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湖南省常德市2022年中考数学试卷解析版
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这是一份湖南省常德市2022年中考数学试卷解析版，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省常德市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．在3317，3，−38，π，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：在3317，3，−38，π，2022这五个数中无理数为3和π，共2个.
故答案为：A.
【分析】无理数是无限不循环小数，常见的无理数有四类：①根号型的数：开方开不尽的数，② 与π有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④三角函数型：如sin60°等，根据定义即可一一判断得出答案.
2．国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；
B、是中心对称图形，故B选项正确；
C、不是中心对称图形，故C选项错误；
D、不是中心对称图形，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
3．计算x4⋅4x3的结果是（ ）
A．x B．4x C．4x7 D．x11
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：x4⋅4x3=4x4+3=4x7，故C正确.
故答案为：C.
【分析】单项式乘以单项式，积的系数等于原来两个单项式的系数的积，它的各个变数字母的幂指数，等于在原来两个单项式中相应的变数字母的幂指数的和，据此计算.
4．下列说法正确的是（ ）
A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C．一组数据的中位数可能有两个
D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择；随机事件；中位数
【解析】【解答】解：A、为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故该选项不正确，不符合题意；
B、“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；
C、一组数据的中位数只有1个，故该选项不正确，不符合题意；
D、为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】扇形统计图表示的是部分占总体的百分比，条形统计图反映的是具体的数据，折线统计图反映的是变化情况，据此判断A；在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，不可能事件与必然事件叫做确定事件；而煮熟的鸭子是不会飞的，据此判断B；将一组数据按从小到大或从大到小排列后，如果这组数据的个数是奇数个，则最中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数个，则最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此可判断C；抽样调查与普查：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此可判断D.
5．从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表如下，
1
2
3
4
5
1
3
4
5
6
2
3
5
6
7
3
4
5
7
8
4
5
6
7
9
5
6
7
8
9
共有20种等可能结果，其中和为偶数的有8种，
则其和为偶数的概率为820=25
故答案为：B.
【分析】长此题是抽取不放回类型，列出表格，找出总情况数以及和为偶数的情况数，然后根据概率公式进行计算.
6．关于x的一元二次方程x2−4x+k=0无实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k>4 B．k<4 C．k<−4 D．k>1
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+k=0无实数解，
∴Δ=16−4k<0
解得：k>4
故答案为：A.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此结合题意列出不等式，求解即可.
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD.则下列结论错误的是（ ）
A．BE=BC B．BF∥DE，BF=DE
C．∠DFC=90° D．DG=3GF
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SSS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A、∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC，故A正确；
B、∵点F是边AC中点，
∴CF=BF=AF=12AC，
∵∠BCA=30°，
∴BA=12AC，
∴BF=AB=AF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，
∴∠BHE=∠DEC=90°，
∴BF//ED，
∵AB=DE，
∴BF=DE，故B正确.
C、∵BF∥ED，BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BC=BE=DF，
∵AB=CF， BC=DF，AC=CD，
∴△ABC≌△CFD，
∴∠DFC=∠ABC=90°，故C正确；
D、.∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°，
∴∠FCG=30°，
∴FG=12CG，
∴CG=2FG.
∵∠DCE=∠CDG=30°，
∴DG=CG，
∴DG=2FG.故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，推出△BCE是等边三角形，据此判断A；根据直角三角形斜边上中线的性质可得CF=BF=AF=12AC，根据含30°角的直角三角形的性质可得BA=12AC，则BF=AB=AF=CF，延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠DEC=90°，推出BF//ED，结合AB=DE可判断B；易得四边形BEDF是平行四边形，则BC=BE=DF，证明△ABC≌△CFD，据此判断C；易得∠FCG=30°，则CG=2FG，根据∠DCE=∠CDG=30°可得DG=CG，进而判断D.
8．我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+⋯+6+6+3=3︸n个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足b+b+b+⋯+b+b+a=a︸n个根号时，称(a，b)为一组完美方根数对.如上面(3，6)是一组完美方根数对.则下面4个结论：①(4，12)是完美方根数对；②(9，91)是完美方根数对；③若(a，380)是完美方根数对，则a=20；④若(x，y)是完美方根数对，则点P(x，y)在抛物线y=x2−x上.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵12+4=4，
∴(4，12)是完美方根数对；
故①正确；
∵91+9=10≠9
∴(9，91)不是完美方根数对；
故②不正确；
若(a，380)是完美方根数对，则380+a=a
即a2=380+a
解得a=20或a=−19
∵a是正整数
则a=20
故③正确；
若(x，y)是完美方根数对，则y+x=x
∴y+x=x2，
即y=x2−x
故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据12+4=4、91+9=10结合完美方根数对的概念可判断①②；由于（a，380）是完美方根数对，则380+a=a，求出a的值，据此判断③；若（x，y）是完美方根数对，则y+x=x，化简可得y与x的关系，据此判断④.
