九年级数学上册专题九+圆周角定理的综合运用同步测试+新人教版

圆周角定理的综合运用

一　巧作辅助线求角度

(教材P89习题24.1第7题)

求证：圆内接平行四边形是矩形．

已知：如图1，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形．

求证：平行四边形ABCD是矩形．

图1

证明：∠A＋∠C＝180 °(圆内接四边形对角互补)

又∠A＝∠C(平行四边形对角相等)

∴∠A＝∠C＝90 °

所以圆内接平行四边形是矩形．

　如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(　A　)

A．40°　　B．45°　　C．50°　　D．60°

图2

变形1答图

【解析】 如图，连接OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°.∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC＝＝40°.

　如图3，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝__60°__．

图3

变形2答图

【解析】 如图，连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC.∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠B＝2∠ADC.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝120°.∵∠1＝∠OAD＋∠ADO，∠2＝∠OCD＋∠CDO，∴∠OAD＋∠OCD＝(∠1＋∠2)－(∠ADO＋∠CDO)＝∠AOC－∠ADC＝120°－60°＝60°.

　[2012·青岛]如图4，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是__150°__．

【解析】 在优弧上取点D，连接AD，CD，

∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝30 °.

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－30°＝150°.故答案为150°.

图4

图5

　如图5，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为(　A　)

A．35°  B．45°  C．55°  D．75°

　如图6，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.

(1)求证：△ABC是等边三角形；

(2)求圆心O到BC的距离OD.

解：(1)在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，

又∵∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等边三角形；

(2)如图，连接OB，OC，则∠BOC＝2∠BAC＝120°.∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－∠BOC)＝30°.在Rt△BOD中，∠ODB＝90°，∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝×8＝4.

图6

变形5答图

二　圆周角定理与垂径定理的综合

(教材P89习题24.1第5题)

如图7，OA⊥BC，∠AOB＝50°，试确定∠ADC的大小．

图7

解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠ADC＝∠AOB＝25°.

【思想方法】 垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径定理求解．

　如图8，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝3 cm，则弦AB的长为(　A　)

图8

A．9 cm　　　　　　B．3 cm

C. cm  D. cm

解：∵∠CBA＝30°，

∴∠AOC＝2∠CBA＝60°，

∵AB⊥OC，

∴∠ADO＝90°，

∴∠OAD＝30°，

∴OD＝OA＝×3＝(cm)，

由勾股定理得：AD＝＝4.5 cm，

∵AB⊥OC，OC过O，

∴AB＝2AD＝9(cm)，

故选A.

　如图9，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为(　D　)

图9　　　　　　　　变形2答图

A．2    B．8

C．2  D．2

【解析】 ∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，

∴AC＝BC＝4，

设⊙O的半径为r，则OC＝r－2，

在Rt△AOC中，

∵AC＝4，OC＝r－2，

∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，

∴AE＝2r＝10，

连接BE，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ABE＝90°，

在Rt△ABE中，

∵AE＝10，AB＝8，

∴BE＝＝＝6，

在Rt△BCE中，

∵BE＝6，BC＝4，

∴CE＝＝＝2.

故选D.

　如图10，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6 cm，AD平分∠BAC，则AD的长为(　A　)

图10　　　　　　变形3答图

A．4 cm  B．3 cm 

C．5 cm  D．4 cm

【解析】 连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵∠CAD＝∠BAD(角平分线的性质)，

∴＝，

∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，

∴△AOF≌△OED，

∴OE＝AF＝AC＝3 cm，

在Rt△DOE中，，DE＝＝4 cm，

在Rt△ADE中，AD＝＝4  cm，

故选A.

　如图11，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为7，则GE＋FH的最大值为__10.5__．

图11　　　　　　　变形4答图

【解析】 如图，当GH为⊙O的直径时，GE＋FH有最大值．

∵⊙O的半径为7，

∴GH＝14.

连接OA，OB.

∵∠ACB＝30°，

∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，

∵OA＝OB，

∴△AOB为等边三角形，

∴AB＝OA＝OB＝7，

∵点E，F分别是AC，BC的中点，

∴EF＝AB＝3.5，

∴GE＋FH＝GH－EF＝14－3.5＝10.5.

故答案为10.5.

　如图12，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°.

(1)求∠B的大小；

(2)已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．

图12

变形5答图

解：(1)∵∠APD＝∠C＋∠CAB，∴∠C＝∠APD－∠CAB＝65°－40°＝25°.∴∠B＝∠C＝25°.

(2)如图，过点O作OE⊥BD于点E，则DE＝BE.又∵AO＝BO，∴OE＝AD＝×6＝3.∴圆心O到BD的距离为3.

　如图13所示，AB是⊙O的一条弦，E在⊙O上，设⊙O的半径为4 cm，AB＝4 cm，

(1)求圆心O到弦AB的距离OD；

(2)求∠AEB的度数．

解：(1)连接OA，OB.∵OD⊥AB，

∴AD＝AB＝2 cm.

在Rt△ODA中，OA＝4 cm，

∴OD＝＝＝2 (cm)；

(2)Rt△ODA中，OA＝4 cm，OD＝2 cm，

∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°.

∵OA＝OB，OD⊥AB，

∴∠AOB＝2∠AEB＝120°，

∴∠AEB＝∠AOB＝60°.

图13

图14

　如图14，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°，求BD及OF的长．

解：∵AB＝4，AC⊥BD于F，∠A＝30°，

∴BF＝AB ＝4×＝2，AF＝＝＝6.

∵AC是⊙O的直径，∴BD＝2BF＝2×2＝4.

设OF＝x，则OB＝AF－OF＝6－x，

在Rt△OBF中，

OB2＝BF2＋OF2，即(6－x)2＝(2)2＋x2，解得x＝2，即OF＝2.

答：BD的长是4，OF的长是2.

　如图15，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E.

(1)若AC＝16，求AE的长．

(2)若C点在⊙O上运动(不包括A，B两点)，则在运动的过程中AC与AE有何特殊的数量关系？请把你探究得到的结论填写在横线上____________________________________________________________________．

图15

变形8答图

解：(1)如图，连接OE，∵AO是⊙D的直径，

∴∠OEA＝90°，∴OE⊥AC.∵OE过⊙O的圆心O，

∴AE＝CE＝AC＝×16＝8.

(2)若C点在⊙O上运动(不包括A，B两点)，则在运动的过程中AE＝AC.