湖南省湘潭市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份湖南省湘潭市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共49页。试卷主要包含了﹣1﹣4tan45°，先化简，再求值，÷，其中x＝3，÷，其中a＝﹣2，建设的发展目标，解分式方程，两种书共50本等内容，欢迎下载使用。
湖南省湘潭市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．
二．分式的化简求值（共3小题）
2．（2022•湘潭）先化简，再求值：÷﹣•，其中x＝2．
3．（2021•湘潭）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．
4．（2020•湘潭）化简求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣2．
三．二元一次方程组的应用（共1小题）
5．（2021•湘潭）2020年12月30日，中共湘潭市委创造性地提出了深化“六个湘潭”（实力湘潭、创新湘潭、文化湘潭、幸福湘潭、美丽湘潭、平安湘潭）建设的发展目标．为响应政府号召，湘潭县湘莲种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售湘莲．已知线上零售40kg、线下批发80kg湘莲共获得4000元；线上零售60kg和线下批发80kg湘莲销售额相同．
（1）求线上零售和线下批发湘莲的单价分别为每千克多少元？
（2）该产地某种植大户某月线上零售和线下批发共销售湘莲2000kg，设线上零售xkg，获得的总销售额为y元：
①请写出y与x的函数关系式；
②若总销售额不低于70000元，则线上零售量至少应达到多少千克？
四．解分式方程（共1小题）
6．（2020•湘潭）解分式方程：+2＝．
五．一元一次不等式组的应用（共1小题）
7．（2020•湘潭）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
六．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
8．（2020•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）．
（1）求过点B的反比例函数y＝的解析式；
（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．

七．反比例函数综合题（共2小题）
9．（2022•湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．

10．（2021•湘潭）如图，点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求反比例函数y＝的解析式；
（3）点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．

八．二次函数的应用（共1小题）
11．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？

九．二次函数综合题（共3小题）
12．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．
（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．


13．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

14．（2020•湘潭）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．

（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．
一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）
15．（2021•湘潭）如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．
（1）证明：△AEF≌△CEF；
（2）若AB＝，求折痕AE的长度．

一十一．三角形综合题（共1小题）
16．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．

一十二．直线与圆的位置关系（共1小题）
17．（2020•湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

一十三．弧长的计算（共1小题）
18．（2022•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1　 　，B1　 　，C1　 　；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．

一十四．圆的综合题（共1小题）
19．（2021•湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C把线段AB分成两部分，如果＝≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径MN、AI；
②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；
③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；
则五边形ABCDE为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．
一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
20．（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．

一十六．相似形综合题（共1小题）
21．（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积．
一十七．解直角三角形的应用（共2小题）
22．（2022•湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：≈1.732）

23．（2021•湘潭）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．

某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）
一十八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
24．（2020•湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123）

一十九．频数（率）分布直方图（共2小题）
25．（2021•湘潭）为隆重纪念中国共产党成立100周年，进一步激发师生的爱党爱国热情，某校开展了四项庆祝活动：A、感党恩•我们诵；B、听党话•我们唱；C、跟党走•我们画；D、学党史•我们写．其中C项活动全体同学参与，预计成绩95＜x≤100可获一等奖，成绩90＜x≤95可获二等奖，随机抽取50个同学的作品进行打分并对成绩进行整理、分析，得到频数分布直方图如图：
收集其中90＜x≤100这一组成绩如下：
n 93 92 98 95 95 96 91 94 96
整理该组数据得下表：
组别
平均数
中位数
众数
获奖组
94.5
95
95
根据以上信息，回答下列问题：
（1）频数分布直方图中m＝　 　；
（2）90＜x≤100组中n＝　 　；
（3）已知该校有1200名学生，估计本次活动获一等奖的同学有多少人？

26．（2020•湘潭）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：
收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5
整理数据：
时长x（小时）
4＜x≤5
5＜x≤6
6＜x≤7
7＜x≤8
人数
2
a
8
4
分析数据：
项目
平均数
中位数
众数
数据
6.4
6.5
b
应用数据：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．

二十．扇形统计图（共1小题）
27．（2022•湘潭）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立10周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：
数据收集
2 5 3 5 4 6 1 5 3 4
3 6 7 5 8 3 4 7 3 4
数据整理
本数
0＜x≤2
2＜x≤4
4＜x≤6
6＜x≤8
组别
A
B
C
D
频数
2
m
6
3
数据分析 绘制成不完整的扇形统计图：
依据统计信息回答问题：
（1）在统计表中，m＝　 　；
（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为 　 　；
（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数．