二、填空题
9．|－6|＝ ．
【答案】6
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】 |－6|=6
故答案为6．
【分析】正数的绝对值为其本身，负数的绝对值为其相反数
10．分解因式：x3−9xy2= .
【答案】x（x-3y）（x+3y）
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=x3−9xy2=x(x2−9y2)=x(x−3y)(x+3y).
故答案为：x（x-3y）（x+3y）.
【分析】首先提取公因式x，然后利用平方差公式进行分解即可.
11．使式子xx−4有意义的x的取值范围是 .
【答案】x＞4
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得：x−4≥0x−4≠0，
解得：x>4.
故答案为：x>4.
【分析】根据分式的分母不能为零及二次根式的被开方数不能为负数可得x-4>0，求解即可.
12．方程2x+1x(x−2)=52x的解为 .
【答案】x=4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以2x(x−2)，
2×2(x−2)+2=5×(x−2)
4x−8+2=5x−10
解得x=4
经检验，x=4是原方程的解
故答案为：x=4.
【分析】给方程两边同时乘以2x(x-2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后进行检验即可.
13．如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是 .
【答案】月
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”.
故答案为：月.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
14．今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是 分.
【答案】87.4
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得她的最后得分是为：85×40%+88×40%+92×10%+90×10%=87.4 （分）；
故答案为：87.4.
【分析】利用演讲得分×所占的比例+语言表达得分×所占的比例+形象风度得分×所占的比例+整体效果得分×所占的比例就可求出最后得分.
15．如图，已知F是△ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若▱BDFE的面积为2，BD=13BA，BE=14BC，则△ABC的面积是 .
【答案】12
【知识点】三角形的面积；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，
∵FD∥BC，FE∥AB，BD=13BA，BE=14BC，
∴CE=3BE，AD=2BD，
∴CMAM=CEBE=3，ANCN=ADBD=2，
∴令AM=x，则CM=3x，
∴AC=4x，
∴AN=23AC=83x，CN=13AC=43x，
∴MN=53x，
∴NMAN=58，NMMC=59，
S△NMF：S△NAD=25：64，S△NMF：S△MEC=25：81，
∴设S△NMF=25a，S△NAD=64a，S△MEC=81a，
∴S四边形FECN=56a，
∴S△ABC=2+120a，
∴SADNS△ABC=64a2+120a=(ADAB)2=49，
求出a=112，
∴S△ABC=2+120a=12.
故答案为：12.
【分析】延长EF、DF分布交AC于点M、N，由已知条件得CE=3BE，AD=2BD，令AM=x，则CM=3x，AC=4x，AN=83x，CN=43x，MN=53x，则NMAN=58，NMMC=59，结合三角形面积公式得S△NMF∶S△NAD=25∶64，S△NMF∶S△MEC=25∶81，设S△NMF=25a，则S△NAD=64a，S△MEC=81a，S四边形FECN=56a，S△ABC=2+120a，结合S△ADNS△ABC=(ADAB)2就可求出a的值，进而可得S△ABC.
16．剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 .
【答案】6
【知识点】一元一次方程的其他应用；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，
10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n，
∴(5−2)×180°+3×180°+(4−2)×180°×5+(n−2)×180°=360°+360°×9，
解得n=6.
故答案为：6.
【分析】根据题意可得：10张纸片，需剪9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n，根据每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°列出关于n的方程，求解即可.
三、解答题
17．计算：30−(12)−2sin30°+8cos45°
【答案】解：原式＝1−4×12+22×22
=1.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值及二次根式的性质分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.
18．求不等式组5x−1＞3x−4−13x≤23−x的解集.
【答案】解：5x−1＞3x−4①−13x≤23−x②
由①得：x＞−32，
由②得：x≤1，
所以原不等式组的解集为−32＜x≤1.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集.
19．化简：(a−1+a+3a+2)÷a2−1a+2
【答案】解：原式=[(a−1)(a+2)a+2+a+3a+2]⋅a+2(a+1)(a−1)
=a2−a+2a−2+a+3a+2⋅a+2(a+1)(a−1)
=a2+2a+1(a+1)(a−1)
=(a+1)2(a+1)(a−1)
=a+1a−1.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】通分计算括号内异分母分式的加法，对括号外分式的分子利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简.
20．小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【答案】解：设小强家到他奶奶家的距离是x千米，则平时每小时行驶x4千米，减速后每小时行驶(x4−20)千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得：2×x4+3(x4−20)=x，
解得：x=240，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设小强家到他奶奶家的距离是x千米，则平时每小时行驶x4千米，减速后每小时行驶(x4-20)千米，由题可知遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，根据遇到暴雨前的用时×每小时行驶的路程+遇到暴雨后的用时×减速后每小时行驶的路程=总路程可得关于x的方程，求解即可.
