2022年江苏省南通市崇川区田家炳中学中考数学五模试卷含解析

这是一份2022年江苏省南通市崇川区田家炳中学中考数学五模试卷含解析，共25页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，4的平方根是，若等式x2+ax+19＝等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（　　）
A．0.5×10﹣9米 B．5×10﹣8米 C．5×10﹣9米 D．5×10﹣10米
3．某市6月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是（　　）

A．8 B．10 C．21 D．22
4．在同一直角坐标系中，二次函数y=x2与反比例函数y=（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω=x1+x2+x3，则ω的值为（　　）

A．1 B．m C．m2 D．
5．4的平方根是（ ）
A．16 B．2 C．±2 D．±
6．九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
7．若等式x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b成立，则 a+b的值为（　　）
A．16 B．﹣16 C．4 D．﹣4
8．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）

A．1 B． C． D．
9．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（　　）
A．或2 B．或2 C．2或2 D．2或2
10．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点
的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系
如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝1．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③
11．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（　　）

A． B． C． D．
12．已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．已知关于x的方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=﹣1，则另一根为_____．
14．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为______．

15．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，BC=CD=4，AD=2 ，若，
用、表示=_____．

16．如图，扇形的半径为，圆心角为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得的圆锥的高为 ______ .

17．四张背面完全相同的卡片上分别写有0、、、、四个实数，如果将卡片字面朝下随意放在桌子上，任意取一张，那么抽到有理数的概率为___________．
18．若一段弧的半径为24，所对圆心角为60°，则这段弧长为____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，AB为⊙O直径，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，射线DC切⊙O于点C、交AB的延长线于点P，连接AC交DE于点F，作CH⊥AB于点H．
（1）求证：∠D=2∠A；
（2）若HB=2，cosD=，请求出AC的长．

20．（6分） “春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“汤圆”的习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅（A）、豆沙馅 （B）、菜馅（C）、三丁馅 （D）四种不同口味汤圆的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民人数是　 　人；
（2）将图 ①②补充完整；（ 直接补填在图中）
（3）求图②中表示“A”的圆心角的度数；
（4）若居民区有8000人，请估计爱吃D汤圆的人数．

21．（6分）综合与实践﹣猜想、证明与拓广
问题情境：
数学课上同学们探究正方形边上的动点引发的有关问题，如图1，正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，点D关于直线AE的对称点为点F，直线DF交AB于点H，直线FB与直线AE交于点G，连接DG，CG．
猜想证明
（1）当图1中的点E与点B重合时得到图2，此时点G也与点B重合，点H与点A重合．同学们发现线段GF与GD有确定的数量关系和位置关系，其结论为：　 　；
（2）希望小组的同学发现，图1中的点E在边BC上运动时，（1）中结论始终成立，为证明这两个结论，同学们展开了讨论：
小敏：根据轴对称的性质，很容易得到“GF与GD的数量关系”…
小丽：连接AF，图中出现新的等腰三角形，如△AFB，…
小凯：不妨设图中不断变化的角∠BAF的度数为n，并设法用n表示图中的一些角，可证明结论．
请你参考同学们的思路，完成证明；
（3）创新小组的同学在图1中，发现线段CG∥DF，请你说明理由；
联系拓广：
（4）如图3若将题中的“正方形ABCD”变为“菱形ABCD“，∠ABC=α，其余条件不变，请探究∠DFG的度数，并直接写出结果（用含α的式子表示）．

22．（8分）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数（k>0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标_____，写出符合题意的其中一条抛物线解析式_____，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？_____．（本小题只需直接写出答案）

23．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．
24．（10分）计算：﹣（﹣2）2+|﹣3|﹣20180×
25．（10分）已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且 AD=AB，过点 C 作 AD 的垂线，交 AD 的延长线于点 H．
（1）如图 1，若∠BAC=60°．
①直接写出∠B 和∠ACB 的度数；
②若 AB=2，求 AC 和 AH 的长；
（2）如图 2，用等式表示线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系，并证明．

26．（12分）先化简，再求值：先化简÷(﹣x+1)，然后从﹣2＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
27．（12分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是　 　人；
（2）图2中α是　 　度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有　 　人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．