二十一．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2022•湘潭）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由A1、A2、A3三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若A1、A2两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由A1随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由A2随机摸取1张卡片记下编号，根据模取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．


29．（2021•湘潭）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点
疫苗种类
医院
A
新冠病毒灭活疫苗
B
重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心
C
新冠病毒灭活疫苗
D
重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
30．（2020•湘潭）生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生）
（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；
（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．

参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．
【解答】解：原式＝2﹣1+3﹣4×1
＝2﹣1+3﹣4
＝0．
二．分式的化简求值（共3小题）
2．（2022•湘潭）先化简，再求值：÷﹣•，其中x＝2．
【解答】解：原式＝•（x+3）（x﹣3）﹣•
＝x+3﹣1
＝x+2，
当x＝2时，
原式＝2+2＝4．
3．（2021•湘潭）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．
【解答】解：（+1）÷
＝•
＝•
＝，
当x＝3时，原式＝＝．
4．（2020•湘潭）化简求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣2．
【解答】解：
＝
＝a﹣1，
将a＝﹣2代入得：原式＝﹣2﹣1＝﹣3．
三．二元一次方程组的应用（共1小题）
5．（2021•湘潭）2020年12月30日，中共湘潭市委创造性地提出了深化“六个湘潭”（实力湘潭、创新湘潭、文化湘潭、幸福湘潭、美丽湘潭、平安湘潭）建设的发展目标．为响应政府号召，湘潭县湘莲种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售湘莲．已知线上零售40kg、线下批发80kg湘莲共获得4000元；线上零售60kg和线下批发80kg湘莲销售额相同．
（1）求线上零售和线下批发湘莲的单价分别为每千克多少元？
（2）该产地某种植大户某月线上零售和线下批发共销售湘莲2000kg，设线上零售xkg，获得的总销售额为y元：
①请写出y与x的函数关系式；
②若总销售额不低于70000元，则线上零售量至少应达到多少千克？
【解答】解：（1）设线上零售湘莲的单价为每千克x元，线下批发湘莲的单价为每千克y元，
由题意得：，
解得：，
答：线上零售湘莲的单价为每千克40元，线下批发湘莲的单价为每千克30元；
（2）①由题意得：y＝40x+30（2000﹣x）＝10x+60000，
即y与x的函数关系式为：y＝10x+60000；
②设线上零售量应达到x千克，
由①得：10x+60000≥70000，
解得：x≥1000，
答：线上零售量至少应达到1000千克．
四．解分式方程（共1小题）
6．（2020•湘潭）解分式方程：+2＝．
【解答】解：
去分母得，3+2（x﹣1）＝x，
解得，x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
所以，原方程的解为：x＝﹣1．
五．一元一次不等式组的应用（共1小题）
7．（2020•湘潭）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【解答】解：（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，
由题意得：，
解得．
答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
（2）设购买《北上》的数量为n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，
根据题意得，
解得：，
则n可以取17、18、19、20，
当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585（元）；
当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590（元）；
当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595（元）；
当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600（元）；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
六．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
8．（2020•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）．
（1）求过点B的反比例函数y＝的解析式；
（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．

【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，
∵A（3，4），
∴OE＝3，AE＝4，
∴，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO＝AB＝OC＝5，AB∥x轴，
∴EF＝AB＝5，
∴OF＝OE+EF＝3+5＝8，
∴B（8，4），
∵过B点的反比例函数解析式为，
把B点坐标代入得k＝32，
∴反比例函数解析式为；

（2）∵OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，
∴∠OBF+∠DBF＝90°，
∵∠DBF+∠BDF＝90°，
∴∠OBF＝∠BDF，
又∵∠OFB＝∠BFD＝90°，
∴△OBF∽△BDF，
∴，
∴，
解得DF＝2，
∴OD＝OF+DF＝8+2＝10，
∴D（10，0）．
设BD所在直线解析式为y＝k1x+b，
把B（8，4），D（10，0）分别代入得：，
解得．
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+20．