21．如图，已知正比例函数y1=x与反比例函数y2的图象交于A(2，2)，B两点.
（1）求y2的解析式并直接写出y1
【答案】（1）解：设y2=kx(k≠0)，
∵A(2，2)在反比例函数y2=kx(k≠0)的图象上，
∴k=xy=2×2=4，
∴y2=4x；当0
由菱形的性质和判定可知M、N在直线y=−x的图象上且两个点关于原点对称，
不妨设M(a，−a)(a<0)，则N(−a，a)，
∵菱形AMBN的周长为410，
∴AM=10，
∵AO=22+22=22，AB⊥MN，
∴MO=AM2−AO2=2=a2+(−a)2，
∴a=−1，即M(−1，1)，N(1，−1)，
设直线AM的解析式为：y=mx+n，
则：−m+n=12m+n=2，解得：m=13n=43，
∴AM的解析式为：y=13x+43，
同理可得AN的解析式为：y=3x−4，
BM的解析式为：y=3x+4，
BN的解析式为： y=13x−43.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】】解：（1）∵由反比例函数图象的性质对称性可知：A与B关于原点对称，即B(−2，−2)，
∴当0
（2）菱形的另外两个点设为M、N，由菱形的性质和判定可知M、N在直线y=-x的图象上且两个点关于原点对称，设M（a，-a），则N（-a，a），根据菱形的周长可得AM，利用勾股定理求出AO、MO，得到点M、N的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线AM、AN、BM、BN的解析式.
22．2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时.某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查.下图是根据此次调查结果得到的统计图.
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人.
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议.
【答案】（1）解：由条形统计图可知：平均每周劳动时间不少于3小时的人数为500−130−180−85=105人，
故平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为105500=21%.
（2）解：由扇形统计图得木工所占比例为1−40%−27%−10%−7%=16%，
故最喜欢的劳动课程为木工的有2000×16%=320人.
（3）解：对学校：劳动课程应该多增加操作简单、与学生生活息息相关且能让学生有所收获的生活技能内容；
对学生：多多参加课外劳动课程，劳逸结合，学习一些基本的生活技能，比如烹饪、种植等
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据总人数可得平均每周劳动时间不少于3小时的人数，然后除以总人数可得平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比 ；
（2）根据百分比之和为1求出喜欢木工所占比例，然后乘以2000即可；
（3）从学校、学生的角度提出一条建议即可.
23．第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情.某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成.图是其示意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°.求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）.（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【答案】解：如图，过点E作EN⊥BC，交GF于点M，则四边形HBNM是矩形，
∴HB=MN，
∵AF=50，∠AFH=40°，
在Rt△AHF中，AH=AF⋅sin∠AFH≈50×0.64=32米，
∵HG∥BC，
∴∠EGF=∠ECB
∵∠EFG=25°，∠ECB=36°，FG=7
∵FM=EMtan∠EFG，MG=EMtan∠EGF=EMtan∠ECB
∴EM0.47+EM0.73=7，
解得EM≈2，
∵顶端E到BD的距离为40米，即EN=40米
∴MN=EN−EM=40−2=38米.
∴AB=AH+HB=AH+MN=32+38=70米.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点E作EN⊥BC，交GF于点M，则四边形HBNM是矩形，HB=MN，根据三角函数的概念可得AH，由平行线的性质可得∠EGF=∠ECB，根据三角函数的概念表示出FM、MG，结合FM+MG=FG可得EM的值，由MN=EN-EM可得MN，然后根据AB=AH+HB=AH+MN进行计算.
24．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=8，AE=1，求ED、EF的长.
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AD∥OC
∴∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC
∵OA=OD
∴∠ADO=∠DAO
∴∠DOC=∠BOC
∵OD=OB，OC=OC
∴△ODC≌△OBC
∴∠OBC=∠ODC
∵BC⊥AB
∴∠OBC=∠ODC=90°
∵OD为经过圆心的半径
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：如图所示：作DM⊥BC交BC于点M
∵AB=8，AE=1，
∴OA=OB=OD=12AB=4，OE=OA−AE=3
DE=BM=OD2−OE2=7
令CM=x，CB=CD=x+7，BE=DM=7
∴在Rt△DMC，CM2+DM2=CD2
∴(x+7)2=72+x2，解得：x=37
∴BC=47
∵DE∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴EFBC=AEAB=18=EF47
∴EF=72
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质可得∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC，根据等腰三角形的性质可得∠ADO=∠DAO，则∠DOC=∠BOC，利用SAS证明△ODC≌△OBC，得到∠OBC=∠ODC=90°，据此证明；
（2）作DM⊥BC交BC于点M，由题意可得OA=OB=OD=4，OE=OA-AE=3，利用勾股定理可得DE，令CM=x，则CB=CD=7x，根据勾股定理可得x，据此可得BC，易证△AEF∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行计算.
