高中物理人教版必修 第二册 精讲讲义

这是一份高中物理人教版必修 第二册 精讲讲义，共170页。

目 录

1. 曲线运动与运动的合成与分解……………………..2
2. 抛体运动解题技巧………….11
3. 实验：研究平抛运动……...20
4. 圆周运动和向心加速度… …………………27
5. 圆周运动的向心力及其应用……………………….36
6. 生活中的圆周运动……..………….47
7. 曲线运动复习与巩固…..………….58
8. 行星的运动与万有引力定律………. …………………………68
9. 万有引力理论的成就………………..………….77
10. 宇宙航行…..…… .…….87
11. 曲线运动、万有引力综合复习…………..………96
12. 能量与功………..………..113
13. 功率与机车的启动…..………….122
14. 重力势能和弹性势能………. …………………………128
15. 动能和动能定理………………..………….136
16. 机械能守恒定律…..…… .…….143
17. 能量守恒定律与能源…………..………152
18. 机械能复习与巩固………..………..161
曲线运动、运动的合成与分解
编稿： 审稿：
【学习目标】
1、知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动。
2、知道物体做曲线运动的条件，理解牛顿第二定律对物体做曲线运动条件的解释。
3、理解合运动与分运动的关系、具体问题能够正确区分合运动与分运动。
4、掌握运动的合成与分解的方法，能够熟练的应用平行四边形法则作图将合运动与分运动统一在一个平行四边形中并进行计算。
5、学会用数学的方法研究物体的运动，并从物体的运动轨迹方程判断物体的运动性质。
【要点梳理】
要点一、曲线运动速度的方向
要点诠释：
1、曲线运动速度方向的获取途径
其一，生活中的现象如：砂轮边缘飞出的铁屑、雨天车轮甩出的雨滴、弯曲的水管中喷出的水流等；
其二，由瞬时速度的定义，瞬时速度等于平均速度在时间间隔趋于零时的极限，从理论上得到曲线运动瞬时速度的方向。
2、曲线运动速度的方向
质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向，指向前进的一侧
3、曲线运动的性质
曲线运动的速度方向时刻在变化，速度是矢量，曲线运动的速度时刻在变化，曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度，曲线运动受到的合外力一定不等于零。
要点二、物体做曲线运动的条件
要点诠释：
1、物体做曲线运动的条件的获得途径
其一，由实际的曲线运动的受力情况可以知道；
其二，通过理性分析可以得知，如在垂直于运动的方向上物体受到了合外力的作用，物体的运动方向便失去了对称性，必然向着受力的方向偏转而成为曲线运动。
2、物体做直线运动条件
当物体受到的合外力与速度的方向在一条直线上或者物体受到的合外力为零时，物体做直线运动。
3、物体做曲线运动条件
物体做曲线运动条件是：当物体受到的合外力与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动。也就是说物体做曲线运动，必有：
①物体具有初速度，即v0≠0；
②物体受到合外力的作用，即F合≠0，或者说加速度a≠0；
③合外力（加速度）与速度不在同一条直线上。
4、曲线运动中合外力的切向分量和法向分量的作用
对于做曲线运动的物体，把合外力F沿曲线的切线方向和法线方向（与切线垂直的方向）分解，沿切线方向的分力F1使质点产生切线方向的加速度a1，当a1和v同向时，速度增大，如图1所示，此时的合外力方向一定与速度方向成锐角； 当a1和v反向时，速度减小，如图2所示，此时的合外力方向一定与速度方向成钝角；如果物体做曲线运动的速率不变，说明a1＝0，即F1＝0，此时的合外力方向一定与速度方向垂直。
图1
v
F
a1
F1
F2
a2
图2
v
F
a1
F1
F2
a2


沿法线方向的分力F2产生法线方向上的加速度a2，由于力F2与速度方向垂直，所以力F2不能改变速度的大小，只能改变速度的方向。由于曲线运动的速度方向时刻在改变，合外力的这一作用效果对任何曲线运动总是存在的。
可见，在曲线运动中合外力的作用效果可分成两个方面：
切向分量——产生切线方向的加速度a1，改变速度的大小——当合外力的切向分量与速度的方向相同时，物体做加速曲线运动，相反时做减速曲线运动。
法向分量——产生法线方向的加速度a2，改变速度的方向——只有使物体偏离原来方向的效果，不能改变速度的大小。这正是物体做曲线运动的原因。
若a1＝0，则物体的运动为匀速率曲线运动；而若a2＝0，则物体的运动为直线运动。
5、物体做曲线运动的轨迹弯曲规律
根据钢球在磁铁吸引下的曲线运动、石子抛出后的曲线运动以及人造地球卫星的曲线运动等实例，可得到结论：物体的运动轨迹必定在物体速度方向和所受合外力方向之间。
由于曲线运动物体的速度方向是时刻改变的，物体在某一点的速度方向就是沿曲线上该点的切线方向，而曲线上任一点的切线总在曲线的外侧，因此，运动物体的曲线轨迹必定向合外力方向弯曲，也即合外力方向指向曲线的内侧。
若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向。如物体在从M运动到N的过程中，在运动到点P时，其受力方向一定是向上的而不可能向下。

要点三、质点在平面内的运动
要点诠释：
1、平面曲线运动的描写
（1）直线运动的描写：用一维坐标系x=x(t)便可以描写质点的位置、速度、加速度
（2）平面曲线运动：可以用平面直角坐标系xoy描写质点的位置（x，y）、速度(vx，vy)和加速度(ax，ay)，即可以通过两个方向上的分运动去认识或解决平面曲线运动。
（也可以用极坐标来描写平面曲线运动，高中阶段不做要求）
2、平面曲线运动位置的确定
（1）确定分运动的性质：首先弄清楚质点沿着X方向和Y方向做什么运动。
这要通过具体分析质点在这两个方向上的受力情况和初始条件而获得，即要通过Fx与vx、Fy与vy的特点和方向关系具体明确。
（2）写出质点在x、y两个方向的位移时间关系
例如，一个质点在x方向上受到的合外力为零而初速度不为零，则这个质点在x方向上就做匀速运动；如果这个质点在y方向上受到恒定的合外力而初速度不为零且与合外力方向相反，则这个质点在y方向上就做匀减速运动，这个质点任意时刻的位置坐标可以表达为：x=vxt，。
3、 平面曲线运动轨迹的确定
（1）已知x y两个分运动，求质点的运动轨迹：
只要写出x y两个方向的位移时间关系x=x(t)和y=y(t) ，由此消除时间t，得到轨迹方程y=f(x)，便知道轨迹是什么形状。
例如质点在x、y方向上都做匀速直线运动，其速度分别是vx、vy，求其运动的轨迹方程。
第一：写位移方程 x=vxt、y=vyt ；
第二：消时间t得到轨迹方程；
可见两个匀速直线运动的合运动的轨迹仍然是直线。
（2）定性的判断两个分运动的合运动的轨迹是直线还是曲线：
由曲线运动的条件知，只要看质点的初速度方向和它受到的合外力的方向是否共线便知。
例如，船在流水中渡河问题，船同时参与了沿垂直于河岸OA的方向和沿着水流动方向OB的两个匀速运动，船实际进行的是沿OC方向的运动，所以OC是合运动，由于两个方向的运动都是匀速运动，其合外力为零，所以船实际的运动轨迹是一条直线。

如果船头对准对岸()做初速为零的匀加速直线运动，所以有垂直河岸向上的合外力，而合速度方向则是偏向下游的，所以船的实际运动(合运动)是曲线运动。

要点四、运动的合成和分解
要点诠释：
1、运动的合成与分解
由描写各分运动的量，求合运动的相关量叫运动的合成；由描写合运动的量求各个分运动相关量叫运动的分解。
2、在平面曲线运动中由分运动的加速度、速度、位移，求质点的合加速度速度和位移
（1）加速度、速度和位移都是矢量，其合成和分解都遵守平行四边形法则；
（2）平面运动任意时刻的加速度、速度、位移：
加速度的大小 加速度的方向
合速度的大小 合速度的方向
合位移的大小 合位移的方向
ay a


ax
y s



x
vy v

vx
vx










3、由合运动的加速度、速度及位移求分运动的加速度、速度及位移
描写合运动的物理量和描写分运动的相关物理量，被统一在同一个相关的平行四边形中，运动的分解是运动合成的逆运算，因此，由合运动的加速度、速度及位移求分运动的加速度、速度及位移的方法与运动的合成完全一样。
例如：由上面的平行四边形可得分运动的位移、速度、加速度（运用已知条件解三角形）
4. 合运动的判断方法
物体实际进行的运动就是合运动。
要点五、合运动与分运动、分运动与分运动之间的关系
要点诠释：
1、等时性
质点所做的各个分运动在同一时间里完成，各个分运动也当然的和合运动在同一时间里完成，也就是说，在一个具体问题的某一过程中，由一个分运动求得的时间和由合运动求得的时间是相同的。
2、等效性
各个分运动合成后的综合效果与合运动的效果是完全相同的，否则运动的合成和分解便失去了意义。
3、独立性
同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，即每一个方向上的运动仅由这一方向质点的受力情况和初始条件决定。
【典型例题】
类型一、曲线运动的条件和性质
例1、（2019 淄博三中会考模拟）关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．曲线运动物体的速度方向保持不变
B．曲线运动一定是变速运动
C．物体受到变力作用时就做曲线运动
D．曲线运动的物体受到的合外力为零
【答案】B
【解析】既然是曲线运动，他的速度的方向必定是改变的，所以A错误，B正确。物体受到变力作用，但如果变力的方向和速度方向共线，物体仍做直线运动，为非匀变速直线运动，故C错，因曲线运动的速度方向必定改变，物体一定受到合力作用，合外力不可能为零，因此D错。
【点评】物体做曲线运动的条件是合力的方向与速度的方向不在同一条直线上，而合外力的大小和方向不一定变化。
例2、如图所示，一质点做加速曲线运动从M点到N点，当它经过Ｐ点时，其速度v和加速度a的方向关系正确的是（　　　）

【思路点拨】准确的理解质点从M点到N点做加速曲线运动是解题的关键和突破口。
【答案】C
【解析】物体从M到N做加速运动，说明a的切向分量与v同向，曲线运动的合外力一定指向曲线凹的一侧，其加速度也一定指向曲线凹的一侧，所以正确答案C。
【总结升华】做曲线运动的物体所受到合外力的切向分量和法向分量分别起着改变速度的大小和方向的作用。做曲线运动的物体其所受合外力方向一定指向轨迹的内侧。
举一反三
【高清课程：运动的合成与分解 例1】
【变式】某质点在恒力F作用下，从A点沿下图中曲线运动到B点，到达B点后，质点受到的力大小仍为F，但方向相反，则它从B点开始的运动轨迹可能是图中的（  ）

A．曲线a    B．直线b     
C．曲线c       D．三条曲线均有可能
【答案】A

类型二、分运动与合运动的特点和应用
例3、（2020 吉林省松原市扶余一中模拟）关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B．两个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动
C．只要两个分运动是直线运动，那么合运动也一定是直线运动
D．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等
【答案】D
【解析】根据平行四边形定则，知合速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能与分速度相等，故A错误。两个初速度不为零的互成角度的匀加速直线运动合成，不一定是曲线运动，若合速度的方向与合加速度的方向在同一条直线上，合运动为直线运动，故B错误。两个分运动是直线运动，那么合运动也不一定是直线运动，比如平抛运动，故C错误。分运动与合运动具有等时性，故D正确。故选D。
【点评】解决本题的关键掌握判断合运动是直线运动还是曲线运动的条件，以及知道分运动与合运动具有等时性。
举一反三
【变式1】关于运动的合成与分解，下述说法中正确的是（　　　）
A、合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和
B、物体的两个分运动是直线运动，则它的合运动一定是直线运动
C、合运动和分运动具有同时性
D、合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动
【答案】C
【解析】运动的合成与分解遵循平行四边形定则，故合速度的大小介于两分运动速度大小之差与两分运动速度大小之和之间，故A选项错误；
物体的两个分运动是直线运动，说明两个分力与两分速度各自在同一直线上，但两个分力的合力、两分速度的合速度方向却不一定在同一直线上，即两分运动是直线运动，合运动不一定是直线运动；反之，合运动是曲线运动，分运动也不一定就是曲线运动，故B、D选项错误。
当一个运动分解为两个分运动或几个分运动时，几个分运动各自遵循独立的运动规律而不相互干扰，但合运动与分运动，分运动与分运动间运动时间相同，同时进行，具有等时性，故选项C正确。
【变式2】若一个物体的运动是两个独立的分运动合成，则错误的是（　　　）
A、若其中一个分运动是变速运动，另一个分运动是匀变速直线运动，则物体的合运动一定是变速运动
B、若两个分运动都是匀速直线运动，则物体的合运动一定是匀速直线运动
C、若其中一个是匀变速直线运动，另一个是匀变速直线运动，则物体的运动一定是曲线运动
D、若其中一个分运动是匀加速直线运动，另一个分运动是匀减速直线运动，合运动可以是曲线运动
【答案】C
【解析】运动的合成与分解实际上就是对描述运动的几个物理量位移、速度、加速度的合成与分解，然后根据加速度与速度的方向关系来判断物体的具体运动状态。
类型三、渡河问题
例4、河宽为d，水流速度为，小汽艇在静水中航行的速度为，且，如果小汽艇航向与河岸成角，斜向上游航行，求：
（1）它过河需要多少时间？
（2）到达对岸的位置？
（3）若以最短的时间渡河，航向应如何？
（4）若要直达正对岸，航向又应怎样？
【思路点拨】船同时参与了相对于水流的运动和随水流顺水而下两个运动，船对地的运动是这两个运动的合运动。同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，可根据各个分运动的规律来求解问题。
【解析】如图，船同时参与了相对于水流的运动和随水流顺水而下两个运动，船对地的运动是这两个运动的合运动。同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，可根据各个分运动的规律来求解问题。

（1）根据分运动与合运动的独立性和等时性，过河时间可按下列三种方法计算：

根据本题可知。
（2）如上图，C点是O点正对岸上的一点，以v1 、v2 为邻边做平行四边形，合速度的方向沿着OA ，则

（3）要用最短的时间过河，船过河所用的时间
，
可以看出，当即船头指向正对岸时，最小。
（4）如果直达正对岸，即
，
则有，
即 。
【总结升华】（1）要正确理解渡河问题：
①船速v船大小确定时，船头指向与河岸垂直时，小船有最短渡河时间。最短渡河时间与水流速度无关。如图：

② 当船速v船大于水速v水时，实际运动方向（合速度的方向）与河岸垂直时渡河位移最小，最小位移s等于河宽d；
当船速v船小于水速v水时，当船头指向和实际运动方向垂直时，渡河位移最小，为。如图：

（2）灵活的运用数学知识是解决具有一定难度物理问题的关键，注意体会和运用。
举一反三
【高清课程：运动的合成与分解 例3】
【变式】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人.假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2．战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d．如战士想在最短时间内将人
送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )

【答案】C

类型四、关联速度问题
例5、如图示，以速度沿竖直杆匀速下滑的物体A，用细绳通过定滑轮拉物体B在水平面上运动，当绳与水平面夹角为时，物体B运动的速率是_______。








【思路点拨】B物体的速率就是绳子的速率，但是绳子的速率并不是A物体的速率。弄清楚绳子的速率和A物体的速率之间的关系是解题的关键。
【答案】
【解析】此沿杆竖直向下的速度即是物体A的合速度，B的速度是在沿绳子方向上的一个分速度，也就是说，物体 A的速度分解为沿着绳子方向上的v1和垂直于绳子方向的速度v2 ，做出的平行四边形是矩形，由此得到B物体的速度是v1=。

【总结升华】弄清哪个是合运动是解题的关键。
举一反三
【变式】 如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角是，此时物体M的速度的大小？

【解析】物体M的速率即右端绳子上移的速率，而右端绳子上移的速率与左端绳子在沿绳子方向的速率是相等的，此速率可以由左端绳子与汽车相连的端点的运动速度分解而得到这个端点实际上是和汽车一起水平向左以速度v运动。实际速度v即是合速度。
左端绳子有两个运动效果，一是沿绳的方向拉长；二是绕滑轮顺时针转动。如图所示把v分解到沿绳子的方向和与绳子垂直的方向，则沿绳的方向的速率即是物体M的速率。

由平行四边形法则得：即是M的速率。

抛体运动解题技巧
编稿： 审稿：
【学习目标】
1、理解抛体运动的特点，掌握匀变速曲线运动的处理方法；
2、理解平抛运动的性质，掌握平抛运动规律；
3、能将匀变速直线运动的规律、运动合成与分解的方法，顺利的迁移到抛体运动中，以解决抛体（曲线）运动问题。
【要点梳理】
要点一、抛体运动的定义、性质及分类
要点诠释：
1、抛体运动的定义及性质
（1）定义：以一定初速度抛出且只在重力作用下的运动叫抛体运动。
（2）理解：
①物体只受重力，重力认为是恒力，方向竖直向下；
②初速度不为零，物体的初速度方向可以与重力的方向成任意角度；
③抛体运动是一理想化模型，因为它忽略了实际运动中空气的阻力，也忽略了重力大小和方向的变化。
（3）性质：抛体运动是匀变速运动，因为它受到恒定的重力mg作用，其加速度是恒定的重力加速度g。
2、抛体运动的分类
按初速度的方向抛体运动可以分为:
竖直上抛：初速度v0竖直向上，与重力方向相反，物体做匀减速直线运动；
竖直下抛：初速度v0竖直向下，与重力方向相同，物体做匀加速直线运动；
斜上抛： 初速度v0的方向与重力的方向成钝角，物体做匀变速曲线运动；
斜下抛：初速度v0的方向与重力的方向成锐角，物体做匀变速曲线运动；
平抛：初速度v0的方向与重力的方向成直角，即物体以水平速度抛出，物体做匀变速曲线运动；
3、匀变速曲线运动的处理方法
以解决问题方便为原则，建立合适的坐标系，将曲线运动分解为两个方向的匀变速直线运动或者分解为一个方向的匀速直线运动和另一个方向的匀变速直线运动加以解决。
要点二、抛体运动需要解决的几个问题
要点诠释：
1、抛体的位置
抛体运动位置的描写：除上抛和下抛运动，一般来说，抛体运动是平面曲线运动，任意时刻的位置要由两个坐标来描写，建立坐标系，弄清在两个方向上物体分别做什么运动，写出x、y两个方向上的位移时间关系，x=x(t) y=y(t) ，问题得到解决。
2、轨迹的确定
由两个方向上的运动学方程x=x(t) y=y(t)消除时间t，得到轨迹方程y=f(x)。
3、合速度及合加速度的确定
弄清在两个方向上物体分别做什么运动，写出经时间t物体在x、y两个方向上的分速度vx vy ，由平行四边形法则，可以求得任意时刻的瞬时速度v。
加速度的求法如速度求法一样。
要点三、平抛运动的规律
要点诠释：
1、平抛运动的条件和性质
（1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。
（2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。
2、平抛运动的规律
规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动，
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
合速度：大小：即，
方向：v与水平方向夹角为，即
合位移：大小：即，
方向：S与水平方向夹角为，即
一个关系： ，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如图所示:

3、对平抛运动的研究
（1）平抛运动在空中的飞行时间
由竖直方向上的自由落体运动可以得到时间
可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。
（2）平抛运动的射程
由平抛运动的轨迹方程可以写出其水平射程
可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。
（3）平抛运动轨迹的研究
平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。
要点四、斜上抛运动的规律（建立水平和竖直两个方向的直角坐标系）
要点诠释：
1、运动规律
水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动
水平位移；
竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动
任意时刻的速度和位移分别是
2、轨迹方程
，是一条抛物线如图所示：
Y


V0y V0


o V0x X










3、对斜抛运动的研究
（1）斜抛物体的飞行时间：
当物体落地时，由 知，飞行时间
（2）斜抛物体的射程：
由轨迹方程
令y=0得落回抛出高度时的水平射程是
两条结论：
①当抛射角时射程最远，
②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。
（3）斜上抛运动的射高：
斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时
代入即得到抛体所能达到的最大高度
可以看出，当时，射高最大
【典型例题】
类型一：对平抛运动特点的理解和应用
例1、从某一高度以平抛出小球，经t秒小球速度的变化量是 。
【思路点拨】经t秒小球速度的变化量，是t秒末的瞬时速度v与初速v0 的矢量差，要由平行四边形定则求得。
【解析】经t秒小球速度的变化量，是t秒末的瞬时速度v与初速v0 的矢量差，要由平行四边形定则求得。
（方法一）由矢量差求速度的变化
由t秒末的速度v和初速度v0做出速度三角形如图所示，速度的变化量 方向竖直向下；

（方法二）：由匀变速运动的意义求速度的变化
平抛物体在水平方向上做匀速运动，速度不发生变化，因此速度的变化只是由竖直方向上的自由落体加速度引起的，所以经t 秒速度的变化量就是， 方向是重力加速度的方向，竖直向下。
【总结升华】速度是矢量，速度的变化是矢量差，不等于简单的数值相减，应引起足够的重视。
举一反三
【变式1】在同一高处有两个小球同时开始运动，一个以水平初速抛出，另一个自由落下，在它们运动过程中的每一时刻，有（ ）
A. 加速度不同，速度相同 B. 加速度相同，速度不同
C. 下落的高度相同，位移不同 D. 下落的高度不同，位移不同
【答案】BC
【解析】平抛运动和自由落体运动的受力情况是相同的，它们的加速度是相同的；不同的是平抛运动同时参与了两个分运动，速度和位移分别是相应的两个分速度和分位移的合成，因此，经过相同的时间后它们的速度和位移是不同的。正确的答案是BC。
【变式2】从同一高度以不同速度同时水平抛出两个质量不同的石子，若不计空气阻力下列说法正确的是（ ）
A．质量大的先落地 B．两石子同时落地
C．质量大的落地时距出发点水平距离近 D．速度大的落地时距出发点水平距离远
【答案】BD
类型二：用运动的合成和分解解决问题
例2、一小球以初速度水平抛出，落地时速度为，阻力不计。求：
（1）小球在空中飞行时间t。
（2）抛出点离落地点的高度H。
（3）小球的水平射程x。
（4）小球的位移S。
【思路点拨】小球做平抛运动，空气阻力不计，则加速度为g，本题要求的四个物理量都要用已知量，和g来表述，应明确平抛运动是两种运动的合运动，按运动的合成分解、运动的独立性原理、合运动和分运动的等时性原理来思考。
【解析】依题意做出平抛的轨迹并将落地时的速度分解，如图所示：

（1）小球落地时速度的竖直分量是：，
而由落地时的速度三角形可得，
所以，小球的飞行时间是
（2）在竖直方向是自由落体运动，∴
（3）在水平方向是匀速直线运动。
（4）小球的位移，
位移的方向
【总结升华】
① 例题全面反映了平抛运动中各个物理量之间的关系，具有典型性。
②不能用求，因为在中学阶段这些公式是匀变速直线运动的公式，大都是代数运算处理的，平抛运动是曲线运动，所以不能用。
不能用求，因为S是曲线运动的位移，不是匀变速直线运动的位移，但平抛运动在竖直方向上是匀变速直线运动，公式依旧成立。
举一反三
【变式1】（2019 拉萨中学期末考）物体做平抛运动时，描述物体在竖直方向的分速度vy（取向下为正）随时间变化的图线是图中的哪一个（ ）

【答案】D
【解析】 做平抛运动的物体，在竖直方向做自由落体运动，，由于g为恒值，所以与g成正比，故在图像中为过原点的一条倾斜直线，D正确。
【变式2】如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴抛出，经过一段时间到达P点，其坐标为，作小球轨迹在P点的切线并反向延长与轴交于Q点，则Q的横坐标为（ ）
A. B. C. D.

【答案】C
类型三：抛体运动的极值问题
例3、如图所示，与水平面成θ角将一小球以v0的初速度抛出，不计空气阻力，求：

（1）抛出多长时间小球距水平面最远？最远距离为多少？
（2）θ角为多少度时，小球具有最大射程？最大射程为多少？
【思路点拨】小球做斜抛运动，可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线运动来求解。当小球在竖直方向上的分速度为零时，小球达到最高点，距水平面最远；当小球在竖直方向上的位移为零时，小球的水平最大射程。
【解析】（1）小球抛出后做斜抛运动，以抛出点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立直角坐标系.
当小球在竖直方向上的分速度为零时，小球达到最高点，
即，解得
此时小球距地面高度为
（2）设小球做斜抛运动的水平最大射程为x，
当小球在竖直方向上的位移为零时，小球的水平最大射程
此时， 解得
所以小球的水平最大射程为
即当θ角为450时，x有最大射程
【总结升华】解题中，我们一定要熟悉物体的运动情景，熟练把握运动中出现极值问题的条件。
举一反三
【高清课程：抛体运动解题技巧 例2】
【变式】如图所示，排球场总长为L，设网高度为H，运动员站在离网距离为d的击球线上正对网前跳起将球水平击出．
⑴设击球点的高度为h，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界．
⑵若击球点的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大？球不是触网就是越界，试求出这个高度h’．

【答案】
类型四：抛体运动的应用问题
例4、（2020 铜仁一中月考）抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。（设重力加速度为g）

（1）若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台的P1（如图实线所示），求P1点距O点的距离s1；
（2）若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2点（如图虚线所示），求v2的大小；
（3）若球在O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘只处，求发球点距O点的高度h3。
【思路点拨】（1）根据高度求出平抛运动的时间，再根据初速度和时间求出水平位移。
（2）若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网，知平抛的高度等于网高，从而得知平抛运动的时间，根据运动的对称性求出平抛运动的位移，再根据水平位移和时间求出平抛的初速度。
（3）根据抛体运动的特点求出小球越过网到达最高点的水平位移，从而得知小球反弹到球网时的水平位移，对反弹运动采取逆向思维，抓住水平方向和竖直方向运动的等时性求出小球越过网到最高点的竖直位移与整个竖直位移的比值，从而求出发球点距O点的高度。
【解析】（1）设发球时飞行时间为t1，
根据平抛运动有：，s1=v1t1，
解得：
（2）设发球高度为h2，飞行时间为t2，
同理有：=，x2=v2t2，
且h2=h，2x2=L，
得：
（3）设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，根据抛体运动的特点及反弹的对称性，知反弹到最高点的水平位移为，
则反弹到越过球网的水平位移为。
在水平方向上做匀速直线运动，所以从越过球网到最高点所 用的时间和从反弹到最高点的时间比为1∶2。
对反弹到最高点的运动采取逆向思维，根据水平方向上的运动和竖直方向上的运动具有等时性，知越过球网到最高点竖直方向上的时间和反弹到最高点在竖直方向上的时间比为1∶2。
根据：得知越过球网到最高点竖直方向上的位移和反弹到最高点的位移为1∶4，
即：，
解得：
举一反三
【高清课程：抛体运动解题技巧 例4】
【变式】做杂技表演的汽车从高台水平飞出，在空中运动后着地，一架照相机通过多次曝光，拍摄得到汽车在着地前后一段时间内的运动照片如图所示(虚线为正方形格子)．已知汽车长度为3.6 m，相邻两次曝光的时间间隔相等，由照片可推算出汽车离开高台时的瞬时速度大小为_____m／s，高台离地面高度为______m．

【答案】

实验：研究平抛运动
编稿： 审稿：
【学习目标】
1. 用实验与理论进行探究、分析，认识平抛运动的规律；
2. 用实验方法描出平抛物体的运动轨迹；
3. 根据平抛运动的轨迹确定平抛物体的初速度；
4. 理解实验探究的意义，学会构思实验方案，组织实验器材，完成实验探究或者是验证，并会分析实验现象获得实验结论。
【要点梳理】
要点一、探究平抛运动规律的思路
1.物体做平抛运动的条件是物体只受重力作用，且具有水平的初速度，即恒定的重力与初速度方向垂直，平抛运动是曲线运动。
因为平抛运动的物体在水平方向不受力的作用，在竖直方向上只受到恒定的重力作用。因此可将平抛运动分解为水平方向和竖直方向的两个直线运动。
2.分析在这两个方向上物体的受力情况，结合初始条件，运用牛顿第二定律推测在这两个方向上物体分别做什么运动。
如：在水平方向上物体不受力，应该以平抛的初速度做匀速直线运动；在竖直方向物体只受重力，且初速度为零，应该做自由落体运动。
3.设计实验，分别验证物体在这两个方向上的运动是否和猜想一致。
要点二、探究平抛运动规律的实验方法
实验方法即应该怎样验证物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，现介绍两种方法——对比实验法和描迹论证法。
一、对比实验法
对比实验法即将平抛运动和自由落体同时进行，对比试验；将平抛运动和水平方向上的匀速运动对比试验。
（1）创设一个情景，让物体做平抛运动的同时，另一个物体以相同的初速度在水平面上做匀速直线运动，并且使两个物体运动的初始位置在同一竖直线上。
若两个物体在运动过程始终在同一条竖直线上，或者平抛运动的物体恰好和匀速直线运动的物体相遇，便可以说明平抛运动的物体在水平方向的运动和匀速直线运动一样，是匀速直线运动，否则便不是。
（2）创设一个情景，让物体做平抛运动的同时，另一个物体从同一位置做自由落体运动。
若两个物体在运动过程始终在同一条水平线上，或者平抛运动的物体恰好和自由落体运动的物体同时落地，便可以说明平抛运动的物体在竖直方向的运动和自由落体运动一样，是自由落体运动，否则便不是。
二、描迹探究法
因为物体在不同方向上的分运动具有同时性，只要研究物体在两个方向上的位移关系——弄清物体的运动轨迹，适当的引进时间参数，便可以由一个方向的运动推知另一个方向的运动。
（1）描出平抛物体运动的轨迹
（2）研究水平运动和竖直运动的相互关系，印证猜想是否正确。
要点三、根据平抛运动的轨迹确定平抛物体的初速度
1.实验原理
平抛物体的运动，可以看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，因而物体在任意时刻t的坐标x和y可以用下列公式求出：
x=v0t ①
②
从①和②消去t，得
因此平抛物体的运动轨迹为一抛物线。
平抛物体运动轨迹上任一点的位置均可用水平位移x和竖直位移y来确定。反过来，已知平抛运动的轨迹，我们就可以求得轨迹上任一点的水平位移x和竖直位移y，再根据公式求出平抛物体的飞行时间，继而利用公式x=v0t求出物体做平抛运动的初速度。
2.实验操作
（1）安装调整斜槽：用图钉把白纸钉在竖直板上，在木板的左上角固定斜槽，可用平衡法调整斜槽，即将小球轻放在斜槽平直部分的末端处，能使小球在平直轨道上的任意位置静止，就表明水平已调好。
（2）调整木板：用悬挂在槽口的重锤线把木板调整到竖直方向，并使木板平面与小球下落的竖直面平行。然后把重锤线方向记录到钉在木板的白纸上，固定木板，使在重复实验的过程中，木板与斜槽的相对位置保持不变。
（3）确定坐标系：把小球放在槽口处，用铅笔记下球在槽口时球心在图板上的水平投影点O，O点即为坐标原点(O点不是槽口的端点)。用铅笔记录在白纸上。用重锤线确定Y轴。
（4）描绘运动轨迹：在木板的平面上用手按住卡片，使卡片上有孔的一面保持水平，调整卡片的位置，使从槽上滚下的小球正好穿过卡片的孔，而不擦碰孔的边缘，然后用铅笔在卡片的缺口上点个黑点，这就在白纸上记下了小球穿过孔时球心所对应的位置。
保证小球每次从斜槽上一固定位置无初速释放，用同样的方法，可找出小球平抛轨迹上的一系列位置。取下白纸用平滑的曲线把这些位置连接起来即得小球做平抛运动的轨迹。
（5）计算初速度，如图所示，以O点为原点画出竖直向下的y轴和水平向右的x轴，并在曲线上选取A、B、C、D、E、F六个不同的点，用刻度尺和三角板测出它们的坐标x和y，用公式x=v0t和计算出小球的初速度v0，最后计算出v0的平均值。

