专题02《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类（含解析）人教版七年级下册

这是一份专题02《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类（含解析）人教版七年级下册，共39页。试卷主要包含了如图，已知，小明同学遇到这样一个问题，问题情境等内容，欢迎下载使用。
考点1：利用平行线的性质求角
方法点拨：题目中出现两直线平行的条件时，应立即想到平行线的三个性质，要注意分析图形特征，明确角与角的位置关系从而明确角与角之间的数量关系是相等还是互补。平行线还通常会和角平分线、垂线等知识结合，求角的度数时需要根据已知条件综合利用角平分线、垂线的定义以及对顶角、领补角互补等性质求解！
1．如图，已知：DE//BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=80°，∠A=50°，求：∠EDC与∠BDC的度数．
2．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，BCEF，求∠BMD的度数．
3．如图所示，AB//CD，G为AB上方一点，E、F分别为AB、CD上两点，∠AEG=4∠GEB，∠CFG=2∠GFD，∠GEB和∠GFD的角平分线交于点H，求∠G+∠H的值．
4．如图所示，AB//CD，点E为两条平行线外部一点，F为两条平行线内部一点，G、H分别为AB、CD上两点，GB平分∠EGF，HF平分∠EHD，且2∠F与∠E互补，求∠EGF的大小．
5．如图，CDAB，点O在直线AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，求∠DOF的度数．
6．小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB
则有∠BEF＝∠B
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠FED＝∠D
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
（1）直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
考点2：利用平行线的判定及性质证明平行
方法点拨：“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。
1．如图，已知a∥b，∠3＝∠4，那么直线c与直线d平行吗？请说明理由．
2．根据下列证明过程填空，请在括号里面填写对应的推理的理由．
如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠1＝∠D，求证：BC∥DE．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
又∵∠1＝∠3________．
∴∠2+∠3＝180°（等量代换）
∴AB∥________．
∴∠4＝∠1________．
又∵∠1＝∠D（已知）
∴∠D＝________（等量代换）
∴BC∥DE（________）．

3．已知：如图，∥，∥，，，是直线a，b，c被直线d截出的同位角．求证：∥．
4．完成下面的说理过程：如图，在四边形中，E、F分别是，延长线上的点，连接，分别交，于点G、H．已知，，对和说明理由．
理由：∵（已知），
（ ），
∴（等量代换）．
∴（ ）．
∵（ ）．
∵（已知），
∴．（ ）．
∴（ ）．
5．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4
∴∠2＝ （等量代换），
∴ ∥BF（ ），
∴∠3＝∠ （ ）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B
∴AB∥CD（ ）．
6．如图，点，分别在，上，，垂足为点．已知，．
（1）求证：；
（2）若，，，求点到直线的距离．
考点3：利用平行线的判定及性质证明角相等
方法点拨：判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。
1．填写推理理由： 如图，CD∥EF，∠1=∠2，求证：∠3=∠ACB．
证明：∵CD∥EF，
∴∠DCB=∠2
∵∠1=∠2，∴∠DCB=∠1．
∴GD∥CB ．
∴∠3=∠ACB ．
2．如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式：
（1）∵∠A=∠CEF，（ 已知 ）
∴________∥________； （________）
（2）∵∠B+∠BDE=180°，（ 已知 ）
∴________∥________；（________）
（3）∵DE∥BC，（ 已知 ）
∴∠AED=∠________； （________）
（4）∵AB∥EF，（ 已知 ）
∴∠ADE=∠________．（________）
3．请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．
求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3，（ ）
∴∠2＝____________（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠BFD（ ）
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝_____________（等量代换）
∴____________∥CD（ ）
∴∠B＝∠C（ ）
4．完成下面的证明．
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：∠BAC+∠AGD＝180°．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（ ），
∴∠EFB＝∠ADB（等量代换），
∴EFAD（ ），
∴∠1＝∠BAD（ ），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠ （等量代换），
∴DGBA（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（ ）．
5．如图，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．
（1）求证：BD∥CE；
（2）求证：∠A＝∠F．
6．如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C，则∠1和∠2什么关系?并说明理由．
考点4：平行线中构造平行线
方法点拨：平行线的构造主要解决的是 平行线间的折线问题。而构造的方法大致有三种：过拐点做已知直线的平行线、做延长线、做封闭图形。最基本的两种图形，是铅笔模型和猪蹄模型。
1．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°，
（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．
2．直线，直线分别交、于点、，平分．
（1） 如图1，若平分，则与的位置关系是 ．
（2） 如图2，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由．
（3） 如图3，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由．
3．已知：ABCD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之间，连接FG，EH，GE，∠GFB＝∠CEH．
（1）如图1，求证：GFEH；
（2）如图2，若∠GEH＝α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．
4．已知AB∥CD，点是AB，CD之间的一点．
（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；
以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ ），
∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（ ），
∴∠BAE+∠DCE＝ + （等式的性质）．
即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 ．