25．如图，已经抛物线经过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为x=2.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA−PB的值最大时，求P的坐标以及PA−PB的最大值
【答案】（1）解：∵ 抛物线经过点O(0，0)，
∴设抛物线为：y=ax2+bx，
∵ 抛物线过A(5，5)，且它的对称轴为x=2.
∴25a+5b=5−b2a=2， 解得：a=1b=−4，
∴抛物线为：y=x2−4x.
（2）解：如图，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
设B(2，y)， 且y>0， 记OA与对称轴的交点为Q，
设直线OA为：y=kx，
∴5=5k， 解得：k=1，
∴ 直线OA为：y=x，
∴Q(2，2)，
∴S△OAB=S△BOQ+S△ABQ=12×BQ×(xA−xO)
=12|y−2|×5=15，
解得：y=8或y=−4，
∵y>0， 则y=8，
∴B(2，8).
（3）解：如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时PA−PB=AB最大，
∵A(5，5)，B(2，8)，
∴AB=(5−2)2+(5−8)2=32，
设AB为：y=kx+b， 代入A、B两点坐标，
∴5k+b=52k+b=8， 解得：k=−1b=10，
∴AB为：y=−x+10，
∴y=−x+10y=x2−4x，
解得：x=5y=5，x=−2y=12，
∴P(−2，12).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+bx，将A（5，5）代入可得25a+5b=5，根据对称轴为直线x=2可得-b2a=2，联立求解可得a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）设B（2，y），且y>0，记OA与对称轴的交点为Q，求出直线OA的解析式，可得Q（2，2），根据S△OAB=S△BOQ+S△ABQ结合三角形的面积公式可得y的值，据此可得点B的坐标；
（3）连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时PA-PB=AB最大，利用两点间距离公式可得AB，求出直线AB的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标.
26．在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE=FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD.
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图，求证：①GE=GD；②BO⋅GD=GO⋅FC.
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.
【答案】（1）证明：①证明过程：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°
∵AF平分∠BAD
∴∠BAF=∠DAF=45°
∴△ABF为等腰直角三角形
∴AB=BF
∵BE=FC
∴AB+BE=BF+CF，即AE=BC=AD
∵AG=AG
∴△ADG≌△AEG
∴GE=GD
②证明：连接BG，CG，
∵ G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC
∴BG=AG=FG
∵AF平分∠BAD，△ABF为等腰直角三角形，
∴∠BAF=∠DAF=45°=∠ABG=∠CBG
∴△ADG≌△BCG
∴∠ADG=∠BCG
∵△ADG≌△AEG
∴∠E=∠ADG
∴∠E=∠BCG
∵∠BOE=∠GOC
∴△BOE∽△GOC
∴BOBE=GOGC=GOGD=BOCF
∴BO⋅GD=GO⋅FC
（2）解：作DM⊥BC交BC于M，连接GM，作GN⊥DM交DM于点N，如图所示
∴∠DMB=90°=∠GNM=∠GND=∠DMC
由（1）同理可证：△ADG≌△AEG
∴∠E=∠ADG
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠ADM=∠DMC=90°
∴BC∥GN∥AD
∵G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得DN=MN
∴DG=MG，
∴∠GDM=∠GMD，
∴∠ADG=∠BMG=∠E
∵∠BOE=∠GOM
∴△BOE∽△GOM
∴BOBE=GOGM=GOGD=BOCF
∴BO⋅GD=GO⋅FC
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质可得∠ABC=∠BAD=90°，根据角平分线的概念可得∠BAF=∠DAF=45°，推出△ABF为等腰直角三角形，得到AB=BF，结合BE=FC以及线段的和差关系可得AE=BC=AD，证明△ADG≌△AEG，据此可得结论；
②连接BG，CG， 根据矩形的性质可得∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，则BG=AG=FG，根据等腰直角三角形的性质得∠BAF=∠DAF=45°=∠ABG=∠CBG，证明△ADG≌△BCG，得到∠ADG=∠BCG，由（1）知∠E=∠ADG，进而推出∠E=∠BCG，证明△BOE∽△GOC，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）作DM⊥BC交BC于点M，连接GM，作GN⊥DM交DM于点N，同（1）可证△ADG≌△AEG，得到∠E=∠ADG，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠ADM=∠DMC=90°，推出BC∥GN∥AD，根据平行线分线段成比例的性质可得DN=MN，则DG=MG，由等腰三角形的性质可得∠GDM=∠GMD，证明△BOE∽△GOM，然后根据相似三角形的性质进行证明.