位置
x值/cm
y值/cm
v0
v0的平均值
A
　
　
　
　
B
　
　
　
C
　
　
　
D
　
　
　
E
　
　
　
F
　
　
　
3.注意事项
（1）实验中必须保持通过斜槽末端点的切线水平，方木板必须处在竖直面内且与小球运动轨迹所在的竖直平面平行，并使小球的运动靠近图板但不接触。
（2）小球必须每次从斜槽上同一位置滚下，即在斜槽上固定一个挡板（不要用手放）。
（3）坐标原点（小球做平抛运动的起点）不是槽口的端点，应是小球在槽口时，球的球心在木板上的水平投影点，即端点上r（小球半径）处。
（4）要在斜轨上适当的高度释放小球，使它以适当的水平初速度抛出，其轨道由图板左上角到达右下角，这样可以减小测量误差。
（5）要在平抛轨道上选取距O点远些的点来计算球的初速度，这样可使结果的误差较小。

【典型例题】
类型一、对实验操作的考察
例1、（2020 抚州市临川一中期中考试）在做“研究平抛运动”的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画小球作平抛运动的轨迹并计算初速度。
（1）为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上：________。
A．通过调节使斜槽的末段保持水平
B．应该利用天平测出小球的质量
C．每次必须由静止释放小球
D．每次释放小球的位置必须相同
E．应该用秒表测出小球运动的时间
F．应该用重锤线画出竖直轴y轴
G．将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
（2）某同学根据所描绘出的运动轨迹，测量了轨迹上的不同点的坐标值。根据所测到的数据以y为纵坐标，以x2为横坐标，在坐标纸上画出对应的图象，发现为过原点的直线。并测出直线斜率为k，已知当地的重力加速度为g，则初速度v0=________。
【答案】（1）ACDF （2）
【解析】（1）为了保证小球水平飞出，则斜槽的末端切线保持水平，故A正确；
本实验不需要知道小球的质量，故B错误；
为了保证小球平抛运动的初速度相同，则每次从同一高度由静止释放小球，故CD正确；
平抛运动的时间由高度决定，不需要用秒表测量时间，故E错误；
建立坐标系时，因为实际的坐标原点为小球在末端时球心在白纸上的投影，用重锤线画出竖直轴y轴，故F正确；
要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些，并用平滑曲线连接，实验中，记录小球位置的白纸不能移动，故G错误。
（2）根据及x=v0t，解得：，则，解得：。
【总结升华】对于基本实验仪器不光要了解其工作原理，还要从实践上去了解它。
举一反三
【高清课程：实验：研究平抛运动 例3】
【变式1】在做“研究平抛运动”实验中应采取下列哪些措施可减小误差 （　 ）
A．斜槽轨道必须光滑
B．斜槽水平部分轨道必须水平
C．每次要平衡摩擦力
D．小球每次应从斜槽上同一高度释放
E. 在曲线上取作计算的点离原点O较远
【答案】BDE
【高清课程：实验：研究平抛运动 例4】
【变式2】在做“研究平抛运动”的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点法画出小球做平抛运动的轨迹，为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上：＿＿＿＿＿
A．通过调节使斜槽的末端保持水平
B．每次释放小球的位置必须不同
C．每次必须由静止释放小球
D．记录小球位置用的木条(或凹槽)每次必须严格地等距 离下降
E．小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相触
F．将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线

【答案】ACE
类型二、对实验结果的分析
例2、在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，如图所示。已知小方格的边长为，小球在平抛运动途中的几个位置为图中的a、b、c、d所示，取，则
（1）小球平抛的初速度的计算式为 （用表示），其值是 。
（2）求小球在b点速率大小为 。

【思路点拨】由方格纸上读出有关水平和竖直两个方向的运动信息，进行求解。解此题关键在于对所给图的分析：在竖直方向从a 点起，各点间的位移是1∶2∶3，所以a点不是平抛的起点。

【答案】（1） 0.7m/s （2）0.875m/s
【解析】（1）解法一：设的时间为t，在水平方向因为匀速运动则有……①
设在a点其竖直分速度的，a和b的高度差为，b和c间为；c与d之间为，则有：

可得
由图知
所以
将②代入①
由可知：

解法二：平抛运动可分解为竖直方向上的初速度是零自由落体运动，在水平方向上的初速为的匀速直线运动，所以

把可知：

（2）小球由a—b—c时间间隔相同，b为中间时刻，在竖直方向上的分运动b点也是分运动的中间时刻，那么它的y方向分速度大小等于平均速度大小．
　　　即
水平速度
　　　根据平行四边形法则，小球在b点速率为：

　【总结升华】解题关键：（1）小球在平抛运动途中的几个位置a、b、c、d 的水平间距相等，意味着小球途经各个点的时间间隔相等；（2）匀变速直线运动满足关系。
举一反三
【变式】（2019 合肥市期末考）如图实线为某质点平抛运动轨迹的一部分， AB、BC间水平距离△s1＝△s2＝0.4m，高度差△h1＝0.25m，△h2＝0.35m．
求：（1）抛出初速度v0为 。
（2）由抛出点到A点的时间为 。（g=10m/s2）

【答案】(1)4M/S (2)0.2S
类型三、研究平抛物体的运动实验的创新设计及应用
例3、根据平抛运动规律，设计一个测玩具枪子弹初速度的方案．
(1)画出测量原理图；
(2)说明要测量的物理量，并导出初速度的表达式．
【思路点拨】将玩具枪水平放置，子弹出膛后做平抛运动，自枪口为起点，测出一段时间内的水平距离和竖直方向的距离，根据平抛运动知识可设计出测量原理，并能推导出初速度表达式。
【解析】(1)将玩具枪水平放置，靶子放在适当远的地方，竖直放在水平地面上，如图所示．

(2)用刻度尺测出枪口离地面的高度H，枪口与靶子间的水平距离x，弹孔离地面的高度h．
由平抛运动规律，得，
．
由①②解得，即为子弹初速度的表达式．
【总结升华】“研究平抛物体的运动”这一实验是根据平抛运动的特点：水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动设计的．在不改变实验原理的情况下，对实验的装置可进行大胆地创新设计．
举一反三
【变式】做杂技表演的汽车从高台水平飞出，在空中运动后着地，一架照相机通过多次曝光，拍摄到汽车在着地前后一段时间内的运动照片如图所示(虚线为正方形格子)．已知汽车长度为3.6 m，相邻两次曝光的时间间隔相等，由照片可推算出汽车离开高台时的瞬时速度大小为________m/s．高台离地面的高度为________m．(g取10m/s2)

【答案】12 11.25
【解析】由照片知在前两次曝光的时间间隔内，竖直位移之差：△y＝l＝3.6 m．
又△y＝gT2，所以，曝光时间：．
曝光时间内的水平位移：m，所以m/s＝12 m/s．
第二次曝光时车的竖直速度：m/s＝9 m/s，
此时，车下落的时间：，
从开始到落地的总时间：，
故高台离地面的高度：＝11.25m．
【总结升华】用频闪照相的方法研究平抛运动的关键是通过背景获取位移信息建立平抛运动模型，利用平抛运动规律解题．
圆周运动和向心加速度
编稿： 审稿：
【学习目标】
1、理解匀速圆周运动的特点，掌握描述匀速圆周运动快慢的几个物理量：线速度、角速度、周期、转速的定义，理解它们的物理意义并能灵活的运用它们解决问题。
2、理解并掌握描写圆周运动的各个物理量之间的关系。
3、理解匀速圆周运动的周期性的确切含义。
4、理解向心加速度产生的原因和计算方法。
【要点梳理】
要点一、圆周运动的线速度
要点诠释：
1、线速度的定义：
圆周运动中，物体通过的弧长与所用时间的比值，称为圆周运动的线速度。
公式： （比值越大，说明线速度越大）
方向：沿着圆周上各点的切线方向
单位：m/s
2、 说明
1）线速度是指物体做圆周运动时的瞬时速度。
2）线速度的方向就是圆周上某点的切线方向
线速度的大小是的比值。所以是矢量。
3）匀速圆周运动是一个线速度大小不变的圆周运动。
4）线速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要取得足够小，公式计算的结果就是瞬时线速度
注：匀速圆周运动中的“匀速”二字的含义：仅指速率不变，但速度的方向（曲线上某点的切线方向）时刻在变化。
要点二、描写圆周运动的角速度
要点诠释：
1、角速度的定义：
圆周运动物体与圆心的连线扫过的角度与所用时间的比值叫做角速度。
公式：
单位：(弧度每秒)
2、说明：
1)这里的必须是弧度制的角。
2）对于匀速圆周运动来说，这个比值是恒定的，即匀速圆周运动是角速度保持不变的圆周运动。
3）角速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要取得足够小，公式计算的结果就是瞬时角速度。
4)关于的方向：中学阶段不研究。
5）同一个转动的物体上，各点的角速度相等
例如：木棒以它上面的一点为轴匀速转动时，它上面的各点与圆心的连线在相等时间内扫过的角度相等。

即：
3、关于弧度制的介绍
(1)角有两种度量单位：角度制和弧度制
(2)角度制：将一个圆的周长分为360份，其中的一份对应的圆心角为一度。因此一个周角是3600，平角和直角分别是1800和900。
(3)弧度制：定义半径长的弧所对应的圆心角为一弧度，符号为rad。一段长为的圆弧对应的圆心角是 rad,
(4)特殊角的弧度值：在此定义下，一个周角对应的弧度数是：；平角和直角分别是 （rad）。
（5）同一个角的角度和用弧度制度量的之间的关系是：rad ,
要点三、匀速圆周运动的周期与转速
要点诠释：
1、周期的定义：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，单位：。
它描写了圆周运动的重复性。
2、周期T的意义：不难看到，周期是圆周运动的线速度大小和方向完全恢复初始状态所用的最小时间；周期长说明圆周运动的物体转动得慢，周期短说明转动得快。
观察与思考：同学们看一看你所戴的手表或者墙上钟表上的时、分、秒针，它们的周期分别是多少？想一想角速度和周期的关系如何？（秒针的周期最小，其针尖的最大，也最大。）
3、匀速圆周运动的转速
转速n：指转动物体单位时间内转过的圈数。
单位： r/s（转每秒），常用的单位还有(转每分)
关系式：s(n单位为r/s)或s(n单位为r/min)
注意：转速与角速度单位的区别：
要点四、描述圆周运动快慢的几个物理量的相互关系
要点诠释：
因为这几个都是描述圆周运动快慢，所以它们之间必然有内在联系
1、线速度、角速度和周期的关系
匀速圆周运动的线速度和周期的关系
匀速圆周运动的角速度和周期的关系
匀速圆周运动的角速度和周期有确定的对应关系：角速度与周期成反比。
2、线速度、角速度与转速的关系：
匀速圆周运动的线速度与转速的关系：（n的单位是r/s）
匀速圆周运动的角速度与转速的关系：（n的单位是r/s）
3、线速度和角速度的关系：
(1)线速度和角速度关系的推导：
特例推导：
设物体沿半径为的圆周做匀速圆周运动，在一个Ｔ时间内转过的弧长及角度，则：
一般意义上的推导：
由线速度的定义：
而，所以
又因为，所以
(2) 线速度和角速度的关系：
可知：，。
同理： 一定时，一定时。
(3)对于线速度与角速度关系的理解：
是一种瞬时对应关系，即某一时刻的线速度与这一时刻的角速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动。
【高清课程：圆周运动和向心加速度 向心加速度】
要点五、圆周运动的向心加速度
要点诠释：
1、向心加速度产生的原因：向心加速度由物体所受到的向心力产生,根据牛顿第二定律知道，其大小由向心力的大小和物体的质量决定。
2、向心加速度大小的计算方法：
（1）由牛顿第二定律计算： ；
（2）由运动学公式计算：
如果是匀速圆周运动则有：
3、向心加速度的方向：沿着半径指向圆心，时刻在发生变化，是一个变量。
4、向心加速度的意义：在一个半径一定的圆周运动中，向心加速度描述的是线速度方向改变的快慢。
5、关于向心加速度的说明
（1）从运动学上看：速度方向时刻在发生变化，总是有必然有向心加速度；
（2）从动力学上看：沿着半径方向上指向圆心的的合外力必然产生指向圆心的向心加速度。
加速度是个矢量，既有大小又有方向，匀速圆周运动中加速度大小不变，而方向却不断变化。因此，匀速圆周运动不是匀变速运动。
【典型例题】
类型一、描述匀速圆周运动的各个物理量
例1、一个直径为1.4m的圆盘以中心为轴匀速转动，转速为2转/秒，求圆盘边缘一点的线速度、角速度、周期和向心加速度。
【思路点拨】熟练的运用描写圆周运动的各个物理量之间的关系，可顺利的解题
【解析】由题意可知，
再根据公式，
可得：。
【总结升华】熟练的运用描写圆周运动的各个物理量之间的关系，可顺利的解题。
例2、 (2019 海南会考模拟)如图所示，钟表的秒针、分针、时针转动周期、角速度都不同，下列说法中正确的是（ ）

A．秒针的周期最大，角速度最大 B．秒针的周期最小，角速度最大
C．时针的周期最大，角速度最大 D．时针的周期最小，角速度最大
【答案】B
【解析】时针的周期是12h，分针的周期是1h，秒针的周期是1min，秒针的周期最小，根据可知秒针的角速度最大，故A错误B正确；时针的周期是12h，分针的周期是1h，秒针的周期是1min，时针的周期最大，根据可知时针的角速度最小，故CD错误。
【总结升华】该题为基本公式的应用，一定要搞清楚时针、分针、秒针的周期。
举一反三
【变式】电风扇叶片边缘一点的线速度为56.7m/s，若它转动半径为18cm，求电扇转动的角速度和周期。
【解析】根据线速度与角速度的关系得

类型二、向心加速度的计算
例3、在长20cm的细绳的一端系一个小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以5m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，求小球运动的向心加速度和转动的角速度。
【思路点拨】小球在水平桌面上做匀速圆周运动，可根据向心加速度公式和线速度与角速度的关系求解。
【解析】由题意可知根据向心加速度的计算公式

例4、如图所示，定滑轮的半径，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度＝2m/s做匀加速运动。在重物由静止下落距离为1m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度多大？向心加速度多大？

【思路点拨】这是一个关于变速圆周运动向心加速度计算的问题。物体的速度时刻等于轮缘上一点的线速度，求出物体下落1m时的瞬时速度，然后利用角速度、向心加速度和线速度的关系可以求解。
【解析】 (1)重物下落1m时，瞬时速度为
显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2m/s，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动角速度为：
(2)向心加速度为：
【总结升华】此题讨论的是变速运动问题，重物落下的过程中滑轮转动的角速度，轮上各点的线速度都在不断增加，但在任何时刻角速度与线速度的关系，向心加速度与角速度、线速度的关系仍然成立。
类型三、皮带传动问题
例5、如图，主动轮匀速转动，通过皮带不打滑地带动从动轮转动，已知分别为上的中点，轮边缘上一点，轮边缘上一点，为皮带上一点。试比较：

（1）A、B、C点线速度的大小？
（2）A、B、E、F各点角速度的大小？
（3）E、F点线速度的大小？
【思路点拨】分析比较各个点运动情况的异同，建立相互关系是解题的切入点。
【解析】（1）因为皮带传动过程与轮子不打滑，所以A、B、C三个点可以看成是皮带上的三个点，相同时间必定通过相同的路程，因此，A、B、C点的线速度相等，这也是两个轮子的联系。
即
（2）比较各点角速度：
比较应通过入手分析


因为A、F是同一物体上的点，角速度必然相等即，同理
所以
（3）由

【总结升华】（1）同一转动物体上的各点，角速度必然相等；（2）皮带传动时，与皮带接触的点线速度相等。
例6、如图所示为录音机在工作时的示意图，轮子1是主动轮，轮子2为从动轮，轮1和轮2就是磁带盒内的两个转盘，空带一边半径为r1＝0.5cm，满带一边半径为r2＝3cm，已知主动轮转速不变，恒为n1＝36 r/min，试求：

(1)从动轮2的转速变化范围；
(2)磁带运动的速度变化范围．
【解析】本题应抓住主动轮(r1)的角速度恒定不变这一特征，再根据同一时刻两轮磁带走动的线速度相等，从磁带转动时半径的变化来求解．
(1)因为，且两轮边缘上各点的线速度相等，所以，即．
当r2＝3cm时，从动轮2的转速最小，．当磁带走完，即r2＝0.5cm，r1＝3cm时，从动轮2的转速最大，为，故从动轮2的转速变化范围是6 r/min～216 r/min．
(2)由得知：
cm时，，
cm时，．
故磁带的速度变化范围是0.019 m/s～0.113 m/s．
【总结升华】解答本题的关键是掌握磁带传动装置中主动轮、从动轮上各点线速度、角速度之间的关系，并且注意从动轮转速的变化及磁带速度的变化是由于转动半径的变化引起的．
举一反三
【高清课程：圆周运动和向心加速度 例题】
【变式】图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r．b点在小轮上，到小轮中心的距离为r．c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑．则a、b、c、d的线速度之比 ；角速度之比 ；向心加速度之比 。



【答案】2:1:2:4 2:1:1:1 4:1:2:4

类型四、平抛运动和匀速圆周运动综合题
例7、如图所示，在半径为的水平放置的圆板中心轴上距圆板高为的A处以沿水平抛出一个小球，此时正在做匀速转动的圆板上的半径恰好转动到与平行的位置，要使小球与圆板只碰一次且落点为B。求：
（1）小球抛出的速度；
（2）圆板转动时的角速度ω。

【思路点拨】思维的切入点是分析小球落在B 点的条件,即：小球平抛落地时的水平位移是R,且圆盘在这段时间内转动了整数圈。
【解析】小球落在B 点的条件即：小球平抛落地时的水平位移是R 且圆盘在这段时间内转动了整数圈。
（1）“只碰一次”：若较小，小球有可能在圆板上弹跳几次后落在B点。
所以此小球第一次落至圆板上时的。由平抛运动的规律得

（2）因为圆板运动具有周期性，所以小球可在空中运动的时间t内，圆盘可能转动了整数圈，设圆板周期为Ｔ，则0，1，2，3……）。
所以圆盘的角速度1，2，3……）
【总结升华】解决圆周运动问题要充分注意到其周期性的特点;解决综合性的问题要重视分析物理现象发生的条件。
举一反三
【变式】（2019 河南校级模拟）如图所示，在水平匀速转动的圆盘圆心正上方一定高度处，若向同一方向以相同速度每秒抛出N个小球，不计空气阻力，发现小球仅在盘边缘共有6个均匀对称分布的落点，则圆盘转动的角速度可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】小球在盘边缘共有6个均匀分布的落点，说明每转动后就有一个小球落在圆盘的边缘，故（n=0，1，2，3……），，故角速度为：（n=0，1，2，3……），当n=0时，则，当n=1时，则，当n=2时，。
例8、（2020 哈尔滨三中测验）一同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘为L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直圆盘且过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是（ ）

A．dv02=L2g
B．
C．ωL=π(1+2n)v0，（n=0，1，2，3，…）
D．dω2=gπ2(1+2n)2，（n=0，1，2，3，…）
【答案】C
【解析】飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A点正好在最低点被击中。
设时间为t，飞镖飞行时间t和圆盘转动的周期满足：（n=0，1，2，3，…），由和L=v0t得：ωL=πv0，故B错误，C正确；
平抛的竖直位移为d，则，联立有，2dv02=gL2，故AD错误，故选C。
【点评】本题关键知道恰好击中A点，说明A点正好在最低点，利用匀速圆周运动和平抛运动规律联立求解。


圆周运动的向心力及其应用
编稿： 审稿：
【学习目标】
1、理解向心力的特点及其来源
2、理解匀速圆周运动的条件以及匀速圆周运动和变速圆周运动的区别
3、能够熟练地运用力学的基本方法解决圆周运动问题
5、理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和离心运动。
【要点梳理】
要点一、物体做匀速圆周运动的条件
要点诠释：
物体做匀速圆周运动的条件：具有一定速度的物体，在大小不变且方向总是与速度方向垂直的合外力的作用下做匀速圆周运动。
说明：从物体受到的合外力、初速度以及它们的方向关系上探讨物体的运动情况，是理解运动和力关系的基本方法。
要点二、关于向心力及其来源
1、向心力
要点诠释
（1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力.
（2）向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。
（3）向心力的大小：
向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积；
对于确定的物体，在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；
线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。
如果是匀速圆周运动则有：
（4）向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。
（5）关于向心力的说明：
①向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力；
②匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变速度的大小；
③无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变的，仅方向不断变化。
2、向心力的来源
要点诠释
（1）向心力不是一种特殊的力。重力(万有引力)、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以作为向心力。
（2）匀速圆周运动的实例及对应的向心力的来源 (如表所示)：

要点三、匀速圆周运动与变速圆周运动的区别
1、从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动
要点诠释：
（1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的合外力完全充当向心力的角色。
例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。
（2）在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。
例如用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，它的受力情况如图所示，物体受到线的拉力F拉和重力mg的作用，其合力分解为两个分量：向心力和切向力。

不难看出：
向心力改变着速度的方向，产生向心加速度；切向力与线速度的方向相同或者相反，改变着线速度的大小使得物体做变速圆周运动。
2、从圆周运动的规律看匀速圆周运动和变速圆周运动
要点诠释：
（1）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律
无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小总是：（公式中的每一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度。）
换一种说法就是：
在圆周运动中的任何时刻或位置，牛顿运动定律都成立，即
例如上面的例子，用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，在图中所示的位置用牛顿第二定律可得：


（2）只适用于匀速圆周运动的计算公式：

因为在匀速圆周运动的过程中各个量大小的平均值和瞬时值是相等的；如果将上式用在变速圆周运动中，计算的结果仅是一个意义不大的粗略的平均值。
要点四、圆周运动的实例
1、水平面上的圆周运动
要点诠释：
（1）圆锥摆运动：小球在细线的拉力和重力作用下的在水平面上的匀速圆周运动，如图所示：

O
F
l

m F向 O1 r

mg










①向心力来源：物体重力和线的拉力的合力，沿着水平方向指向圆心。
②力学方程：
③问题讨论：
a.物体加速度与夹角的关系：，向心加速度越大时，夹角越大。
b.角速度与夹角的关系：，可见角速度越大时，夹角越大。
（2）在水平圆盘上随圆盘一起转动物体
①向心力的来源：
如图，在竖直方向上重力和支持力平衡，物体做圆周运动的向心力由物体所受的静摩擦力提供。

②静摩擦力的方向：
当物体做匀速圆周运动时，这个静摩擦力沿着半径指向圆心；
当做变速圆周运动时，静摩擦力还有一个切线方向的分量存在，用来改变线速度的大小。
③静摩擦力的变化：
当水平圆盘的转速增大时，物体受到的静摩擦力也随之增大，当物体所需要的向心力大于最大静摩擦力时，物体将相对于圆盘滑动，变为滑动摩擦力。
2、竖直平面内的圆周运动
要点诠释：
（1）汽车过拱形桥
在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。对于匀速圆周运动处理起来一般比较方便。对于变速圆周运动，定量的计算通常是在圆周的最高点和最低点处用牛顿第二定律。例如：汽车通过半圆的拱形桥，因为桥面对汽车提供的只能是支持力。

①汽车在点位置Ⅰ最高时，对车由牛顿第二定律得：

为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即
从而解得车的速度应满足关系
（如果，在不计空气阻力的情况下，车将做平抛运动）
②汽车在位置Ⅱ时有
又 解得
（2）汽车通过圆弧型的凹处路面
如图在最低点处，对车运用牛顿第二定律得：


桥面对车的支持力
可见，随着车的速度增大，路面对车的支持力变大。
要点五、圆周运动中的超重与失重
1、超重与失重的判断标准
要点诠释：
（1）运动物体的加速度方向向上或者有向上的分量时，物体处于超重状态，物体对水平支持面的压力大于自身的重力。
（2）运动物体的加速度方向向下或者有向下的分量时，物体处于失重状态，物体对水平支持面的压力小于自身的重力。
2、圆周运动中的超重与失重现象
要点诠释：
（1）失重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最高点附近时，向心加速度竖直向下，物体对支持物的压力小于自身重力。
例如在拱形桥顶运动的汽车，由上面计算有，它对于桥面的压力小于重力。
（2）超重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最低点附近时，向心加速度竖直向上，物体对支持物的压力大于自身重力。
例如汽车通过圆弧型的凹处路面在最低点处， 桥面对车的支持力大于自身重力。
要点五、关于离心现象
1、外力提供的向心力与做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响
要点诠释：
（1）外力提供的向心力：是某个力、几个力的合力或者是合力在半径方向上的分量，是实实在在的相互作用。
（2）做圆周运动需要的向心力：是指在半径为r的圆周上以速度v运动时，必须要这么大的一个力，才能满足速度方向改变的要求。
（3）供需关系对物体运动的影响：
外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；
外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动
外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心运动
2、离心现象及其运用
要点诠释：
（1）被利用的离心现象：
洗衣机甩干衣服：水珠和衣服之间的附着力不足以提供水珠高速转动时需要的向心力，而做离心运动从而脱离衣服，使得衣服变干。
离心沉淀器：悬浊液在试管中高速转动时，密度大于液体密度的小颗粒做离心运动，密度小于液体密度的小颗粒做向心运动，从而使得液体很快被分离。
离心水泵：水在叶轮转动的作用下做离心运动，从而使得水从低处运动到高处，等等。
（2）需要防止的离心现象：
高速转动的砂轮会因为离心运动而破碎，造成事故；
火车或者汽车会因为转弯时的速度过大而出现侧滑、倾翻，造成人员伤亡等。
【典型例题】
类型一、水平面上的圆周运动
例1、 (2019 哈尔滨校级期末)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO’的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速运动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）

A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．当时，b开始滑动的临界角速度
D．当时，a所受的摩擦力大小为
【答案】AC
【解析】两个木块的最大静摩擦力相等，木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得：木块所受的静摩擦力，、相等，，所以b所受的静摩擦力大于a的静摩擦力，当圆盘的角速度增大时b的静摩擦力先达到最大值，所以b一定比a先开始滑动，故A正确，B错误；当b刚要滑动时，有，解得：，故C正确；以a为研究对象，当时，由牛顿第二定律知：，可解得：，故D错误。
【总结升华】木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，而所需要的向心力大小由物体的质量、半径和角速度决定，当圆盘转速增大时，提供的静摩擦力随之增大，当需要的向心力大于静摩擦力时，物体开始滑动。本题的关键是正确分析木块的受力。
举一反三
【变式】原长为L的轻弹簧一端固定一小铁块，另一端连接在竖直轴OO′上，小铁块放在水平圆盘上，若圆盘静止，把弹簧拉长后将小铁块放在圆盘上，使小铁块能保持静止的弹簧的最大长度为5L/4，现将弹簧长度拉长到6L/5后，把小铁块放在圆盘上，在这种情况下，圆盘绕中心轴OO′以一定角速度匀速转动，如图所示．已知小铁块的质量为m，为使小铁块不在圆盘上滑动，圆盘转动的角速度ω最大不得超过多少?


