山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题7

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山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知，（为虚数单位），则等于（       ）

A．1 B． C．2 D．

2．设集合，，则等于（       ）

A． B． C． D．

3．设向量，满足，，与的夹角为，则等于（       ）

A．2 B．1 C．3 D．

4．如图，已知圆锥的母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，则该圆锥的底面半径为（       ）

A．1 B．2 C． D．

5．在区间上随机取一个数，则取到的数不小于的概率为（       ）

A． B． C． D．

6．已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

7．我国古代数学巨著《九章算术》第三章中的“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是指按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如甲､乙､丙三人分配奖金的衰分比为20%，若甲分得奖金10000元，则乙､丙分得奖金分别为8000元和6400元.现有三名技术人员，，攻克了一项技术难题.若，，按照一定的“衰分比”分配奖金共75880元，其中拿到了28000元，则“衰分比”为（       ）

A．20% B．15% C．25% D．10%

8．若，则等于（       ）

A． B．2 C． D．

9．函数的最小正周期为，则为（       ）

A．3 B．2 C．1 D．

10．已知抛物线：的焦点为，点为，若射线与抛物线相交于点，与准线相交于点，且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

11．数列是递增的整数数列，若，，则的最大值为（       ）

A．25 B．22 C．24 D．23

12．已知函数，，若存在、，使得成立，则的最大值为（       ）

A． B．1 C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．命题：，，则为___________.

14．若实数，满足约束条件则的最小值为___________.

15．点在圆：上，，，则最大时，___________.

16．已知，是双曲线的左右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为___________.

17．在中，角，，所对的边分别为，，.在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件.

(1)求角的大小；

(2)若，求周长的最小值.

18．如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，平面平面.

(1)求证：；

(2)求三棱锥的体积.

19．全球新冠肺炎疫情反反复复，国家卫健委专家建议大家出门时佩戴口罩.为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某市质监局从药店随机抽取了500包某种品牌的口罩，测量其一项质量指标值，如下：

(1)求这500包口罩质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)从质量指标值在的口罩中，按分层抽样抽取5包，从这5包中随机抽取2包，求两包口罩的质量指标值分别在和内的概率.

20．已知椭圆：过点，过右焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，且.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)点，在椭圆上，且.证明：直线恒过定点.

21．已知函数（其中为自然对数的底数）.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)证明当时，恒为函数的极大值点.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

(1)求圆的直角坐标方程；

(2)设，若直线与圆相交于，两点，求的最大值.

23．已知，，且.

(1)若恒成立，求的取值范围；

(2)证明：.

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

化简已知得即得解.

【详解】

解：，所以.

故选：B.

2．C

【解析】

【分析】

先解出集合A、B，再求.

【详解】

由题意，，所以.

故选：C.

3．B

【解析】

【分析】

利用向量数量积的运算法则及数量积的定义即得.

【详解】

∵，，与的夹角为，

∴，

∴，即.

故选：B.

4．A

【解析】

【分析】

根据蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离，结合圆锥的侧面展开图，求出展开图扇形的圆心角，根据弧长与底面圆的周长建立方程，求出底面半径.

【详解】

已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图

一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，则

由,所以，则

设底面半径为，扇形半径为，则.所以.

故选：A.

5．A

【解析】

【分析】

利用几何概型概率公式直接求解.

【详解】

由几何概型公式可得取到的数不小于的概率为.

故选：A

6．C

【解析】

【分析】

解得，故可得.

【详解】

，，

，

所以.

故选:C.

7．D

【解析】

【分析】

根据等比数列的首项以及前项和公式，结合题意，列式计算即可.

【详解】

由题意得，甲､乙､丙三人分配的奖金构成了一个等比数列，设其前项和为，

则首项，公比为衰分比.

又，解得，故衰分比为10%.

故选：.

8．C

【解析】

【分析】

化简原式为即得解.

【详解】

解：原式

.

故选：C

9．D

【解析】

【分析】

利用三角恒等变换化简，结合三角函数的最小正周期即可求得结果.

【详解】

因为，

故

，

又其最小正周期为，又，故.

故选：.

10．B

【解析】

【分析】

先由抛物线定义得，进而求得，再结合坐标及斜率公式即可求解.

【详解】

如图，作垂直于准线，垂足为.因为，则，，，

又，，则，解得.

故选：B.

11．D

【解析】

【分析】

数列是递增的整数数列，要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数，所以，可得是首项为2，公差为1的等差数列，再利用等差数列的前项和公式即可求解.

【详解】

数列是递增的整数数列，要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数.

假设递增的幅度为，，，

，解得，

当时，，不满足题意.

当时，，满足，所以的最大值为23.

故选：D.

12．A

【解析】

【分析】

先求得，结合的单调性求得，通过构造函数法，结合导数来求得的最大值.

【详解】

，，

对于函数，，，

所以在上，，单调递增，又，

所以，，所以，则，

令，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

则，即当时，取得最大值.