（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；
②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．
5．在数学综合实践活动课上，老师让同学们以“两条平行直线，和一块含45°的直角三角板（）”为背景，开展数学探究活动．如图，将三角板的顶点放置在直线上．
（1）如图①，在边上任取一点（不同于点，），过点作，且，求的度数；
（2）如图②，过点作，请探索并说明与之间的数量关系；
（3）将三角板绕顶点旋转，过点作，并保持点在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由．
6．已知ABCD，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，连接EG、FG．
（1）如图1，当点G在AB、CD之间时，请直接写出∠AEG、∠CFG与∠G之间的数量关系 ；
（2）如图2，当点G在AB上方时，且∠EGF＝90°，求证：∠BEG –∠DFG＝90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使∠HEG与∠GEB互补，∠EKD的平分交与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并证明．
7．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
问题迁移：
（1）如图3．AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．猜想∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由：
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请写出∠CPD、∠a、∠β之间的数量关系，选择其中一种情况画图并证明．
专题02 《相交线与平行线》解答题、证明题重点题型分类
考点1：利用平行线的性质求角
方法点拨：题目中出现两直线平行的条件时，应立即想到平行线的三个性质，要注意分析图形特征，明确角与角的位置关系从而明确角与角之间的数量关系是相等还是互补。平行线还通常会和角平分线、垂线等知识结合，求角的度数时需要根据已知条件综合利用角平分线、垂线的定义以及对顶角、领补角互补等性质求解！
1．如图，已知：DE//BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=80°，∠A=50°，求：∠EDC与∠BDC的度数．
【答案】∠BDC=75°，∠EDC =25°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB =50°，再由角平分线的定义求出，则由三角形内角和定理可求出∠BDC=180°-∠B-∠BCD=75°，再由平行线的性质即可得到∠EDC=∠BCD=25°．
【详解】解：∵∠A=50°，∠B=80°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=50°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=75°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD=25°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，BCEF，求∠BMD的度数．
【答案】75°
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F和∠B的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB的度数，在△BMD中，利用三角形内角和可求出∠BMD的度数．
【详解】解：如图，
在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，
∴∠B＝90°−∠C＝60°，
∠F＝90°−∠E＝45°，
∵BCEF，
∴∠MDB＝∠F＝45°，
在△BMD中，∠BMD＝180°−∠B−∠MDB＝75°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．
3．如图所示，AB//CD，G为AB上方一点，E、F分别为AB、CD上两点，∠AEG=4∠GEB，∠CFG=2∠GFD，∠GEB和∠GFD的角平分线交于点H，求∠G+∠H的值．
【答案】∠G+∠H=36°．
【分析】先设，，由题意可得，，由，，从而求出；根据题意得， ， 从而得到的值．
【详解】解：设，，
由题意可得，，，
由，，解得，；
由靴子图AEGFC知，，即
由靴子图AEHFC知，，即
即，，
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是设，，由题意得到的关系式，正确将表示成的形式．
4．如图所示，AB//CD，点E为两条平行线外部一点，F为两条平行线内部一点，G、H分别为AB、CD上两点，GB平分∠EGF，HF平分∠EHD，且2∠F与∠E互补，求∠EGF的大小．
【答案】∠EGF=120°．
【分析】过点F作FM∥AB，设AB于EH的交点为N，先设，则，由题意及平行线的性质得，，得到，，由于与互补，得到，最终问题可求解
【详解】解：过点F作FM∥AB，设AB于EH的交点为N，如图所示：
设，
∵GB平分∠EGF，HF平分∠EHD，
∴，
∵AB//CD，
∴FM∥AB∥CD，
∴，
∴，，
即，，
∵与互补，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是设，且由题意得到x，y的关系．
5．如图，CDAB，点O在直线AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，求∠DOF的度数．
【答案】
【分析】根据平行线的性质求得，根据角平分线和垂直求解即可．
【详解】解：∵
∴
∵OE平分∠BOD
∴
又∵OF⊥OE
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了平行线、角平分线以及垂直的性质，解题的关键是掌握并利用它们的性质进行求解．
6．小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB
则有∠BEF＝∠B
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠FED＝∠D
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
（1）直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
【答案】（1）55°；（2）当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD；
【分析】（1）过点P作PG∥l1，可得∠APG=∠PAC=15°，由l1∥l2，可得PG∥l2，则∠BPG=∠PBD=40°，即可得到∠APB=∠APG+∠BPG=55°；
（2）分当P在线段CD上时；当P在DC延长线上时；当P在CD延长线上时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC=15°，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠APG+∠BPG=55°；
（2）由（1）可得当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；
如图1所示，当P在DC延长线上时，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠BPG-∠APG=∠PBD-∠PAC；
如图2所示，当P在CD延长线上时，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠APG-∠BPG=∠PAC-∠PBD；
∴综上所述，当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
考点2：利用平行线的判定及性质证明平行
方法点拨：“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。
1．如图，已知a∥b，∠3＝∠4，那么直线c与直线d平行吗？请说明理由．