【答案】
【解析】以小铁块为研究对象，圆盘静止时：设铁块受到的最大静摩擦力为，由平衡条件得．
圆盘转动的角速度ω最大时，铁块受到的摩擦力与弹簧的拉力kx的合力提供向心力，由牛顿第二定律得．
又因为x＝L/5．
解以上三式得角速度的最大值．
类型二、实际生活中的圆周运动
例2、质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为( )

A． B． C． D．不能确定
【思路点拨】小球在重力和杆的弹力作用下在水平面内做匀速圆周运动，故小球所受合力必沿水平方向，根据力的合成即可求出杆对小球的作用力的大小，从而得出杆受到的球的作用力的大小。
【答案】C
【解析】对小球进行受力分析，小球受两个力：一个是重力mg，另一个是杆对小球的作用力F，两个力的合力产生向心力．由平行四边形定则可得：，再根据牛顿第三定律，可知杆受到球对其作用力的大小为．故选项C正确．
【总结升华】本题一定要弄清小球向心力的来源．另外还要注意杆提供的弹力方向可以是任何一个方向，不一定非要沿着杆．
举一反三
【高清课程：匀速圆周运动题型分析 例5】
【变式】铁路弯道的内外侧铁轨往往不在同一水平面上，质量为M的火车，以恒定的速率在水平面内沿一段半径为r的圆弧道转弯，受力如图所示，已知内外铁轨的倾角为a。

（1）车的速率v0为多大时，使车轮对铁轨的侧压力正好为零?
（2）如果火车的实际速率v≠v0，分析铁轨对车轮的施力情况。
【答案】
类型三、动力学综合问题
例3、（（2020 江西师大附中月考）如图甲所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1 kg的A、B两个物块，B物体用长为0.25 m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可忽略不计，细线能承受的最大拉力为8 N，A、B间的动摩擦因数μ=0.4，B与转盘问的动摩擦因素μ1=0.1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘静止时，细线刚好伸直，力传感器的读数为零，当转盘以不同的角速度匀速转动时，力传感器上就会显示相应的读数F。试通过计算在图乙的坐标系中作出F—ω2的图象，g取10 m／s2。

【解析】B物体将发生滑动的角速度为，
则ω∈[0，2]时，F=0，
当A物体所需的向心力大于最大静摩擦力时，A将脱离B物体，此时的角速度由
mω22r=μ2mg，
得。
则F=2mω2r―2μ1mg=0.5ω2―2（ω∈[2，4]），
ω=ω2时绳子的张力为F=2mω22r－2μ1mg=(2×42×0.25－2) N=6 N＜8 N，
故绳子未断，接下来随着角速度的增大，A脱离B物体，只有B物体做匀速圆周运动，
设绳子达到最大拉力时的角速度为ω3，则。
当角速度为ω2时，mω22r=1×42×0.25 N=4 N＞μ1mg，即绳子产生了拉力。
则F=mω2r－μ1mg=0.25ω2－1，ω∈[4，6]，综上所述作出F—ω2图象如图所示。

【点评】解决本题的关键正确地确定研究对象，搞清向心力的来源，结合临界条件，通过牛顿第二定律进行求解。
举一反三
【高清课程：匀速圆周运动题型分析 例8】
【变式1】建筑工地上常使用打夯机夯实地基，如图是其结构原理图。长为l的连杆（质量可忽略）固定在轮盘A上，轮盘A和连杆固定在一起可一起绕轴O旋转，连杆另一端固定一质量为m的铁块，电动机通过皮带轮带动轮盘A和连杆，可在竖直平面内做圆周运动。当旋转的角速度达到一定数值，可使质量为M（不包括铁块的质量m）的打夯机离开地面，然后砸向地面，从而起到夯实地基的作用。试分析连杆转动的最小角速度。

【答案】
【解析】当铁块运动到最高点时，受重力mg和杆的拉力F1作用，这两个力的合力提供铁块此时做圆周运动所需的向心力。

当铁块的角速度逐渐增大时，所需的向心力增大，将导致拉力F1的增大。根据牛顿第三定律可知，此时铁块对打夯机向上的拉力，所以当时，打夯机将脱离地面。设为使打夯机脱离开地面连杆转动的最小角速度为ω，由牛顿第二定律：
对M有
对m有
因
由以上几式解得 ：
【变式2】（2019 河南校级模拟）一质量为M、倾角为的斜面体在水平地面上，质量为m的小木块（可视为质点）放在斜面上，现用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F作用于小木块，拉力在斜面所在的平面内绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和木块始终保持静止状态，下列说法中正确的是（ ）

A．小木块受到斜面的最大静摩擦力为
B．小木块受到斜面的最大摩擦力为
C．斜面受到地面的最大静摩擦力为
D．斜面体受到地面的最大摩擦力为
【答案】C
【解析】当F沿斜面向下时，木块所受的静摩擦力最大，受力分析如图：

由平衡条件：，故A正确，B错误；
选整体为研究对象，当F水平时，整体所受的摩擦力最大，由平衡条件：，即斜面所受的最大静摩擦力为F，故C正确，D错误。


生活中的圆周运动
编稿： 审稿：
【学习目标】
1、能够根据圆周运动的规律，熟练地运用动力学的基本方法解决圆周运动问题。
2、学会分析圆周运动的临界状态的方法，理解临界状态并利用临界状态解决圆周运动问题。
3、理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和离心运动。
【要点梳理】
要点一、静摩擦力提供向心力的圆周运动的临界状态
要点诠释：
1、水平面上的匀速圆周运动，静摩擦力的大小和方向
物体在做匀速圆周运动的过程中，物体的线速度大小不变，它受到的切线方向的力必定为零，提供向心力的静摩擦力一定沿着半径指向圆心。这个静摩擦力的大小，它正比于物体的质量、半径和角速度的平方。
当物体的转速大到一定的程度时，静摩擦力达到最大值，若再增大角速度，静摩擦力不足以提供物体做圆周运动所需要的向心力，物体在滑动摩擦力的作用下做离心运动。
临界状态：物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。此时物体的角速度（为最大静摩擦因数），可见临界角速度与物体质量无关，与它到转轴的距离有关。
2、水平面上的变速圆周运动中的静摩擦力的大小和方向
无论是加速圆周运动还是减速圆周运动，静摩擦力都不再沿着半径指向圆心，静摩擦力一定存在着一个切向分量改变速度的大小。如图是在水平圆盘上的物体减速和加速转动时静摩擦力的方向：（为了便于观察，将图像画成俯视图）

要点二、竖直面上的圆周运动的临界状态
要点诠释：
1.汽车过拱形桥
在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。对于变速圆周运动，需要特别注意几种具体情况下的临界状态。
例如：汽车通过半圆的拱形桥，讨论桥面受到压力的变化情况

（1）车在最高点的位置Ⅰ时对桥面的压力
对车由牛顿第二定律得：
为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即
所以车的速度应满足关系
临界状态：汽车在最高点处桥面对汽车的支持力为零，此时汽车的速度。
如果，在不计空气阻力的情况下，汽车只受到重力的作用，速度沿着水平方向，满足平抛运动的条件，所以从此位置开始，汽车将离开桥面做平抛运动，不会再落到桥面上。
（2）汽车沿着拱形桥面向下运动时车对于桥面的压力
当汽车在跨越最高点后的某一位置Ⅱ时
由牛顿第二定律得
解得汽车对于桥面压力的大小
可见在汽车速度大小不变的情况下，随着角的不断减小，汽车对桥面的压力不断减小。
临界状态：当时，汽车对桥面的压力减小到零。从此汽车离开桥面做斜下抛运动。
所以要使得汽车沿着斜面运动，其速度必须满足：，即车的速度。
2.细线约束的小球在竖直面上的变速圆周运动
例如，用长为R的细绳拴着质量是m的物体，在竖直平面内做圆周运动。
mg
T
V

在最高点处，设绳子上的拉力为T
根据牛顿第二定律列方程得：
由于绳子提供的只能是拉力，
所以小球要通过最高点，它的速度值。
临界状态：在最高点处，当只有重力提供向心力时，物体在竖直面内做圆周运动的最小速度是。
若在最高点处物体的速度小于这个临界速度，便不能做圆周运动。事实上，物体早在到达最高点之前，就已经脱离了圆周运动的轨道，做斜上抛运动。
3.轻杆约束小球在竖直面上的变速圆周运动
例如，一根长度为R轻质杆一端固定，另一端连接一质量为m的小球，使小球在竖直面内做圆周运动。

在最高点，设杆对球的作用力为FN，规定向下的方向为正方向，
根据牛顿第二定律列方程得：
因为杆既可以提供拉力，又可以提供支持力，所以可以
当时，杆对球提供向上的支持力，与重力的方向相反；
当时，这与绳子约束小球的情况是一样的。
所以轻杆约束的情况可以存在两个临界状态：
①在最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力，大小等于小球的重力；
②在最高点处的速度是时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力。
球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力；球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。
要点三、物体做离心与向心运动的条件
外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；
外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动
外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心运动
要点四、处理圆周运动的动力学问题时应注意的问题
（1）确定向心力的来源。
向心力是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力。
（2）确定研究对象的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向。
例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图所示，小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O′点，而不是在球心O，也不在弹力FN所指的PO线上。

（3）物体在静摩擦力作用下做匀速圆周运动时，相对滑动的临界条件是恰好达到最大静摩擦力。
（4）物体在不同支承物（绳、杆、轨道、管道等）作用下，在竖直平面做圆周运动，通过最高点时的临界条件。
①轻绳模型
如图所示没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：

注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力
临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：得 （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）
能过最高点的条件：，当时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
不能过最高点的条件：，实际上球还没到最高点时就脱离了轨道.
②轻杆模型
（2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：
注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，管壁支撑情况与杆一样。
当v＝0时，N＝mg（N为支持力）
当 时， N随v增大而减小，且，N为支持力．
当v=时，N＝0
当v＞时，N为拉力，N随v的增大而增大
若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力．

【典型例题】
类型一、生活中的水平圆周运动
例1、（2019 安阳二模）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）

A．B的向心力是A的向心力的2倍
B．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
C．A、B都有沿半径向外滑动的趋势
D．若B先滑动，则B对A的动摩擦因数小于盘对B的动摩擦因数
【答案】BC
【解析】因为A、B两物体的角速度大小相等，根据，因为两物块的角速度大小相等，转动半径相等，质量相等，则向心力相等；对A、B整体分析，，对A分析，有，知盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍，则B正确；A所受的摩擦力方向指向圆心，可知A有沿半径向外滑动的趋势，B受到盘的静摩擦力方向指向圆心，有沿半径向外滑动的趋势，故C正确；对AB整体分析，，解得：，对A分析，，解得，因为B先滑动，可知B先到达临界角速度，可知B的临界角速度较小，即，故D错误。
【总结升华】解决本题的关键知道A、B两物体一起做匀速圆周运动，角速度大小相等，知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解。
例2、有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示．长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ．不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．

【思路点拨】座椅在水平面内做匀速圆周运动，其半径是它到转轴之间的水平距离。
【答案】
【解析】对座椅进行受力分析，如图所示．

y轴上：， ①
x轴上：， ②
则由得：，
因此．
【总结升华】本题是一道实际应用题，考查了学生用物理知识解决实际问题的能力，解答这类问题的关键是把实际问题转化成物理模型，用物理知识解决实际问题，这是学习物理的最高境界，也是近几年高考命题一个非常明显的趋向．
类型二、生活中的竖直圆周运动
例3、（2020 沈阳市东北育才学校三模）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度甜匀速转动。一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO＇之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g。

（1）若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
（2）ω=(1±k) ω0，且0＜k＜1，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
【思路点拨】若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小。
当ω〉ω0，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小；当ω〈ω0，重力和支持力的合力大于向心力，则摩擦力的方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小。
【解析】（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtanθ=mRsinθω02，解得

（2）当ω=（1+k）ω0时，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律得，
fcos60°+Ncos30°=mRsin60°ω2，
fsin60°+mg=Nsin30°。
联立两式解得

当ω=（1－k）ω时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律得，
Ncos30°－fcos60°=mRsin60°ω2，
mg=Nsin30°+fsin60°
联立两式解得。
【点评】解决本题的关键搞清物体做圆周运动向心力的来源，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解。
举一反三
【高清课程：圆周运动的实例分析 例9】
【变式】质量为m的小球，用长为l的线悬挂在O点，在O点正下方处有一光滑的钉子C，把小球拉到与O在同一水平面的位置，摆线被钉子拦住，如图所示.将小球从静止释放.当球第一次通过最低点P时( )

A.小球线速度突然增大
B.小球角速度突然增大
C.小球的向心加速度增大
D.摆线上的张力突然增大
【答案】BCD
【变式】(2019 北京西城区二模)如图所示为游乐场中过山车的一段轨道， P点是这段轨道的最高点，A、B、C三处是过山车的车头、中点和车尾。假设这段轨道是圆轨道，各节车厢的质量相等，过山车在运行过程中不受牵引力，所受阻力可忽略。那么，过山车在通过P点的过程中，下列说法正确的是（ ）

A．车头A通过P点时的速度最小
B．车的中点B通过P点时的速度最小
C．车尾C通过P点时的速度最小
D．A、B、C通过P点时的速度一样大
【答案】B
【解析】山车在通过P点的过程中，车头A和车尾C通过P点时，还不是整体过最高点，所以其重力比所需向心力要大，故经过时速度不是最小；而车的中点B通过P点时，如某质点过最高点，要能过最高点，其重力刚好提供向心力，所以车的中点B通过P点时的速度最小，故B正确，ACD错误。
类型三、斜面上的圆周运动
例4、 在倾角的光滑斜面上，有一长L＝0.8m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一个质量m＝0.2kg的小球，使小球在斜面上做圆周运动，取g=10m/s2，求：
（1）小球通过最高点时的最小速度？
（2）如果细绳受到10N的拉力就会断，则通过最低点B时的最大速度？

【思路点拨】这是一个竖直面上变速圆周运动问题的变式问题，要注意找出和竖直面上的变速圆周运动的共同之处和不同之处，要特别重视分析问题方法的迁移。
【解析】小球在垂直于斜面的方向上处于平衡状态，在平行于斜面的平面内的运动情况和竖直平面内用细绳约束小球的运动情况类似。
（1）小球通过最高点A的最小速度，出现在绳子上拉力等于零的时候，此时重力的下滑分量提供向心力，在A点平行于斜面的方向上，
由牛顿第二定律得：
解得
（2）在B点绳子恰好被拉断时，在平行于斜面的方向上，
由牛顿第二定律得：
解得
【总结升华】用细绳约束在斜面上的变速圆周运动和竖直面上的变速圆周运动，解决问题的方式是完全相同的，不同之处是：在斜面上时只有重力的下滑分量对变速圆周运动有贡献。
类型四、连接体的圆周运动
例5、 如图所示水平转盘可绕竖直轴旋转，盘上水平杆上穿着两个质量相等的小球A和B，现将A和B分别置于距轴r和2r处，并用不可伸长的轻绳相连，已知两个球与杆之间的最大静摩擦力都是，试分析转速从零逐渐增大，两球对轴保持相对静止过程中，A、B受力情况如何变化？

【思路点拨】解决本题关键是：动态的分析物理过程，发现隐藏在过程中的临界状态；理解最大静摩擦力出现的条件，弄清外力提供的向心力和圆周运动需要的向心力对运动的影响。
物体的匀速圆周运动状态不是平衡状态，它所需要的向心力应恰好由物体所受的合外力来提供。“离心”与“向心”现象的出现，是由于提供的合外力与某种状态下所需的向心力之间出现了矛盾。当“供”大于“需”时，将出现“向心”，当“供”小于“需”时，物体将远离圆心被甩出。
对于此题，当转动角速度增大到某一个值时，A和B将发生离心现象，向B一侧甩出，此时A所受摩擦力应沿杆指向外侧。而刚开始转动时，A所受摩擦力应指向圆心，而且绳上没有张力。
【解析】当转动角速度增大到某一个值时，A和B将发生离心现象，向B一侧甩出，此时A所受摩擦力应沿杆指向外侧。而刚开始转动时，A所受摩擦力应指向圆心，而且绳上没有张力。
（1）由于ω从零开始逐渐增大，当较小时，A和B只靠自身静摩擦力提供向心力。
对 A球： 对B球：
随增大，静摩擦力f不断增大，直到时将有，即，
（这是一个临界状态）
（2）当时，绳上的张力T将出现。
对A球： ① 对B球： ②
由②式，当增加到时，绳上张力将增加，增加的张力
由①式，，
可见△fA＜0，即随ω的增大，A球所受摩擦力将不断减小。
（3）当时，设此时角速度
对A球，，对B球，

（4）当角速度从ω2继续增加时，A球所受的摩擦力方向将沿杆指向外侧，并随ω的增大而增大，直到为止，设此时角速度，
A球： B球：

（5）当时，A和B将一起向B侧甩出。
【总结升华】(1)由于A、B两球角速度相等，向心力公式应选用F＝mrω2；
(2)分别找出ω逐渐增大的过程中的几个临界状态，并正确分析各个不同阶段的向心力的来源及其变化情况，揭示出小球所需向心力的变化对所提供向心力的静摩擦力及绳子拉力之间的制约关系，这是求解本题的关键。动态分析也是物理学中重要的分析方法，努力的通过此题加以体会、实践。
（3）对于两个或两个以上的物体，通过一定的约束，绕同一转轴做圆周运动的问题，一般求解思路是：分别隔离物体，准确分析受力，正确画出力图，确定轨道半径，注意约束关系（在连接体的圆周运动问题中，角速度相同是一种常见的约束关系）。
举一反三
【变式1】如图所示在水平转台上放一质量为M的木块，木块与转台间的最大静摩擦因数为，它通过细绳与另一木块m相连。转台以角速度转动，M与转台能保持相对静止时，它到转台中心的最大距离和最小距离分别为多大？

【解析】假设转台光滑，M在水平面内转动时，竖直方向上平台对M的支持力与Mg相平衡，绳子的拉力提供M做圆周运动的向心力。因为M与转台保持相对静止时，所以绳子的拉力T=mg。设此时M距离中心的半径，则：
对M，， 即：


讨论：（1）若R为最小值，M有向圆心运动的趋势，故转台对M有背离圆心的静摩擦力，大小为。
对m仍有T=mg
对M有：

解得
（2）若R为最大值，M有背离圆心运动的趋势，故转台对M有指向圆心、大小为的静摩擦力
对m仍有T=mg
对M有：

解得
【高清课程：圆周运动的实例分析 例3】
【变式2】甲、乙两名溜冰运动员，M甲 = 80kg，M乙 = 40kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示．两人相距0.9m，弹簧秤的示数为9.2N，下列判断中正确的是（ ）

A．两人的线速度相同，约为40m/s
B．两人的角速度相同，约为6rad/s
C．两人的运动半径相同，都为0.45m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m
【答案】D

曲线运动复习与巩固
编稿： 审稿：
【学习目标】
1． 知道物体做曲线运动的条件及特点，会用牛顿定律对曲线运动条件做出分析。
　　2．了解合运动、分运动及其关系，特点。知道运动的合成和分解，理解合成和分解遵循平行四边形法则。
　　3．知道什么是抛体运动，理解平抛运动的特点和规律，熟练掌握分析平抛运动的方法。了解斜抛运动及其特点。
　　4．了解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念。理解向心力及向心加速度。
　　5．能结合生活中的圆周运动实例熟练应用向心力和向心加速度处理问题。能正确处理竖直平面内的圆周运动。
　　6．知道什么是离心现象，了解其应用及危害。会分析相关现象的受力特点。
【知识网络】

【要点梳理】
知识点一、曲线运动
（1）曲线运动的速度方向
曲线运动的速度方向是曲线切线方向，其方向时刻在变化，所以曲线运动是变速运动，一定具有加速度。
（2）曲线运动的处理方法
曲线运动大都可以看成为几个简单的运动的合运动，将其分解为简单的运动后，再按需要进行合成，便可以达到解决问题的目的。
（3）一些特别关注的问题
①加速曲线运动、减速曲线运动和匀速率曲线运动的区别
加速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹锐角
减速曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向夹钝角
匀速率曲线运动：速度方向与合外力（或加速度）的方向成直角
注意：匀速率曲线运动并不一定是圆周运动，即合外力的方向总是跟速度方向垂直，物体不一定做圆周运动。
②运动的合成和分解与力的合成和分解一样，是基于一种重要的物理思想：等效的思想。
也就是说，将各个分运动合成后的合运动，必须与实际运动完全一样。
③运动的合成与分解是解决问题的手段
具体运动分解的方式要由解决问题方便而定，不是固定不变的。
④各个分运动的独立性是基于力的独立作用原理
也就是说，哪个方向上的受力情况和初始条件，决定哪个方向上的运动情况。
知识点二、抛体运动
（1）抛体运动的性质
所有的抛体运动都是匀变速运动，加速度是重力加速度。其中的平抛运动和斜抛运动是匀变速曲线运动。
（2）平抛运动的处理方法
通常分解为水平方向上的匀速运动和竖直方向上的自由落体（或上抛运动或下抛运动）。
（3）平抛运动的物体，其飞行时间仅由抛出点到落地点的高度决定，与抛出时的初速度大小无关。
而斜抛物体的飞行时间、水平射程与抛出时的初速度的大小和方向都有关系。
（4）运动规律及轨迹方程
规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动：
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动：
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
合速度：大小：，即，
方向：v与水平方向夹角为
合位移：大小：，即，
方向：S与水平方向夹角为
一个关系：，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如图所示

知识点三、圆周运动
（1）描写圆周运动的物理量
圆周运动是人们最熟悉的、应用最广泛的机械运动，它是非匀变速曲线运动。要理解描写它的各个物理量的意义：如线速度、角速度、周期、转速、向心加速度。速度方向的变化和向心加速度的产生是理解上的重点和关键。
（2）注重理解圆周运动的动力学原因
圆周运动实际上是惯性运动和外力作用这一对矛盾的统一。
（3）圆周运动的向心力
圆周运动的向心力可以是重力、万有引力、弹力、摩擦力以及电磁力等某种性质的力; 可以是单独的一个力或几个力的合力，还可以认为是某个力的分力；向心力是按效果命名的；
注意：匀速圆周运动和变速圆周运动的区别：
匀速圆周运动的物体受到的合外力完全用来提供向心力，而在变速圆周运动中向心力是合外力的一个分量，合外力沿着切线方向的分量改变圆周运动速度的大小。
（4）向心运动和离心运动
注意需要的向心力和提供的向心力之不同，如是质量为m的物体做圆周运动时需要向心力的大小；提供的向心力是实实在在的相互作用力。需要的向心力和提供的向心力之间的关系决定着物体的运动情况，即决定着物体是沿着圆周运动还是离心运动或者向心运动。
向心运动和离心运动已经不是圆周运动，圆周运动的公式已经不再适用。
（5）解决圆周运动的方法
解决圆周运动的方法就是解决动力学问题的一般方法，学习过程中要特别注意方法的迁移和圆周运动的特点。
（6）一些特别关注的问题
①同一个转动物体上的各点的角速度相同；皮带传动、链条传动以及齿轮传动时，各轮边缘上的点的线速度大小相等。
这一结论对于解决圆周运动的运动学问题很有用处，要注意理解和应用。
②对于线速度与角速度关系的理解
公式 ，是一种瞬时对应关系，即某一时刻的线速度与这一时刻的角速度的关系，某一时刻的线速度、角速度与向心加速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动中的任意一个状态。
③一些临界状态
1)细线约束小球在竖直平面内的变速圆周运动
恰好做圆周运动时，在最高点处重力提供向心力，它的速度值。
2)轻杆约束小球在竖直平面内做变速圆周运动
a、最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力；
b、在最高点处的速度是时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力；球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力，球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。
3)在静摩擦力的约束下，物体在水平圆盘做圆周运动时：
物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。此时物体的角速度（为最大静摩擦因数），可见临界角速度与物体质量无关，与它到转轴的距离有关。
④圆周运动瞬时变化的力
物体由直线轨道突然进入圆周轨道时，物体与轨道间的作用力会突然变化。物体在轨道上做变速圆周运动时，物体受到弹力的大小和它的速度的大小有一定的关系，在有摩擦力作用的轨道上，速度的变化往往会引起摩擦力的变化，应引起足够的注意。
【典型例题】
类型一、运动的合成和分解
例1、如图所示，一条小船位于200 m宽的河正中A点处，从这里向下游m处有一危险区，当时水流速度为4 m/s．为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是( )
A． B． C．2m/s D．4m/s

【思路点拨】解决渡河问题时，要先弄清合运动和分运动．
【解析】水流速度是定值，只要保证合速度方向指向对岸危险区上游即可，但对应最小值应为刚好指向对岸危险区边缘，如图所示．

，．
则，所以C正确．
【答案】C
【总结升华】由于河的宽度是确定的，所以首先应确定渡河的速度，然后计算渡河的时间，再根据等时性分别研究两个分运动或合运动．一般只讨论时的两种情况，一是船头与河岸垂直时渡河时间最短，此时以船速渡河；二是渡河位移最小，此时以合速度渡河．
类型二、平抛运动
例2、如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置．将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M＝km的小物块相连，小物块悬挂于管口．现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变．(重力加速度为g)

(1)求小物块下落过程中的加速度大小；
(2)求小球从管口抛出时的速度大小；
(3)试证明小球平抛运动的水平位移总小于．
【思路点拨】分析清楚M与m在各阶段的运动是关键。
【解析】(1)设细线中的张力为T，根据牛顿第二定律，Mg-T＝Ma，
T-mgsin 30°＝ma，
且M＝km，
解得．
(2)设M落地时的速度大小为v，m射出管口时速度大小为v0，M落地后m的加速度为a0．
根据牛顿第二定律-mg sin 30°＝ma0．
M做匀变速直线运动，，
M落地后，m做匀变速直线运动，．
解得 （k>2）
(3)平抛运动x＝v0t，
．
解得．
则，得证．
【总结升华】对于此类题目，分析清楚相关联的两个物体之间的运动制约关系是关键。
h
θ
v1
v2
A
B
例3、.(2019 丰台区二模) 如图所示，在水平地面上固定一倾角θ=37°的长斜面体，物体A以v1=8m/s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出。物体A上滑过程中速度减小，当速度减为零时恰好被B物体击中。已知物体A与斜面体间的动摩擦因数为0.25。（A、B均可看作质点， sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2）求：




（1）物体A上滑过程所用的时间t；
（2）物体B抛出时的初速度v2；
（3）物体A、B间初始位置的高度差h。
【答案】（1）t=1s；（2）x=3.2m；（3）h = 7.4m
【解析】（1）物体A上滑过程中，由牛顿第二定律得：
代入数据得：a=8m/s2
设经过t时间相撞，由运动学公式： ，代入数据得：t=1s
（2）平抛物体B的水平位移： ，代入数据得：x=3.2m
平抛速度： ，代入数据得：v2=3.2m/s
（3）物体A、B间的高度差：

代入数据得：h = 7.4m
举一反三
【高清课程：曲线运动复习与巩固 例1】
【变式1】水平抛出一个小球，经过一段时间球速与水平方向成450角，再经过1秒球速与水平方向成600角，求小球的初速大小。
【答案】
举一反三
【变式2】(2019 大庆实验中学三模)水平抛出的小球，t秒末的速度方向与水平方向的夹角为，t＋秒内位移方向与水平方向的夹角为，重力加速度为g，忽略空气阻力，则小球初速度的大小可表示为( )
A． B.
C． D．
【答案】A
【解析】t秒末的速度方向与水平方向的夹角为，则： ①
t+t0秒内位移方向与水平方向的夹角为，
则： ②
②﹣①得，．故A正确，B、C、D错误．

类型三、圆周运动中的临界问题
例4、（2020 沈阳市东北育才学校三模）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度甜匀速转动。一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO＇之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g。

（1）若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；
（2）ω=(1±k) ω0，且0＜k＜1，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
【思路点拨】若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小。
当ω〉ω0，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小；当ω〈ω0，重力和支持力的合力大于向心力，则摩擦力的方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小。
【解析】（1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtanθ=mRsinθω02，解得

（2）当ω=（1+k）ω0时，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律得，
fcos60°+Ncos30°=mRsin60°ω2，
fsin60°+mg=Nsin30°。
联立两式解得

当ω=（1－k）ω时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，根据牛顿第二定律得，
Ncos30°－fcos60°=mRsin60°ω2，
mg=Nsin30°+fsin60°
联立两式解得。
【点评】解决本题的关键搞清物体做圆周运动向心力的来源，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解。

类型四、圆周运动中的动力学问题
例5、如图所示，轻杆长为3L，杆上距A球为L处的O点装在水平转动轴上，杆两端分别固定质量为m的A球和质量为3m的B球，杆在水平轴的带动下，在竖直平面内转动．问：

(1)若A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，求此时水平轴所受的力；
(2)在杆的转速逐渐增大的过程中，当杆转至竖直位置时，能否出现水平轴不受力的情况?如果出现这种情况，A、B两球的运动速度分别为多大?
【解析】(1)令A球质量为mA，B球质量为mB，则mA＝m，mB＝3m．当A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，说明此时A球的重力提供向心力，则有mAg＝，所以．
又因为A、B两球固定在同一杆上，因此．设此时OB杆对B球的拉力为FT，则有，所以FT＝9mg．
对OB杆而言，设水平轴对其作用力为F，则F＝FT＝9mg．由牛顿第三定律可知，水平轴所受到的拉力为9mg，方向竖直向下．
(2)若水平轴不受力，那么两段杆所受球的拉力大小一定相等，设其拉力为，转动角速度为ω，由牛顿第二定律可得：
， ① ， ②
由①－②得：m1g+m2g＝(m1L1-m2L2)ω2， ③
从上式可见，只有当m1L1＞m2L2时才有意义，故m1应为B球，m2为A球．
由③式代入已知条件可得：(3m+m)g＝(3m·2L-mL)ω2，所以．
由上述分析可得，当杆处于竖直位置，B球在最高点，且时，水平轴不受力，此时有，．
【总结升华】本题中要注意研究对象的转换，分析轴受的作用力，先应分析小球的受力，而后用牛顿第三定律分析．
例6、如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件?在运动过程中，球对圆筒的压力多大?