参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、B
【解析】
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以A错误；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以B正确；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以C错误；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以D错误．
故选B．
点睛：在函数与中，相同的系数是“”，因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变化趋势确定出两个解析式中“”的符号，看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况，而这与“b”的取值无关.
2、D
【解析】
解：0.5纳米=0.5×0.000 000 001米=0.000 000 000 5米=5×10﹣10米．
故选D．
点睛:在负指数科学计数法 中，其中 ，n等于第一个非0数字前所有0的个数（包括下数点前面的0）.
3、D
【解析】
分析：根据条形统计图得到各数据的权，然后根据中位数的定义求解．
详解：一共30个数据，第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22.
故选D.
点睛：考查中位数的定义，看懂条形统计图是解题的关键.
4、D
【解析】
本题主要考察二次函数与反比例函数的图像和性质.
【详解】
令二次函数中y=m.即x2=m,解得x=或x=令反比例函数中y=m,即=m,解得x=,将x的三个值相加得到ω=+（）+=.所以本题选择D.
【点睛】
巧妙借助三点纵坐标相同的条件建立起两个函数之间的联系，从而解答.
5、C
【解析】
试题解析：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2，
故选C．
考点：平方根.
6、C
【解析】
试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
7、D
【解析】
分析：已知等式利用完全平方公式整理后，利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值．
详解：已知等式整理得：x2+ax+19=（x-5）2-b=x2-10x+25-b，
可得a=-10，b=6，
则a+b=-10+6=-4，
故选D．
点睛：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8、C
【解析】
连接AE，OD，OE．

∵AB是直径， ∴∠AEB=90°．
又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°．∴∠AOD=2∠AED=60°．
∵OA=OD．∴△AOD是等边三角形．∴∠A=60°．
又∵点E为BC的中点，∠AED=90°，∴AB=AC．
∴△ABC是等边三角形，
∴△EDC是等边三角形，且边长是△ABC边长的一半2，高是．
∴∠BOE=∠EOD=60°，∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．
∴阴影部分的面积=．故选C．
9、C
【解析】
过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD=OB=2，如图②，BD=6，求得OD、OE、DE的长，连接OD，根据勾股定理得到结论．
【详解】
过B作直径，连接AC交AO于E，

∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点，
∴BD=×4=2，
∴OD=OB-BD=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=BD=1，
∴OE=1+2=3，
连接OC，
∵CE=，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC=；
如图②，

OD=2，BD=4+2=6，DE=BD=3，OE=3-2=1，
由勾股定理得：CE=，
DC=.
故选C．
【点睛】
本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
10、A
【解析】
解：∵乙出发时甲行了2秒，相距8m，∴甲的速度为8/2＝4m/ s．
∵100秒时乙开始休息．∴乙的速度是500/100＝5m/ s．
∵a秒后甲乙相遇，∴a＝8/(5－4)＝8秒．因此①正确．
∵100秒时乙到达终点，甲走了4×(100＋2)＝408 m，∴b＝500－408＝92 m． 因此②正确．
∵甲走到终点一共需耗时500/4＝125 s，，∴c＝125－2＝1 s． 因此③正确．
终上所述，①②③结论皆正确．故选A．
11、B
【解析】
主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【详解】
综合主视图和俯视图，底层最少有个小立方体，第二层最少有个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是个．
故选：B．
【点睛】
此题考查由三视图判断几何体，解题关键在于识别图形
12、C
【解析】
先将前两项提公因式，然后把a﹣b=1代入，化简后再与后两项结合进行分解因式，最后再代入计算．
【详解】
a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．
故选C．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，四项不能整体分解，关键是利用所给式子的值，将前两项先分解化简后，再与后两项结合．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、1
【解析】
设另一根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系得出-1•x2=-1，即可求出答案．
【详解】
设方程的另一个根为x2，
则-1×x2=-1，
解得：x2=1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=-，x1x2=．
14、1．
【解析】
试题解析：设俯视图的正方形的边长为．
∵其俯视图为正方形，从主视图可以看出，正方形的对角线长为
∴
解得
∴这个长方体的体积为4×3=1．
15、
【解析】
过点A作AE⊥DC，利用向量知识解题.
【详解】
解：过点A作AE⊥DC于E，
∵AE⊥DC，BC⊥DC，
∴AE∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形AECB是矩形，
∴AB＝EC，AE＝BC＝4，
∴DE===2，
∴AB=EC=2=DC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，

