2022年江西省庐山市中考数学押题试卷含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
请考生注意:
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法正确的是( )
A.方程有两个相等的实数根
B.方程有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
2.若a与﹣3互为倒数,则a=( )
A.3 B.﹣3 C. D.-
3.如图,I是∆ABC的内心,AI向延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BI,BD,DC下列说法中错误的一项是( )
A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI熏合
C.∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
4.的值是
A. B. C. D.
5.小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数,并绘制了直方图.根据图中信息,下列说法:
①这栋居民楼共有居民140人
②每周使用手机支付次数为28~35次的人数最多
③有的人每周使用手机支付的次数在35~42次
④每周使用手机支付不超过21次的有15人
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.④
6.“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
7.抛物线y=–x2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示:
x
…
–2
–1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知,下列说法错误的是
A.抛物线与x轴的一个交点坐标为(–2,0) B.抛物线与y轴的交点坐标为(0,6)
C.抛物线的对称轴是直线x=0 D.抛物线在对称轴左侧部分是上升的
8.如图,将△ABE向右平移2cm得到△DCF,如果△ABE的周长是16cm,那么四边形ABFD的周长是( )
A.16cm B.18cm C.20cm D.21cm
9.若正六边形的半径长为4,则它的边长等于( )
A.4 B.2 C. D.
10.小刚从家去学校,先匀速步行到车站,等了几分钟后坐上了公交车,公交车匀速行驶一段时后到达学校,小刚从家到学校行驶路程s(单位:m)与时间r(单位:min)之间函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.在矩形ABCD中,AB=4, BC=3, 点P在AB上.若将△DAP沿DP折叠,使点A落在矩形对角线上的处,则AP的长为__________.
12.已知菱形的周长为10cm,一条对角线长为6cm,则这个菱形的面积是_____cm1.
13.如图放置的正方形,正方形,正方形,…都是边长为的正方形,点在轴上,点,…,都在直线上,则的坐标是__________,的坐标是______.
14.如图,四边形是矩形,四边形是正方形,点在轴的负半轴上,点在轴的正半轴上,点在上,点在反比例函数(为常数,)的图像上,正方形的面积为4,且,则值为________.
15.如图,在△ABC中,BC=8,高AD=6,矩形EFGH的一边EF在边BC上,其余两个顶点G、H分别在边AC、AB上,则矩形EFGH的面积最大值为_____.
16.若,,则代数式的值为__________.
17.将6本相同厚度的书叠起来,它们的高度是9厘米.如果将这样相同厚度的书叠起来的高度是42厘米,那么这些书有_____本.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18.(10分)如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于点D,且BD∥OC,连接AC.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若AB=OC=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)
19.(5分)抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)点D是抛物线上的一动点,是否存在点D,使得tan∠DCB=tan∠ACO.若存在,请求出点D的坐标,若不存在,说明理由.
20.(8分)如图所示,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(2,4),B(﹣4,n)两点.分别求出一次函数与反比例函数的表达式;过点B作BC⊥x轴,垂足为点C,连接AC,求△ACB的面积.
21.(10分)如图,在△ABC中,D为AC上一点,且CD=CB,以BC为直径作☉O,交BD于点E,连接CE,过D作DFAB于点F,∠BCD=2∠ABD.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若∠A=60°,DF=,求☉O的直径BC的长.
22.(10分)解分式方程:=
23.(12分)在中,,以为直径的圆交于,交于.过点的切线交的延长线于.求证:是的切线.
24.(14分)如图,抛物线与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形?问对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形?请说明理由
参考答案
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1、B
【解析】
试题分析:先求出△=42﹣4×3×(﹣5)=76>0,即可判定方程有两个不相等的实数根.故答案选B.
考点:一元二次方程根的判别式.
2、D
【解析】
试题分析:根据乘积是1的两个数互为倒数,可得3a=1,
∴a=,
故选C.
考点:倒数.
3、D
【解析】
解:∵I是△ABC的内心,∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI,故C正确,不符合题意;
∴=,∴BD=CD,故A正确,不符合题意;
∵∠DAC=∠DBC,∴∠BAD=∠DBC.∵∠IBD=∠IBC+∠DBC,∠BID=∠ABI+∠BAD,∴∠DBI=∠DIB,∴BD=DI,故B正确,不符合题意.
故选D.