【思路点拨】要使两球在圆周最高点相碰，则它们运动到最高点所用时间相同。
【解析】设P球自由落体到圆周最高点的时间为t，由自由落体可得
，求得．
Q球由图示位置转至最高点的时间也是t，但做匀速圆周运动，周期为T，有
(n＝0，1，2，3，…)．
两式联立再由得．
所以(n＝0，1，2，3，…)．
【总结升华】在这类题目中“时间”是联系不同运动的桥梁，且往往这类题目由于匀速圆周运动的周期性给结果带来多解性．

类型五、平抛运动的的实验
例7、如图所示，方格坐标每边长10 cm，一物体做平抛运动时分别经过O、a、b三点，重力加速度g取10m/s2，则下列结论正确的是( )

A．O点就是抛出点
B．a点与水平方向成45°
C．速度变化量
D．小球抛出速度v＝1 m/s
E．小球经过a点的速度为m/s
F．小球抛出点的坐标为(-5cm，-1.25 cm)(以O点为坐标原点)
【思路点拨】物体竖直方向做自由落体运动，可借鉴纸带问题确定运动时间。
【答案】C、D、E、F
【解析】由于O、a、b三点水平方向距离相等，说明，若O点为抛出点，则在竖直方向连续相等时间内通过的位移之比应为1:3:5，而从上图看，竖直方向相等时间内位移之比为1:2，所以O点不是抛出点，故A错．因O到a的位移方向与水平方向成45°角，所以物体过a点时速度方向与水平方向夹角肯定大于45°，故B错．平抛运动是匀变速曲线运动．加速度恒定，所以相等时间内速度变化量相等，，故C对．
根据匀变速直线运动公式，．
得，水平方向匀速运动速度，故D对．
小球经过a点时竖直方向的分速度，
得m/s，故E对．
小球从抛出到运动到a点的时间可由求出，得0.15 s，可求得抛出点在(-5cm，-1.25cm)处，故F也对．

举一反三
【高清课程：曲线运动复习与巩固 例4】
【变式】如图为平抛运动轨迹的一部分，已知条件如图所示。求：v0和 vb

【答案】
行星的运动、万有引力定律
编稿： 审稿：
【学习目标】
1．了解地心说与日心说．
2．明确开普勒三大定律，能应用开普勒三大定律分析问题．
3．知道太阳与行星间的引力与哪些因素有关．理解引力公式的含义并会推导平方反比规律．
4．理解万有引力定律的含义并掌握用万有引力定律计算引力的方法
【要点梳理】
要点一、地心说与日心说
要点诠释：
1．地心说
地球是宇宙的中心，并且静止不动，一切行星围绕地球做圆周运动．
公元2世纪的希腊天文学家托勒密使地心说发展和完善起来，由于地心说能解释一些天文现象，又符合人们的日常经验(例如我们看到太阳从东边升起，从西边落下，就认为太阳在绕地球运动)，同时地心说也符合宗教神学关于地球是宇宙中心的说法，所以得到教会的支持，统治和禁锢人们的思想达一千多年之久．
2．日心说
16世纪，波兰天文学家哥白尼(1473～1543年)根据天文观测的大量资料，经过长达40多年的天文观测和潜心研究，提出“日心体系”宇宙图景．
日心体系学说的基本论点有：
(1)宇宙的中心是太阳，所有的行星都在绕太阳做匀速圆周运动．
(2)地球是绕太阳旋转的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳运动．
(3)天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象．
(4)与日地距离相比，其他恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多．
随着人们对天体运动的不断研究，发现地心说所描述的天体的运动不仅复杂而且问题很多．如果把地球从天体运动的中心位置移到一个普通的、绕太阳运动的行星的位置，换一个角度来考虑天体的运动，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了．因此日心说逐渐被越来越多的人所接受，真理最终战胜了谬误．
注意：古代的两种学说都不完善，太阳、地球等天体都是运动的，鉴于当时自然科学的认识能力，日心说比地心说更先进，日心说能更完美地解释天体的运动．以后的观测事实表明，哥白尼日心体系学说有一定的优越性．但是，限于哥白尼时代科学发展的水平，哥白尼学说存在两大缺点：①把太阳当做宇宙的中心．实际上太阳仅是太阳系的中心天体，而不是宇宙的中心．②沿用了行星在圆形轨道上做匀速圆周运动的陈旧观念．实际上行星轨道是椭圆的，行星的运动也不是匀速的．
要点二、开普勒发现行星运动定律的历史过程
要点诠释：
(1)丹麦天文学家第谷连续20年对行星的位置进行了精确的测量，积累了大量的数据．到1601年他逝世时，这些耗尽了他毕生心血获得的天文资料传给了他的助手德国人开普勒．
(2)开普勒通过长时间的观察、记录、思考与计算，逐渐发现哥白尼把所有行星运动都看成是以太阳为圆心的匀速圆周运动似乎简单了一些，因为它与实际观察到的数据有着不小的出入．
(3)开普勒承担了准确地确定行星轨道的任务，他仔细研究了第谷对行星位置的观测记录，经过四年多的刻苦计算，所得结果与第谷的观测数据至少有8′的角度误差，那么这不容忽视的8′可能就是人们认为行星绕太阳做匀速圆周运动所造成的．最后开普勒发现行星运行的真实轨道不是圆，而是椭圆，并于1609年发表了两条关于行星运动的定律．
(4)开普勒在发表了第一定律和第二定律后，进一步研究了不同行星的运动之间的相互关系，在1619年又发表了行星运动的第三条定律．
开普勒提出描述行星运动的规律，使人类的天文学知识提高了一大步，他被称为“创制天空法律者”．
要点三、开普勒的行星运动定律
要点诠释：
(1)开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．不同行星椭圆轨道则是不同的．
开普勒第一定律说明了行星的运动轨道是椭圆，太阳在此椭圆的一个焦点上，而不是位于椭圆的中心．不同的行星位于不同的椭圆轨道上，而不是位于同一椭圆轨道，再有，不同行星的椭圆轨道一般不在同一平面内．
(2)开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上．

如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3如，那么SA＝SB，由此可见，行星在远日点a的速率最小，在近日点b的速率最大．
(3)开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，即(其中，比值k是一个与行星无关的常量)
要点四、对行星运动规律的理解
要点诠释：
(1)开普勒第二定律可以用来确定行星的运行速率．如图所示，如果时间间隔相等，即t2－t1＝t4－t3，由开普勒第二定律，面积A＝面积B，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率就越大．

(2)开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于其他天体，例如对于木星的所有卫星来说，它们的一定相同，但常量k的值跟太阳系各行星绕太阳运动的k值不同．以后将会证明，开普勒恒量k的值只跟(行星运动时所围绕的)中心天体的质量有关．
(3)要注意长轴是指椭圆中过焦点与椭圆相交的线段，半长轴即长轴的一半，注意它和远日点到太阳的距离不同．
(4)由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究可以按圆周运动处理，这样开普勒三定律就可以这样理解：
①大多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心；
②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的速率不变，即行星做匀速圆周运动；
③所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即．如绕同一中心天体运动的两颗行星的轨道半径分别为R1、R2，公转周期分别为T1、T2，则有．
要点五、太阳与行星间引力的推导
要点诠释：
(1)假设地球以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向心力．设地球的质量为m，运动线速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M．则由匀速圆周运动的规律可知
， ①
． ②
由①②得 ． ③
又由开普勒第三定律
， ④
由③④式得 ， ⑤
即 ． ⑥
这表明：太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳距离的平方成反比．
(2)根据牛顿第三定律，力的作用足是相互的，且等大反向，因此地球对太阳的引力F′也应与太阳的质量成正比，且F′＝-F．
即 ． ⑦
(3)比较⑥⑦式不难得出，写成等式，式中G是比例系数，与太阳、行星无关．
注意：在中学阶段只能将椭圆轨道近似成圆形轨道来推导引力公式，但牛顿是在椭圆轨道下推导引力表达式的．

要点六、月—地检验
要点诠释：
(1)牛顿的思路：地球绕太阳运动是因为受到太阳的引力，人跳起后又能落回地球是因为人受到地球的引力．这些力是否是同一种力?是否遵循相同的规律?实践是检验真理的唯一标准，但在当时的条件下很难通过实验来验证，这就自然想到了月球．
(2)月一地检验的基本思想：如果重力和星体间的引力是同一性质的力，都与距离的二次方成反比关系，那么月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是地面重力加速度的1/3600，因为月心到地心的距离约为地球半径的60倍．
(3)检验过程：牛顿根据月球的周期和轨道半径，计算出月球围绕地球做圆周运动的向心加速度
．
—个物体在地面的重力加速度为g＝9.8m/s2，若把这个物体移到月球轨道的高度，根据开普勒第三定律可以导出．因为月心到地心的距离是地球半径的60倍，．
即其加速度近似等于月球的向心加速度的值．
(4)检验结果：月球围绕地球做近似圆周运动的向心加速度十分接近地面重力加速度的1/3600，这个重要的发现为牛顿发现万有引力定律提供了有力的证据，即地球对地面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循同一规律．
要点七、万有引力定律
要点诠释：
1.内容
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比。
2.公式
，其中G为万有引力常量，
3.适用条件
适用于相距很远，可以看作质点的物体之间的相互作用。质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可以用此公式计算，其中r为两球心之间的距离。
4.重力与万有引力的关系
在地球(质量为M)表面上的物体所受的万有引力F可以分解成物体所受的重力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力，其中，而。
（1）当物体在赤道上时
F、mg、三力同向，此时达到最大值，重力加速度达到最小值
（2）当物体在两极的极点时，，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最大值为。
（3）因地球自转角速度很小，，所以在一般情况下进行计算时认为。

【典型例题】
类型一、对开普勒定律的考查
例1、 (2019 浙江校级二模)假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，地球同步卫星距地面高度为36000km，宇宙飞船和地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻二者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为（ ）
A．4次 B．6次 C．7次 D．8次
【答案】C
【思路点拨】当它们从距离最远到距离最近，转动的角度相差（n=0,1,2,3……）
【解析】根据开普勒第三定律，其中，故，已知地球同步卫星的运行周期为24h，因而载人宇宙飞船的运行周期，由匀速圆周的角速度可分别得，宇宙飞船的角速度为，同步卫星的角速度为，若追击距离为一个半圆，则所需追击时间为，此后若追击距离变为一个圆周，则追击时间，依次类推： （n=0,1,2,3……）可得到24h内共用时完成追击7次
【总结升华】首先运用开普勒第三定律求解出同步卫星与宇宙飞船的周期之比，再根据它们之间的角度差计算出24h以内的所有的追击时间，最后统计追击次数。
例2、（2020 保定校级月考）利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（　　）
A．1h B．4h C．8h D．16h
【思路点拨】明确同步卫星的性质，知道其转动周期等于地球的自转周期，从而明确地球自转周期减小时，地球同步卫星的运动周期减小，当运动轨迹半径最小时，周期最小．由三颗同步卫星需要使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯可求得最小半径，再结合开普勒第三定律可求周期．
【答案】B
【解析】设地球的半径为R，则地球同步卫星的轨道半径为r=6.6R
已知地球的自转周期T=24h，
地球同步卫星的转动周期与地球的自转周期一致，若地球的自转周期变小，则同步卫星的转动周期变小．
由公式可知，做圆周运动的半径越小，则运动周期越小．
由于需要三颗卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，所以由几何关系可知三颗同步卫星的连线构成等边三角形并且三边与地球相切，如图．
由几何关系可知地球同步卫星的轨道半径为r′=2R．
由开普勒第三定律得：
故B正确，ACD错误；
故选：B．

【点评】本题考查开普勒第三定律以及同步卫星的性质，要注意明确题目中隐含的信息的判断是本题解题的关键．
举一反三
【高清课程：行星的运动 例3】
【变式1】地球赤道上的物体A，近地卫星B（轨道半径等于地球半径），同步卫星C，若分别用rA、rB、rC；TA、TB、TC；vA、vB、vC；分别表示三者离地心距离，周期，线速度，则三者的大小关系 ， ， ；
【答案】rA=rBTB ， vB>vC>vA

【高清课程：行星的运动 例1】
【变式2】宇宙飞船围绕太阳在近似圆形的轨道上运动，若轨道半径是地球轨道半径的9倍，则宇宙飞船绕太阳运行的周期是 （ ）
A．3年 B．9年 C．27年 D．81年
【答案】C
类型二、太阳与行星间引力的考查
例3、已知太阳光从太阳射到地球需要500s，地球绕太阳的公转周期约为3.2×107s，地球的质量约为6×1024kg，求太阳对地球的引力为多大?(结果保留一位有效数字)
【思路点拨】地球绕太阳公转，由太阳对地球的引力提供向心力。
【解析】地球绕太阳做椭圆运动，由于椭圆非常接近圆轨道，所以可将地球绕太阳的运动看成匀速圆周运动，需要的向心力由太阳对地球的引力提供，即．
因为太阳光从太阳射到地球用的时间为500s，所以太阳与地球间的距离R＝ct(c为光速)，所以．
代入数据得F＝3×1022N．
【总结升华】在有的物理问题中，所求量不能直接用公式进行求解，必须利用等效的方法间接求解，这就要求在等效替换中建立一个合理的物理模型，利用相应的规律。寻找解题的途径．
举一反三
【变式】下列说法正确的是( )
A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的
B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的
C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到证明的
D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式，都是可以在实验室中得到证明的
【答案】A、B
【解析】开普勒的三大定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，故开普勒的三大定律都是在实验室无法验证的规律．
【总结升华】物理公式的推导是由已知的公式规律在满足一定的条件下推导新的理论方式的一类问题，在公式的推导分析中注意公式的成立条件是关键．
类型三、对万有引力定律的考查
例4、如图所示，在一个半径为R，质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为的球形空穴后，剩余的阴影部分对位于球心和空穴中心连线上，与球心相距d的质点m的引力是多大？

【思路点拨】 此题可用补偿法，将挖去的部分填补上，变成匀质球后，由万有引力公式可求解，再根据力的合成与分解求剩余部分对m的引力。
【解析】把整个球体对质点的引力F看成是挖去的小球体对质点的引力和剩余部分对质点的引力之和，即
填补上空穴的完整球体对质点m的引力
挖去的半径为的小球体的质量为，则

挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力

【总结升华】物体不能看作质点时，不能应用万有引力公式求解，想办法建立理想模型后再应用公式求解。万有引力遵循力的合成与分解原则。
举一反三
【变式】如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R．如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方．求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大?

(1)从球的正中心挖去；
(2)从与球面相切处挖去；
并指出在什么条件下，两种计算结果相同?
【解析】根据匀质球的质量与其半径的关系，两部分的质量分别为
，．
(1)如图甲所示，根据万有引力定律，这时两球之间的引力为
．
(2)如图乙所示，在这种情况下，不能直接用万有引力公式计算．为此，可利用等效割补法，先将M′转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时，两者之间的引力为
．
由于填补空心球而增加的引力为
，
所以，这时M′与m之间的引力为
，
当d远大于R时，M′可以视为质点．这时，引力变为
．
即这时两种计算结果相同．
【总结升华】万有引力定律表达式只适用于计算质点间变力，在高中阶段常见的质点模型是质量分布均匀的球体，因而利用“割补法”构成质点模型，再利用万有引力定律与力的合成知识可求“缺失”球间的引力．
例5、（2014 课标II高考）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道上的大小为；地球自转周期为T，引力常量为G。地球的密度（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在地球两极处：；在赤道处：，故，则
【总结升华】解决此题的关键明确地球表面的物体所受的万有引力与重力的区别，在地球表面的物体所受的重力随纬度的不同而不同。在地球两极所受的重力大，赤道处所受重力小。
例6、宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M．
【解析】设抛出点的高度为h，第一次水平位移为x，则
． ①
同理对于第二次平抛过程有
． ②
由①②解得 ． ③
设该行星上重力加速度为g，由平抛运动规律得：
． ④
由万有引力定律与牛顿第二定律得：
． ⑤
由③④⑤可解得出：．
【总结升华】本题是平抛与万有引力的综合应用，同学们一定要找到它们之间的联系(中间桥梁)——重力加速度．





万有引力理论的成就
编稿： 审稿：
【学习目标】
1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用．
2．会用万有引力定律计算天体的质量．
3．理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路、方法．
【要点梳理】
要点一、万有引力与重力
要点诠释：
地球对物体的引力是物体受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是，式中的r是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度．这个向心力来自哪里?只能来自地球对物体的引力F，它是引力F的一个分力，如图所示，引力F的另一个分力才是物体的重力mg．

在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径r不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)．纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力(R为地球半径)．由公式可见，随着纬度的升高，向心力将减小，作为引力的另一个分量，重力则随纬度的升高而增大，在两极处r＝Rcos90°＝0，，所以在两极，引力等于重力．在赤道上，物体的重力、引力和向心力在一条直线上，方向相同，此时重力等于引力与向心力之差，即．此时重力最小．从图中还可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg才指向地心．
(1)重力是由万有引力产生的，重力实际上是万有引力的一个分力，物体的重力随其纬度的增大而增大，并且除两极和赤道上外，重力并不指向地心．
(2)物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的万有引力，即．

要点二、天体质量计算的几种方法
要点诠释：
万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题．天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律．行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力．
运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量．下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法．
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即，可求得地球的质量
．
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得
．
可得地球的质量为．
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得
，
．
以上两式消去r，解得
．
(4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
，解得地球的质量为．

要点三、天体密度的计算
要点诠释：
(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度．
由和，
得 ．
其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径．
(2)利用天体的卫星来求天体的密度．
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
，
，
得 ．
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为
．

要点四、发现未知天体
要点诠释：
发现海王星
天王星的“出轨”现象，激发了法国青年天文学家勒维耶和英国剑桥大学学生亚当斯的浓厚兴趣．勒维耶经常到巴黎天文台去查阅天王星观察资料，并把这些资料跟自己理论计算的结果对比．亚当斯也不断到剑桥大学天文台去，他还得到一份英国皇家格林尼治天文台的资料，这使他的理论计算能及时跟观察资料比较他们两人根据自己的计算结果，各自独立地得出结论：在天王星的附近，还有一颗新的行星！
1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”．这就是海王星．
凭借着万有引力定律，通过计算，在笔尖下发现了新的天体，这充分地显示了科学理论的威力．

要点五、解决天体运动问题的基本思路
要点诠释：
(1)将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的．根据圆周运动的知识和牛顿第二定律列式求解有关天体运动的一些物理量，有如下关系：
．
若已知环绕中心天体运动的行星(或卫星)绕恒星(或行星)做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力提供向心力可知：，得恒星或行星的质量．
此种方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量．
(2)若已知星球表面的重力加速度g′和星球的半径，忽略星球自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有，所以．
其中是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为“黄金代换”．

【典型例题】
类型一、万有引力的计算
例1、已知地球的质量大约是M＝6.0×1024kg，地球的平均半径为R＝6370 km，地球表面的重力加速度g取9.8 m/s2．求：
(1)地球表面一质量为10 kg的物体受到的万有引力；
(2)该物体受到的重力；
(3)比较说明为什么通常情况下重力可以认为等于万有引力．
【思路点拨】明白重力与万有引力的关系是解决问题的关键。
【解析】(1)由万有引力定律得：，代入数据得：F＝98.6 N．
(2)该物体受到的重力为mg＝98N．
(3)比较结果万有引力比重力大．原因是在地球表面上的物体所受万有引力可分解为重力和随地球自转所需的向心力．但计算结果表明物体随地球自转所需向心力远小于它受到的万有引力，所以通常情况下可认为重力等于万有引力．
【点评】重力是由万有引力产生的，它与万有引力能不能视为相等，关键要看题目的条件．
举一反三
【变式】 (2019 山东学业水平检测)要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的，可采取的方法是（ ）
A．两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的
B．两物体间距离保持不变，仅一个物体的质量减为原来的
C．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的
D．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍
【答案】B
【解析】根据知，两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的，则万有引力减为原来的，故A错误；两物体间距离保持不变，仅一个物体的质量减为原来的 ，则万有引力减为原来的，故B正确；两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的 ，则万有引力变为原来的4倍，故C错误；两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍，则则万有引力减为原来的，故D错误。
类型二、补偿法计算万有引力
例2、如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R．如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方．求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大?

(1)从球的正中心挖去；
(2)从与球面相切处挖去；
并指出在什么条件下，两种计算结果相同?
【思路点拨】所求万有引力可由均质实心球与m间的万有引力减去所挖去的小球与m间万有引力求得。
【解析】根据匀质球的质量与其半径的关系，两部分的质量分别为
，．
(1)如图甲所示，根据万有引力定律，这时两球之间的引力为
．
(2)如图乙所示，在这种情况下，不能直接用万有引力公式计算．为此，可利用等效割补法，先将M′转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时，两者之间的引力为
．
由于填补空心球而增加的引力为
，
所以，这时M′与m之间的引力为
，
当时，M′可以视为质点．这时，引力变为
．
即这时两种计算结果相同．
【点评】万有引力定律表达式只适用于计算质点间变力，在高中阶段常见的质点模型是质量分布均匀的球体，因而利用“割补法”构成质点模型，再利用万有引力定律与力的合成知识可求“缺失”球间的引力．
类型三、天体表面重力加速度问题
例3、宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比:＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比:．
【思路点拨】本题是平抛运动与万有引力知识的综合题目。
【解析】(1)依据竖直上抛运动规律可知，地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为：，
在该星球表面上竖直上抛的物体落回原地所用时间为：
，所以．
(2)星球表面物体所受的重力等于其所受星球的万有引力，则有，
所以，可解得:＝1:80．
【点评】本题主要考查学生的类比迁移能力、对物理过程的分析能力以及运用所学知识处理问题的实践应用能力．把竖直上抛运动的规律迁移到星球上运用．
举一反三
【变式1】如果地球表面的重力加速度为g，物体在距地面3倍的地球半径时的重力加速度为g'。则二者加速度之比是　　 。
A、1：91　　 B、9：1　　 C、1：16　　 D、16：1
【答案】D
【解析】距地面的高度为3R，则距地心为4R，根据万有引力公式有：

解上述方程得
类型四、天体质量、密度的计算
例5、（2020 高台县期中考试）宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡另一点Q上，斜坡的倾角为α，已知该星球的半径为R，引力常量为G，已知球的体积公式是。求：

（1）该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的第一宇宙速度；
（3）该星球的密度。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）小球在斜坡上做平抛运动时：
水平方向上：x=v0t…①
竖直方向上：…②
由几何知识…③
由①②③式得。
（2）该星球的第一宇宙速度等于它的近地卫星的运行速度，故有
又GM=gR2
解得。
（3）对于星球表面的物体m0，有
又
解得。
【点评】先根据小球在斜面上的平抛运动计算出该星球表面的重力加速值，再根据黄金代换算该星球的质量，最后结合密度公式计算出该星球的密度。
举一反三
【高清课程：万有引力定律的应用 例1】
【变式1】一宇航员为了估测一星球的质量，他在该星球的表面做自由落体实验：让小球在离地面h高处自由下落，他测出经时间t小球落地，又已知该星球的半径为R，试估算该星球的质量。
【答案】
【变式2】设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R，速率为v，则太阳的质量可用v、R和引力常量G表示为________．太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍．为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳的质量，则银河系中恒星的数目约为________．
【答案】 1011
【解析】地球围绕太阳运动，而两者间的万有引力是其做匀速圆厨运动的向心力，则由，可得．设太阳的运动速率为v′，则v′＝7v．轨道半径r＝2×109 R，则，所以，又因为，故个．
类型五、双星问题
例6、天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)
【思路点拨】 双星之间的作用力是两星之间的万有引力，要做稳定的匀速圆周运动，只有依靠万有引力提供向心力，又因以两者连线上某点为圆心，所以半径之和不变，故运动过程中角速度不变，再由万有引力定律可以解得。
【解析】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做匀速圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2．根据题意有
ω1＝ω2 ①
r1+r2＝r ②
根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
③
④
联立①②③④式解得
⑤
根据角速度与周期的关系知
⑥
联立③⑤⑥式解得

【点评】由于双星做匀速圆周运动的角速度相等，其轨道半径和线速度均与双星的质量成反比．
举一反三
【变式1】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力可等效为位于O点处质量为的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为，试求（用表示）
（2）求暗星B的质量与可见星A的速率、运行周期T、和质量之间的关系式。

【解析】（1）设A、B的圆轨道半径分别为，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有，，
设A、B之间的距离为r,又，由上述各式得
由万有引力定律，有

令
比较可得
（2）由牛顿第二定律，有
又可见星A的轨道半径
综上可得

【高清课程：万有引力的应用 例8】
【变式2】所谓“双星”，就是太空中有两颗质量分别为M1和 M2的恒星，保持它们之间的距离不变，以它们连线上的某一位置为圆心，各自作匀速圆周运动, 如图所示．不计其它星球对它们的作用力。则 ( )
A．它们运行的周期之比T1:T2＝M2:M1
B．它们的回转半径之比r1:r2==M2:M1
C．它们的线速度大小之比v1:v2=M2:M1
D．它们的向心加速度大小之比a1:a2=M2:M1

【答案】BCD
类型六、三星问题
例7、（2019 安徽高考）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
（1） A星体所受合力大小FA；
（2） B星体所受合力大小FB；
（3） C星体的轨道半径RC；
（4） 三颗星体做圆周运动的周期T。
【思路点拨】（1）（2）由万有引力率，分别求出单个的力，然后求出合力即可；（3）C与B的质量相等，所以运行的规律也相等，然后结合向心力的公式即可求出C的轨道半径；（4）选择一颗星体，根据万有引力提供向心力和联立可求得周期T
【解析】（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为

方向如图，则合力大小为

（2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为
方向如图，则合力大小为

。可得
（3）通过对B受力分析可知，由于，，合力的方向经过BC的的中垂线AD的中点，所以圆心O一定在在中垂线AD的中点，故：

（4）三星体运动周期相同，对C星体，由
可得
【总结升华】该题借助于三星模型考察万有引力定律，其中B、C的质量相等，则运行的规律、运动的半径是相等的，画出它们的受力图像，再结合图像和万有引力定律即可正确解答。




宇宙航行
编稿： 审稿：
【学习目标】
1.会推导第一宇宙速度
2.掌握地球（或天体）的卫星各物理量的关系
3.理解同步卫星的特点，了解三种宇宙速度
4.了解卫星的变轨问题
【要点梳理】
要点一、天体问题的处理方法
要点诠释：
（1）建立一种模型
天体的运动可抽象为一个质点绕另一个质点做匀速圆周运动的模型
（2）抓住两条思路
天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合应用，解决问题的基本思路有两条：
①利用在天体中心体表面或附近，万有引力近似等于重力
即（g为天体表面的重力加速度）
②利用万有引力提供向心力。
由此得到一个基本的方程，式中a表示向心加速度，而向心加速度又有、、、这样几种表达式，要根据具体问题，把这几种表达式代入方程，讨论相关问题。
要点二、人造卫星
要点诠释：
1. 人造卫星
将物体以水平速度从某一高度抛出，当速度增加时，水平射程增大，速度增大到某一值时，物体就会绕地球做圆周运动，则此物体就成为地球的卫星，人造地球卫星的向心力是由地球对卫星的万有引力来充当的．
(1)人造卫星的分类：卫星主要有侦察卫星、通讯卫星、导航卫星、气象卫星、地球资源勘测卫星、科学研究卫星、预警卫星和测地卫星等种类．
(2)人造卫星的两个速度：①发射速度：将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度．②环绕速度：卫星在轨道上绕地球做匀速圆周运动所具有的速度．
由于发射过程中要克服地球的引力做功，所以发射速度越大，卫星离地面越高，实际绕地球运行的速度越小．向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难得多．

2．卫星的轨道
卫星绕地球运动的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道．
卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，其周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律．
卫星绕地球沿圆轨道运动时，由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以，地心必须是卫星圆轨道的圆心．卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步卫星)，也可以和赤道平面垂直，还可以和赤道平面成任一角度，如图所示．

要点三、宇宙速度
要点诠释：
1.第一宇宙速度（环绕速度）
指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，是人造卫星的最小发射速度，其大小为
说明：
（1）由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行，此时发射时的动能全部转化为绕行的动能而不需要转化为重力势能。
（2）第一宇宙速度的推导
根据万有引力提供向心力可得：
所以
若已知地球表面的重力加速度，则由万有引力和重力近似相等有
所以
2.第二宇宙速度（逃逸速度）
在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去所必须的最小发射速度，其大小为
3.第三宇宙速度
在地面上发射物体，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必须的最小发射速度，其大小为
要点四、同步卫星
要点诠释：
1.概念
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通讯卫星．
2.基本特征
(1)同步卫星的运行方向与地球自转方向一致．
(2)同步卫星的运行周期与地球自转周期相同．且T＝24 h．
(3)同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度．
(4)要与地球同步，卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，又由于向心力是万有引力提供的，万有引力必须在轨道平面上，所以同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方．不可能定点在我国某地上空．
(5)同步卫星高度固定小变
所有同步卫星的周期T、轨道半径r、环绕速度v、角速度ω及向心加速度a的大小均相同．
由，知，由于T一定，所以r不变，而r＝R+h，h为离地面的高度，，又，代入数据T＝24h＝86400 s，g＝9.8 m/s2，R＝6400 km，得h＝3.6×104km．
也就是说，同步卫星必须定位于赤道的正上方，离地面的高度约为3.6×104 km．
(6)同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v，由于
，
则
(7)三颗同步卫星作为通讯卫星，则可覆盖全球．(两极有部分盲区)

要点五、地球同步卫星与赤道上随地球做圆周运动的物体以及人造卫星的区别与联系
要点诠释：
（1）地球同步卫星与赤道上随地球做圆周运动的物体相当于同轴转动的物体，它们的角速度相同，周期相同，线速度关系遵循的关系；
（2）地球同步卫星与人造卫星同属于地球卫星，它们之间的关系遵循天体运动所需的向心力由万有引力提供，符合的公式是：
，r越大a越小； ， r越大v越小
，r越大越小； ，r越大T越大
要点六、卫星的稳定运行与变轨问题
要点诠释：
当卫星的速度突然增加时，，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由知，其运行速度要减小。
当卫星的速度突然减小时，，即万有引力大于卫星所需的向心力，卫星将做向心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，但卫星一旦进入新的轨道运行，由知，其运行速度要增加。
由此，要想使卫星进入更高一级轨道，就要加速；反之要减速。
【典型例题】
类型一、卫星运行的规律
例1、可以发射一颗这样的人造卫星，使其圆轨道( )
A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面的同心圆
B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面的同心圆
C．与地球表面上赤道线是共面的同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面的同心圆，但卫星相对地球是运动的
【答案】C、D
【解析】人造地球卫星飞行时，由于地球对卫星的引力作为它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，即所有无动力的卫星其轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，不能是地轴上(除地心外)的某一点，故A是不对的．
由于地球同时绕着地轴在自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以B也是不对的．
相对地球表面静止的就是同步卫星，它必须在赤道线平面内，且距地面有确定的高度，这个高度约为三万六千公里，而低于或高于该高度的人造卫星也是可以在赤道平面内运动的，不过由于它们自转的周期和地球自转的周期不相同，就会相对于地面运动．
【总结升华】(1)人造地球卫星的轨道一般有三种：赤道轨道、极地轨道和一般轨道．共同特点是轨道中心必须和地心重合．
(2)没有跟某一经度重合的轨道，也没有跟某一纬度重合的轨道(除赤道平面)．事实上大约三万六千公里高空的赤道轨道上只有和地球自转方向相同的卫星才能称之为同步卫星，如果转向正好与地球自转方向相反，就不能称其为地球同步卫星了．
(3)发射到赤道轨道上的同步卫星为了节省动力，发射场所选地点应尽可能靠近赤道，且要借助地球自转的线速度．
【高清课程：天体的运动及航天技术 例1】
【变式】火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆．已知火卫一的周期为7小时39分．火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（ ）
A．火卫一距火星表面较近
B．火卫二的角速度较大
C．火卫一的运动速度较大
D．火卫二的向心加速度较大
【答案】AC
类型二、第一宇宙速度的应用
例2、已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面的高度为h，求卫星的运行周期T．
【解析】(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M，地球表面处物体的质量为m′，
在地球表面附近满足，
则GM＝R2g， ①
卫星受到的万有引力提供做圆周运动的向心力，则，②
将①式代入②式，得到．
(2)结合①式卫星受到的万有引力为，③
由万有引力提供向心力得， ④
③④两式联立解得．
【总结升华】第一宇宙速度是在天体表面发射卫星的最小发射速度，也是卫星近“地”最大绕行速度，不同天体的第一宇宙速度一般不同．求解第一宇宙速度常用或．在G未知时除非估算类问题，一般不能把G作为已知量，而通常用黄金代换或比较法消去G求解．
【变式】（2019 南平综测）某星球直径为d，宇航员在该星球表面以初速度竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为h，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为

【答案】D
【思路点拨】以初速度竖直上抛一物体，物体在重力作用下做匀减速直线运动，当物体速度减为0时，物体上升到最大高度，已知初速度末速度和位移，根据匀变速直线运动的速度位移关系可以求出该星球表面的重力加速度g，再根据万有引力提供向心力，求出该星球的第一宇宙速度．
【解析】在该星球表面以初速度v0竖直上抛出一物体，则该物体上升的最大高度为H．
由，得：，根据，而，得该星球的第一宇宙速度为：，故D正确，ABC错误；
类型三、同步卫星的规律
例3、用m表示地球通信卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加程度，ω0表示地球自转的角速度，则通信卫星所受到的地球对它的万有引力的大小是( )
A．等于0 B．等于 C．等于 D．以上结果均不对
【答案】B、C
【解析】根据万有引力定律，有，
又因为，所以，
地球对通信卫星的万有引力提供卫星的向心力，所以，．
又因，所以有，
因而．
【总结升华】所有地球同步卫星的周期都相同，为24 h，根据可知，所有同步卫星的轨道半径和线速度、角速度的大小都相同．
【高清课程：天体的运动及航天技术 例4】
【变式】如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h．已知地球半径为R，地球自转角速度为ωo，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
（1）求卫星B的运行周期．
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？

【答案】（1）（2）

例4、（2020 吉安市新余一中、吉安县中联考模拟）假设有一载人宇宙飞船在赤道上空距地面高度为4200 km的轨道绕地球做匀速圆周运动。地球半径约为6400 km，地球同步卫星距地面高为36000 km，宇宙飞船和地球同步卫星绕地球同向运动，每当二者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻二者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为（ ）
A．4次 B．6次 C．7次 D．8坎
【答案】C
【解析】据开普勒第三定律得：，R1=4200 km+6400 km，R2=36000 km+6400 km，可知载人宇宙飞船的运行周期T1与地球同步卫星的运行周期T2之比为
又已知地球同步卫星的运行周期为一天即24 h，因而载人宇宙飞船的运行周期，由匀速圆周运动的角速度，所以宇宙飞船的角速度为rad／h，同步卫星的角速度为rad／h
当两者与太阳的连线是一条直线且位于地球异侧时，相距最远，此时追击距离为πR，即一个半圆，追击需要的时间为：
再次相遇追击距离变为2πR，即一个圆周，追击时间为：
可以得第一次相遇后剩余时间内完成追击次数为：，即剩余时间相遇6次，再加上第一次的相遇，接收站共接收到信号的次数为7次，故选C。
【总结升华】地球同步卫星第一次与宇宙飞船相遇的相位差是π，以后每次相遇的相位差都是2π。
类型四、卫星的变轨运动
例5、（2019 宝鸡三模）如图所示是嫦娥三号奔月过程中某阶段的运动示意图，嫦娥三号沿椭圆轨道Ⅰ运动到近月点处变轨进入圆轨道Ⅱ，嫦娥三号在圆轨道Ⅱ做圆周运动的轨道半径为，周期为，已知引力常量为，下列说法中正确的是（ ）