湖南省常德市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．在3317，3，−38，π，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：在3317，3，−38，π，2022这五个数中无理数为3和π，共2个.
故答案为：A.
【分析】无理数是无限不循环小数，常见的无理数有四类：①根号型的数：开方开不尽的数，② 与π有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④三角函数型：如sin60°等，根据定义即可一一判断得出答案.
2．国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；
B、是中心对称图形，故B选项正确；
C、不是中心对称图形，故C选项错误；
D、不是中心对称图形，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
3．计算x4⋅4x3的结果是（ ）
A．x B．4x C．4x7 D．x11
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：x4⋅4x3=4x4+3=4x7，故C正确.
故答案为：C.
【分析】单项式乘以单项式，积的系数等于原来两个单项式的系数的积，它的各个变数字母的幂指数，等于在原来两个单项式中相应的变数字母的幂指数的和，据此计算.
4．下列说法正确的是（ ）
A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C．一组数据的中位数可能有两个
D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；统计图的选择；随机事件；中位数
【解析】【解答】解：A、为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故该选项不正确，不符合题意；
B、“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；
C、一组数据的中位数只有1个，故该选项不正确，不符合题意；
D、为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】扇形统计图表示的是部分占总体的百分比，条形统计图反映的是具体的数据，折线统计图反映的是变化情况，据此判断A；在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，不可能事件与必然事件叫做确定事件；而煮熟的鸭子是不会飞的，据此判断B；将一组数据按从小到大或从大到小排列后，如果这组数据的个数是奇数个，则最中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数个，则最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此可判断C；抽样调查与普查：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此可判断D.
5．从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表如下，
1
2
3
4
5
1
3
4
5
6
2
3
5
6
7
3
4
5
7
8
4
5
6
7
9
5
6
7
8
9
共有20种等可能结果，其中和为偶数的有8种，
则其和为偶数的概率为820=25
故答案为：B.
【分析】长此题是抽取不放回类型，列出表格，找出总情况数以及和为偶数的情况数，然后根据概率公式进行计算.
6．关于x的一元二次方程x2−4x+k=0无实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k>4 B．k<4 C．k<−4 D．k>1
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+k=0无实数解，
∴Δ=16−4k<0
解得：k>4
故答案为：A.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此结合题意列出不等式，求解即可.
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD.则下列结论错误的是（ ）
A．BE=BC B．BF∥DE，BF=DE
C．∠DFC=90° D．DG=3GF
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SSS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A、∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC，故A正确；
B、∵点F是边AC中点，
∴CF=BF=AF=12AC，
∵∠BCA=30°，
∴BA=12AC，
∴BF=AB=AF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，
∴∠BHE=∠DEC=90°，
∴BF//ED，
∵AB=DE，
∴BF=DE，故B正确.
C、∵BF∥ED，BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BC=BE=DF，
∵AB=CF， BC=DF，AC=CD，
∴△ABC≌△CFD，
∴∠DFC=∠ABC=90°，故C正确；
D、.∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°，
∴∠FCG=30°，
∴FG=12CG，
∴CG=2FG.
∵∠DCE=∠CDG=30°，
∴DG=CG，
∴DG=2FG.故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，推出△BCE是等边三角形，据此判断A；根据直角三角形斜边上中线的性质可得CF=BF=AF=12AC，根据含30°角的直角三角形的性质可得BA=12AC，则BF=AB=AF=CF，延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠DEC=90°，推出BF//ED，结合AB=DE可判断B；易得四边形BEDF是平行四边形，则BC=BE=DF，证明△ABC≌△CFD，据此判断C；易得∠FCG=30°，则CG=2FG，根据∠DCE=∠CDG=30°可得DG=CG，进而判断D.
8．我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+⋯+6+6+3=3︸n个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足b+b+b+⋯+b+b+a=a︸n个根号时，称(a，b)为一组完美方根数对.如上面(3，6)是一组完美方根数对.则下面4个结论：①(4，12)是完美方根数对；②(9，91)是完美方根数对；③若(a，380)是完美方根数对，则a=20；④若(x，y)是完美方根数对，则点P(x，y)在抛物线y=x2−x上.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵12+4=4，
∴(4，12)是完美方根数对；
故①正确；
∵91+9=10≠9
∴(9，91)不是完美方根数对；
故②不正确；
若(a，380)是完美方根数对，则380+a=a
即a2=380+a
解得a=20或a=−19
∵a是正整数
则a=20
故③正确；
若(x，y)是完美方根数对，则y+x=x
∴y+x=x2，
即y=x2−x
故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据12+4=4、91+9=10结合完美方根数对的概念可判断①②；由于（a，380）是完美方根数对，则380+a=a，求出a的值，据此判断③；若（x，y）是完美方根数对，则y+x=x，化简可得y与x的关系，据此判断④.