点睛:本题考查了三角形的内切圆和内心的,以及等腰三角形的判定与性质,同弧所对的圆周角相等.
4、D
【解析】
根据特殊角三角函数值,可得答案.
【详解】
解:,
故选:D.
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键.
5、B
【解析】
根据直方图表示的意义求得统计的总人数,以及每组的人数即可判断.本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解.
【详解】
解:①这栋居民楼共有居民3+10+15+22+30+25+20=125人,此结论错误;
②每周使用手机支付次数为28~35次的人数最多,此结论正确;
③每周使用手机支付的次数在35~42次所占比例为,此结论正确;
④每周使用手机支付不超过21次的有3+10+15=28人,此结论错误;
故选:B.
【点睛】
此题考查直方图的意义,解题的关键在于理解直方图表示的意义求得统计的数据
6、C
【解析】
分析:设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务,即可得出关于x的分式方程.
详解:设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则原来每天绿化的面积为万平方米,
依题意得:,即.
故选C.
点睛:考查了由实际问题抽象出分式方程.找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.
7、C
【解析】
当x=-2时,y=0,
∴抛物线过(-2,0),
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0),故A正确;
当x=0时,y=6,
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,6),故B正确;
当x=0和x=1时,y=6,
∴对称轴为x=,故C错误;
当x<时,y随x的增大而增大,
∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的,故D正确;
故选C.
8、C
【解析】
试题分析:已知,△ABE向右平移2cm得到△DCF,根据平移的性质得到EF=AD=2cm,AE=DF,又因△ABE的周长为16cm,所以AB+BC+AC=16cm,则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm.故答案选C.
考点:平移的性质.
9、A
【解析】
试题分析:正六边形的中心角为360°÷6=60°,那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形,故正六边形的半径等于1,则正六边形的边长是1.故选A.
考点:正多边形和圆.
10、B
【解析】
【分析】根据小刚行驶的路程与时间的关系,确定出图象即可.
【详解】小刚从家到学校,先匀速步行到车站,因此S随时间t的增长而增长,等了几分钟后坐上了公交车,因此时间在增加,S不增长,坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校,因此S又随时间t的增长而增长,
故选B.
【点睛】本题考查了函数的图象,认真分析,理解题意,确定出函数图象是解题的关键.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11、或
【解析】
①点A落在矩形对角线BD上,如图1,
∵AB=4,BC=3,
∴BD=5,
根据折叠的性质,AD=A′D=3,AP=A′P,∠A=∠PA′D=90°,
∴BA′=2,设AP=x,则BP=4﹣x,∵BP2=BA′2+PA′2,
∴(4﹣x)2=x2+22,
解得:x=,∴AP=;
②点A落在矩形对角线AC上,如图2,根据折叠的性质可知DP⊥AC,
∴△DAP∽△ABC,
∴,
∴AP===.
故答案为或.
12、14
【解析】
根据菱形的性质,先求另一条对角线的长度,再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解.
【详解】
解:如图,在菱形ABCD中,BD=2.
∵菱形的周长为10,BD=2,
∴AB=5,BO=3,
∴ AC=3.
∴面积
故答案为 14.
【点睛】
此题考查了菱形的性质及面积求法,难度不大.
13、
【解析】
先求出OA的长度,然后利用含30°的直角三角形的性质得到点D的坐标,探索规律,从而得到的坐标即可.
【详解】
分别过点 作y轴的垂线交y轴于点,
∵点B在上
设
∴
同理, 都是含30°的直角三角形
∵,
∴
同理,点 的横坐标为
纵坐标为
故点的坐标为
故答案为:;.
【点睛】
本题主要考查含30°的直角三角形的性质,找到点的坐标规律是解题的关键.
14、-1
【解析】
试题分析:∵正方形ADEF的面积为4,
∴正方形ADEF的边长为2,
∴BF=2AF=4,AB=AF+BF=2+4=1.
设B点坐标为(t,1),则E点坐标(t-2,2),
∵点B、E在反比例函数y=的图象上,
∴k=1t=2(t-2),
解得t=-1,k=-1.
考点:反比例函数系数k的几何意义.
15、1
【解析】
设HG=x,根据相似三角形的性质用x表示出KD,根据矩形面积公式列出二次函数解析式,根据二次函数的性质计算即可.
【详解】
解:设HG=x.