A．由题中（含图中）信息可求得月球的质量
B．由题中（含图中）信息可求得月球第一宇宙速度
C．嫦娥三号在处变轨时必须点火加速
D．嫦娥三号沿椭圈轨道Ⅰ运动到P处时的加速度大于沿圆轨道Ⅱ运动到处时的加速度
【答案】A
【解析】A、万有引力提供向心力：，得：，既根据轨道半径为，周期为，万有引力常量为，计算出月球的质量，故A正确；
B、万有引力提供向心力：，得：，此处的r指的是月球的半径，而不是嫦娥三号运行的轨道半径，所以由于不知道月球半径，所以不能计算月球第一宇宙速度，故B错误；
C、椭圆轨道和圆轨道是不同的轨道，航天飞机不可能自主改变轨道，只有在减速后，做近心运动，才能进入圆轨道，故C错误；
D、嫦娥三号沿椭圈轨道Ⅰ运动到P处时和沿圆轨道Ⅱ运动到处时，所受万有引力大小相等，所以加速度大小也相等，故D错误。
【总结升华】注意在求解月球的“第一宇宙速度时”， ，r指的是月球的半径，而不是嫦娥三号运行的轨道半径。

类型五、有关航天问题的分析
例6、我国执行首次载人航天飞行的神州五号飞船于2003年10月15日在中国酒泉卫星发射中心发射升空．飞船由长征-2F运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：
（1）飞船在近地点A的加速度aA为多大？
（2）远地点B距地面的高度h2为多少？
B
A
预定圆轨道
地球

【解析】（1）设地球质量为M，飞船的质量为m
飞船在A点受到的地球引力为
地球表面的重力加速度
由牛顿第二定律得
（2）飞船在预定圆轨道飞行的周期
由牛顿运动定律得
解得
例7、侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道上在日照条件下的地方全都摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为R，地面上的重力加速度为g，地球自转周期为T．
【解析】侦察卫星环绕地球一周，通过有日照的赤道一次，在卫星一个周期时间(设为T1)内地球自转的角度为θ，只要θ角所对应的赤道弧长能被拍摄下来，则一天时间内，地面上赤道上在日照条件下的地方都能被拍摄下来．
设侦察卫星的周期为T1，地球对卫星的万有引力为卫星做圆周运动的向心力，卫星的轨道半径r＝R+h，根据牛顿第二定律，则
， ①
在地球表面的物体重力近似等于地球的万有引力，即
． ②
①②联立解得侦察卫星的周期为，已知地球自转周期为T，则卫星绕行一周，地球自转的角度为，
摄像机应拍摄赤道圆周的弧长为θ角所对应的圆周孤长，应为
．
【总结升华】侦察卫星实际上是极地卫星，也被称为间谍卫星，它的轨道平面与赤道平面相垂直，所以该卫星可拍摄到地球上任何地点．

曲线运动、万有引力综合复习
编稿： 审稿：
【学习目标】
1.理解运动的合成与分解2.熟练掌握平抛运动、圆周运动3.理解天体问题的处理方法4.理解人造卫星的运动规律
【知识网络】
一、曲线运动
曲线运动的方向：轨迹上某点切线方向
曲线运动的条件：合外力与速度方向不共线
曲线运动的性质：是变速运动，具有加速度
曲线运动的性质
对运动以及相应的位移、速度和加速度
进行合成或分解
运动合成与分解的内容
矢量合成与分解的平行四边形法则
运动合成或分解的法则
合运动与分运动等效性
将运动合成或分解的依据
等效性
同时性
独立性
合运动与分运动的关系
曲线运动的处理方法
（运动的合成与分解）
斜抛运动
斜上抛：初速度方向与重力方向成钝角
斜下抛：初速度方向与重力方向成锐角
处理方法：与平抛运动的分解方法类似
匀变速曲线运动
平抛运动定义：
平抛运动的条件：只受重力，初速度与重力方向垂直
平抛运动的分解方法：水平方向匀速，竖直方向自由落体。
平抛运动的规律：
平抛运动

与v0无关

轨迹是抛物线
匀速圆周运动
条件：合外力大小不变，方向总是垂直于速度的方向
描写的物理量及关系：



力学方程：
描写圆周运动的瞬时关系全部成立，如

遵守的公式
或规律
与匀速圆周运动的不同：向心力F向是质点
所受合力的一个分量，即F合≠F向
变速圆周运动
非匀变速曲线运动
（加速度变化）
曲线运动的实例


二、万有引力定律
轨道定律
速度定律
周期定律
开普勒定律
发现过程：地面力学规律向天体推广
定律内容：（两质点之间）
定律验证：月地检验，预期哈雷彗星等
万有引力定律
测量天体的质量和密度
发现未知天体
掌握行星、卫星的运动规律
万有引力定律的应用
第一宇宙速度：v1=7.9 km / s 意义
第二宇宙速度：v2=11.2 km / s 意义
第三宇宙速度：v3=16.7 km / s 意义
三个宇宙速度
根据万有引力定律
计算常用公式
，


【要点梳理】
要点一、曲线运动及运动的合成与分解
要点诠释：
1．曲线运动速度的方向
（1）速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。
（2）获取途径：
其一，生活中的现象如：砂轮边缘飞出的铁屑、雨天车轮甩出的雨滴、弯曲的水管中喷出的水流等；
其二，由瞬时速度的定义，瞬时速度等于平均速度在时间间隔趋于零时的极限，从理论上得到曲线运动瞬时速度的方向。
（3）曲线运动的性质：速度是矢量，曲线运动的速度时刻在变化，曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度，曲线运动受到的合外力一定不等于零。
2．物体做曲线运动的条件
（1）物体做曲线运动条件：当物体受到的合外力与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动。
如人造地球卫星绕地球运行时，它受到的地球的吸引力与它的速度方向不在一条直线上（），所以卫星做曲线（圆周）运动。
（2）物体做直线运动条件：当物体受到的合外力与速度的方向在一条直线上或者物体受到的合外力为零时，物体做直线运动。
（3）物体在运动中合外力切向分量和法向分量的作用：
切向分量：改变速度的大小——当合外力的切向分量与速度的方向相同时，物体做加速曲线运动，相反时做减速曲线运动。
法向分量：改变速度的方向——只有使物体偏离原来运动方向的效果，不能改变速度的大小。
（4）曲线运动条件的获得途径：
其一，由实际的曲线运动的受力情况可以知道；
其二，通过理性分析可以得知，如在垂直于运动的方向上物体受到了合外力的作用，物体的运动方向便失去了对称性，必然向着受力的方向偏转而成为曲线运动。
3．曲线运动轨迹的确定
（1）已知x、y两个分运动，求质点的运动轨迹；
只要写出x、y两个方向的位移时间关系和，由此消除时间t，得到轨迹方程，便知道轨迹是什么形状。
例如质点在x、y方向上都做匀速直线运动，其速度分别是vx、vy，求其运动的轨迹方程。
第一：写位移方程 x；
第二：消时间t得到轨迹方程；
可见两个匀速直线运动的合运动的轨迹仍然是直线。
（2）定性的判断两个分运动的合运动的轨迹是直线还是曲线：由曲线运动的条件知，只要看质点的初速度方向和它受到的合外力的方向是否共线便知。
4．合运动与分运动、分运动与分运动之间的关系
等时性：质点所做的各个分运动在同一时间里完成，各个分运动也当然的和合运动在同一时间里完成，也就是说，在一个具体问题的某一过程中，由一个分运动求得的时间和由合运动求得的时间是相同的。
等效性：各个分运动合成后的综合效果与合运动的效果是完全相同的，否则运动的合成和分解便失去了意义。
独立性：同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，即每一个方向上的运动仅由这一方向质点的受力情况和初始条件决定。
要点二、抛体运动
要点诠释：
1．抛体运动的分类和性质
（1）性质：抛体运动是匀变速运动，因为它受到恒定的重力mg作用，其加速度是恒定的重力加速度g。
（2）按初速度的方向抛体运动可以分为：
竖直上抛：初速度v0竖直向上，与重力方向相反，物体做匀减速直线运动；
竖直下抛：初速度v0竖直向下，与重力方向相同，物体做匀加速直线运动；
斜上抛：初速度v0的方向与重力的方向成钝角，物体做匀变速曲线运动；
斜下抛：初速度v0的方向与重力的方向成锐角，物体做匀变速曲线运动；
平抛：初速度v0的方向与重力的方向成直角，即物体以水平速度抛出，物体做匀变速曲线运动；
（3）匀变速曲线运动的处理方法：
以解决问题方便为原则，建立合适的坐标系，将曲线运动分解为两个方向的匀变速直线运动或者分解为一个方向的匀速直线运动和另一个方向的匀变速直线运动加以解决。
2．平抛运动的规律（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动：
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
合速度：大小： 即，
方向：v与水平方向夹角为
合位移：大小：即，
方向：S与水平方向夹角为
一个关系：，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。
3．对平抛运动的研究
（1）平抛运动在空中的飞行时间：
由竖直方向上的自由落体运动得到，飞行时间。由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，物体飞行的时间就越长，与抛出速度的大小无关。
（2）平抛运动的射程
由平抛运动的轨迹方程可以写出其水平射程
可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。
（3）平抛运动轨迹的研究
平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。
平抛运动实验探究的构思和方案
①实验构思：对比实验法：即将平抛运动和自由落体同时进行，对比试验；将平抛运动和水平方向上的匀速运动对比试验；
②实验方案：
a、频闪照相法：在对比实验的过程中，每间隔相等的时间对同时进行的两个运动物体拍照，记录下物体的位置进行研究，寻求运动的规律。
b、碰撞留迹法：通过碰撞法留下运动物体不同时刻的位置，描出物体的运动轨迹进行研究。
要点三、描写圆周运动的物理量
要点诠释：
1．圆周运动的线速度
（1）线速度v的定义：圆周运动中，物体通过的弧长与所用时间的比值，通常把这个比值称为圆周运动的线速度。
（2）公式： 单位：m / s 方向：沿着圆周各点的切线方向
说明：
①线速度是指物体作圆周运动时的瞬时速度。
②线速度的方向就是在圆周某点的切线方向。
③线速度的大小是的比值。所以v是矢量。
④匀速圆周运动是一个线速度大小不变的圆周运动。
⑤线速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要Δt取得足够小，公式计算的结果就是瞬时线速度。
注：匀速圆周运动中的“匀速”二字的含义：仅指速度大小不变，但速度的方向（曲线上某点的切线方向）时刻在变化。
2．描写圆周运动的角速度
（1）角速度的定义：圆周运动物体与圆心的连线扫过的角度与所用时间的比值叫做角速度。
（2） 公式： 单位： rad / s（弧度每秒）
说明：
①这里的必须是弧度制的角。
②对于匀速圆周运动来说，这个比值是恒定的，即匀速圆周运动是角速度保持不变的圆周运动。
③角速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要Δt取得足够小，公式计算的结果就是瞬时角速度。
④关于ω的方向：中学阶段不研究。
⑤同一个转动的物体上，各点的角速度相等。
例如：木棒OA以它上面的一点O为轴匀速转动时，它上面各点（各点与圆心O点的连线）的角速度相等。
即：
O
C
B
A

3．线速度和角速度的关系：
（1）关系：
（2）对于线速度与角速度关系的理解：是一种瞬时对应关系，即某一时刻的速度与这一时刻的角速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动。
4．向心加速度
（1）向心加速度产生的原因：向心加速度由物体所受到向心力产生，根据牛顿第二定律知道，其大小由向心力的大小和物体的质量决定。
（2）向心加速度大小的计算方法：
①由牛顿第二定律计算：；②由运动学公式计算：。
（3）对向心加速度的认识
①向心加速度a的方向：沿着半径指向圆心，是一个变量。
②向心加速度的意义：在一个半径一定的圆周运动中，向心加速度描述的是线速度方向改变的快慢。
③从运动学上看：速度方向时刻在发生变化，总是有必然有向心加速度；
④从动力学上看：沿着半径方向上指向圆心的合外力必然产生指向圆心的向心加速度。
要点四、关于向心力
要点诠释：
1．向心力的概念
（1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力。
向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。
向心力的大小：，向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积；
确定的物体在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。
向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。
（2）关于向心力的说明：
①向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力
②匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变速度的大小。
③无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变的，仅方向不断变化。
2．向心力的来源
向心力不是一种特殊的力。重力（引力）、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以作为向心力。
3．从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动
（1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之物体受到的合外力完全充当向心力的角色。
例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。
（2）在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。
（3）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律
无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小冲是：（公式中的每一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度。）
换一种说法就是,在圆周运动中的任何时刻或位置，牛顿运动定律都成立。即。
4．关于离心现象
外力提供的向心力和做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响
（1）外力提供的向心力：是某个力、几个力的合力或者是合力在半径方向上的分量，是实实在在的相互作用。
（2）做圆周运动需要的向心力：是指在半径为r的圆周上以速度v运动时，必须要这么大的一个力，才能满足速度方向改变的要求。
（3）供需关系对物体运动的影响：
外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；
外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动；
外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心运动。
要点五、万有引力定律
要点诠释：
1．物体的重力随离地面高度h的变化情况
物体的重力近似为地球对物体的引力，即近似等于，可见物体重力随h的增大而减小。
2．地球附近和其它天体表面的重力加速度
（1）地球表面的重力加速度
①地球表面的重力加速度。由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般的情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力大小就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为g0，则根据万有引力定律可得（R0为地球的半径）。
②离地面高h处的重力加速度，根据万有引力 定律，有（R0为地球的半径）
（2）天体表面重力加速度问题
设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，由得。
由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为

星球表面的重力加速度既可从它与星球的关系求出，又可以从它与运动的关系（平抛运动、自由落体运动、竖直向上抛运动等）中求出，重力加速度是运动学和万有引力、天体运动联系的纽带。
3．求天体的质量、密度
通过观察天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力即，得天体质量 。
（1）若知道天体的半径R，则天体的密度
。
（2）若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，其周期为T，则天体密度。
4．地球卫星
（1）一般做匀速圆周的卫星
①遵循的规律是：
②运动规律：线速度、角速度、向心加速度、周期等只取决于中心天体的质量M和轨道半径r。半径越大，线速度、角速度、向心加速度都变小，周期变大。
（2）地球同步卫星
所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的和地球自转具有相同周期的卫星，T=24 h。同步卫星必须位于赤道正上方距地面高度h≈3.6×104 km处。
5．三种宇宙速度
（1）第一宇宙速度（环绕速度）v1=7.9 km / s，是人造地球卫星的最小发射速度。
（2）第二宇宙速度（脱离速度）v2=11.2 km / s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
（3）第三宇宙速度（逃逸速度）v3=16.7 km / s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
6．解决天体运动问题的方法
（1）若卫星或天体沿椭圆轨道运行时，通常由开普勒三定律结合万有引力定律、牛顿运动定律及能量守恒定律解决。
（2）若卫星做匀速圆周运动，解题通常由和代换关系解决。
（3）解决天体运动问题要重视形成运动情景，理解运动的本质。
【典型例题】
类型一、对曲线运动的性质和条件的理解
例1．如图，一质点做加速曲线运动从M点到N点，当它经过P点时，其速度v和加速度a的方向关系正确的是（ ）

【思路点拨】准确的理解质点从M点到N点做加速、曲线运动是解题的关键和突破口。
【答案】C
【解析】物体从M到N做加速运动，说明a的切向分量与v同向，曲线运动的合外力一定指向曲线凹的一侧，其加速度也一定指向曲线凹的一侧，所以正确答案C。
【总结升华】做曲线运动的物体所受到合力的切向分量和法向分量起着改变速度的大小和方向的作用。合力的大小不可能指向曲线凸的一侧。
类型二、运动的合成与分解在实际问题中的运用
例2．玻璃生产线上，宽9 m的成型玻璃板以2 m / s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚石刀的走刀速度是10 m / s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚石刀的切割轨道如何控制？切割一次的时间有多长？
【思路点拨】分析要使得割出的玻璃板是矩形，金刚石刀应当同时参与哪两个运动。
【解析】金刚石刀必须在玻璃板运动的方向上与玻璃板具有相同的速度v1=2 m / s，同时还要有垂直于玻璃板运动的方向上的速度v2，刀的实际速度v=10 m / s就是这两个速度的合成，如图所示：
v2
v1
v
θ


所以金刚石到走刀方向与玻璃板的速度方向所成的角

切割一次用的时间：
【总结升华】金刚石刀相对于玻璃只有垂直方向的速度时才能割出矩形。
类型三、对平抛运动的理解
例3．关于物体的平抛运动，下列说法正确的是（ ）
A．由于物体受力的大小和方向不变，因此平抛运动是匀变速运动
B．由于物体的速度方向不断变化，因此平抛运动不是匀变速运动
C．物体运动时间只由抛出时的高度决定，与初速度无关
D．平抛运动的水平距离，由抛出点高度和初速度共同决定
【思路点拨】弄清楚平抛运动的受力特点和水平方向、竖直方向的具体运动情况，是回答问题的关键。
【答案】ACD
【解析】平抛运动受到恒定的重力作用，做匀变速运动，选项A正确；由平抛运动的规律知，物体运动时间是只由抛出时的高度决定，与初速度无关，C选项正确；平抛的水平距离，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的竖直距离越大时，射程也越大，D选项正确。
【总结升华】重视理性思维，不能想当然的认为曲线运动就不是匀变速运动，平抛的初速度越大时物体运动的时间就越长。
举一反三
【高清课程：曲线运动高考题考点分析 例2】
【变式1】一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（ ）

【答案】D
【变式2】在同一高处有两个小球同时开始运动，一个以水平初速抛出，另一个自由落下，在它们运动过程中的每一时刻，有（ ）
A．加速度不同，速度相同
B．加速度相同，速度不同
C．下落的高度相同，位移不同
D．下落的高度不同，位移不同
【思路点拨】弄清平抛运动和自由落体运动的区别和联系是正确回答问题的关键。
【答案】C
【解析】平抛运动和自由落体运动的受力情况是相同的，它们的加速度是相同的；不同的是平抛运动同时参入了两个分运动，速度和位移分别是相应的两个分速度和分位移的合成，因此，经过相同的时间后它们的速度和位移是不同的。
类型四、平抛运动的计算——极值问题
例4．如图所示，AB为斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点，求出小球与斜面的最远距离H。

【思路点拨】利用平抛运动的一个结论：平抛运动的物体在任意位置（x，y）处速度方向的反向延长线与x轴交于处。

【答案】
【解析】如图所示，当小球离斜面最远时，速度方向与斜面平行，则x=v0t，小球与斜面最远距离，结合解得。
y
O
x
H
vy
vx
(x，y)
θ
θ
θ
(，0)
v

【总结升华】本题也可以采用将平抛运动分解为平行于斜面的运动和垂直于斜面的两个运动进行求解，进一步加深对运动合成、分解的理解。
类型五、平抛运动的计算——临界问题
例5．如图所示，女排比赛时，排球场总长是18 m，设球网高度是2 m，运动员站在网前3 m处正对球网跳起将球水平击出。求击球的高度不小于多少时，才能将排球平击在对方场地？
H
h
S1
S2

【思路点拨】设想在某一高度h处用某一速度v0将球水平击出，排球擦网而过且恰好落在边界上。在此临界状态下进行动态分析：若击球速度略小，则球触网；若击球速度稍大则球出界，所以此高度h就是水平击球的最小高度。
【答案】2.13 m
【解析】由临界状态找出临界条件，由平抛运动规律列方程
（1）擦网
（2）落边界
解得 h=2.13 m
故击球的高度不得小于2.13 m。
举一反三
【高清课程：曲线运动高考题考点分析 例4】
【变式】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地。如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为,重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。
（1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2。
（2）求绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？

【思路点拨】将文字形成正确的物理情景是解决物理问题的一个关键。
【解析】（1）在绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，

（2）设绳子承受的最大拉力为T，这也是球受到绳的最大拉力，球做圆周运动的半径
由向心力公式
（3）设绳长为l,绳断时球的速度大 小为v３，绳承受的最大拉力不变，有
得
绳断后球做平抛运动，竖直位移为,水平位移为x，时间为t1，有

得
当时，x有极大值
【总结升华】（1）将文字形成正确的物理情景是解决物理问题的一个关键。（2）应用数学方法求解物理题中的极值问题也是常用的方法。
类型六、线速度、角速度、向心加速度大小的比较和计算
例6．如图所示，定滑轮的半径r=2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a=2 m / s2做匀加速运动。在重物由静止下落距离为1 m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω多大？向心加速度a多大？

【思路点拨】物体的速度时刻等于轮缘上一点的线速度，求出物体下落1 m时的瞬时速度，然后利用角速度、向心加速度和线速度的关系可以求解。
【解析】（1）重物下落1 m时，瞬时速度为：
显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2 m / s，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动角速度为：
（2）向心加速度为：
【总结升华】此题讨论的是变速运动问题，重物落下的过程中滑轮转动的角速度，轮上各点的线速度都在不断增加，但在任何时刻角速度与线速度的关系（v=ωr），向心加速度与角速度、线速度的关系仍然成立。
类型七、水平面上在静摩擦力作用下的圆周运动
例7．如图，在水平转台上放一质量为M的木块，木块与转台间的最大静摩擦系数为μ，它通过细绳与另一木块m相连。转台以角速度ω转动，M与转台能保持相对静止，它到转台中心的最大距离R1和最小距离R2多大？

【解析】假设转台光滑，M与转台保持相对静止的距离中心半径R0，M受绳子拉力T，平台支持力N。保持静止。T=mg
对M，T=Mω2R0
即：mg=Mω2R0 ∴
讨论：（1）若R为最小值R1时，（R1＜R0）M有向圆心运动趋势，故转台对M有背离圆心的静摩擦力，大小为fm=μMg。
对m仍有T=mg ∴mg－μMg=Mω2R2

（2）若R为最大值R1时，（R1＞R0）M有离心运动趋势，故转台对M有指向圆心，大小为fm的静摩擦力 ∴T+fm=Mω2R1

M
T
f


类型八、圆周运动综合问题
例8、（2020 江苏省南京师大附中月考）如图所示，轻绳一端系一质量为m的小球，另一端做成一个绳圈套在固定的图钉A和B上，此时小球在光滑的水平平台上做半径为a、角速度为ω的匀速圆周运动。现拔掉图钉A让小球飞出，此后绳圈又被A正上方距A高为h的图钉B套住，达到稳定后。小球又在平台上做匀速圆周运动。求：

（1）图钉A拔掉前，轻绳对小球的拉力大小；
（2）从拔掉图钉A开始到绳圈被图钉B套住过程的时间为多少？
（3）小球最后做匀速圆周运动的角速度。
【解析】（1）图钉A拔掉前，轻线的拉力大小为T=mω2a
（2）小球沿切线方向飞出做匀速直线运动，直到线环被图钉B套住前，小球速度为v=ωa
匀速运动的位移
则时间
（3）v可分解为切向速度v1；和法向速度v2，绳被拉紧后v2=0，小球以速度v1，做匀速圆周运动，半径r=a+h
由
得

【点评】小球最初以a为半径做初速度为v的匀速圆周运动，拔掉图钉A后小球做匀速直线运动，直到被图钉B套住，小球做半径为a+h，线速度为v1的匀速圆周运动。分清小球的运动过程，再结合牛顿运动定律及运动学知识即可求解。
类型九、圆周运动的临界问题
例9．如图，光滑圆管轨道AB部分平面，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r远小于R。有一质量为m，半径比r略小的光滑小球以水平初速v0射入圆管。试分析：在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速v0各应满足什么条件？

【解析】小球从C端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况：①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，得，由机械能守恒定律，联立解得。②对下管壁有压力，此时应有，此时相应的入射速度v0应满足。③对上管壁有压力，此时应用，此时相应的入射速度v0应满足。
【总结升华】掌握无物体支撑与有物体支撑的小球在竖直平面内的圆周运动的问题分析方法的不同。
类型十、万有引力与重力的关系
例10．太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是6 h。在行星的赤道处用弹簧秤测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%，已知引力常量G=6.67×10－11 N·m / kg2，求此行星的平均密度。
【分析】物体在两极只受到两个力——重力和弹簧的拉力作用，而处于平衡状态，根据共点力平衡条件可得
①
被称物体在赤道处时，受到万有引力和拉力作用，绕地心做匀速圆周运动的向心力就等于万有引力与拉力的合力，则有
②
根据题意可知 F2=(1－10%) F1 ③
解①②③式可得，则此行星的平均密度为
。
【总结升华】（1）在行星（或地球）上的物体随行星（或地球）自转所需要的向心力是由万有引力提供的，向心力是万有引力的一个分力，另一个分力使物体压紧地面或拉紧悬线，这个分力就是重力。
（2）在行星的两极处的物体，由于随行星自转所需要的向心力为零，故万有引力等于其重力。
（3）在赤道处的物体，随行星自转所需的向心力最大，此时，万有引力的另一个分力——重力最小，且由于万有引力、重力和向心力同向，则三个力满足，即。式中ω为行星自转的角速度。由此可知，ω越大，重力mg会越小，当ω大到一定值ω0时，会有，这时物体的重力为零，对赤道表面无压力。当ω＞ω0时，，赤道处的物体会被甩出，这时，行星将解体。
类型十一、用万有引力定律测天体重量
例11．把地球绕太阳公转看作匀速圆周运动，轨道平均半径约为1.5×108 km，已知万有引力常量G=6.67×10－11 N·m2 / kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克？（结果取一位有效数字）
【解析】题干给出地球轨道半径r=1.5×108 km，虽没直接给出地球运转周期的数值，但日常知识告诉我们，地球绕太阳公转一周为365天，故周期 T=365×24×3600 s=3.2×107 s。
万有引力提供向心力，即 ，
故太阳质量
【总结升华】①在一些天体运动方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用。如在地球表面物体受到地球的引力近似等于其重力。地面附近的重力加速度g=9.8 m / s2；地球自转周期T=24 h，公转周期T=365天；月球绕地球运动的周期约为27天等。
②本方法利用卫星运动的有关参量（如r、T），求出的质量M是中心天体的，而不是卫星本身的质量m，同学们应切记这一点。
③本题要求结果保留一位有效数字，有效数字运算规则告诉我们：在代入数据运算时，只要按四舍五入的方法代入两位（比要求多保留一位）有效数字即可，这样可避免无意义的冗长计算，最后在运算结果中，再按四舍五入保留到所要求的一位即可，望同学们体会运用。
类型十二、综合运用牛顿运动定律、万有引力定律和匀速圆周运动知识求解天体运动问题
例12、已知地球半径R=6.4×106 m，地面附近重力加速度g=9.8 m / s2，计算在距离地面高为h=2.0×106 m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周的线速度v和周期T。
【解析】根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力求解。
卫星做匀速圆周运动的向心力由它与地球间的万有引力提供，即，知 ①
由地球表面附近万有引力近似等于重力，即得 GM=gR2 ②
由①②两式可得
，
运动周期。
【总结升华】在已知地球半径和地面附近重力加速度的情况下，可以使用变换公式GM=gR2，使计算变得简单，称其为“黄金代换”。
举一反三
【高清课程：曲线运动高考题考点分析 例8】
【变式1】1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439km和2384km，则（ ）
A.卫星在M点的势能大于N点的势能
B.卫星在M点的角速度大于N点的角速度
C.卫星在M点的加速度大于N点的加速度
D.卫星在N点的速度大于7.9km/s

【答案】BC
【变式2】（2019 南平综测）某星球直径为d，宇航员在该星球表面以初速度竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为h，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为（ ）

【答案】D
【思路点拨】以初速度竖直上抛一物体，物体在重力作用下做匀减速直线运动，当物体速度减为0时，物体上升到最大高度，已知初速度末速度和位移，根据匀变速直线运动的速度位移关系可以求出该星球表面的重力加速度g，再根据万有引力提供向心力，求出该星球的第一宇宙速度．
【解析】在该星球表面以初速度v0竖直上抛出一物体，则该物体上升的最大高度为H．
由，得：，根据，而，得该星球的第一宇宙速度为：，故D正确，ABC错误；
类型十三、卫星变轨问题
例13、（2019 宝鸡三模）如图所示是嫦娥三号奔月过程中某阶段的运动示意图，嫦娥三号沿椭圆轨道Ⅰ运动到近月点处变轨进入圆轨道Ⅱ，嫦娥三号在圆轨道Ⅱ做圆周运动的轨道半径为，周期为，已知引力常量为，下列说法中正确的是（ ）

A．由题中（含图中）信息可求得月球的质量
B．由题中（含图中）信息可求得月球第一宇宙速度
C．嫦娥三号在处变轨时必须点火加速
D．嫦娥三号沿椭圈轨道Ⅰ运动到P处时的加速度大于沿圆轨道Ⅱ运动到处时的加速度
【答案】A
【解析】A、万有引力提供向心力：，得：，既根据轨道半径为，周期为，万有引力常量为，计算出月球的质量，故A正确；
B、万有引力提供向心力：，得：，此处的r指的是月球的半径，而不是嫦娥三号运行的轨道半径，所以由于不知道月球半径，所以不能计算月球第一宇宙速度，故B错误；
C、椭圆轨道和圆轨道是不同的轨道，航天飞机不可能自主改变轨道，只有在减速后，做近心运动，才能进入圆轨道，故C错误；
D、嫦娥三号沿椭圈轨道Ⅰ运动到P处时和沿圆轨道Ⅱ运动到处时，所受万有引力大小相等，所以加速度大小也相等，故D错误。
【总结升华】注意在求解月球的“第一宇宙速度时”， ，r指的是月球的半径，而不是嫦娥三号运行的轨道半径。


能量与功
编稿： 审稿：
【学习目标】
1. 了解自然界中存在的守恒量——能量的概念，知道什么是物体的动能，什么是物体的势能
2. 知道功的概念及做功的两个要素
3. 掌握功的量度、公式及单位，并能计算有关的实际问题
4．知道功是标量，知道正功和负功的区别
5．理解合外力做功、变力做功的计算方法
【要点梳理】
要点一、寻找守恒量
要点诠释：
(1)提出问题：在伽利略的理想实验中，小球滚下斜面A，如图所示，它就要继续滚上另一个斜面B．重要的是，伽利略发现了具有启发性的事实：无论斜面B比斜面A陡些或缓些，小球最后总会在斜面上的某点停下来，这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度相同．看起来，小球好像“记得”自己起始的高度．然而，“记得”并不是物理学的语言，在物理学中，如何表述这一事实呢?