二、填空题
9．|－6|＝ ．
【答案】6
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】 |－6|=6
故答案为6．
【分析】正数的绝对值为其本身，负数的绝对值为其相反数
10．分解因式：x3−9xy2= .
【答案】x（x-3y）（x+3y）
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=x3−9xy2=x(x2−9y2)=x(x−3y)(x+3y).
故答案为：x（x-3y）（x+3y）.
【分析】首先提取公因式x，然后利用平方差公式进行分解即可.
11．使式子xx−4有意义的x的取值范围是 .
【答案】x＞4
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得：x−4≥0x−4≠0，
解得：x>4.
故答案为：x>4.
【分析】根据分式的分母不能为零及二次根式的被开方数不能为负数可得x-4>0，求解即可.
12．方程2x+1x(x−2)=52x的解为 .
【答案】x=4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以2x(x−2)，
2×2(x−2)+2=5×(x−2)
4x−8+2=5x−10
解得x=4
经检验，x=4是原方程的解
故答案为：x=4.
【分析】给方程两边同时乘以2x(x-2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后进行检验即可.
13．如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是 .
【答案】月
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”.
故答案为：月.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
14．今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是 分.
【答案】87.4
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得她的最后得分是为：85×40%+88×40%+92×10%+90×10%=87.4 （分）；
故答案为：87.4.
【分析】利用演讲得分×所占的比例+语言表达得分×所占的比例+形象风度得分×所占的比例+整体效果得分×所占的比例就可求出最后得分.
15．如图，已知F是△ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若▱BDFE的面积为2，BD=13BA，BE=14BC，则△ABC的面积是 .
【答案】12
【知识点】三角形的面积；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，
∵FD∥BC，FE∥AB，BD=13BA，BE=14BC，
∴CE=3BE，AD=2BD，
∴CMAM=CEBE=3，ANCN=ADBD=2，
∴令AM=x，则CM=3x，
∴AC=4x，
∴AN=23AC=83x，CN=13AC=43x，
∴MN=53x，
∴NMAN=58，NMMC=59，
S△NMF：S△NAD=25：64，S△NMF：S△MEC=25：81，
∴设S△NMF=25a，S△NAD=64a，S△MEC=81a，
∴S四边形FECN=56a，
∴S△ABC=2+120a，
∴SADNS△ABC=64a2+120a=(ADAB)2=49，
求出a=112，
∴S△ABC=2+120a=12.
故答案为：12.
【分析】延长EF、DF分布交AC于点M、N，由已知条件得CE=3BE，AD=2BD，令AM=x，则CM=3x，AC=4x，AN=83x，CN=43x，MN=53x，则NMAN=58，NMMC=59，结合三角形面积公式得S△NMF∶S△NAD=25∶64，S△NMF∶S△MEC=25∶81，设S△NMF=25a，则S△NAD=64a，S△MEC=81a，S四边形FECN=56a，S△ABC=2+120a，结合S△ADNS△ABC=(ADAB)2就可求出a的值，进而可得S△ABC.
16．剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 .
【答案】6
【知识点】一元一次方程的其他应用；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，
10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n，
∴(5−2)×180°+3×180°+(4−2)×180°×5+(n−2)×180°=360°+360°×9，
解得n=6.
故答案为：6.
【分析】根据题意可得：10张纸片，需剪9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n，根据每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°列出关于n的方程，求解即可.
三、解答题
17．计算：30−(12)−2sin30°+8cos45°
【答案】解：原式＝1−4×12+22×22
=1.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值及二次根式的性质分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.
18．求不等式组5x−1＞3x−4−13x≤23−x的解集.
【答案】解：5x−1＞3x−4①−13x≤23−x②
由①得：x＞−32，
由②得：x≤1，
所以原不等式组的解集为−32＜x≤1.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集.
19．化简：(a−1+a+3a+2)÷a2−1a+2
【答案】解：原式=[(a−1)(a+2)a+2+a+3a+2]⋅a+2(a+1)(a−1)
=a2−a+2a−2+a+3a+2⋅a+2(a+1)(a−1)
=a2+2a+1(a+1)(a−1)
=(a+1)2(a+1)(a−1)
=a+1a−1.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】通分计算括号内异分母分式的加法，对括号外分式的分子利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简.
20．小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【答案】解：设小强家到他奶奶家的距离是x千米，则平时每小时行驶x4千米，减速后每小时行驶(x4−20)千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得：2×x4+3(x4−20)=x，
解得：x=240，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设小强家到他奶奶家的距离是x千米，则平时每小时行驶x4千米，减速后每小时行驶(x4-20)千米，由题可知遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，根据遇到暴雨前的用时×每小时行驶的路程+遇到暴雨后的用时×减速后每小时行驶的路程=总路程可得关于x的方程，求解即可.
