2的最大值是45；−12a2−32a+2=3，
则D(2，3)；
（3）解：∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC=25，BC=5，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，
取AB的中点P，
∴P（-32，0），
∴PA=PC=PB=52，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=43，
过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，
情况一：如图2，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=12，
即RC：DR=12，
令D（a，-12a2-32a+2），
∴DR=-a，RC=-12a2-32a，
∴（-12a2-32a）：（-a）=1：2，
∴a1=0（舍去），a2=-2，
∴xD=-2，
情况二：∴∠FDC=2∠BAC，
∴tan∠FDC=43，
设FC=4k，
∴DF=3k，DC=5k，
∵tan∠DGC=3k：FG=1：2，
∴FG=6k，
∴CG=2k，DG=35k
∴RC=255k，RG=455k，DR=DG−RG=1155k，
∴.DR：RC=(1155k)：(255k)=(−a)：(−12a2−32a)，
解得a1=0（舍去），a2=-2911，
综上所述：点D的横坐标为-2或-2911．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得x1⋅x2=−2m+1m=−2+1m，x1+x2=−3，再结合x2−x1=5可得(x1+x2)2−4x1x2=25，将数据代入可得(−3)2−4×(−2+1m)=25，求出m的值，即可得到函数解析式；
（2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N，设D（a，−12a2−32a+2），则M（a，12a+2），再根据S△DCE：S△BCE=DM：BN=（-12a2-2a）：52可得S△DCE：S△BCE=-15（a+2）2+45，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，分两种情况：情况一：∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二：∠FDC=2∠BAC，再分别求解即可。
25．如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；
（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．
【答案】（1）解：连接OC，在△OAD和△OCD中，∵OA=OCAD=CDOD=OD ，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO=∠CDO，
又AD=CD，
∴DE⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）解：∵tan∠ABC= ACBC =2，∴设BC=a、则AC=2a，
∴AD=AB= AC2+BC2 = 5a ，
∵OE∥BC，且AO=BO，
∴OE= 12 BC= 12 a，AE=CE= 12 AC=a，
在△AED中，DE= AD2−AE2 =2a，
在△AOD中，AO2+AD2=（ 5a2 ）2+（ 5 a）2= 254 a2，OD2=（OF+DF）2=（ 12 a+2a）2= 254 a2，
∴AO2+AD2=OD2，
∴∠OAD=90°，
则DA与⊙O相切
（3）解：连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD=∠BAD=90°，∵∠ADF=∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴DFAD = ADBD ，即DF•BD=AD2①，
又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴ADOD = DEAD ，即OD•DE=AD2②，
由①②可得DF•BD=OD•DE，即 DFOD = DEBD ，
又∵∠EDF=∠BDO，
∴△EDF∽△BDO，
∵BC=1，∴AB=AD= 5 、OD= 52 、ED=2、BD= 10 、OB= 52 ，∴EFOB = DEBD ，即 EF52 = 210 ，解得：EF= 22
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC，首先利用SSS判断出△OAD≌△OCD，根据全等三角形对应角相等得出∠ADO=∠CDO，根据等腰三角形的三线合一得出DE⊥AC，根据直径所对的圆周角是直角得出BC⊥AC，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论；
（2）根据正切函数的定义及tan∠ABC=2可设BC=a、则AC=2a，根据勾股定理由AD=AB得出AD的长，根据三角形的中位线定理得出OE=12 BC= 12 a，AE=CE=12 AC=a，在△AED中，由勾股定理得出DE的长，在△AOD中，根据勾股定理的逆定理得出∠OAD=90°，从而得出结论；
（3）根据圆周角定理，首先判断出△AFD∽△BAD，根据相似三角形对应边成比例得出DF∶OD=AD∶BD，即DF•BD=AD2①，再判断出△AED∽△OAD，AD∶OD=DE∶AD，即OD•DE=AD2②，由①②可得DF•BD=OD•DE，即DF∶OD=DE∶BD，再判断出△EDF∽△BDO，从而得出EF∶OB=DE∶BD，从而得出EF的长。