(2)寻找守恒量：守恒定律是自然界的普遍规律，已成为人们认识自然的重要工具，寻找守恒量的目的就是揭示、发现自然界的普遍规律，以便认识自然、利用自然．
在上述伽利略的理想实验中，我们先分析小球的运动特点，小球沿斜面滚下时，高度降低，但速度增大，而小球沿斜面滚上时，高度增加，但速度减小．那么可知，小球凭位置而具有的能量减少时，由于运动而具有的能量就增加，反之，也成立，这就体现出守恒量——能量．

要点二、能量
要点诠释：
能量与物体的运动相对应，是对物体不同运动形式的统一量度，不同的运动形式对应不同的能量．
(1)势能：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫做势能．
注意：①两物体间有相互作用力，物体才会有势能．
②势能是与两物体相对位置有关的能量，又叫位能．
例如：地面附近的物体被提到一定的高度而具有的能量叫重力势能；拉伸、压缩的弹簧，拉开的弓具有的能量叫弹性势能．
(2)动能：物体由于运动而具有的能量叫做动能．
动能是一个状态量，动能的大小与物体的运动方向无关，只与物体的质量和运动速度的大小有关．例如：高速运动的炮弹具有很大的动能，可以穿透军舰厚厚的钢板进入船体；运动的水流、气流(风)可以推动叶轮转动而使发电机发电．
不同的运动形式在相互转化的过程中对应的能量也在不断地转化着，总的能量守恒意味着运动是守恒的．能量守恒定律使人类对自然界有了本质的定量认识．
要点三、功的概念
要点诠释：
(1)功的定义：物体受力的作用，并沿力的方向发生一段位移，就说力对物体做了功．
力对物体做功是和一定的运动过程有关的．功是一个过程量，功所描述的是力对空间的积累效应．
(2)功的两个要素：力和沿力的方向发生位移．
两个要素对于功而言缺一不可，因为有力不一定有位移；有位移也不一定有力．
特别说明：力是在位移方向上的力；位移是在力的方向上的位移．如物体在光滑水平面上匀速运动，重力和弹力的方向与位移的方向垂直，这两个力并不做功．
(3)功的计算式：．
在计算功时应该注意以下问题：
①式中F一定是恒力．若是变力，中学阶段一般不用上式求功．②式中的l是力的作用点的位移，也为物体对地的位移．α是F方向与位移l方向的夹角．③力对物体做的功只与F、l、α三者有关，与物体的运动状态等因素无关．④功的单位是焦耳，符号是J．
(4)功是标量，只有大小没有方向，因此合外力的功等于各分力做功的代数和．
(5)物理学中的“做功”与日常生活中的“工作”含义不同．
例如：一搬运工在搬运货物时，若扛着货物站着不动不算做功；扛着货物水平前进不算做功；而在他拿起货物向高处走时就做功了．所以力对物体做功必须具备两个要素：力和在力的方向上有位移．
要点四、功的正负
要点诠释：
1．功的正负
力对物体做正功还是负功，由F和l方向间的夹角大小来决定．
根据知：
(1)当0°≤α＜90°时，cosα＞0，则W＞0，此时力F对物体做正功．
(2)当α＝90°时，cosα＝0，则W＝0，即力对物体不做功．
(3)当90°＜α≤180°时，cosα＜0，则W＜0，此时力F对物体做负功，也叫物体克服力，做功．
2．功的正负的物理意义
因为功是描述力在空间位移上累积作用的物理量，是能量转化的量度，能量是标量，相应地，功也是标量．功的正负有如下含义：
意义
动力学角度
能量角度
正功
动力对物体做正功，这个力对物体来说是动力
力对物体做功，向物体提供能量，即受力物体获得了能量
负功
力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用
物体克服外力做功，向外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，即负功表示物体失去了能量
说明
不能把负功的负号理解为力与位移方向相反，更不能错误地认为功是矢量，负功的方向与位移方向相反．一个力对物体做了负功，往往说成物体克服这个力做了功(取绝对值)，即力F做负功-Fs等效于物体克服力F做功Fs

要点五、功的计算方法
要点诠释：
(1)一个恒力F对物体做功W＝F·lcos α有两种处理方法：—种是W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移lcosα，即将物体的位移分解为沿F方向上和垂直于F方向上的两个分位移和，则F做的功；一种是W等于力F在位移l方向上的分力Fcosα乘以物体的位移l，即将力F分解为沿l方向上和垂直于l方向上的两个分力F1和F2，则F做的功
．
功的正、负可直接由力F与位移l的夹角α的大小或力F与物体速度v方向的夹角α的大小判断．
(2)总功的计算．
虽然力、位移都是矢量，但功是标量，物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
①先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力，然后由计算．
②由计算各个力对物体做的功W1、W2、…、，然后将各个外力所做的功求代数和，即
．
要点六、关于相互作用力所做的功
要点诠释：
作用力和反作用力做的功没有一定的关系．根据做功的两个因素，虽然作用力和反作用力大小相等，但这两个力作用在两个物体上，这两个物体在相同时间内运动的情况是由这两个物体所受的合力、物体的质量以及物体的初始条件这三个因素共同决定的，两个物体在相互作用力方向上的位移也没有必然联系，当相互作用的两个物体的位移大小相等时，作用力与反作用力做功的绝对值相等；当相互作用的两个物体的位移大小不等时，作用力与反作用力做功的绝对值就不等，因此作用力和反作用力所做功的数值也就没有一定的联系．上述情况可用下面的实例来分析：
如图所示，光滑水平面上有两辆小车甲和乙，小车上各固定一条形磁铁，两车分别靠着固定挡板放置．此时两车都处于静止状态，虽然两车之间存在着相互作用，但作用力和反作用力不做功，因为力的作用点无位移；若将甲车左侧的挡板撤去，并使车以一定的水平初速度向右运动，在甲车靠近乙车的过程中，甲对乙的作用力不做功，而乙对甲的作用力做负功；当甲车返回向左运动时，甲对乙的作用力仍然不做功，而乙对甲的作用力做正功；若将乙车右侧的挡板也撤去，则在甲车靠近乙车的过程中，甲对乙的作用力做正功，而乙对甲的作用力仍做负功；当甲车返回向左运动时，两个相互作用力均做正功；若使两车相向运动，则在其相向运动过程中，两个相互作用力均做负功．

综上所述，作用力、反作用力做功的特点有：
(1)作用力与反作用力特点：大小相等、方向相反，但作用在不同物体上．
(2)作用力、反作用力作用下物体的运动特点：可能向相反方向运动，也可能向同一方向运动，也可能一个运动，而另一个静止，还可能两物体都静止．
(3)由不难判断，作用力做的功与反作用力做的功没有必然的关系．
一对作用力和反作用力，两个力可以均不做功；可以一个力做功，另一个力不做功；也可以一个力做正功，另一个力做负功；也可以两个力均做正功或均做负功．
要点七、变力做功的计算
恒力做的功可直接用功的公式求出，变力做功一般不能直接套用该公式，但对于一些特殊情形应掌握下列方法：
(1)将变力做功转化为恒力做功．
①分段计算功，然后用求和的方法求变力所做的功．
某人以水平拉力F拉一物体沿半径为R的圆形轨道走一圈，求力F对物体所做的功．很显然，拉力F是一个大小不变，方向不断改变的变力，不能直接用公式来计算，于是我们设想把圆周无限细分，各小段位移分别为、、、…、，对于每一小段位移上的作用力F就成为恒力了，且F方向与位移方向相同，于是在每小段位移上，力F做的功分别为F·、F·、F·、…、F·，把各小段力F所做的功加在一起，就是力F对物体所做的功，即W＝F·+F·+…+F·＝F(++…+)，因为++…+＝2πR，所以有W＝F·2πR．
这种思维方法叫微元分割法或微元法．曲线运动中的变力做功(主要是大小不变、方向变化的力)常用微元法求解．上述拉力做的功等于拉力的大小与物体运动总路程的乘积．
②用转换研究对象的方法．
利用进行计算，如图所示，人站在地上以恒力F拉绳，使小车向左运动，求拉力对小车所做的功．拉力对小车来说是个变力(大小不变，方向改变)，但细细研究，发现人拉绳的力却是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对小车做的功．

(2)方向不变，大小随位移线性变化的力，可用平均力求所做的功．
(3)用图像法求解变力做功问题．
我们可以用图像来描述力对物体做功的大小．以Fcosα为纵轴，以l为横轴．当恒力F对物体做功时，由Fcosα和l为邻边构成的矩形面积即表示功的大小，如图(a)所示．

如果外力不是恒力，外力做功就不能用矩形表示．不过可以将位移划分为等距的小段，当每一小段足够小时，力的变化很小，就可以认为是恒定的，该段内所做功的大小即为此小段对应的小矩形的面积，整个过程外力做功的大小就等于全体小矩形面积之和，如图(b)所示．
【典型例题】
类型一、恒力功的计算
例1、如图所示，质量为2 kg的物体在水平地面上，受到与水平方向成37°角、大小为10 N的拉力作用，移动2m．已知地面与物体间的动摩擦因数μ＝0.2．求：(1)拉力对物体做的功；(2)重力对物体做的功；(3)弹力对物体做的功；(4)摩擦力对物体做的功；(5)外力对物体做的总功．(g取10 m/s2)

【思路点拨】只要弄清物体的受力情况，明确每个力与位移的夹角，就可根据功的定义求解．
【解析】(1)拉力F做的功 ＝10×2×0.8J＝16J．
(2)重力G做的功 ．
(3)弹力FN做的功 ．
(4)摩擦力做的功
．
(5)外力做的总功
＝16J+0+0-5.6J＝10.4 J．
也可先求出合力，再求合力做的总功．
＝5.2 N，
5.2×2×1J＝10.4 J．
【总结升华】由恒力功的定义式可知：恒力对物体做功的多少，只取决于力、位移、力和位移间夹角的大小，而跟物体的运动状态(加速、匀速、减速)无关。
举一反三
【变式1】（2019 赫山区校级一模）如图所示，A、B两物体质量分别是和，用劲度系数为k的弹簧相连，A、B处于静止状态。现对A施竖直向上的力提起A，使B对地面恰好无压力，当撤去F，A由静止向下运动至最大速度时，重力做功为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】开始时B对地面恰好无压力，故，解得；A速度最大时，处于平衡位置，有，解得；故从静止向下运动至最大速度时，弹簧的位移为，故重力做功为：，故选C。
【高清课程：功 例1】
【变式2】一个质量为150kg的物体，受到与水平方向成α=37°角的斜向右上方的拉力F=500N的作用，在水平地面上移动的距离为x=5m，物体与地面间的滑动摩擦力f=100N，求拉力F和滑动摩擦力f做的功？

【答案】2000J，500J
类型二、总功的计算
例2、如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ．现使斜面水平向左匀速移动距离l．试求：

(1)摩擦力对物体做的功(物体与斜面相对静止)；
(2)斜面对物体的弹力做的功；
(3)重力对物体做的功；
(4)斜面对物体做的功是多少?各力对物体所做的总功是多少?
【思路点拨】求各个力所做的总功，可用各个力做功的代数和来求，也可以先求合力再求功。
【解析】物体相对斜面静止，相对地面水平向左匀速移动l，物体受到重力mg、摩擦力和支持力的作用，这些力均是恒力，故可用计算各力做的功．
根据物体的平衡条件，可得，．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)斜面对物体做的功为斜面对物体施的力做功的代数和；
．
各个力对物体所做的总功等于各力做功的代数和，
即 ．
【总结升华】你或许要问“FN与斜面垂直，它应该不做功呀，怎么FN做起功来了呢?”那请你看看FN与位移l是否垂直，FN与l不垂直，故FN做了功．
举一反三
【变式】如图所示，将质量m的小球从A点松手释放。已知绳长L，偏角θ，求小球由A摆至B的过程中外力对小球所做的总功。

【解析】小球受力分析如图所示：

要求外力对小球所做的总功，此题用求合力的方法是不行的，因为细绳的拉力T是变力，合力也是变力。因此，该题只能分别求出各个力的功再求代数和。
其中绳的拉力不做功，只有重力做功，总功为：

类型三、相对运动中功的计算
例3、（2019 包头校级三模）如图所示，某生产线上相互垂直的甲、乙传送带等高，宽度均为d，而且均以大小为v的速度运行，图中虚线为传送带中线，一个可以看做质点的工件从甲的左端释放，经过长时间后从甲的右端滑上乙，滑到乙的中线恰好相对静止，下列说法正确的是（ ）

A.工件在乙上运动痕迹为直线，长度为
B.工件从滑到乙上到相对静止用时
C.工件与乙之间的动摩擦因数为
D.传送带乙对工件摩擦力做功为零
【答案】AD
【解析】物体滑上乙时，相对于乙上的那一点的速度分为水平向右的速度和向后的速度，合速度为，就是沿着与乙成45度的方向，那么相对于乙的运动轨迹是直线；物体与传送带之间开始时的相对速度是，相对静止时的相对速度是0，滑到乙的中线处恰好相对静止，所以沿向右的方向的位移是，所以物体相对传送带的位移，故A正确；假设它受滑动摩擦力，方向与合相对速度在同一直线，所以角，则相对于乙的加速度也沿这个方向，经过t后，它滑到乙中线相对与乙静止，根据牛顿第二定律，有，解得：；根据平均速度公式，有，解得：，故B错误，C错误；滑上乙之前，工件绝对速度为v，动能为，滑上乙并相对停止后，绝对速度也是v，动能也是，而在乙上面的滑动过程中只有摩擦力做了功，动能又没有变化，所以乙对工件摩擦做功为零，故D正确。
【总结升华】本题的难点在于确定运动轨迹是直线。
举一反三
【变式】小物体b位于光滑的斜面a上，斜面位于光滑的水平地面上如图所示。从地面上看，在小物体沿斜面下滑的过程中，a对b的弹力对b做功为W1，b为a的弹力对a做功为W2，对下列关系正确的是：（ ）
A．W1=0,W2=0 B．W1≠0,W2=0 C．W1=0,W2≠0 D．W1≠0,W2≠0

【解析】当小物体b下滑时，因地面光滑a在b的压力作用下将向右做匀加速运动。
由于弹力N垂直于斜面，固而N与小物体的位移的夹角大于90°。所以a对b的弹力N对b做负功，即W1≠0。
b对a的弹力N¢与斜面位移夹角小于90°，固而b对a做正功，W2≠0。
选项D是正确的。

【答案】D
【高清课程：功 例7】
【变式2】子弹水平射入木块，在射穿前的某时刻，子弹进入木块深度为d，木块位移为s，设子弹与木块相互作用力大小为f，则此过程中木块对子弹做功Wf子= ；子弹对木块做功Wf木= ；一对f对系统做功Wf系= 。

【答案】Wf子=-f（s+d）；Wf木=fs；Wf系=-fd
类型四、关于变力功的计算
例4、如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力的大小不变，求摆球从A运动到竖直位置B时，重力mg、绳的拉力FT、空气阻力各做了多少功?

【思路点拨】计算功的问题要分析清楚是计算恒力的功还是变力的功。
【解析】因为拉力FT在运动过程中，始终与运动方向垂直，故不做功，即．
重力在整个运动过程中始终不变，摆球在重力方向上的位移为AB在竖直方向上的投影OB，且OB＝L，所以．
空气阻力虽然大小不变，但方向不断改变，且任何时刻都与运动方向相反，即沿圆弧的切线方向，因此属于变力做功问题．如果将弧AB分成许多小弧段，使每一小弧段小到可以看成是直线，在每一小弧段上的大小、方向可以认为是不变的(即为恒力)，这样就把变力做功的问题转化为恒力做功的问题，因此所做的总功就等于每个小弧段上所做功的代数和，即
．
故重力mg做的功为mgL，绳子拉力做功为零，空气阻力所做的功为．
【总结升华】滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，物体做曲线运动时，可把运动过程细分，其中每一小段做功为Fl，整个运动过程中所做的总功是力与各小段位移大小之积的和，即．
举一反三
【高清课程：功 例8】
【变式】水平拉着物块绕着半径为R的圆形操场一圈，物块与地面动摩擦因数为μ，质量为m，则此过程中，物块克服摩擦力做功为 .


【答案】

功率与机车的启动
编稿： 审稿：
【学习目标】
1．理解功率的概念，能应用功率公式进行有关的计算．
2．正确理解公式的意义，并能进行计算和解释有关现象．
3．知道什么是瞬时功率和平均功率、实际功率和额定功率，会在具体问题中计算瞬时功率和平均功率．
4．熟悉机车启动的两种方式。
【要点梳理】
要点一、功率
要点诠释：
1．物理意义
功率是表示做功快慢的物理量。所谓做功快慢的实质是物体（或系统）能量转化的快慢。
2．功率的大小
力做的功和做这些功所用时间的比值叫功率，即：P==Fvcosα，其中α是力与速度间的夹角
这两种表达形式在使用中应注意：
(1) 是求一个力在t时间内做功的平均功率。
(2)P= Fvcosα有两种用法：
①求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；
②求某一段时间内的平均功率。当v为某段时间（位移）内的平均速度时，要求在这段时间（位移）内F为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。
3.说明
（1）功率和功一样，它也是属于力的。说到“功率”必须说是哪个力的功率。如：重力的功率、拉力的功率、阻力的功率、弹力的功率等。
（2）平均功率描述的是做功的平均快慢程度，因此说平均功率必须说明是哪段时间（或哪段位移上）的平均功率。而瞬时功率描述的是做功瞬间的快慢程度，因此说瞬时功率必须说明是哪个时刻（或哪个位置）的瞬时功率。
（3）在国际制单位中功率的单位是W（瓦）。
（4）功率是标量。功率的正负（仅由α角决定）表示是力对物体做功的功率还是物体克服外力做功的功率。
（5）重力的功率可表示为PG=mgvy，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积。
4. 额定功率与实际功率
发动机铭牌上的功率即为额定功率，它是指动力机械正常工作时的最大输出功率；
实际功率是机械实际工作时的功率。
正常工作时，机器的实际功率不应超过它的额定功率值。

要点二、关于汽车的运动分析
要点诠释：
(1)对机车等交通工具类问题，应明确P＝F·v中，P为发动机的实际功率，机车正常行驶中实际功率小于或等于其额定功率；F为发动机(机车)的牵引力；v为机车的瞬时速度．
(2)机车以恒定功率启动的运动过程．

故机车达到最大速度时a＝0，，，这一启动过程的关系图像如图所示．

(3)机车以恒定加速度启动的运动过程

设机车保持以加速度a做匀加速直线运动的时间为t：
．
则，此时速度．
这一启动过程的关系图像如图所示．

说明：
（1）当发动机的功率P一定时，牵引力与速度v成反比，即，但不能理解为v趋于零时牵引力F可趋近于无穷大；也不能理解为当F趋于零时v可趋于无穷大。要受到机器构造上的限制。
（2）用P=Fv（此时cosα=1）分析汽车的运动时，要注意条件。如果汽车启动时可以看作匀加速直线运动，阻力可看作大小不变的力，则汽车的牵引力F的大小不变，由P=Fυ可知发动机的功率是逐渐增大的。但是当功率达到额定功率时不再增大，由P=Fυ可知牵引力F将逐渐减小，即汽车启动时做匀加速运动的时间是有限度的。在发动机功率不变的条件下，汽车加速运动的加速度将不断减小。

【典型例题】
类型一、关于平均功率和瞬时功率
例1、如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10 m/s2，求：

(1)前2 s内重力做的功．
(2)前2 s内重力的平均功率．
(3)2 s末重力的瞬时功率．
【思路点拨】物体只在重力作用下从静止开始做匀加速直线运动，由运动学知识可知，物体在2s内的位移和物体在2s末的速度。知道了重力、位移、速度就可以算出功和功率。
【解析】(1)木块所受的合外力
．
物体的加速度．
前2 s内木块的位移．
所以，重力在前2 s内做的功为．
(2)重力在前2 s内的平均功率为．
(3)木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s．
2 s末重力的瞬时功率P＝mg sinθv＝2×10×0.6×4 W＝48 W．
【总结升华】计算功率时要弄清所求的是瞬时功率还是平均功率，若是瞬时功率要用公式计算，并注意力和速度之间的夹角α．
举一反三
【变式1】跳绳是一种健身运动．设某运动员的质量是50 kg，他一分钟跳绳180次．假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的2/5，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是________W．(g取10m/s2)
【思路点拨】对于一些实际问题，构建出其物理模型是解题的关键．例如本题中为了求运动员起跳过程中克服重力所做的功，需先求出起跳的初速度，这就需要把运动员在空中的运动看做竖直上抛运动．利用竖直上抛运动的规律求起跳初速度，从而求出h，然后求起跳过程中克服重力所做的功．
【答案】75
【解析】由于跳绳是周期性运动，因此我们只需分析一个周期内的情况，找出在一个周期内运动员克服重力做了多少功，即可求解．
跳跃的周期，
每个周期内运动员在空中运动的时间．
运动员在空中可视为做竖直上抛运动，则起跳的初速度
，
每次跳跃时运动员上升的最大高度，
所以每次跳跃时，运动员克服重力做的功为，
故克服重力做功的平均功率为．
【总结升华】应该清楚运动受跳起到h高度克服重力做功的mgh．细致分析运动员的一次跳绳过程，求出运动员在空中运动的时间，从而求出h是解决问题的关键．求平均功率的时间必须用跳绳时间T，即要注意求的是哪段时间内的平均功率．
【高清课程：功率 例3】
【变式2】质量m=3kg的物体，在水平力F=6N的作用下，在光滑的水平面上从静止开始运动，运动时间t=3s，求：
（1）力F在t=3s内对物体做的功；
（2）力F在t=3s内对物体做功的平均功率；
（3）力F在3s末对物体做功的瞬时功率。
【答案】54J；18W；36W
类型二、关于汽车的运动分析
例2、（2019 大庆三模）我国自主研发的C919大型客机争取今年试飞，国人的大飞机梦有望今年圆上.若进展顺利，首飞后最快有望2017年完成取证和交付.
设计的飞机质量m=7.5×104kg，起飞速度是80m/s.
（1）若飞机起飞过程中发动机保持额定功率P=8000kW不变，起飞前瞬间加速度a1=0.4m/s2，求飞机在起飞前瞬间受到的阻力大小？
（2）若飞机在起飞加速滑行过程中牵引力恒为F＝9.0×104 N，受到的平均阻力为f=1.5×104 N.如果飞机在达到起飞速度的瞬间因故而停止起飞，则需立即关闭发动机且以大小为4m/s2的恒定加速度减速停下，以确保飞机不滑出跑道.大庆萨尔图机场飞行区等级为4C等级，机场跑道长2600米，是否可以安全起降国产大飞机？
【答案】（1）；（2）不能
【解析】（1）设机在起飞前瞬间牵引力大小为，受到的阻力大小，起飞速度，
则：
牛顿第二定律得：
代入数据解得：
（2）设飞机起飞过程加速度为，达到起飞速度应滑行距离为，因故减速滑行距离为，跑道的长度至少为，则
牛顿第二定律得：
由匀减速直线运动得：



代入数据解得：
由于
所以大庆萨尔图机场不能安全起降国产大飞机
【总结升华】(1)考查飞机以恒定功率启动的物理情景（2）考查飞机以恒定加速度启动时，初始阶段的匀加速运动。我们需要对这两种启动方式的物理情景，及推力过程，做到熟练掌握的程度。
举一反三
【变式1】（2019 全国II高考）一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小f恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是( )





A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，汽车先以恒定功率P1起动，所以刚开始先做加速度减小的加速度运动，后以更大功率P2运动，所以再次做加速度减小的加速运动，故A正确。
【高清课程：功率 例6】
【变式2】汽车发动机的额定功率为60KW，汽车的质量为5t，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍，g=10m/s2。汽车保持额定功率不变从静止启动后:
（1）汽车所能达到的最大速度是多大？
（2）当汽车的加速度为2m/s2时速度多大？
（3）当汽车的速度为6m/s时加速度多大？
【答案】12m/s；4m/s；1m/s2

重力势能和弹性势能
编稿： 审稿：
【学习目标】
1．理解重力势能的概念，会用重力势能的定义式进行计算．
2．理解重力势能的变化和重力做功的关系．知道重力做功与路径无关．
3．知道重力势能的相对性．
4．明确弹性势能的含义，理解弹性势能的相对性
5．知道弹性势能与哪些量有关．
【要点梳理】
要点一、重力做功的特点
要点诠释：
重力对物体所做的功只跟物体的初末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关．物体沿闭合的路径运动一周，重力做功为零，其实恒力(大小方向不变)做功都具有这一特点．
如物体由A位置运动到B位置，如图所示，A、B两位置的高度分别为h1、h2，物体的质量为m，无论从A到B路径如何，重力做的功均为：

＝mgh＝mg(h1-h2)＝mgh1-mgh2．
可见重力做功与路径无关．

要点二、重力势能
要点诠释：
(1)定义：物体由于被举高而具有的能．
(2)公式：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积．
．
h是物体重心到参考平面的高度．
(3)单位：焦(J)．
1J＝．
(4)重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．实际上是由h为相对量引起的．参考平面的选择不同，重力势能的值也就不同，一般取地面为参考平面．
在参考平面内的物体，EP＝0；
在参考平面上方的物体，EP＞0；
在参考平面下方的物体，EP＜0．
(5)重力势能是标量，它的正、负值表示大小．
(6)重力势能是地球和物体共有的．

要点三、重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性
要点诠释：
(1)重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．在参考平面内，物体的重力势能为零；在参考平面上方的物体，重力势能为正值；在参考平面下方的物体，重力势能为负值．
(2)重力势能变化的不变性(绝对性)．
尽管重力势能的大小与参考平面的选择有关，但重力势能的变化量都与参考平面的选择无关，这体现了它的不变性(绝对性)．
(3)某种势能的减少量，等于其相应力所做的功．
重力势能的减少量，等于重力所做的功；弹簧弹性势能的减少量，等于弹簧弹力所做的功．
(4)重力势能的计算公式EP＝mgh，只适用于地球表面及其附近g值不变时的范围，若g值变化时，不能用其计算．

要点四、重力做功和重力势能改变的关系
要点诠释：
(1)设A、B两点为物体在运动过程中所经历的两点(如图所示)。
若从B点运动到A点，则(重力对物体做负功mgh)；从能量的角度，(重力势能增加mgh)．

若从A点运动到B点，则(重力对物体做正功)；从能量的角度，(重力势能减小mgh)．可见，重力势能的改变△EP只与重力做功有关，跟物体做什么运动以及是否同时还有其他作用力(如牵引力、阻力等)的存在无关，即．也就是说，重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；克服重力做功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功．即
．
(2)重力做功与重力势能的比较．
概念
比较项目
重力做功
重力势能
物理意义
重力对物体所做的功
由于物体与地球的相互作用，且由它们之间的相对位置决定的能
表达式


影响大小的因素
重力G和初、末位置的高度差△h
重力mg和某一位置的高度h
特点
只与初、末位置的高度差有关，与路径及参考平面的选择无关
与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面会有不同的重力势能值
过程量
状态量
联系
重力做功过程是重力势能变化的过程，重力做正功，重力势能减小，重力做负功，重力势能增加，且重力做了多少功，重力势能就变化了多少功，即


要点五、弹性势能
要点诠释：
1.弹性势能
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。
2.弹性势能的大小跟形变的大小有关，形变量越大，弹性势能越大
对于弹簧来说，弹性势能还与劲度系数有关，当形变量一定时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大。
3.弹性势能的表达

注意：式中为弹簧的弹性势能，为劲度系数，为弹簧的形变量（即压缩或伸长的长度）
4.弹力做功跟弹性势能变化的关系
当弹簧的弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小，弹性势能变成其他形式的能；当弹簧的弹力做负功时，弹簧的弹性势能增加，其他形式的能转化为弹性势能。
这一点与重力做功跟重力势能变化的关系类似。

【典型例题】
类型一、重力势能的理解
例1、如图所示，一人造卫星绕地球做椭圆轨道运动，试比较该卫星在近地点与远地点时的重力势能大小．

【解析】设A、B两点与地球的距离分别为hA和hB．
错解一：因为，，，所以．
错解二：设卫星在A、B两处时的重力加速度分别为与．则有，．因为，所以．
正确解法：在AB连线上取A′点，使A与A′同处于以地心为圆心的同一圆弧上，则A′和A处物体重力势能大小相等。另外，卫星由B至A′时，引力做正功，重力势能减小，故有．
【总结升华】错解的原因是公式只能在地球表面及附近g值认为不变时才能适用，而卫星在A、B两点时的g值不同，重力势能的计算就不能用此公式了．
举一反三
【高清课程：重力势能和弹性势能 例1】
【变式1】塔吊把一质量为200kg的物体，从距地面高为h1=10m的高度匀速运到高为h2=3m的地方，重力做了多少功？物体的重力势能如何变化？ (g=10m/s2)
【答案】14000J；重力势能减少了14000J
【变式2】下面关于重力势能的说法中，正确的是( )
A．有甲、乙两个物体，甲的高度是乙的高度的2倍，那么物体甲的重力势能的数值一定是物体乙的3倍
B．从同一高度将某一物体以不同的速率分别竖直上抛和平抛，则物体从抛出到落地的过程中，重力势能的变化是相同的
C．有一物体从楼顶落到地面，如果受到空气阻力作用，物体重力势能的减小量小于自由下落时重力势能的减小量
D．重力做功时，不仅与物体运动的高度差有关，还与物体的运动性质、运动路径有关
【答案】B
【解析】重力势能的大小与物体的质量及零势能参考平面的选取有关，故A错；重力做功与路径无关，与物体的运动性质无关，只与物体的初、末位置的高度差及重力的大小有关，从抛出到落地重力做的正功相同，物体重力势能的变化是相同的，故B正确，C、D错．
【总结升华】重力做功与路径无关，只取决于初、末位置的高度差；重力势能的变化只与重力做功有关，两者数值上相等．

类型二、重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性
例2、质量为20 kg的薄铁板平放在二楼的地面上，二楼地面与楼外地面的高度差为5 m．这块铁板相对二楼地面的重力势能为________J，相对楼外地面的重力势能为________J；将铁板提高1 m，若以二楼地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了________J；若以楼外地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了________J．(g取10N/kg)
【思路点拨】注意参考平面的选择。
【答案】0 103 200 200
【解析】根据重力势能的定义式，以二楼地面为参考平面：
EP＝0．
以楼外地面为参考平面：
EP＝mgh＝20×10×5J＝103 J．
以二楼地面为参考平面：
．
以楼外地面为参考平面：
．
【总结升华】重力势能的相对性是指其数值与参考平面的选择有关；重力势能变化的绝对性是指重力势能的变化量与所选择的参考平面无关．
举一反三
【高清课程：重力势能和弹性势能 例2】
【变式】桌面B高1m，一质量为1kg的小球，从离桌面1m高的A处自由落下，不计空气阻力，在这个过程中，分别取地面和桌面为零势能面来计算 。求：(g=10m/s2)
（1）小球在A处和落地时C处的重力势能
（2）小球从A到C的重力所做的功
（3）小球从A到C的重力势能的变化量

【答案】


类型三、等效法计算重力势能的变化
例3、质量为m的均匀链条长为L，开始放在光滑的水平桌面上时，有的长度悬在桌边缘，如图所示，松手后，链条滑离桌面，问从开始到链条刚滑离桌面过程中重力势能变化了多少?