故答案为.
【点睛】
向量知识只有使用沪教版(上海)教材的学生才学过，全国绝大部分地区将向量放在高中阶段学习.
16、4cm
【解析】
求出扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】
扇形的弧长==4π，
圆锥的底面半径为4π÷2π=2，
故圆锥的高为：=4,
故答案为4cm．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，重点考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
17、
【解析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
∵在0.、、、这四个实数种，有理数有0.、、这3个，
∴抽到有理数的概率为，
故答案为．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
18、8π
【解析】
试题分析：∵弧的半径为24，所对圆心角为60°，
∴弧长为l==8π．
故答案为8π．
【考点】弧长的计算．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）证明见解析；（2）AC=4.
【解析】
（1）连接，根据切线的性质得到，根据垂直的定义得到，得到，然后根据圆周角定理证明即可；
（2）设的半径为，根据余弦的定义、勾股定理计算即可．
【详解】
（1）连接．
∵射线切于点，．
，，，，，由圆周角定理得：，；
（2）由（1）可知：，，，，，设的半径为，则，在中，，，，∴由勾股定理可知：，．
在中，，由勾股定理可知：．

【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理以及解直角三角形，掌握切线的性质定理、圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．
20、（1）600；（2）120人，20%；30%；（3）108°（4）爱吃D汤圆的人数约为3200人
【解析】
试题分析：
（1）由两幅统计图中的信息可知，喜欢B类的有60人，占被调查人数的10%，由此即可计算出被调查的总人数为60÷10%=600（人）；
（2）由（1）中所得被调查总人数为600人结合统计图中已有的数据可得喜欢C类的人数为：600-180-60-240=120（人），喜欢C类的占总人数的百分比为：120÷600×100%=20%，喜欢A类的占总人数的百分比为：180÷600×100%=30%，由此即可将统计图补充完整；
（3）由（2）中所得数据可得扇形统计图中A类所对应的圆心角度数为：360°×30%=108°；
（4）由扇形统计图中的信息：喜欢D类的占总人数的40%可得：8000×40%=3200（人）；
试题解析：
（1）本次参加抽样调查的居民的人数是：60÷10%=600（人）；
故答案为600；
（2）由题意得：C的人数为600﹣（180+60+240）=600﹣480=120（人），C的百分比为120÷600×100%=20%；A的百分比为180÷600×100%=30%；
将两幅统计图补充完整如下所示：