七．反比例函数综合题（共2小题）
9．（2022•湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．

【解答】解：（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，

则四边形OCPD是矩形，
∵以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，
∴PC＝PD，
∴矩形OCPD是正方形，
设PD＝PC＝x，
∵A（3，0）、B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴BD＝4﹣x，
∵PD∥OA，
∴△PDB∽△AOB，
∴，
∴，
解得x＝，
∴P（，），
设过点P的函数表达式为y＝，
∴k＝xy＝＝，
∴y＝；
（2）方法一：∵将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，
∴ON＝NM，MN⊥AB，
由勾股定理得，AB＝5，
∴S△AOB＝S△AON+S△ABN，
∴＝+，
解得，ON＝，
∴N（0，），
设直线AN的函数解析式为y＝mx+，
则3m+＝0，
∴m＝﹣，
∴直线AN的函数解析式为y＝﹣x+．
方法二：利用△BMN∽△BOA，求出BN的长度，从而得出ON的长度，
与方法一同理得出答案．
10．（2021•湘潭）如图，点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求反比例函数y＝的解析式；
（3）点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．

【解答】解：（1）∵点A（a，2）在反比例函数y＝的图像上，
∴2＝，解得a＝2，
∴A（2，2），
设直线OA解析式为y＝mx，
则2＝2m，解得m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x；
（2）由（1）知：A（2，2），
∵AB∥x轴，且交y轴于点C，
∴AC＝2，
∵AC＝2BC，
∴BC＝1，
∴B（﹣1，2），
把B（﹣1，2）代入y＝得：2＝，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数y＝的解析式为y＝；
（3）设D（t，），而A（2，2），
∴AD中点E（，+1），
而E在y轴上，
∴＝0，解得t＝﹣2，
∴D（﹣2，1），E（0，），
∴S△DOE＝OE•|xD|＝××2＝，
S△AOE＝OE•|xA|＝××2＝，
∴△OAD面积S＝S△DOE+S△AOE＝3．
八．二次函数的应用（共1小题）
11．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？

【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，
即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．
九．二次函数综合题（共3小题）
12．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．
（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．


【解答】（1）解：（Ⅰ）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）存在点P，使得点M是线段PH的三等分点，理由如下：
∵B（0，﹣3），A（3，0），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），
∴PH＝﹣m2+2m+3，HM＝3﹣m，
当PH＝3HM时，
﹣m2+2m+3＝3（3﹣m），
化简得，
m2﹣5m+6＝0，
∴m1＝2，m2＝3，
当m＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴P（2，﹣3），
当m＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
此时P（3，0）（舍去），
当PH＝HM时，
﹣m2+2m+3＝（3﹣m），
化简得，
2m2﹣7m+3＝0，
∴m3＝3（舍去），m2＝，
当m＝时，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，
∴P（，﹣），
综上所述：P（2，﹣3）或（，﹣）；
（2）如图1，

∵抛物线y＝x2+bx+c过点D（﹣3，0），
∴（﹣3）2﹣3b+c＝0，
∴c＝3b﹣9，
∴y＝x2+bx+（3b﹣9），
把x＝﹣3，y＝0代入y＝+n得，
0＝+n，
∴n＝4，
∴OC＝4，
∵∠COD＝90°，OD＝3，OC＝4，
∴CD＝5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE＝CD＝5，
∴E（5，4），
当﹣＜0时，即b＞0时，
当x＝0时，y＝3b﹣9，
∴G（0，3b﹣9），
∵该抛物线与线段CE没有交点，
∴3b﹣9＞4，
∴b＞，
当b＜0时，
当x＝5时，y＝25+5b+3b﹣9＝8b+16，
∴H（5，8b+16），
∵抛物线与CE没有交点，
∴8b+16＜4，
∴b＜﹣，
综上所述：b＞或b＜﹣．
13．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣），
∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）存在，理由如下：
由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，
设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，﹣），
①当BC、PQ为对角线时，如图：

此时BC的中点即是PQ的中点，即，
解得，
∴当P（1，﹣），Q（1，﹣）时，四边形BQCP是平行四边形，
由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，
∴PB＝PC，
∴四边形BQCP是菱形，
∴此时Q（1，﹣）；
②BP、CQ为对角线时，如图：

同理BP、CQ中点重合，可得，
解得，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP为对角线，如图：

BQ、CP中点重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．
14．（2020•湘潭）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．

（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．
【解答】解：（1）①抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线，
∴若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴，
则，解得：b＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；

②存在，
如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，
则OB'＝OB，PB'＝PB，
对于y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴OB'＝OB＝5，
∴，
∴，
设点P（2，m），
由PB'＝PB可得：，解得：，
∴P（2，）；
同理，当点P在x轴下方时，P（2，﹣）．
综上所述，点P（2，）或P（2，﹣）；

（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线，
∴当b≥4时，，
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，取x＝2，y有最大值，
即y＝﹣4+2b+5＝2b+1，
∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，
又∵b≥4，
∴4≤b≤7．