【答案】
【解析】解法一：等效法，由图中始态和末态比较，可等效成将开始桌面上的的链条移至末态的下端处，故重心下降了，所以重力势能减少了，即．
解法二：设桌面为参考面，开始时重力势能，末态时重力势能．
故重力势能变化量．
例4、面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体小木块，木块边长a，密度为水的1/2，质量为m．开始时，木块静止，如图甲所示．现用力F将木块缓慢压到水池底部，不计摩擦．求：从木块刚好完全浸入水中到停止在池底的过程中，木块重力势能的改变量和池水重力势能的改变量．

【解析】由图乙知木块从位置1称到位置2，相当于使同体积的水从位置2移动到位置l，重心升高H-a，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置1和位置2的势能之差．木块的质量为m，与木块同体积的水的质量为2m，故水块和池水势能的改变量分别为，．
【总结升华】获取题目信息，同等效思想确定物体重心变化高度是解题关键．
类型四、弹性势能的理解
例5、（2019 北京高考）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx，k为常量。

(1)请画出F随x变化的示意图；并根据F-x图像
求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功。
(2)物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，在这个过程中，
a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；
b．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。
【解析】(1)F-x图像如图所示。

物块沿x轴从O点运动到位置x的过程，弹力做负功：F-x图线下的面积等于弹力做功大小。弹力做功

(2)a．物块由x1向右运动到x3的过程中，弹力做功

物块由x3向左运动到x2的过程中，弹力做功

整个过程中，弹力做功

弹性势能的变化量
b．整个过程中，摩擦力做功

与弹力做功比较：弹力做功与实际路径无关，只与始末位置有关，所以，我们可以定义一个由物体之间的相互作用力(弹力)和相对位置决定的能量——弹性势能。而摩擦力做功与x3有关，即与实际路径有关，所以，不可以定义与摩擦力对应的“摩擦力势能”。
【总结升华】（1）由题设F=kx可知F与x成正比，即可画出F-x图像。图线下的面积即是弹力做功大小。（2）a.由弹力做功表达式求出全过程弹力功，弹性势能变化量等于弹力做功的负值。b. 列出全过程摩擦力的功的表达式可知，摩擦力做功与实际路径有关，所以不能定义“摩擦力势能”。
举一反三
【高清课程：重力势能和弹性势能 例4】
【变式1】在光滑的水平面上，物体A以较大的速度vA向右运动，与较小速度vB向同一方向运动的、连有轻质弹簧的物体B发生相互作用，如图所示。在相互作用的过程中，弹簧的弹性势能最大时（ ）
A、 vA > vB
B、 vA < vB
C、 vA = vB
D、无法确定

【答案】C
【高清课程：重力势能和弹性势能 例3】
【变式2】如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动．在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )

A．弹簧的弹性势能逐渐减小
B．弹簧的弹性势能逐渐增大
c．弹簧的弹性势能先增大后减小
D．弹簧的弹性势能先减小后增大
【思路点拨】弹簧被压缩或被拉伸导致的形变量越大最长弹性势能越大。
【解析】由物体处于静止状态可知，弹簧处于压缩状态，撤去F物体在向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能应先减小后增大．
【答案】D
【总结升华】弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．

类型五、弹性势能的探究
例6、弹弓是一种兵器，也是一种儿童玩具，它是由两根橡皮条和一个木叉制成的．拉伸橡皮条的过程人对橡皮条做功，使其具有一定的弹性势能，放手后橡皮条的弹力做功，将储存的弹性势能转化为石子的动能，使石子以较大的速度飞出，具有一定的杀伤力．试设计一个实验，求出橡皮条在拉伸到一定长度的过程中，弹力所做的功是多少？橡皮条具有的弹性势能是多少?(只要求设计可行的做法和数据处理方式，不要求得出结论)
【解析】(1)准备橡皮条、测力计、坐标纸、铅笔、直尺、笔．
(2)将橡皮条的一端固定，另一端拴一绳扣．
(3)用直尺从橡皮条的固定端开始测量橡皮条的原长，记录在表格中．
(4)用测力计挂在绳扣上，测出在不同拉力F1、F2、F3……的情况下橡皮条的长度、、……
(5)计算出在不同拉力时橡皮条的伸长量、、……
(6)以橡皮条的伸长量为横坐标，以对应的拉力为纵坐标在坐标纸上建立坐标系、描点、并用平滑的曲线作出图像．
(7)测量曲线与x轴包围的面积S，这个面积在数值上等于外力克服橡皮条的弹力所做的功，也就是弹力所做负功的数值．
【总结升华】本题旨在考查学生对探究方法的理解水平，从目标着眼根据实际问题的特殊性设计构思实验的能力，考查学生对物理图像的理解和微积分思想在处理图像问题中的运用．本题的解答过程还有许多值得思考的问题：如用，图像能否求出外力克服弹力所做的功；图像与轴包围的面积为什么是外力的功；此几何图形的面积如何求得或测得等，同学们可继续探究．
举一反三
【变式】（2019 福建高考）某同学做“探究弹力和弹簧伸条量的关系”的实验。

①图甲是不挂钩码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，其示数为7.73 cm；图乙是在弹簧下端悬挂钩码后指针所指的标尺刻度，此时弹簧的伸长量为Δl为________cm；
②本实验通过在弹簧下端悬挂钩码的方法来改变弹簧的弹力，关于此操作，下列选项中规范的做法是________；（填选项前的字母）
A．逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重
B．随意增减钩码，记下增减钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重
③图丙是该同学描绘的弹簧的伸长量Δl与弹力F的关系图线，图线的AB段明显偏离直线OA，造成这种现象的主要原因是________。
【答案】（1）①6.93 ②A ③超过弹簧的弹性限度
【解析】这是一个“探究弹力合弹簧伸长量之间的关系”的实验题，涉及到刻度尺的读数和实验步骤的考察以及误差和错误分析。刻度尺读数时注意估读。


动能和动能定理
编稿： 审稿：
【学习目标】
1．通过设计实验探究功与物体速度的变化关系.
2．明确动能的表达式及含义．
3．能理解和推导动能定理．
4．掌握动能定理及其应用．
【要点梳理】
要点一、探究功与速度变化的关系
要点诠释：
1.探究思路
让小车在橡皮绳的弹力下弹出，沿木板滑行。由于橡皮绳对小车做功，小车可以获得速度，小车的速度可以通过打点计时器测出。这样进行若干次测量就可以得到多组数据，通过画图的方法得出功与速度的关系。
2. 操作技巧
（1）功的变化我们可以通过由一根橡皮绳逐渐增加到若干根的方法得到。
（2）要将木板倾斜一定角度，使小车在木板上沿斜面向下的重力的分力与其受的摩擦力相等，目的是让小车在木板上可以做匀速直线运动。
3.数据的处理
以单根橡皮绳做的功为横坐标，以速度的平方为纵坐标描点连线，画出图象。
4.实验结论
画出图象，图象为直线，即。
要点二、动能、动能的改变
要点诠释：
1.动能：
(1)概念：物体由于运动而具有的能叫动能．物体的动能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半．
(2)定义式：，v是瞬时速度．
(3)单位：焦(J)．
(4)动能概念的理解．
①动能是标量，且只有正值．
②动能具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能．
③动能具有相对性，对不同的参考系，物体速度有不同的瞬时值，也就具有不同的动能，一般都以地面为参考系研究物体的运动．
2.动能的变化：
动能只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负．“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量．动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；动能的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功．

要点三、动能定理
要点诠释：
(1)内容表述：外力对物体所做的总功等于物体功能的变化．
(2)表达式：，W是外力所做的总功，、分别为初、末状态的动能．若初、末速度分别为v1、v2，则，．
(3)物理意义：
动能定理揭示了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化．变化的大小由做功的多少来量度．动能定理的实质说明了功和能之间的密切关系，即做功的过程是能量转化的过程．等号的意义是一种因果关系的数值上相等的符号，并不意味着“功就是动能增量”，也不是“功转变成动能”，而是“功引起物体动能的变化”．
(4)动能定理的理解及应用要点．
动能定理虽然可根据牛顿定律和运动学方程推出，但定理本身的意义及应用却具有广泛性和普遍性．
①动能定理既适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程．
②动能定理既适用于物体做直线运动情况，也适用于物体做曲线运动情况．
③动能定理的研究对象既可以是单个物体，也可以是几个物体所组成的一个系统．
④动能定理的研究过程既可以是针对运动过程中的某个具体过程，也可以是针对运动的全过程．
⑤动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度．
⑥在中，W为物体所受所有外力对物体所做功的代数和，正功取正值计算，负功取负值计算；为动能的增量，即为末状态的动能与初状态的动能之差，而与物体运动过程无关．

要点四、应用动能定理解题的基本思路和应用技巧
要点诠释：
1.应用动能定理解题的基本思路
（1）选取研究对象及运动过程；
（2）分析研究对象的受力情况及各力对物体的做功情况：受哪些力？哪些力做了功？正功还是负功？然后写出各力做功的表达式并求其代数和；
（3）明确研究对象所历经运动过程的初、末状态，并写出初、末状态的动能、的表达式；
（4）列出动能定理的方程：，且求解。
2.动能定理的应用技巧
（1）由于动能定理反映的是物体在两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制。
（2）一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而往往用动能定理求解简捷；可是有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解。可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识。

要点五、动能定理与牛顿第二定律的联系和区别
在推导动能定理的过程中应用了只能在惯性参考系中成立的牛顿第二定律，因而动能定理也只适用于惯性参考系．而对于不同的惯性参考系，虽然力对物体做的功、物体的动能、动能的变化都不相同，但动能定理作为一个力学规律在不同的参考系中仍然成立．动能定理适用于在惯性参考系中运动的任何物体．
要理解动能定理与牛顿第二定律的联系与区别，应该从两者反映的物理规律的本质上加以认识．我们知道力的作用效果能够使物体的运动状态发生改变，即速度发生变化，而两者都是来描述力的这种作用效果的．前者对于一个力作用下物体的运动过程着重从空间积累的角度反映作用结果，而后者注重反映该过程中某一瞬时力的作用结果．
动能定理是从功的定义式出发，结合牛顿第二定律和动力学公式推导出来的，所以它不是独立于牛顿第二定律的运动方程，但它们有较大的区别：牛顿第二定律是矢量式，反映的是力与加速度的瞬时关系，即力与物体运动状态变化快慢之间的联系；动能定理是标量式，反映的是力对物体持续作用的空间累积效果，即对物体作用的外力所做功与物体运动状态变化之间的联系，因而它们是研究力和运动的关系的两条不同途径．把对一个物理现象每个瞬时的研究转变成对整个过程的研究，是研究方法上的一大进步．
动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功．力可以是各种性质的力，既可以是同时作用，也可以是分段作用，只要能够求出作用过程中各力做功的多少和正负即可．这些正是动能定理解题的优越性所在．

【典型例题】
类型一、对“探究功与速度变化的关系”实验的考查
例1、在“探究功与速度变化的关系”实验中，小车运动中会受到阻力作用，这样，在小车沿木板滑行的过程中，除橡皮筋对其做功外，还有阻力做功，这样便会给实验带来误差，我们在实验中想到的办法是使木板略微倾斜，对于木板的倾斜程度，下面说法正确的是( )
①木板只要稍微倾斜一下即可，没有什么严格的要求。
②木板的倾斜角度在理论上应满足下面的条件：重力沿斜面的分力应等于小车受到的阻力．
③如果小车在倾斜的木板上能做匀速运动，则木板的倾斜程度是满足要求的．
④其实木板不倾斜，问题也不是很大，因为实验总是存在误差的．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解析】有两个标准可以验证木板是否满足实验要求：(1)理论上小车的重力沿斜面上的分力应等于小车自由运动时所受的阻力．(2)运动状态上，小车能在木板上做匀速直线运动．
【答案】B
类型二、对动能、动能变化的理解
例2、一辆汽车的速度从增加到，动能的增量为；若速度从增加到，动能的增量为，则（ ）
A. B. C. D.无法判断
【思路点拨】 本题考察动能的变化
【答案】B
【解析】

【总结升华】物体速度大小变化相等时，物体的动能变化大小是不相同的。
举一反三
【变式】关于对动能的理解，下列说法中正确的是（ ）
A.动能是能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能。
B.动能总为正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的
C.一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化；但速度变化时，动能不一定变化。
D.动能不变的物体，一定处于平衡状态。
【答案】ABC
【解析】动能是由于物体运动而具有的能量，所以运动的物体就有动能，A正确；由于，而与参考系的选取有关，所以B正确；由于速度是矢量，当方向变化时，其速度大小不变，故动能并不改变，C正确；做匀速圆周运动的物体动能不变，但并不处于平衡状态，平衡状态指合外力为零，故D错误。

类型三、动能定理求匀变速直线运动问题
例3、如图所示，物体从高为的斜面上的A点由静止滑下，恰好停在平面上的B点，若使其从B点开始运动且能回到斜面上的A点，则物体在B点的初速度应为多大？

S
h
B

Ａ

【思路点拨】因为在两次运动过程中摩擦阻力做功相同，两过程可分别应用动能定理求解。
【解析】物体从A到B应用动能定理： （1）
物体从B到A应用动能定理： （2）
由（1）、（2）式可得
【总结升华】恒力做功时，既可用牛顿定律求解，也可用动能定理求解，显然用动能定理求解要简单。
举一反三
【高清课程：动能和动能定理 例6】
【变式】如图所示，质量为m的物体从斜面上的A处由静止滑下,在由斜面底端进入水平面时速度大小不变,最后停在水平面上的B处。量得A、B两点间的水平距离为s，A高为h，已知物体与斜面及水平面的动摩擦因数相同，则此动摩擦因数= 。

【答案】
类型四、动能定理求曲线运动问题
例4、（2019 海南高考）如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )




A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当质点由P点滑到Q点时，对轨道的正压力为FN=2mg，由牛顿第二定律得。对质点自P滑到Q点应用动能定理得：，得：，因此，A、B、D错，C正确。
【总结升华】典型的曲线运动，是非匀速圆周最低点问题与动能定理的综合。
【高清课程：动能和动能定理 例5】
【变式】质量为m的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（ ）

【答案】C
类型五、动能定理求多过程问题
例5、（2019 浙江高考）如图所示，用一块长L1=1.0 m的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H=0.8 m，长L2=1.5 m。斜面与水平桌面的倾角θ可在0～60°间调节后固定。将质量m=0.2 kg的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数μ1=0.05，物块与桌面间的动摩擦因数为μ2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失（重力加速度取g=10 m/s2；最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
（1）求θ角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；（用正切值表示）
（2）当θ角增大到37°时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数μ2；（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（3）继续增大θ角，发现θ=53°时物块落地点与墙面的距离最大，求此最高距离xm。




【解析】（1）为使小物块下滑 mg sinθ≥μ1mgsinθ ①
θ满足的条件 tanθ≥0.05 ②
（2）克服摩擦力做功 ③
由动能定理得 mgL1sinθ－Wf=0 ④
代入数据得 μ2=0.8 ⑤
（3）由动能定理得 ⑥
代入数据得 v=1 m/s ⑦

t=0.4s ⑧
x1=vt
x1=0.4 m ⑨
xm=x1+L2=1.9m ⑩
【总结升华】（1）下滑的条件是重力沿斜面的分力大于等于最大静摩擦力。（2）运动情景是先加速后减速，涉及到位移，采用动能定理解题最简单。
举一反三
【高清课程：动能和动能定理 例8】
【变式】质量为m的滑块与倾角为θ的斜面间的动摩擦因数为，斜面底端有一个和斜面垂直放置的弹性挡板,滑块滑到底端与它碰撞时没有机械能损失,如图所示．若滑块从斜面上高为h处以速度v0开始沿斜面下滑,设斜面足够长,求：滑块在斜面上滑行的总路程是多少?

【答案】

类型六、应用动能定理求解变力做功的问题
例6、质量为5 t的汽车，在平直公路上以60 kW恒定的功率从静止开始启动，速度达到24m/s的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200 m．运动过程中汽车所受的阻力不变．求汽车运动的时间．
【思路点拨】当汽车以额定功率行驶时汽车牵引力为变力，即汽车牵引力做功为变力做功。
【解析】在汽车运动的全过程中，有两个力对物体做了功，牵引力做功为Pt1，阻力做功为，由动能定理得：． ①
当汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则有：
，所以．
由①②两式联立可得：汽车加速运动的时间应为：
．
关闭发动机后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动，由牛顿第二定律及匀变速直线运动公式可得：
③
． ④
由③④两式联立可求得汽车匀减速所用的时间为：
．
则汽车在全程运动的时间为：t＝t1+t2＝50 s+48 s＝98 s．
【总结升华】在实际生活中往往会遇到变力做功的情况，在计算变力所做的功时应注意利用适当的功的表述式．本题考查的是利用功率公式求汽车运动时间．汽车以恒定功率启动后的加速过程是加速度不断减小的变加速运动过程，因此不能利用匀变速运动的规律来求加速运动的时间，但可以利用动能定理来计算．
举一反三
【高清课程：重力势能和弹性势能 例4】
【变式1】在光滑的水平面上，物体A以较大的速度vA向右运动，与较小速度vB向同一方向运动的、连有轻质弹簧的物体B发生相互作用，如图所示。在相互作用的过程中，弹簧的弹性势能最大时（ ）
A、 vA > vB
B、 vA < vB
C、 vA = vB
D、无法确定

【答案】C
机械能守恒定律
编稿： 审稿：
【学习目标】
1．明确机械能守恒定律的含义和适用条件．
2．能准确判断具体的运动过程中机械能是否守恒．
3．熟练应用机械能守恒定律解题．
4．知道验证机械能守恒定律实验的原理方法和过程．
5．掌握验证机械能守恒定律实验对实验结果的讨论及误差分析．
【要点梳理】
要点一、机械能
要点诠释：
(1)物体的动能和势能之和称为物体的机械能．机械能包括动能、重力势能、弹性势能。
(2)重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的，所以，机械能守恒定律的适用对象是系统．
(3)机械能是标量，但有正、负(因重力势能有正、负)．
(4)机械能具有相对性，因为势能具有相对性(须确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性．
只有在确定了参考系和零势能参考平面的情况下，机械能才有确定的物理意义．
(5)重力势能是物体和地球共有的，重力势能的值与零势能面的选择有关，物体在零势能面之上的势能是正值，在其下的势能是负值．但是重力势能差值与零势能面的选择无关．
(6)重力做功的特点：
①重力做功与路径无关，只与物体的始、未位置高度筹有关．
②重力做功的大小：W＝mgh．
③重力做功与重力势能的关系：．
要点二、机械能守恒定律
要点诠释：
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内动能和势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变，这个结论叫做机械能守恒定律．
(2)守恒定律的多种表达方式．
当系统满足机械能守恒的条件以后，常见的守恒表达式有以下几种：
①，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和．
②或，即动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量．
③△EA＝-△EB，即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量．
后两种表达式因无需选取重力势能零参考平面，往往能给列式、计算带来方便．
(3)机械能守恒条件的理解．
①从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能)的转化
②从系统做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在：
a．只有重力做功的物体，如：所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)，机械能守恒．
b．只有重力和系统内的弹力做功．如图(a)、(b)、右图所示．

图(a)中小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力，只有重力做功，小球的机械能守恒．图(b)中A、B间，B与地面间摩擦不计，A自B上自由下滑过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒．但对B来说，A对B的弹力做功，但这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒．
如下图，不计空气阻力，球在摆动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒，但对球来说，机械能不守恒．


要点三、运用机械能守恒定律解题的步骤
要点诠释：
(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)．
(2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．
(3)恰当地选取零势能面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能．
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果．

4．机械能守恒定律与动能定理的区别
(1)机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度来研究物体在力的作用下运动状态的改变，表达这两个规律的方程都是标量方程，这是它们的共同点．
(2)机械能守恒定律的研究对象是物体组成的系统，动能定理的研究对象是一个物体(质点)．
(3)机械能守恒定律是有条件的，就是只允许重力和弹力做功；而动能定理的成立没有条件的限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功．
(4)机械能守恒定律着眼于系统初、末状态的机械能的表达式，动能定理着眼于过程中合外力做的功及初、末状态的动能的变化．
要点四、如何判断机械能是否守恒
要点诠释：
(1)对某一物体，若只有重力做功，其他力不做功，则该物体的机械能守恒．
(2)对某一系统，物体间只有动能和势能的转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，也没有转化成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒．
对于某个物体系统包括外力和内力，只有重力或弹簧的弹力做功，其他力不做功或者其他力做的功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒，也就是说重力做功或弹力做功不能引起机械能与其他形式的能的转化，只能使系统内的动能和势能相互转化
(3)机械能守恒的条件绝不是合外力做的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．
(4)一些绳子突然绷紧，物体间碰撞后合在一起等，除非题目特别说明，机械能一般不守恒．
要点五、实验：验证机械能守恒定律
要点诠释：
1．实验原理
通过实验，分别求做自由落体运动物体的重力势能的减少量和相应过程动能的增加量．若二者相等，说明机械能守恒，从而验证机械能守恒定律：△EP＝△Ek．
2．实验器材
打点计时器及电源、纸带、复写纸、重物、刻度尺、带有铁夹的铁架台、导线．
3．实验步骤
(1)如图所示装置，将纸带固定在重物上，让纸带穿过打点计时器．

(2)用手握着纸带，让重物静止在靠近打点计时器的地方，然后接通电源，松开纸带，让重物自由落下，纸带上打下一系列小点．
(3)从打出的几条纸带中挑选打的点呈一条直线且点迹清晰的纸带进行测量，记下第一个点的位置O，并在纸带上从任意点开始依次选取几个计数点1、2、3、4、…，并量出各点到O点的距离h1、h2、h3、…，计算相应的重力势能减少量mghn，如图所示．

(4)依步骤(3)所测的各计数点到O点的距离h1、h2、h3、…，根据公式计算物体在打下点1、2、…时的即时速度v1、v2、…．计算相应的动能．
(5)比较与是否相等．
4．实验结论
在重力作用下，物体的重力势能和动能可以互相转化，但总的机械能守恒．
5．误差分析
重物和纸带下落过程中要克服阻力，主要是纸带与计时器之间的摩擦力，计时器平面不在竖直方向，纸带平面与计时器平面不平行是阻力增大的原因，电磁打点计时器的阻力大于电火花计时器，交流电的频率f不是50 Hz也会带来误差，f＜50Hz，使动能Ek＜EP的误差进一步加大f＞50 Hz，则可能出现Ek＞EP的结果．
本实验中的重力加速度g必须是当地的重力加速度，而不是纸带的加速度a．

【典型例题】
类型一、对守恒条件的理解
例1、下列说法中正确的是( )
A．用绳子拉着物体匀速上升，只有重力和绳的拉力对物体做功，机械能守恒
B．做竖直上抛运动的物体，只有重力对它做功，机械能守恒
C．沿光滑斜面自由下滑的物体，只有重力对物体做功，机械能守恒
D．用水平拉力使物体沿光滑水平面做匀加速直线运动，机械能守恒
【思路点拨】本题考察机械能守恒的条件。
【答案】BC
【解析】机械能守恒的条件是：只有系统内的重力或系统内的弹力做功．系统可以受外力作用，但外力不做功．对于弹力做功，一定要伴随着弹性势能和动能及重力势能之间的转化．选项A中，有绳的拉力对物体做功，所以机械能不守恒，A错；选项B中，竖直上抛的物体，只受重力作用，机械能守恒，B对；选项C中，物体除受重力作用外还受斜面支持力作用，但支持力不做功，机械能守恒，C对；选项D与A一样是错误的．
【总结升华】机械能是否守恒关键不在于受几个力作用，而在于是否只有重力或弹簧弹力做功。
举一反三
【变式1】以下说法正确的是( )
A．机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用
B．物体处于平衡状态时，机械能一定守恒
C．物体所受合力不为零时，其机械能可能守恒
D．物体机械能的变化等于合力对物体做的功
【答案】C
【解析】机械能守恒时，只有重力或弹力做功，但可以受其他外力作用，外力不做功即可，故A错；匀速直线运动为一种平衡状态，但物体处于平衡状态时，机械能不一定守恒，如在竖直方向匀速上升的物体，其机械能一直增大，所以B错；若物体做平抛运动、自由落体运动、竖直上抛、竖直下抛或斜抛运动只受重力作用，则机械能均守恒，故C正确；若合力仅为重力对物体做功，如在光滑斜面上下滑的物体，不会引起物体机械能的变化．根据功能关系知D错．
【高清课程：机械能守恒及其验证 例1】
【变式2】下列情况中，物体机械能守恒的有( )
A．重力对物体做功不为零，所受合外力为零
B．沿光滑曲面下滑
C．做匀变速运动时机械能可能守恒
D．从高处以0.9g的加速度竖直下落
【答案】BC

类型二、机械能守恒定律的基本应用
例2、如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大．

【思路点拨】考察系统机械能大小及守恒问题。
【答案】
【解析】释放后的链条，竖直方向的一半向下运动，放在斜面上的一半向上运动，由于竖直部分越来越多，所以链条做的是变加速运动，不能用一般运动公式去解．因为斜面光滑．所以，机械能守恒，链条得到的动能应是由势能转化的，重力势能的变化可以用重心的位置确定．
设斜面最高点为零势能点，链条总质量为m，
开始时左半部分的重力势能
，
右半部分的重力势能 ，
机械能．
当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能，
动能 ，
机械能 ．
机械能守恒 E1＝E2，
所以 ，
整理得 ．
【总结升华】本题选斜面最高点为零势能点，可使重力势能便于确定，使其表达式简化．
举一反三
【高清课程：机械能守恒及其验证 例3】
【变式1】如图所示，桌面高度为h，质量为m的小球，从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，小球落到地面前的瞬间的机械能应为（ ）
A．mgh 　　　 B．mgH
C．mg（H+h） D．mg（H-h）

【答案】B
例3、如图所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，求它到达B点的速度的大小．

【思路点拨】只有重力对物体做功，故机械能守恒。
【答案】4.1m/s
【解析】方法一：物体抛出后的运动过程中只受重力作用，机械能守恒，若选地面为参考面，则，解得．
方法二：若选桌面为参考面，则
，解得．
方法三：若使用机械能守恒定律的另一种形式：重力势能的减少量等于动能的增加量，不需要选取参考面，有．解得．
【总结升华】只有恒力做功且物体做直线运动，可运用牛顿运动定律求解，在利用机械能守恒定律表达式E1＝E2解题时，由于重力势能的相对性，必须先选取参考平面，方可解题．
举一反三
【变式】（2019 全国I高考）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，AC=h。圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。则圆环( )
A．下滑过程中，加速度一直减小
B．下滑过程中，克服摩擦力做的功为
C．在C处，弹簧的弹性势能为
D．上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度
【答案】BD
【解析】从力和运动的角度分析，小球的合力先减小后增大，速度先增大后减小，所以A错；从能量的角度分析，从A到C的过程，由能量守恒：mgh=Ep+Q ，其中的Q和克服摩擦力做功相等。从C到A的过程，同理可得: ，两式联立解得：所以B正确，C错误；同样，从A到B过程： 从C到B过程：，，把 代入该式，则： .D也是正确的，此题正确选项：BD。

类型三、系统机械能守恒问题
例4、（2019 全国II高考）如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则（ ）

A. a落地前，轻杆对b一直做正功
B. a落地时速度大小为
C. a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D. a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【答案】BD
【解析】设a沿杆方向的分速度与a竖直方向的合速度夹角为θ，则因沿杆方向a、b的分速度相等，可写出等式：，a滑到最低点时，θ＝90°，所以b的速度为0，又因b的初速度也为0，所以轻杆对b先做正功后做负功。
对a、b所组成的系统机械能守恒，所以当a滑到地面时解得。
轻杆落地前，当a的机械能最小时，b的动能最大，此时轻杆对a、b无作用力，所以C错，D对。故选：BD。
举一反三
【变式】如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻线连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8 m，求：放开B物体，当B物体着地时A物体的速度；B物体着地后A物体还能上升多高?(g取10m/s2)

【答案】2m/s；0.2m
【解析】方法一：由E1＝E2．
对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，
则．
．
方法二：由，
得，得v＝2 m/s．
方法三：由，
得．
得v＝2m/s．
当B落地后，A以2m／s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒可得
，．
【总结升华】利用哪种表达方式列机械能守恒定律的方程要视具体的情况而定，总之以列方程求解简单方便为主，千万不要把几种表达式混在一起列式，另外确定零势能参考平面也是解题的重要一环，只有确定了零势能参考平面，才能确定系统中物体的重力势能．

类型四、对实验：验证机械能守恒定律的考查
例5、某同学利用透明直尺和光电计时器来验证机械能守恒定律，实验的简易示意图如图所示，当有不透光物体从光电门间通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间．所用的西瓯XDS-007光电门传感器可测的最短时间为0.01 ms．将挡光效果好、宽度为d＝3.8×m的黑色磁带贴在透明直尺上，从一定高度由静止释放，并使其竖直通过光电门．某同学测得各段黑色磁带通过光电门的时间△ti与图中所示高度差△hi，并将部分数据进行了处理，结果如下表所示．(g取9.8m/s2．注：表格中M为直尺质量)








1
1.21
3.13



2
1.15
3.31
0.58M
0.06
0.58M
3
1.00
3.78
2.25M
0.23
2.25M
4
0.95
4.00
3.10M
0.32
3.14M
5
0.90


0.41


(1)从表格中数据可知，直尺上磁带通过光电门的瞬时速度是由求出的，请你简要分析该同学这样做的理由是_________．
(2)请将表格中数据填空完整．
(3)通过实验得出的结论是_________．
(4)根据该实验请你判断如图所示△Ek-△h图像中正确的是( )

【解析】(1)理由是根据瞬时速度等于极短时间或极短位移的平均速度确定物体的瞬时速度vi．
(2)由得．
由得．
由．
(3)在误差允许范围内，重力势能的减少量等于动能的增加量．
(4)由实验结论知，即，故C正确．
【总结升华】不管用什么方法验证机械能守恒定律，在这些方法中都必须确定两个状态，测定两个状态物体的速度及两个状态物体所在位置的高度差，而速度和高度差的确定方法由实验的设计而定．最后计算物体动能的变化量△Ek与重力势能的变化量mg△h是否相等．
举一反三
【高清课程：机械能守恒及其验证 例8】
【变式】在用如图所示的实验装置来验证机械能守恒定律时，某同学的以下看法中正确的是(　 )
A．必须用秒表测出重物下落的时间
B．实验操作时，注意手提着纸带，先接通计时器电源，然后松开纸带
C．如果打点计时器不竖直，重物下落时，其重力势能有一部分消耗在纸带摩擦上，就会造成重力势能的变化小于动能的变化
D．验证时，可以不测量重物的质量