【答案】直线c与直线d平行，理由见解析
【分析】根据平行线的性质得出∠2＝∠4，进而得出∠3＝∠2，再根据平行线的判定证明即可．
【详解】解：直线c与直线d平行，
证明：∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠2，
∴c∥d．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理证明．
2．根据下列证明过程填空，请在括号里面填写对应的推理的理由．
如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠1＝∠D，求证：BC∥DE．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
又∵∠1＝∠3________．
∴∠2+∠3＝180°（等量代换）
∴AB∥________．
∴∠4＝∠1________．
又∵∠1＝∠D（已知）
∴∠D＝________（等量代换）
∴BC∥DE（________）．

【答案】对顶角相等；CD；两直线平行同位角相等；∠4；内错角相等两直线平行
【分析】根据已知条件及对顶角相等的性质可得：，依据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行可得：；由平行线的性质可得：，根据等量代换可得：，由内错角相等，两直线平行即可证明．
【详解】证明：∵（已知）
又∵（对顶角相等）．
∴（等量代换）
∴，
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；CD；两直线平行，同位角相等；∠4；内错角相等，两直线平行．
【点睛】题目主要考查平行线的判定定理和性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质定理是解题关键．
3．已知：如图，∥，∥，，，是直线a，b，c被直线d截出的同位角．求证：∥．
【答案】证明见解析．
【分析】根据，两直线平行，同位角相等，同理．．根据等量代换可得．根据平行线判定定理同位角相等，两直线平行可得即可．
【详解】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∴ （等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查平行线性质定理与判定定理的综合应用，掌握平行线性质定理与判定定理是解题关键．
4．完成下面的说理过程：如图，在四边形中，E、F分别是，延长线上的点，连接，分别交，于点G、H．已知，，对和说明理由．
理由：∵（已知），
（ ），
∴（等量代换）．
∴（ ）．
∵（ ）．
∵（已知），
∴．（ ）．
∴（ ）．
【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定AD∥BC，进而得到∠ADE=∠C，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到AB∥CD．
【详解】证明：∵∠1=∠2（已知）
∠1=∠AGH（对顶角相等）
∴∠2=∠AGH（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠ADE=∠C（两直线平行，同位角相等）
∵∠A=∠C（已知）
∴∠ADE=∠A
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
5．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4
∴∠2＝ （等量代换），
∴ ∥BF（ ），
∴∠3＝∠ （ ）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B
∴AB∥CD（ ）．
【答案】∠4；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定和性质解答．
【详解】解∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝∠4（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠C （两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
6．如图，点，分别在，上，，垂足为点．已知，．
（1）求证：；
（2）若，，，求点到直线的距离．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【分析】（1）应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；
（2）设点到直线的距离为，根据等面积法可得，代入计算即可得出的值，即可得出答案．
【详解】（1）证明：因为（已知），
所以（同位角相等，两直线平行），
因为（已知），
所以（垂直的性质），
所以（垂直的定义），
又因为（平角的定义）．
即，
又因为，
所以（同角的余角相等），
所以（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：因为（已证），且，，．
设点到直线的距离为．
所以，
所以，
即，
所以点到直线的距离为．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，解题的关键是熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算．
考点3：利用平行线的判定及性质证明角相等
方法点拨：判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。
1．填写推理理由： 如图，CD∥EF，∠1=∠2，求证：∠3=∠ACB．
证明：∵CD∥EF，
∴∠DCB=∠2
∵∠1=∠2，∴∠DCB=∠1．
∴GD∥CB ．
∴∠3=∠ACB ．
【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可以求出∠DCB=∠2，等量代换得出∠DCB=∠1，再根据内错角相等，两直线平行得出GD∥CB，最后根据两直线平行，同位角相等，所以∠3=∠ACB．
【详解】证明：∵CD∥EF，
∴∠DCB=∠2（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠DCB=∠1（等量代换）．
∴GD∥CB（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，并准确识图是解题的关键．
2．如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式：
（1）∵∠A=∠CEF，（ 已知 ）
∴________∥________； （________）
（2）∵∠B+∠BDE=180°，（ 已知 ）
∴________∥________；（________）
（3）∵DE∥BC，（ 已知 ）
∴∠AED=∠________； （________）
（4）∵AB∥EF，（ 已知 ）
∴∠ADE=∠________．（________）
【答案】（1）AB；EF；同位角相等，两直线平行；（2）DE；BC；同旁内角互补，两直线平行；（3）C；两直线平行，同位角相等；（4）DEF；两直线平行，内错角相等
【分析】（1）根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可得；
（2）根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行，即可得；
（3）根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得；
（4）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得．
【详解】解：（1）∵，（已知）
∴，（同位角相等，两直线平行）；
（2）∵，（已知）
∴，（同旁内角互补，两直线平行）；
（3）∵，（已知）
∴，（两直线平行，同位角相等）
（4）∵，（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：（1）AB；EF；同位角相等，两直线平行；（2）DE；BC；同旁内角互补，两直线平行；（3）C；两直线平行，同位角相等；（4）DEF；两直线平行，内错角相等．
【点睛】题目主要考查平行线的判定定理和性质，熟练掌握理解平行线的性质定理并结合图形是解题关键．