（3）根据题意得：360°×30%=108°，
∴图②中表示“A”的圆心角的度数108°；
（4）8000×40%=3200（人），
即爱吃D汤圆的人数约为3200人．
21、 (1) GF=GD，GF⊥GD;(2)见解析;(3)见解析;(4) 90°﹣.
【解析】
（1）根据四边形ABCD是正方形可得∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°，点D关于直线AE的对称点为点F，即可证明出∠DBF=90°，故GF⊥GD，再根据∠F=∠ADB，即可证明GF=GD；
（2）连接AF，证明∠AFG=∠ADG，再根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠BAD=90°，设∠BAF=n，∠FAD=90°+n，可得出∠FGD=360°﹣∠FAD﹣∠AFG﹣∠ADG=360°﹣（90°+n）﹣（180°﹣n）=90°，故GF⊥GD；
（3）连接BD，由（2）知，FG=DG，FG⊥DG，再分别求出∠GFD与∠DBC的角度，再根据三角函数的性质可证明出△BDF∽△CDG，故∠DGC=∠FDG，则CG∥DF；
（4）连接AF，BD，根据题意可证得∠DAM=90°﹣∠2=90°﹣∠1，∠DAF=2∠DAM=180°﹣2∠1，再根据菱形的性质可得∠ADB=∠ABD=α，故∠AFB+∠DBF+∠ADB+∠DAF=（∠DFG+∠1）+（∠DFG+∠1+α）+α+（180°﹣2∠1）=360°，2∠DFG+2∠1+α﹣2∠1=180°，即可求出∠DFG．
【详解】
解：（1）GF=GD，GF⊥GD，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°，
∵点D关于直线AE的对称点为点F，∠BAD=∠BAF=90°，
∴∠F=∠ADB=45°，∠ABF=∠ABD=45°，
∴∠DBF=90°，
∴GF⊥GD，
∵∠BAD=∠BAF=90°，
∴点F，A，D在同一条线上，
∵∠F=∠ADB，
∴GF=GD，
故答案为GF=GD，GF⊥GD；
（2）连接AF，∵点D关于直线AE的对称点为点F，
∴直线AE是线段DF的垂直平分线，
∴AF=AD，GF=GD，
∴∠1=∠2，∠3=∠FDG，
∴∠1+∠3=∠2+∠FDG，
∴∠AFG=∠ADG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
设∠BAF=n，
∴∠FAD=90°+n，
∵AF=AD=AB，
∴∠FAD=∠ABF，
∴∠AFB+∠ABF=180°﹣n，
∴∠AFB+∠ADG=180°﹣n，
∴∠FGD=360°﹣∠FAD﹣∠AFG﹣∠ADG=360°﹣（90°+n）﹣（180°﹣n）=90°，
∴GF⊥DG，
(3)如图2，连接BD，由（2）知，FG=DG，FG⊥DG，
∴∠GFD=∠GDF=（180°﹣∠FGD）=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠BDC=∠DBC=（180°﹣∠BCD）=45°，
∴∠FDG=∠BDC，
∴∠FDG﹣∠BDG=∠BDC﹣∠BDG，
∴∠FDB=∠GDC，
在Rt△BDC中，sin∠DFG==sin45°=，
在Rt△BDC中，sin∠DBC==sin45°=，
∴，
∴，
∴△BDF∽△CDG，
∵∠FDB=∠GDC，
∴∠DGC=∠DFG=45°，
∴∠DGC=∠FDG，
∴CG∥DF；
（4）90°﹣，理由：如图3，连接AF，BD，
∵点D与点F关于AE对称，
∴AE是线段DF的垂直平分线，
∴AD=AF，∠1=∠2，∠AMD=90°，∠DAM=∠FAM，
∴∠DAM=90°﹣∠2=90°﹣∠1，
∴∠DAF=2∠DAM=180°﹣2∠1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴∠AFB=∠ABF=∠DFG+∠1，
∵BD是菱形的对角线，
∴∠ADB=∠ABD=α，
在四边形ADBF中，∠AFB+∠DBF+∠ADB+∠DAF=（∠DFG+∠1）+（∠DFG+∠1+α）+α+（180°﹣2∠1）=360°
∴2∠DFG+2∠1+α﹣2∠1=180°，
∴∠DFG=90°﹣．

【点睛】
本题考查了正方形、菱形、相似三角形的性质，解题的根据是熟练的掌握正方形、菱形、相似三角形的性质.
22、（1）；（2）；（3）（﹣1，3）；（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1）,对应的抛物线分别为 ； ；,偶数.
【解析】
（1）设正方形ABCD的边长为a，当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，可知3a=，求出a，
（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，可知ADE≌△BAO≌△CBF，列出m的等式解出m，
（3）本问的抛物线解析式不止一个，求出其中一个．
【详解】
解：（1）∵正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．
当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时，
∴AO=1，BO=1，
∴正方形ABCD的边长为 ,
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，
设正方形的边长为a，得3a=,
∴ ，
所以伴侣正方形的边长为或；
（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，

知△ADE≌△BAO≌△CBF，
此时，m＜2，DE=OA=BF=m
OB=CF=AE=2﹣m
∴OF=BF+OB=2
∴C点坐标为（2﹣m，2），
∴2m=2（2﹣m）
解得m=1，
反比例函数的解析式为y= ，
（3）根据题意画出图形，如图所示：