【答案】BD


能量守恒定律与能源
编稿： 审稿：隋伟
【学习目标】
1．理解能量的概念，知道各种不同形式的能量．
2．明确能量守恒的含义．
3．知道能源的合理利用及能量耗散的概念．
【要点梳理】
要点一、能量
要点诠释：
(1)概念：一个物体能够对外做功，我们就说这个物体具有能量．如：运动的物体可以推动与其接触的另一个物体一起向前运动，对被推动的物体做功，说明运动的物体具有能量．又如流动的河水、被举高的重物、被压缩的弹簧、高温高压气体等都能对外做功，因此都具有能量．
(2)形式：能量有各种不同的形式．运动的物体具有动能；被举高的重物具有重力势能；发生弹性形变的物体具有弹性势能；由大量粒子构成的系统具有内能．另外自然界中还存在如化学能、电能、光能、太阳能、风能、潮汐能、原子能等不同形式的能．
不同形式的能与物体的不同运动形式相对应，如机械能对应机械运动；内能与大量微观粒子的热运动相对应．
(3)能量的转化：各种不同形式的能量可以相互转化，而且在转化过程中总量保持不变也就是说当某个物体的能量减少时，一定存在其他物体的能量增加，且减少量一定等于增加量；当某种形式的能量减少时，一定存在其他形式的能量增加，且减少量一定等于增加量．
(4)功是能量转化的量度．
不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的．做功的过程就是各种形式的能量之间转化(或转移)的过程．且做了多少功，就有多少能量发生转化(或转移)，因此，功是能量转化的量度．
如举重运动员把重物举起来，对重物做了功．这一过程中，运动员通过做功消耗了体内的化学能，转化为重物的重力势能．并且，运动员做了多少功，就有多少化学能转化为重力势能．
能量的具体值往往无多大意义，我们关心的大多是能量的变化量，能量的变化必须通过做功才能实现，某种力做功往往与某一具体的能量变化相联系，即所谓功能关系．力学中常见力做功与能量转化的对应关系如下：
功
能的变化
表达式
重力做功
正功
重力势能减少
重力势能变化

负功
重力势能增加
弹力做功
正功
弹性势能减少
弹性势能变化

负功
弹性势能增加
合力做功
正功
动能增加
动能变化

负功
动能减少
除重力(或系统内弹力)外其他力做功
正功
机械能增加
机械能变化

负功
机械能减少


要点二、能量守恒定律
要点诠释：
(1)内容：能量既不会消灭，也不会产生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移过程中，能量的总量保持不变，这个规律叫做能量守恒定律．
(2)表达式：；．
(3)利用能量守恒定律解题的基本思路．
①某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量一定和增加量相等．
②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
(4)利用能量守恒定律解题应注意的问题：
①该定律是贯穿整个物理学的基本规律之一，是学习物理的一条主线．
②要分清系统中有多少种形式的能量，发生哪些转移和转化．
③滑动摩擦力与相对距离的乘积在数值上等于产生的内能，即．
要点三、能源
要点诠释：
指能够提供可利用能量的物质，它是人类社会活动的物质基础．
(1)分类：
①从人类开发能源的历史划分：
常规能源：已被广泛应用的能源，如煤、石油、天然气、水力等．
新能源：指目前尚未被人类大规模利用而有待进一步研究、开发和利用的能源，如核能、太阳能、风能、地热能、海洋能等．
②从使用分类：
一次能源：未经人工加工的能源，如煤、石油、天然气、水能、风能、生物质能、海洋能等．
二次能源：从一次能源直接或间接转化来的能源．如：电能、氢能、焦炭．
③从能否再生分类：
可再生能源：水流能、风能等．
不可再生能源：石油、煤等．
④从对环境的影响分类：
清洁能源(也称“绿色环保”能源)：太阳能、风能等．
非清洁能源：煤、石油、天然气等．
(2)常规能源和新能源的转化方式：


要点四、能源的开发
要点诠释：
1．能源的开发
作为常规能源的煤炭、石油、天然气等面临枯竭，节能和开发新的能源已是人类必须面对的实际问题．能源对造福人类具有极其重要的意义，节约每一份能源，不仅能提高能源的利用价值，对于维护人类赖以生存的环境也有不可忽视的作用．新的能源有待于人类去开发，如核能的利用、太阳能的利用等，还有许多艰苦的工作需要去做．
(1)为什么煤、石油和天然气被人们称为不可再生能源?
由于煤、石油和天然气都是几亿年以前的生物遗体形成的，所以人们也称它们为化石燃料．由于这些能源是不能再次生产，也不可能重复使用的，所以称为非再生能源．
(2)人类利用能源的过程及新能源的开发和利用．
①人类利用能源大致经历的三个时期是：柴薪时期、煤炭时期、石油时期．
②有待开发和利用的新能源主要指：太阳能、地热能、风能、水能、核能．
(3)人类与能源的关系。
能源的利用给人类的生活带来了极大的改善．人类社会每一次重大的经济飞跃和产业革命，都与新的能源和动力装置的利用密切相关．能源消耗的多少已经成为衡量一个国家或地区经济发展水平的重要标志．所以说人类离不开能源．但能源的大量使用会给环境带来极大的破坏，例如人类在利用化石燃料的过程中产生的烟尘，污染大气，造成酸雨和温室效应，对人类造成危害．
(4)自然界中自发的能量的转化和转移具有方向性．
①热量可以自发的由高温物体传递给低温物体，但不能自发的由低温物体传递给高温物体．
②冒出的煤烟和散开的炭灰不可能又重新组合成一堆煤炭．
③散失到周围环境中的内能不能回收重新利用。
2．能量耗散
燃料燃烧时一旦把自己的热量释放出去，它就不会自动聚集起来供人类重新利用；电池中的化学能转化为电能，它又通过灯泡转化为内能和光能，热和光被其他物质吸收之后变成周围环境的内能，我们也无法把这些内能收集起来重新利用．这种现象叫做能量的耗散．
能量耗散表明，在能源的利用过程中，即在能量的转化过程中，能量在数量上并未减少，但在可利用的品质上降低了，从便于利用的变成不便于利用的了．这是能源危机更深层次的含意，也是“自然界的能量虽然守恒，但还是要节约能源”的根本原因．

要点四、功能原理
要点诠释：
1. 功能原理
（1）推导
由动能定理可以知道，外力对物体做功的代数和等于物体动能的增量，可表示为：
这里说的外力包括作用于物体上的全部做功的力，可分为三部分：①系统内的重力、弹力；②系统内的摩擦力；③系统外物体对它的作用力，
则动能定理的表达式可写成
又因为：
所以有：
等式的右边为动能的增量跟势能增量的和，即为物体机械能的增量，
即：
（2）内容表述
除重力、弹簧弹力以外力对物体做功的代数和，等于物体机械能的增量。这就是功能原理。即

2、功能原理与动能定理的区别与联系
功能原理、动能定理都是“功是能量转化的量度”这一功能实质关系的体现。只是考查对象不同。动能定理考查物体动能的变化，功能原理考查物体机械能的变化，从功能原理我们知道，外力和系统内摩擦力做功，将引起系统机械能的变化，但这机械能不会消失，也不能创生，只是由机械能和其它形式的能之间发生转换。

【典型例题】
类型一、摩擦力做功与产生内能的关系
例1、如图所示，A物体放在B物体的左侧，用水平恒力F将A拉至B的右端，第一次B固定在地面上，F做功为，产生热量为，第二次让B在光滑地面上自由滑动，F做功为，产生热量为，则应有（ ）
A． B． C． D．
F
B
A

思路点拨：本题牵扯到摩擦力做功问题，需要考察摩擦力做功特点，并辅助动能定理加以解决。
解析：当B固定时，
当B不固定时，木块A、B的位移关系为
对A应用动能定理：
对B应用动能定理：
两式相加得
所以：
答案：A
总结升华：摩擦力做功与产生内能的关系：
（1）静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有内能的产生。
（2）滑动摩擦力做功的过程中，能量的转移由两个方向，一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能，转化为内能的量值等于机械能的减少量，表达式为
举一反三
【变式】在一光滑的水平面上有一长木板，质量为M，板足够长。一质量为m、速度为的小滑块滑上长木板，最后获得共同速度，此时长木板移动了的距离，滑块在木板上移动了的距离，求此过程中产生的热量是（ ）
A． B． C． D．
答案：ABC
解析：对M应用动能定理：

故A对。
对m应用动能定理：

故B选项正确。
由能量守恒转化为内能的量值等于机械能的减少量，即，故C选项正确，D错误。
类型二、功能关系的应用
例2、面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为，且 a〈 H，密度为水的，质量为，开始时，木块静止，有一半没入水中，如图甲所示，现用力F将木块缓慢地压到池底，不计摩擦，求
（1）从开始到木块刚好完全没入水的过程中，力F所做的功。
（2）若将该木块放在底面为正方形（边长为a）的盛水足够深的长方体容器中，开始水面静止时，水高也为H，如图乙所示，现用一个向下的力F＇将木块缓慢地压到容器底部，若水不会从容器中溢出，不计摩擦。求全过程F＇所做的功。
图甲
H
a
图乙
H

思路点拨：此题考察变力做功问题，变力做功一是应用动能定理可以求出，再就是可以根据功能关系来求出，在本题我们应用功能关系来求解。
解析：（1）木块静止，有一半没入水中，所以有=
解得=
因水池面积很大，可忽略因木块压入水中所引起的水深变化，木块刚好完全没入水中时，图中原来处于划斜线区域的水被排开，结果等效于使这部分水平铺于水面，这部分水的质量为m，其势能的改变量为：
木块势能的改变量为：
根据功能关系知力F所做的功：

(2) 因容器水面面积为2a2，只是木块底面积的2倍，不可忽略因木块压入水中所引起的水深变化， 木块向下压，水面就升高，木块刚好完全没入水中时，图乙中原来处于下方划斜线区域的水被排开到上方划斜线区域。由于木块横截面积是容器的1/2，由体积关系有2a2H+ a2=2 a2H′，即2H+=2H′
解得H′=H+，所以△H=H′-H=

所以当木块上底面与水面平齐时，水面上升a/4，木块下降a/4，也就是说木块下降a/4，同时把它新占据的下部V/4体积的水重心升高3a/4，这部分水的质量为/2，其势能的改变量为：
木块势能的改变量为：
由功能关系可得这一阶段压力所做的功

压力继续把木块压到容器底部，在这一阶段，木块重心下降，同时底部被木块所占空间的水重心升高，这部分水的质量为2m，其势能的改变量为：
木块势能的改变量为：
由功能关来自www.xkb123.com系可得这一阶段压力所做的功
整个过程压力做的总功为：
总结升华：用功能关系时解题，一是注意前后能量的变化，二是注意都是哪些力做了功，分别做的什么功，最后的总功是多少。
举一反三
【高清课程：能量守恒定律与能源 例题4】
【变式】在水平地面上平铺n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，如将砖一块一块地叠放起来，至少做多少功?

【答案】
类型三、能量转化和守恒定律
例3、行驶中的汽车制动后滑行一段距离，最后停下；流星在夜空中坠落并发出明亮的火焰；降落伞在空中匀速下降。上述不同现象所包含的相同物理过程是（ ）
A．物体克服阻力做功
B．物体的动能转化为其他形式的能量
C．物体的势能转化为其他形式的能量
D．物体的机械能转化为其他形式的能量
思路点拨：此题考察学生综合分析能力，从若干不同的现象中分析找出相同的规律。
解析：汽车主要是制动阻力，流星、降落伞是空气阻力，因而物体都是克服阻力做功，A对；三个物体运动过程中，汽车是动能转化成了内能，流星、降落伞是重力势能转化成其他形式的能，总之是机械能转化成了其他形式的能，D对。
答案：AD
总结升华：自然界中各种形式的能之间都可以相互转化，但在转化过程中具有方向性。
举一反三
【高清课程：能量守恒定律与能源 例题1】
【变式】一小孩从公园中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其能量的变化情况是(　　)
A．重力势能减小，动能不变，机械能减小，总能量减小
B．重力势能减小，动能增加，机械能减小，总能量不变
C．重力势能减小，动能增加，机械能增加，总能量增加
D．重力势能减小，动能增加，机械能守恒，总能量不变
【答案】B
类型四、能量转化与守恒定律的应用
例4、飞机场上运送行李的装置为一水平放置的环形传送带，传送带的总质量为M，其俯视图如图所示。现开启电动机，传送带达稳定运行的速度后，将行李依次轻轻放到传送带上。若有n件质量均为m的行李需通过传送带运送给旅客。假设在转弯处行李与传送带无相对滑动，忽略皮带轮、电动机损失的能量。求从电动机开启，到运送完行李需要消耗的电能为多少?

思路点拨：在此问题中必须知道“需要消耗的电能”分别是什么，都是转化为哪几种形式的能量了，分别转化了多少，是我们解题的关键。
解析：设行李与传送带间的动摩擦因数为，则传送带与行李间由于摩擦产生的总热量

由运动学公式得：
又
联立解得：
由能量守恒得：
所以：
总结升华：在传送带运送行李的过程中，消耗的电能分成了三部分，一部分是传送带的动能，一部分是行李的动能，还有一部分是由于行李和传送带之间的摩擦转化的内能，这一部分在解题时容易忽视，在解决问题时要注意。
举一反三
【变式1】如图所示，绷紧的传送带与水平面间的夹角=30°，传送带在电动机的带动下，始终保持v =2m/s的速率运行. 现把一质量为m =10kg的工件（可看为质点）轻轻放在传送带的底端，经时间t=1.9s，工件被传送到h =1.5m的高处，取g =10m/s2求：
（1）工件与传送带间的动摩擦因数；
（2）电动机由于传送工件多消耗的电能.

解析：（1）图中斜面长
设工件经时间t1速度达到v，做匀加速运动的位移
工件速度达v后做匀速运动的位移为
匀加速运动的加速度
工件受的支持力
由牛顿第二定律，有
解得动摩擦因数
（2）在时间t1内：
皮带运动位移
工件箱对皮带位移
摩擦发热
工件增加的动能
工件增加的势能
电动机多消耗的电能
解得W=230J
【高清课程：能量守恒定律与能源 例题6】
【变式2】某地平均风速为5 m/s，已知空气密度是1.2 kg/m3，有一风车，它的车叶转动时可形成半径为12 m的圆面．如果这个风车能将圆面内10%的气流动能转变为电能，则该风车带动的发电机功率是多大？
【答案】3.4 kW.
类型五、能源和能量耗散
例5、以下说法正确的是（ ）
A．煤、石油、天然气等燃料最初来源可追溯到太阳能
B．汽油是一种清洁能源
C．水能是可再生能源
D．煤、石油等常规能源是取之不尽、用之不竭的
思路点拨：此题考察能源与环境问题
解析：煤、石油、天然气等燃料是动、植物转化成的，其来源可追溯到太阳能，A正确；汽油燃料会引起一些化合物的产生，导致有毒气体的生成，B错；水源是可再生能源，故C正确；煤、石油等储存量是有限的，是不可再生能源，故D错误。
答案：AC
总结升华：太阳能的优点取之不尽、用之不竭的最大能源。
举一反三
【变式】出行是人们工作生活中必不可少的环节，出行的工具五花八门，使用的能源也各不相同．自行车、电动自行车、普通汽车消耗能量的类型分别是( )
①生物能 ②核能 ③电能 ④太阳能 ⑤化学能
A．①④⑤ B．①③⑤ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【解析】人骑自行车是将生物能转化为机械能；电动自行车是将蓄电池的电能转化为机械能；普通汽车是将汽油的化学能转化为机械能，所以B选项正确．

机械能复习与巩固
编稿： 审稿：
【学习目标】
1.做功的计算方法。
2.动能定理的内容及其应用
3.机械能守恒定律内容及其与其他运动形式的综合应用
4.能量守恒定律及应用
【知识网络】

【要点梳理】
要点一、功
要点诠释：
1．功的概念
（1）定义：物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了一段位移，我们说力对物体做了功。
（2）功的定义式：W=Fcosα
（3）功的单位：国际制单位是焦耳，符号J。
（4）功是标量，只有大小，没有方向。
2．关于总功的计算
一个物体往往同时在若干个力作用下发生位移，每个力都可能做功，它们所做的功产生的效果，即是总功产生的效果。
总功的计算一般有两个途径：
（1）对物体受力分析，求合力，再求合力做功——总功。
（2）对物体受力分析，确定每个力的方向（或反方向）上的位移，求出每个力所做的功，然后再求它们的代数和——总功。

要点二、功率
要点诠释：
1．物理意义
功率是表示做功快慢的物理量。所谓做功快慢的实质是物体（或系统）能量转化的快慢。
2．功率的大小
力做的功和做这些功所用时间的比值叫功率，即：P==Fvcosα，其中α是力与速度间的夹角
这两种表达形式在使用中应注意：
(1) 是求一个力在t时间内做功的平均功率。
(2)P= Fvcosα有两种用法：
①求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；
②求某一段时间内的平均功率。当v为某段时间（位移）内的平均速度时，要求在这段时间（位移）内F为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。
3.机车启动的两种方式
（1）恒定功率P0（一般以额定功率）的加速
依公式P=Fv可知，P不变，随着汽车速度v的增加，F只能逐渐减小；物体的加速度，尽管F减小，但F＞f，故汽车做加速度逐渐减小的加速运动，直到a=0；以后汽车做匀速直线运动。
当牵引力F=f（a=0）时，汽车具有最大速度。
（2）恒定牵引力的加速（即恒定加速度启动）


要点三、重力势能
要点诠释：
1.重力势能

2.重力做功跟重力势能变化的关系
重力势能的变化过程，也是重力做功的过程，二者的关系为，表示在初位置的重力势能，表示在末位置的重力势能
（1）当物体由高处运动到低处时，，表明重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功。
（2）当物体由低处运动到高处时，，表明重力做负功时（即物体克服重力做功），重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功。

要点四、动能定理
要点诠释：
1.内容
力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论叫动能定理。
另一表述：合外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。
2.表达式

是外力所做的总功，、分别表示初、末状态的动能。
要点五、机械能守恒定律
要点诠释：
1.机械能
物体的动能和势能之和称为物体的机械能。（势能包含重力势能和弹性势能）
2.机械能守恒定律
（1）机械能守恒定律的内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这叫做机械能守恒定律。
3.机械能守恒定律的三种表达式
（1）守恒的观点：，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和。
（2）转化的观点：，即动能的减少量等于势能的增加量。
（3）转移观点：，即由A、B两个物体组成的系统中，A物体的机械能的减少量等于B物体机械能的增加量。
要点六、能量转化和守恒定律
要点诠释：
1.内容
能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
2.定律的表达式
；
3.注意
（1）某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量一定和增加量相等。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
4.功是能量转化的量度。做了多少功就有多少能量发生了转化。
重力做功等于重力势能的变化；
合外力做功等于物体动能的变化。

【典型例题】
类型一、功的计算问题
例1、如图所示，物体以一定的初速度沿水平面，由A点滑到B点，摩擦力做功为W1，若该物体从沿两斜面滑到。摩擦力做功为W2，已知物体与各接触面的滑动摩擦因数均相同，则（ ）
A． B． C． D．不能确定

思路点拨：物体由A滑到B还是由滑到。滑动摩擦力是阻力，对物体做负功。由A滑到B的过程， 由滑到的过程，摩擦力是变力，只能分段求，再求总功。
解析：

得摩擦力共做负功：

∴
正确选择：A。
答案：A
总结升华：摩擦力做功和路程有关系。
举一反三
【高清课程：机械能复习与巩固 例题1】
【变式1】如图所示，子弹水平射入木块，在射穿前的某时刻，子弹进入木块深度为d，木块位移为s，设子弹与木块相互作用力大小为f，则此过程中 木块对子弹做功Wf子= ；子弹对木块做功Wf木= ；一对作用力与反作用力f对系统做功Wf系= ；

答案：-f(s+d)；fs；-fd

【变式2】（2019 大同一中期末考）如图所示，滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由滑下，然后在水平面上前进至B点停下。已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为μ，滑雪者(包括滑雪板)的质量为m，A、B两点间的水平距离为，在滑雪者经过AB段运动的过程中，克服摩擦力做的功( )




A．大于μmgL　　　　　　 B．等于μmgL
C．小于μmgL D．以上三种情况都有可能
【答案】B
【解析】在AC段，滑雪者的摩擦力大小f=μmgcosθ
AC段克服摩擦力做的功WAC=μmgcosθ•LAC
LACcosθ=L1，即为AC段在水平方向的距离．
CB段克服摩擦力做的功WCB=μmgLBC
所以在滑雪者经过AB段运动的过程中，克服摩擦力做的功W=μmgL．

例2、成年人的正常的心跳每分钟为75次，一次血液循环中左心室的血压(可以看成心脏送血的压强)的平均值为1.37×104 Pa，左、右心室收缩时射出的血量均为70 mL，右心室对肺动脉的压力为左心室的0.2倍，由此估算心脏工作时每分钟做的总功．
【解析】一次心跳左心室做的功为1.37×104×70×J＝0.959 J。
一次心跳右心室做的功为．
故每分钟做的总功为W＝n(W1+W2)＝86.31 J．

类型二、机车启动问题
例3、汽车发动机的额定功率为Pm＝60 kW，汽车质量为m＝5t，运动时与地面间的动摩擦因数为μ＝0.1．求：(1)汽车所能达到的最大速度vm；
(2)若汽车以a＝0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间?(取g＝10m/s2)
(3)当速度v1＝4 m/s时，汽车的加速度a1，是多大？功率P1是多大?
(4)当速度v2＝10 m/s时，汽车的加速度a2是多大?功率P2是多大?
【思路点拨】分析汽车匀加速运动物理过程，理解P与F之间的变化关系，是本题的难点．
【解析】(1)当汽车达最大速度vm时，a＝0，牵引力F等于阻力f，f＝μmg．
由Pm＝Fvm得最大速度大小为：．
(2)汽车从静止开始匀加速启动，牵引力F恒定且由F-f＝ma，
得：F＝f+ma＝μmg +ma．
由于速度不断增大，因此发动机功率P也不断增大(因P＝Fv∝v)，当功率增至额定功率Pm时，匀加速运动结束，其匀速运动阶段的最大速度为：
＝8 m/s．
故可知加速运动维持的时间为．
(3)由于速度v1＝4 m/s＜v′，因此汽车仍处于匀加速运动阶段，故加速度
a1＝a＝5 m/s2，
功率：P1＝Fv1＝(f+ma)v1＝(0.1×5×103×10+5×103×0.5)×4W＝3×104 W＝30kW．
(4)由于速度v2＝10 m/s＞v′，且v2＜v1，因此汽车做变加速运动，其功率P2＝Pm＝60 kW．
由P2＝F2v2得牵引力．
加速度．
【总结升华：】当汽车加速度为零时，速度增至最大，此时所受合力为零；当汽车功率还没有达到额定功率时，汽车维持匀加速运动，实际功率随速度增大而增大；当汽车实际功率达到额定功率以后，随着速度的增大，汽车牵引力不断减小，汽车做变加速运动，直到最终匀速运动．
举一反三
【高清课程：机械能复习与巩固 例题2】
【变式1】一质量为4.0´103kg的汽车从静止开始以加速度a = 0.5m/s2做匀加速直线运动，其发动机的额定功率P = 60kW，汽车所受阻力为车重的0.1倍，g = 10m/s2，求：
(1)启动后2s末发动机的输出功率
(2)匀加速直线运动所能维持的时间
(3)汽车所能达到的最大速度
【答案】(1)6000W；（2）20s；（3）15m/s
【变式2】汽车发动机的额定功率60千瓦，汽车的质量5吨，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍。问：
（1）汽车保持以额定功率从静止起动后能达到的最大速度是多少？
（2）汽车从静止开始，保持以0.5m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程能维持多长时间？
解析：（1）

（2）汽车以恒定的加速度起动：
结论：以恒定加速度起动、到速度达到最大值，经历两个过程，匀加速直线运动和变加速直线运动，维持匀加速直线运动到输出功率等于额定功率时：





类型三、动能定理的应用
例4、（2019 南通中学期末考）如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量分别为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h。两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
（1） 两球在水平地面上运动时的速度大小；
（2） 此过程中杆对A球所做的功；
（3） 试用文字表述杆对A做功所处的时间段。
A
L
B




【解析】（1）以A、B组成的系统为研究对象，设地面为零势能面，A、B所组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律得：，解得：
（2）以A球为研究对象，设杆对A球做功为W，由动能定理：
解得：
（3）从B球与地面刚接触开始至A球也到达地面这段时间内，杆对A球做了W的负功。
【总结升华】B球与地面接触之前，A、B球的加速度相等，速度相等，因此A、B球间的杆无作用力，B球与地面接触的后，B球的速度比A球的速度小，杆的作用力对B球做正功，对A球做负功，使得A球到达地面后A、B球的速度再次相等，此后A、B以共同的速度在光滑地面上做匀速直线运动，所以对A、B组成的系统而言，杆不做功，但对A球、或B球单独研究时，杆对其做功不为零。
举一反三
【高清课程：机械能复习与巩固 例题7】
【变式1】一质量 m=2kg的物块，放在高h=2m的平台上，现受一水平推力F=10N ，由静止开始运动，物块与平台间的动摩擦因数μ=0.2。当物块滑行了s1= 5m 时撤去F ，继续向前滑行s2=5m 后飞出平台，不计空气阻力，求物块落地时速度的大小?
【答案】
【变式2】一辆汽车的质量是5×103 kg，发动机的额定功率为60 kW,汽车所受阻力恒为5 000 N，如果汽车从静止开始以0. 5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，功率达到最大后又以额定功率运动了一段距离后汽车达到了最大速度，在整个过程中，汽车运动了125 m．问在这个过程中，汽车发动机的牵引力做功多少？
下面是甲、乙两位同学的解法：
甲同学：

乙同学：F=ma＋f=7500 N.
W=Fs=7 500×125 J =9. 375×105 J.
请对上述两位同学的解法做出评价，若都不同意请给出你的解法．
解析：甲、乙两位同学的解法都不正确．
甲同学把125 m全部当做匀加速直线运动的位移，求出运动时间t，这一步就错了，然后又用公式W=Pt来求牵引力做功，而汽车在做匀加速运动的过程中功率是逐渐变大的，这一步骤又错了．
而乙同学的做法中，第一步是正确的，但力F是汽车做匀加速运动时的牵引力，当汽车以额定功率行驶时，牵引力是变力，做功不能用W=Fs来计算．
正确的解法是：汽车行驶的最大速度为
根据动能定理得，
。
【变式3】杂技演员在进行“顶杆”表演时，用的是一根质量可忽略不计的长竹竿，质量为30 kg的演员自杆顶由静止开始下滑，滑到杆底时速度正好为零．已知竹竿底部与下面顶杆人肩部之间有一传感器，传感器显示顶杆人肩部的受力情况如图所示，取g= 10 m/s2。求：
(1)杆上的人下滑过程中的最大速度；
(2)竹竿的长度．

解析：(1)以人为研究对象，人加速下滑过程中受重力mg和杆对人的作用力F1，由题图可知，人加速下滑过程中杆对人的作用力F1为180 N．由牛顿第二定律得
mg一F1 =ma，则a=4 m/s2.
1s末人的速度达到最大，则v=at1=4 m/s.
(2）加速下降时位移为：=2 m.
减速下降时，由动能定理得
代入数据解得.
类型四、功能关系
例5、面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a，密度为水的一半，质量为a．开始时，木块静止，有一半没入水中，如图所示．现用力F将木块缓慢地压到池底，不计水的阻力，求：

(1)从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的改变量；
(2)从开始下压到木块刚好完全没入水的过程中，力F所做的功．
【思路点拨】本题中因水池的水面面积很大，所以浮在水面上的木块完全没入水中时，不考虑池中水深的变化，这是个重要的隐含条件．
【解析】(1)如图中1和2分别表示木块在刚没入水中时和到达池底对的位置．本块从l移到2，相当于使等体积的水从2移到1，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置1和位置2的势能之差．因为木块密度为水的一半，木块的质量为m，所以与木块等体积的水的质量为2m，故池水势能的改变量为
．

(2)因为水池面积很大，可忽略因木块压入水中所引起的水深变化．木块刚好完全没入水中时，图中原来处于划斜线区域的水被排开，后果等效于使这部分水平铺于水面，这部分水的质量为m，其势能的改变量

．
木块势能的改变量为
．
根据功能原理，力F所做的功为
．
举一反三
【高清课程：机械能复习与巩固 例题2】
【变式】一质量为m的物体以某一速度从A点冲上一个倾角为30°的斜面，其运动的加速度为3g/4。这个物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这过程中（ ）
A．物体的重力势能增加了3mgh/4
B．物体的机械能损失了mgh/2
C．物体的动能损失了mgh
D．物体的重力势能增加了mgh
【答案】BD

类型五、机械能、能量守恒问题
例6、如图所示，水平传送带AB为L=21m，以6m/s顺时针匀速转动，台面传送带平滑连接于B点，半圆形光滑轨道半径R=1.25m，与水平台面相切于C点， BC长S=5.5m，一质量为m=1kg的小物块（可视为质点），从A点无初速释放，物块与带及台面间的动摩擦因数求：
（1）物块从A点一直向右运动到C点所用时间。
（2）试分析物块能否越过与圆心O等高的P点？若能，物块做斜抛还是平抛；若不能，最终将停在离C点多远处？

思路点拨：此题过程比较复杂，属于单物体多过程问题，要注重过程的分解，定律、定理的选取。
解析：（1）开始物块在传送带上做匀加速运动，由牛顿第二定律：
①
设经时间t1达到与带同速，此时物块对地面前进 ②
③
得t1=6s x=18m，因x=18m<21m，故后段在带上匀速用时t2
t2=0.5s ④
从B至C过程减速运动用时t3，到达C点速度为，
由动能定理 ⑤
而 ⑥
解得： ⑦
故从A点一直向右运动到C点的时间为 ⑧
（2）设物块不能越过P点，由机械能守恒定律： ⑨
解得h=1.25m，因h=R，故物块不能越过P点 ⑩
物体将沿圆周返回C点，在BC上减速后冲上传送带再返回，返回B时动能同冲上B时一样，物块从第一次返回C至停止运动的过程，动能减少在BC之间的往复运动上
对该过程由功能关系：
故物体停在距C点1.5m处。
总结升华：在解决这类问题时，首先要分清物体的运动过程，做好受力分析，把多过程分解为多个单过程，注意每个单过程的连接点。
举一反三
【变式】如图所示，倾角θ=30°的光滑斜面固定于光滑水平面上，斜面与水平面的连接处是光滑圆弧，在斜面上距水平面高分别为h=0.2m和H=0.8m的两个位置同时由静止释放两个物体A和B（均可看成是质点）。g取10m/s2，求：
（1）A、B两物体滑到水平面时的速度大小和；
（2）从开始释放A、B两物体到B的物体上追上A物体所用的总时间t。

解析：（1）设A物体的质量为m，B物体的质量为M。A、B两物体下滑过程机械能守恒：

解得：

（2）设A、B两物体下滑的时间分别为为、。由牛顿第二定律求得A、B两物体下滑的加速度均为：
由运动学公式：
解得：
在水平面上两物体均做匀速运动，所以当B物体追上A物体时，有

解得：