故选：A

【点睛】

求解不等式恒成立、存在性问题，可考虑利用构造函数法，结合导数，转化为函数的最值问题来进行求解.

13．，

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定为特称命题，可得出答案.

【详解】

命题：，.   则为：，

故答案为：，

14．

【解析】

【分析】

先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析求解.

【详解】

解析由约束条件作出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示.

由，得.

令直线与直线的交点为，则.

由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，则有最小值为.

故答案为：-2

15．3

【解析】

【分析】

根据题意最大时，直线与圆相切从而可得出答案.

【详解】

点在圆：上，即圆心为，已知，，

如图将绕点沿逆时针方向旋转，当刚好与圆相切时，最小.

当旋转到与圆相切于点时，最大.

所以最大时，直线与圆相切，

故答案为：3

16．2

【解析】

【分析】

注意到在△F2BF1中，OA为中位线，可得为等边三角形，从而得到，.

【详解】

由题意知在，为边的中点，，，，，

∵为等腰三角形，又∵，

∴为等边三角形.

∴，.

故答案为：2.

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）选①. ，利用二倍角的余弦公式求解；选②. ，利用正弦定理和余弦定理求解； 选③.，利用正弦定理，结合两角和与差的三角函数求解；

（2）由（1）知，利用余弦定理得到，再结合基本不等式求解.

(1)

解：选①.，

即，

所以，所以.

又因为，所以.

选②.因为，

所以，

即，

由正弦定理得.

由余弦定理知.

又.所以；

选③.因为.

由正弦定理得，

所以，

即.

因为，

所以，

又.所以；

(2)

由（1）知，

则由余弦定理得，.

所以，

所以，当且仅当时取等号.

所以周长的最小值为.

18．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）由勾股定理可得，结合为等腰直角三角形，可得平面，进而得到.

（2）考虑到条件平面平面，故以△ABC为底面，△ABP底边AB上的高为体高进行求解.

(1)

证明：∵，，，

∴，

∵为等腰直角三角形，，

∴

又∵，平面.

∴平面.

∵平面，∴

命题得证.

(2)

解取的中点.连接（如图）.

∵为等腰直角三角形，，

∴，，.

又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

又∵平面.∴，

由（1）得，，，平面

∴平面.

又∵平面，∴

∴，

∴

∴.

所以三棱锥的体积为.

19．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据平均数、方差的公式代入计算；

（2）根据分层抽样，抽取的口罩在内的有4包，在内的有1包，列举出从这5包中随机抽取2包的所有可能结果，结合古典概型处理计算．

(1)

(2)

根据分层抽样，抽取的口罩在内的有4包，分别记为，，，，在内的有1包，记为.

从这5包中随机抽取2包，所有的可能结果有10种，它们分别是，，，，，，，，，

记“两包口罩的质量指标值分别在和内”为事件A，则事件A包含的可能结果有4种，

故所求事件的概率为．

20．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）易得，再由椭圆过点，得到求解；

（2）设点，，设直线方程为，与椭圆方程联立，根据，结合韦达定理求解；

(1)

解：由已知得当时，，

又因为椭圆过点，则，

联立解得，

故椭圆的标准方程为；

(2)

证明设点，，

因为，即，

即.*

当直线的斜率存在时，设直线方程为.

代入椭圆方程消去得，

，，，

根据，.代入*整理，

得，

结合根与系数的关系可得，.

即，

当时，

直线方程为.过点，不符合条件.

当时，直线方程为，

故直线恒过定点.

当直线的斜率不存在时，令点，

此时，

又.可得（舍去）或.

当时，与点重合，与已知条件不符，

∴直线的斜率一定存在，故直线恒过定点.

21．(1)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）求出即得解；

（2）先分析得到当时，为的极大值点，符合条件；再证明当时，为的极大值点，符合条件.即得证.

(1)

解：当时，，定义域为，

所以，

在上，，在上，，在上，，在上，，

故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.

(2)

证明：，

所以

记.

当时.为的极大值点，符合条件；

当时，的图象开口向上，

方程有两个根. 设为，且，，

当时，，，，在上单调递增，

当时，，，，在上单调递减.

故为的极大值点，符合条件.

所以当时，恒为的极大值点.

22．(1)

(2)4

【解析】

【分析】

（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式，求得圆的直角坐标方程

（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系，求得的最大值

(1)

圆的极坐标方程为

则.

所以圆的直角坐标方程为

(2)

将直线的参数方程（为参数）代入中，

得

设点，B所对应的参数分别为和，

，则，

则

当时，取到最大值为4.

23．(1)；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）先通过基本不等式求出的最小值，进而解出不等式即可；

（2）先进行变形，然后通过基本不等式证得答案.

(1)

已知，，且.

则，

当且仅当时，取到最小值，所以，即，解得.

(2)

，当且仅当，即时，等号成立.所以.