∵四边形EFGH是矩形,∴HG∥BC,∴△AHG∽△ABC,∴=,即=,解得:KD=6﹣x,则矩形EFGH的面积=x(6﹣x)=﹣x2+6x=(x﹣4)2+1,则矩形EFGH的面积最大值为1.
故答案为1.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
16、-12
【解析】
分析:对所求代数式进行因式分解,把,,代入即可求解.
详解:,,
,
故答案为:
点睛:考查代数式的求值,掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.
17、1.
【解析】
因为一本书的厚度是一定的,根据本数与书的高度成正比列比例式即可得到结论.
【详解】
设这些书有x本,
由题意得,,
解得:x=1,
答:这些书有1本.
故答案为:1.
【点睛】
本题考查了比例的性质,正确的列出比例式是解题的关键.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18、(1)证明见解析;(2);
【解析】
(1)连接OD,先根据切线的性质得到∠CDO=90°,再根据平行线的性质得到∠AOC=∠OBD,∠COD=∠ODB,又因为OB=OD,所以∠OBD=∠ODB,即∠AOC=∠COD,再根据全等三角形的判定与性质得到∠CAO=∠CDO=90°,根据切线的判定即可得证;
(2)因为AB=OC=4,OB=OD,Rt△ODC与Rt△OAC是含30°的直角三角形,从而得到
∠DOB=60°,即△BOD为等边三角形,再用扇形的面积减去△BOD的面积即可.
【详解】
(1)证明:连接OD,
∵CD与圆O相切,
∴OD⊥CD,
∴∠CDO=90°,
∵BD∥OC,
∴∠AOC=∠OBD,∠COD=∠ODB,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠AOC=∠COD,
在△AOC和△DOC中,
,
∴△AOC≌△EOC(SAS),
∴∠CAO=∠CDO=90°,则AC与圆O相切;
(2)∵AB=OC=4,OB=OD,
∴Rt△ODC与Rt△OAC是含30°的直角三角形,
∴∠DOC=∠COA=60°,
∴∠DOB=60°,
∴△BOD为等边三角形,
图中阴影部分的面积=扇形DOB的面积﹣△DOB的面积,
=.
【点睛】
本题主要考查切线的判定与性质,全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质,扇形的面积公式等,难度中等,属于综合题,解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
19、(1)y=﹣2x2+x+3;(2)∠ACB=45°;(3)D点坐标为(1,2)或(4,﹣25).
【解析】
(1)设交点式y=a(x+1)(x﹣),展开得到﹣a=3,然后求出a即可得到抛物线解析式;
(2)作AE⊥BC于E,如图1,先确定C(0,3),再分别计算出AC=,BC=,接着利用面积法计算出AE=,然后根据三角函数的定义求出∠ACE即可;
(3)作BH⊥CD于H,如图2,设H(m,n),证明Rt△BCH∽Rt△ACO,利用相似计算出BH=,CH=,再根据两点间的距离公式得到(m﹣)2+n2=()2,m2+(n﹣3)2=()2,接着通过解方程组得到H(,﹣)或(),然后求出直线CD的解析式,与二次函数联立成方程组,解方程组即可.
【详解】
(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣),即y=ax2﹣ax﹣a,∴﹣a=3,解得:a=﹣2,∴抛物线解析式为y=﹣2x2+x+3;
(2)作AE⊥BC于E,如图1,当x=0时,y=﹣2x2+x+3=3,则C(0,3),而A(﹣1,0),B(,0),∴AC==,BC==
AE•BC=OC•AB,∴AE==.
在Rt△ACE中,sin∠ACE===,∴∠ACE=45°,即∠ACB=45°;
(3)作BH⊥CD于H,如图2,设H(m,n).
∵tan∠DCB=tan∠ACO,∴∠HCB=∠ACO,∴Rt△BCH∽Rt△ACO,∴==,即==,∴BH=,CH=,∴(m﹣)2+n2=()2=,①
m2+(n﹣3)2=()2=,②
②﹣①得m=2n+,③,把③代入①得:(2n+﹣)2+n2=,整理得:80n2﹣48n﹣9=0,解得:n1=﹣,n2=.
当n=﹣时,m=2n+=,此时H(,﹣),易得直线CD的解析式为y=﹣7x+3,解方程组得:或,此时D点坐标为(4,﹣25);
当n=时,m=2n+=,此时H(),易得直线CD的解析式为y=﹣x+3,解方程组得:或,此时D点坐标为(1,2).