过C作CF⊥x轴，垂足为F，过D作DE⊥CF，垂足为E，
∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC，
∵C（3，4），即CF=4，OF=3，
∴EG=3，DE=4，故DG=DE﹣GE=DE﹣OF=4﹣3=1，
则D坐标为（﹣1，3）；
设过D与C的抛物线的解析式为：y=ax2+b，
把D和C的坐标代入得： ，
解得 ，
∴满足题意的抛物线的解析式为y=x2+ ；
同理可得D的坐标可以为：（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1），；
对应的抛物线分别为 ； ；，
所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题.灵活运用相关知识是解题关键.
23、原式==﹣2．
【解析】
分析：原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简，再将a的值代入计算可得．
详解：原式=
=
=，
当a=﹣1时，
原式==﹣2．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
24、﹣1
【解析】
根据乘方的意义、绝对值的性质、零指数幂的性质及立方根的定义依次计算各项后，再根据有理数的运算法则进行计算即可.
【详解】
原式=﹣1+3﹣1×3=﹣1．
【点睛】
本题考查了乘方的意义、绝对值的性质、零指数幂的性质、立方根的定义及有理数的混合运算，熟知乘方的意义、绝对值的性质、零指数幂的性质、立方根的定义及有理数的混合运算顺序是解决问题的关键.
25、（1）①45°，②；（2）线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系：2AH=AB+AC．证明见解析.
【解析】
（1）①先根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD=30°，由等腰三角形的性质得∠B=75°，最后利用三角形内角和可得∠ACB=45°；②如图 1，作高线 DE，在 Rt△ADE 中，由∠DAC=30°，AB=AD=2 可得 DE=1，AE=， 在 Rt△CDE 中，由∠ACD=45°，DE=1，可得 EC=1，AC= +1，同理可得 AH 的长；（2）如图 2，延长 AB 和 CH 交于点 F，取 BF 的中点 G，连接 GH，易证△ACH≌△AFH，则 AC=AF，HC=HF， 根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得AG=AH，再由线段的和可得结论．
【详解】
（1）①∵AD 平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵AB=AD，
∴∠B==75°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣75°=45°；
②如图 1，过 D 作 DE⊥AC 交 AC 于点 E，

在 Rt△ADE 中，∵∠DAC=30°，AB=AD=2，
∴DE=1，AE=，
在 Rt△CDE 中，∵∠ACD=45°，DE=1，
∴EC=1，
∴AC=+1，
在 Rt△ACH 中，∵∠DAC=30°，
∴CH=AC=
∴AH==；
（2）线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系：2AH=AB+AC．
证明：如图 2，延长 AB 和 CH 交于点 F，取 BF 的中点 G，连接 GH．

易证△ACH≌△AFH，
∴AC=AF，HC=HF，
∴GH∥BC，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠AGH=∠AHG，
∴AG=AH，
∴AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2（AB+BG）=2AG=2AH．
【点睛】
本题是三角形的综合题，难度适中，考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握这些性质是本题的关键，第（2）问构建等腰三角形是关键．
26、﹣，﹣．
【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在－2＜ x＜中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可求出最后答案，值得注意的是，本题答案不唯一，x的值可以取－2、2中的任意一个.
【详解】
原式＝＝＝＝，∵－2＜ x＜（x为整数）且分式要有意义，所以x＋1≠0，x－1≠0，x≠0，即x≠－1,1,0，因此可以选取x＝2时，此时原式＝－.
【点睛】
本题主要考查了求代数式的值，解本题的要点在于在化解过程中，求得x的取值范围，从而再选取x＝2得到答案.
27、（1）40；（2）54，补图见解析；（3）330；（4）.
【解析】
（1）根据由自主学习的时间是1小时的人数占30%，可求得本次调查的学生人数；
（2），由自主学习的时间是0.5小时的人数为40×35%=14；
（3）求出这40名学生自主学习时间不少于1.5小时的百分比乘以600即可；
（4）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，
∴12÷30%=40，
故答案为40；
（2），故答案为54；
自主学习的时间是0.5小时的人数为40×35%=14；
补充图形如图：

（3）600×=330；
故答案为330；
（4）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种可能，
∴P（A）=．