一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）
15．（2021•湘潭）如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上．
（1）证明：△AEF≌△CEF；
（2）若AB＝，求折痕AE的长度．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上，
∴∠AFE＝∠B＝90°，AF＝CF，
∵∠AFE+∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝180°﹣∠AFE＝90°，
在△AEF和△CEF中，
，
∴△AEF≌△CEF（SAS）．
（2）解：由（1）知，△AEF≌△CEF，
∴∠EAF＝∠ECF，
由折叠性质得，∠BAE＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠EAF＝∠ECF，
∵∠B＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，
∴3∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝30°，
在Rt△ABE中，AB＝，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝2．
一十一．三角形综合题（共1小题）
16．（2022•湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．

【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵l∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∠CAE＝∠ACB＝45°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∵AB＝AC＝，
∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，
∴DE＝2；
（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．
（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE
∵∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴△ABD∽△FBA，
∴AB：FB＝BD：AB，
∵CE＝3，DE＝1，
∴AE＝BD＝4，
∴AB＝5．
∴BF＝．
∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．
一十二．直线与圆的位置关系（共1小题）
17．（2020•湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）；
（2）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，如图所示：

由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，
又∵OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切．
一十三．弧长的计算（共1小题）
18．（2022•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1　（1，1）　，B1　（0，4）　，C1　（2，2）　；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．

【解答】解：（1）由图知，A1（1，1），B1（0，4），C1（2，2），
故答案为：（1，1），（0，4），（2，2）；
（2）由题意知，点B旋转到点B1的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90°，
∴弧长为：＝2π．
一十四．圆的综合题（共1小题）
19．（2021•湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C把线段AB分成两部分，如果＝≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

（1）特例感知：在图①中，若AB＝100，求AC的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径MN、AI；
②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；
③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB＝BC＝CD＝DE＝AQ，连接AE；
则五边形ABCDE为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．
【解答】解：（1）根据黄金分割点的意义，
得＝，
∵AB＝100，
∴AC＝50﹣50；
（2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下：
设⊙O的半径为r，则OP＝r，
∴PQ＝AP＝＝r，
∴OQ＝QP﹣OP＝r﹣r＝r，MQ＝OM﹣OQ＝r﹣r＝r，
∴＝＝＝＝，
即Q是线段OM的黄金分割点；
（3）如图③，作PH⊥AE于H，
由题可知，AH＝HE，
∵正五边形的每个内角都为（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠PEH＝180°﹣108°＝72°，
即cos∠PEH＝cos72°＝，
∵点E是线段PD的黄金分割点，
∴＝，
又∵DE＝AE，HE＝AH＝AE，
∴cos72°＝＝＝×＝×＝．

一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
20．（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．
（1）求证：△AEC∽△DEB；
（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB；
（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∵AB是⊙O的直径，AD＝3，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝6，
∴⊙O的半径为3．
一十六．相似形综合题（共1小题）
21．（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积．
【解答】解：（1）连接DE，如图一，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD，BE是BC，AC边上的中线，
∴D，E为BC，AC边上的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴＝，
∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，
∴AD＝，OD＝，
∴，＝；
（2）由（1）同理可得，，是定值；
点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1：3，
则△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比，
故＝，是定值；
（3）①连接BD交AC于点O，
∵点O为BD的中点，点E为CD的中点，
∴点M是△BCD的重心，
∴＝，
∵E为CD的中点，
∴，
∴，
即；
②∵S△CME＝1，且，
∴S△BMC＝2，
∵，
∴，
∴S△AMB＝4，
∴S△ABC＝S△BMC+S△ABM＝2+4＝6，
又S△ADC＝S△ABC，
∴S△ADC＝6，
∴正方形ABCD的面积为：6+6＝12．


一十七．解直角三角形的应用（共2小题）
22．（2022•湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：≈1.732）

【解答】解：作BE⊥AH于点E，

∵∠BAC＝120°，AH平分∠BAC，
∴∠BAE＝60°，
∴AE＝AB•cos60°＝20×＝10（cm），
BE＝AB•sin60°＝20×＝10≈17.32（cm），
∵BD＝CD，∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝45°，
∴DE＝BE＝17.32cm，
∴AD＝AE+DE＝10+17.32＝27.32（cm），
∵，
即，
解得AH≈72，
∴最少需要准备72cm长的伞柄．
23．（2021•湘潭）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．