21．如图，已知正比例函数y1=x与反比例函数y2的图象交于A(2，2)，B两点.
（1）求y2的解析式并直接写出y1
【答案】（1）解：设y2=kx(k≠0)，
∵A(2，2)在反比例函数y2=kx(k≠0)的图象上，
∴k=xy=2×2=4，
∴y2=4x；当0
由菱形的性质和判定可知M、N在直线y=−x的图象上且两个点关于原点对称，
不妨设M(a，−a)(a<0)，则N(−a，a)，
∵菱形AMBN的周长为410，
∴AM=10，
∵AO=22+22=22，AB⊥MN，
∴MO=AM2−AO2=2=a2+(−a)2，
∴a=−1，即M(−1，1)，N(1，−1)，
设直线AM的解析式为：y=mx+n，
则：−m+n=12m+n=2，解得：m=13n=43，
∴AM的解析式为：y=13x+43，
同理可得AN的解析式为：y=3x−4，
BM的解析式为：y=3x+4，
BN的解析式为： y=13x−43.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】】解：（1）∵由反比例函数图象的性质对称性可知：A与B关于原点对称，即B(−2，−2)，
∴当0
（2）菱形的另外两个点设为M、N，由菱形的性质和判定可知M、N在直线y=-x的图象上且两个点关于原点对称，设M（a，-a），则N（-a，a），根据菱形的周长可得AM，利用勾股定理求出AO、MO，得到点M、N的坐标，然后利用待定系数法就可求出直线AM、AN、BM、BN的解析式.
22．2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时.某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查.下图是根据此次调查结果得到的统计图.
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人.
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议.
【答案】（1）解：由条形统计图可知：平均每周劳动时间不少于3小时的人数为500−130−180−85=105人，
故平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为105500=21%.
（2）解：由扇形统计图得木工所占比例为1−40%−27%−10%−7%=16%，
故最喜欢的劳动课程为木工的有2000×16%=320人.
（3）解：对学校：劳动课程应该多增加操作简单、与学生生活息息相关且能让学生有所收获的生活技能内容；
对学生：多多参加课外劳动课程，劳逸结合，学习一些基本的生活技能，比如烹饪、种植等
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据总人数可得平均每周劳动时间不少于3小时的人数，然后除以总人数可得平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比 ；
（2）根据百分比之和为1求出喜欢木工所占比例，然后乘以2000即可；
（3）从学校、学生的角度提出一条建议即可.
23．第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情.某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成.图是其示意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°.求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）.（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【答案】解：如图，过点E作EN⊥BC，交GF于点M，则四边形HBNM是矩形，
∴HB=MN，
∵AF=50，∠AFH=40°，
在Rt△AHF中，AH=AF⋅sin∠AFH≈50×0.64=32米，
∵HG∥BC，
∴∠EGF=∠ECB
∵∠EFG=25°，∠ECB=36°，FG=7
∵FM=EMtan∠EFG，MG=EMtan∠EGF=EMtan∠ECB
∴EM0.47+EM0.73=7，
解得EM≈2，
∵顶端E到BD的距离为40米，即EN=40米
∴MN=EN−EM=40−2=38米.
∴AB=AH+HB=AH+MN=32+38=70米.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点E作EN⊥BC，交GF于点M，则四边形HBNM是矩形，HB=MN，根据三角函数的概念可得AH，由平行线的性质可得∠EGF=∠ECB，根据三角函数的概念表示出FM、MG，结合FM+MG=FG可得EM的值，由MN=EN-EM可得MN，然后根据AB=AH+HB=AH+MN进行计算.
24．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=8，AE=1，求ED、EF的长.
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AD∥OC
∴∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC
∵OA=OD
∴∠ADO=∠DAO
∴∠DOC=∠BOC
∵OD=OB，OC=OC
∴△ODC≌△OBC
∴∠OBC=∠ODC
∵BC⊥AB
∴∠OBC=∠ODC=90°
∵OD为经过圆心的半径
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：如图所示：作DM⊥BC交BC于点M
∵AB=8，AE=1，
∴OA=OB=OD=12AB=4，OE=OA−AE=3
DE=BM=OD2−OE2=7
令CM=x，CB=CD=x+7，BE=DM=7
∴在Rt△DMC，CM2+DM2=CD2
∴(x+7)2=72+x2，解得：x=37
∴BC=47
∵DE∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴EFBC=AEAB=18=EF47
∴EF=72
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质可得∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC，根据等腰三角形的性质可得∠ADO=∠DAO，则∠DOC=∠BOC，利用SAS证明△ODC≌△OBC，得到∠OBC=∠ODC=90°，据此证明；
（2）作DM⊥BC交BC于点M，由题意可得OA=OB=OD=4，OE=OA-AE=3，利用勾股定理可得DE，令CM=x，则CB=CD=7x，根据勾股定理可得x，据此可得BC，易证△AEF∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行计算.