综上所述:D点坐标为(1,2)或(4,﹣25).
【点睛】
本题是二次函数综合题.熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定的性质;会利用待定系数法求函数解析式,把求两函数交点问题转化为解方程组的问题;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
20、(1)反比例函数解析式为y=,一次函数解析式为y=x+2;(2)△ACB的面积为1.
【解析】
(1)将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式,据此求得点B坐标,根据A、B两点坐标可得直线解析式;
(2)根据点B坐标可得底边BC=2,由A、B两点的横坐标可得BC边上的高,据此可得.
【详解】
解:(1)将点A(2,4)代入y=,得:m=8,则反比例函数解析式为y=,
当x=﹣4时,y=﹣2,则点B(﹣4,﹣2),
将点A(2,4)、B(﹣4,﹣2)代入y=kx+b,得:,
解得:,则一次函数解析式为y=x+2;
(2)由题意知BC=2,则△ACB的面积=×2×1=1.
【点睛】
本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题,熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积求法是解题的关键.
21、(1)证明过程见解析;(2)
【解析】
(1)根据CB=CD得出∠CBD=∠CDB,然后结合∠BCD=2∠ABD得出∠ABD=∠BCE,从而得出∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°,然后得出切线;(2)根据Rt△AFD和Rt△BFD的性质得出AF和DF的长度,然后根据△ADF和△ACB相似得出相似比,从而得出BC的长度.
【详解】
(1)∵CB=CD
∴∠CBD=∠CDB
又∵∠CEB=90°
∴∠CBD+∠BCE=∠CDE+∠DCE
∴∠BCE=∠DCE且∠BCD=2∠ABD
∴∠ABD=∠BCE
∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°
∴CB⊥AB垂足为B
又∵CB为直径
∴AB是⊙O的切线.
(2)∵∠A=60°,DF=
∴在Rt△AFD中得出AF=1
在Rt△BFD中得出DF=3
∵∠ADF=∠ACB ∠A=∠A
∴△ADF∽△ACB
∴
即
解得:CB=
考点:(1)圆的切线的判定;(2)三角函数;(3)三角形相似的判定
22、x=1
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【详解】
方程两边都乘以x(x﹣2),得:x=1(x﹣2),
解得:x=1,
检验:x=1时,x(x﹣2)=1×1=1≠0,
则分式方程的解为x=1.
【点睛】
本题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.
23、证明见解析.
【解析】
连接OE,由OB=OD和AB=AC可得,则OF∥AC,可得,由圆周角定理和等量代换可得,由SAS证得,从而得到,即可证得结论.
【详解】
证明:如图,连接,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴
∵
∴,则,
∴,
∴,即,
在和中,
∵,
∴,
∴
∵是的切线,则,
∴,
∴,则,
∴是的切线.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的性质和判定、圆周角定理和全等三角形的判定与性质,熟练掌握圆周角定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键.
24、(1);(2) (0≤t≤3);(3)t=1或2时;四边形BCMN为平行四边形;t=1时,平行四边形BCMN是菱形,t=2时,平行四边形BCMN不是菱形,理由见解析.
【解析】
(1)由A、B在抛物线上,可求出A、B点的坐标,从而用待定系数法求出直线AB的函数关系式.
(2)用t表示P、M、N 的坐标,由等式得到函数关系式.
(3)由平行四边形对边相等的性质得到等式,求出t.再讨论邻边是否相等.
【详解】
解:(1)x=0时,y=1,
∴点A的坐标为:(0,1),
∵BC⊥x轴,垂足为点C(3,0),
∴点B的横坐标为3,
当x=3时,y=,
∴点B的坐标为(3,),
设直线AB的函数关系式为y=kx+b, ,
解得,,
则直线AB的函数关系式
(2)当x=t时,y=t+1,
∴点M的坐标为(t,t+1),
当x=t时,
∴点N的坐标为
(0≤t≤3);
(3)若四边形BCMN为平行四边形,则有MN=BC,
∴,
解得t1=1,t2=2,
∴当t=1或2时,四边形BCMN为平行四边形,
①当t=1时,MP=,PC=2,
∴MC==MN,此时四边形BCMN为菱形,
②当t=2时,MP=2,PC=1,
∴MC=≠MN,此时四边形BCMN不是菱形.
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、菱形的判定,正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键,注意菱形的判定定理的灵活运用.
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