某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）
【解答】解：由题意可得，
在Rt△ABE中，
∵AB＝120米，∠ABE＝60°，
∴BE＝＝＝60（米），AE＝sin60°•AB＝（米），
在Rt△CDE中，
∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），
∴DE＝tan30°•CE＝＝30（米），
∴AD＝AE﹣DE＝60＝30≈52（米）．
答：万楼主楼AD的高度约为52米．
一十八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
24．（2020•湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123）

【解答】解：∵DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，
∴在Rt△DCE中，＝10，
∴解得DC＝5．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝5．
∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，
∴，
∴BF＝4AB＝20，
∴在Rt△ABF中，≈20.62（m）．
故斜坡AF的长度约为20.62米．
一十九．频数（率）分布直方图（共2小题）
25．（2021•湘潭）为隆重纪念中国共产党成立100周年，进一步激发师生的爱党爱国热情，某校开展了四项庆祝活动：A、感党恩•我们诵；B、听党话•我们唱；C、跟党走•我们画；D、学党史•我们写．其中C项活动全体同学参与，预计成绩95＜x≤100可获一等奖，成绩90＜x≤95可获二等奖，随机抽取50个同学的作品进行打分并对成绩进行整理、分析，得到频数分布直方图如图：
收集其中90＜x≤100这一组成绩如下：
n 93 92 98 95 95 96 91 94 96
整理该组数据得下表：
组别
平均数
中位数
众数
获奖组
94.5
95
95
根据以上信息，回答下列问题：
（1）频数分布直方图中m＝　12　；
（2）90＜x≤100组中n＝　95　；
（3）已知该校有1200名学生，估计本次活动获一等奖的同学有多少人？

【解答】解：（1）m＝50﹣4﹣10﹣24＝12，
故答案为：12；
（2）90＜x≤100这一组成绩如下：n 93 92 98 95 95 96 91 94 96，其中95，96都出现了2次，
∵该组数据的众数是95，
∴n＝95，
故答案为：95；
（3）抽取50个同学的作品成绩95＜x≤100的人数为3，
∴1200×＝72（人），
答：估计本次活动获一等奖的同学有72人．
26．（2020•湘潭）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：
收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5
整理数据：
时长x（小时）
4＜x≤5
5＜x≤6
6＜x≤7
7＜x≤8
人数
2
a
8
4
分析数据：
项目
平均数
中位数
众数
数据
6.4
6.5
b
应用数据：
（1）填空：a＝　6　，b＝　6.5　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．

【解答】解：（1）由总人数是20人可得在5＜x≤6的人数是20﹣2﹣8﹣4＝6（人），所以a＝6，
根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数b＝6.5；
故答案为：6，6.5；

（2）由（1）得a＝6．
频数分布直方图补充如下：


（3）由图可知，学习时长在5＜x≤7小时的人数所占的百分比＝×100%＝70%，
∴1000×70%＝700（人）．
∴估计学习时长在5＜x≤7小时的人数约是700人．
二十．扇形统计图（共1小题）
27．（2022•湘潭）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立10周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：
数据收集
2 5 3 5 4 6 1 5 3 4
3 6 7 5 8 3 4 7 3 4
数据整理
本数
0＜x≤2
2＜x≤4
4＜x≤6
6＜x≤8
组别
A
B
C
D
频数
2
m
6
3
数据分析 绘制成不完整的扇形统计图：
依据统计信息回答问题：
（1）在统计表中，m＝　9　；
（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为 　108°　；
（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数．

【解答】解：（1）由已知数据得B组的频数m＝20﹣（2+6+3）＝9，
故答案为：9；
（2）在扇形统计图中，C部分对应的圆心角的度数为360°×＝108°，
故答案为：108°；
（3）200×＝90（人），
答：估计该校八年级学生读书在4本以上的有90人．
二十一．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2022•湘潭）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由A1、A2、A3三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若A1、A2两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由A1随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由A2随机摸取1张卡片记下编号，根据模取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．


【解答】解：（1）这三名同学讲故事的顺序是：A1、A2、A3；A1、A3、A2；A2、A1、A3；A2、A3、A1；A3、A1、A2；A3、A2、A1；共6种等可能的情况数；

（2）根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的有3种，
则A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是＝．
29．（2021•湘潭）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点
疫苗种类
医院
A
新冠病毒灭活疫苗
B
重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心
C
新冠病毒灭活疫苗
D
重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
【解答】解：（1）居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为＝；
（2）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种，
∴居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为＝．
30．（2020•湘潭）生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生）
（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；
（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．
【解答】解：（1）可能出现的结果有：男1女1、男1男2、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2；
（2）列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况，
所以恰好选中一男一女的概率为．