25．如图，已经抛物线经过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为x=2.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA−PB的值最大时，求P的坐标以及PA−PB的最大值
【答案】（1）解：∵ 抛物线经过点O(0，0)，
∴设抛物线为：y=ax2+bx，
∵ 抛物线过A(5，5)，且它的对称轴为x=2.
∴25a+5b=5−b2a=2， 解得：a=1b=−4，
∴抛物线为：y=x2−4x.
（2）解：如图，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
设B(2，y)， 且y>0， 记OA与对称轴的交点为Q，
设直线OA为：y=kx，
∴5=5k， 解得：k=1，
∴ 直线OA为：y=x，
∴Q(2，2)，
∴S△OAB=S△BOQ+S△ABQ=12×BQ×(xA−xO)
=12|y−2|×5=15，
解得：y=8或y=−4，
∵y>0， 则y=8，
∴B(2，8).
（3）解：如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时PA−PB=AB最大，
∵A(5，5)，B(2，8)，
∴AB=(5−2)2+(5−8)2=32，
设AB为：y=kx+b， 代入A、B两点坐标，
∴5k+b=52k+b=8， 解得：k=−1b=10，
∴AB为：y=−x+10，
∴y=−x+10y=x2−4x，
解得：x=5y=5，x=−2y=12，
∴P(−2，12).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+bx，将A（5，5）代入可得25a+5b=5，根据对称轴为直线x=2可得-b2a=2，联立求解可得a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）设B（2，y），且y>0，记OA与对称轴的交点为Q，求出直线OA的解析式，可得Q（2，2），根据S△OAB=S△BOQ+S△ABQ结合三角形的面积公式可得y的值，据此可得点B的坐标；
（3）连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时PA-PB=AB最大，利用两点间距离公式可得AB，求出直线AB的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标.
26．在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE=FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD.
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图，求证：①GE=GD；②BO⋅GD=GO⋅FC.
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.
【答案】（1）证明：①证明过程：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°
∵AF平分∠BAD
∴∠BAF=∠DAF=45°
∴△ABF为等腰直角三角形
∴AB=BF
∵BE=FC
∴AB+BE=BF+CF，即AE=BC=AD
∵AG=AG
∴△ADG≌△AEG
∴GE=GD
②证明：连接BG，CG，
∵ G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC
∴BG=AG=FG
∵AF平分∠BAD，△ABF为等腰直角三角形，
∴∠BAF=∠DAF=45°=∠ABG=∠CBG
∴△ADG≌△BCG
∴∠ADG=∠BCG
∵△ADG≌△AEG
∴∠E=∠ADG
∴∠E=∠BCG
∵∠BOE=∠GOC
∴△BOE∽△GOC
∴BOBE=GOGC=GOGD=BOCF
∴BO⋅GD=GO⋅FC
（2）解：作DM⊥BC交BC于M，连接GM，作GN⊥DM交DM于点N，如图所示
∴∠DMB=90°=∠GNM=∠GND=∠DMC
由（1）同理可证：△ADG≌△AEG
∴∠E=∠ADG
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠ADM=∠DMC=90°
∴BC∥GN∥AD
∵G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得DN=MN
∴DG=MG，
∴∠GDM=∠GMD，
∴∠ADG=∠BMG=∠E
∵∠BOE=∠GOM
∴△BOE∽△GOM
∴BOBE=GOGM=GOGD=BOCF
∴BO⋅GD=GO⋅FC
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质可得∠ABC=∠BAD=90°，根据角平分线的概念可得∠BAF=∠DAF=45°，推出△ABF为等腰直角三角形，得到AB=BF，结合BE=FC以及线段的和差关系可得AE=BC=AD，证明△ADG≌△AEG，据此可得结论；
②连接BG，CG， 根据矩形的性质可得∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，则BG=AG=FG，根据等腰直角三角形的性质得∠BAF=∠DAF=45°=∠ABG=∠CBG，证明△ADG≌△BCG，得到∠ADG=∠BCG，由（1）知∠E=∠ADG，进而推出∠E=∠BCG，证明△BOE∽△GOC，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）作DM⊥BC交BC于点M，连接GM，作GN⊥DM交DM于点N，同（1）可证△ADG≌△AEG，得到∠E=∠ADG，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠ADM=∠DMC=90°，推出BC∥GN∥AD，根据平行线分线段成比例的性质可得DN=MN，则DG=MG，由等腰三角形的性质可得∠GDM=∠GMD，证明△BOE∽△GOM，然后根据相似三角形的性质进行证明.
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