3．请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．
求证：∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3，（ ）
∴∠2＝____________（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠BFD（ ）
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝_____________（等量代换）
∴____________∥CD（ ）
∴∠B＝∠C（ ）
【答案】对顶角相等；∠3；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】根据对顶角相等，平行线的性质与判定定理填空即可．
【详解】证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3，（对顶角相等）
∴∠2＝∠3（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝∠BFD（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
4．完成下面的证明．
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：∠BAC+∠AGD＝180°．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（ ），
∴∠EFB＝∠ADB（等量代换），
∴EFAD（ ），
∴∠1＝∠BAD（ ），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠ （等量代换），
∴DGBA（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（ ）．
【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD；两直线平行，同旁内角互补
【分析】先由垂直的定义得出两个90°的同位角，根据同位角相等判定两直线平行，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据等量代换得出，根据内错角相等，两直线平行，最后根据两直线平行，同旁内角互补即可判定．
【详解】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（垂直的定义），
∴∠EFB＝∠ADB（等量代换），
∴EFAD（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠BAD（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠BAD（等量代换），
∴DGBA（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD；两直线平行，同旁内角互补
【点睛】本题考查的是平行线的性质及判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是关键．
5．如图，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．
（1）求证：BD∥CE；
（2）求证：∠A＝∠F．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由∠AGB＝∠1，∠AGB＝∠EHF，可得∠1＝∠EHF，则BD∥CE；
（2）由BD∥CE，可得∠D＝∠2，则∠2＝∠C，推出AC∥DF，则∠A＝∠F．
【详解】证明：（1）∵∠AGB＝∠1，∠AGB＝∠EHF，
∴∠1＝∠EHF，
∴BD∥CE；
（2）∵BD∥CE，
∴∠D＝∠2，
∵∠D＝∠C，
∴∠2＝∠C，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质与判定条件是解题的关键．
6．如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C，则∠1和∠2什么关系?并说明理由．
【答案】相等，理由见解析
【分析】根据题目已知得出，由平行线的性质可得，由可证明，故可得，等量代换即可得出答案．
【详解】．理由如下：
,，
，
(同位角相等，两直线平行)，
(两直线平行，同位角相等)，
，
(同位角相等，两直线平行)，
(两直线平行，内错角相等)，
(等量代换)．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
考点4：平行线中构造平行线
方法点拨：平行线的构造主要解决的是 平行线间的折线问题。而构造的方法大致有三种：过拐点做已知直线的平行线、做延长线、做封闭图形。最基本的两种图形，是铅笔模型和猪蹄模型。
1．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°，
（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析；（3）∠BAC=∠PQC+∠QPC，理由见解析．
【分析】（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC可得∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，根据平行线的判定定理即可得出结论；
（2）如图，过E作EF∥AB，由AB//CD可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，可得∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结论；
（3）如图，过点C作CM//PQ，可得∠PQC=∠MCN，∠QPC=∠PCM，根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，根据∠PCQ+∠PCM+∠MCN=180°，可得∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，即可得出∠BAC=∠PQC+∠QPC．
【详解】（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD
（2）∠BAE+∠MCD=90°；理由如下：
如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD=∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD=90°．
（3）如图，过点C作CM//PQ，
∴∠PQC=∠MCN，∠QPC=∠PCM，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠PCQ+∠PCM+∠MCN=180°，
∴∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，
∴∠BAC=∠PQC+∠QPC．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质及角平分线的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．
2．直线，直线分别交、于点、，平分．
（1） 如图1，若平分，则与的位置关系是 ．
（2） 如图2，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由．
（3） 如图3，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得，根据角平分线的意义可得，进而可得，即可判断；
（2）根据两直线平行，内错角相等，角平分线的意义可得，即可判断；
（3）设交于点，过点作根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线的意义，可得，进而可得，进而判断．
【详解】（1）如题图1，
平分，平分．
；
（2）如题图2，
平分，平分．
；
（3）如图，设交于点，过点作
，
平分，平分．
；
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
3．已知：ABCD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之间，连接FG，EH，GE，∠GFB＝∠CEH．
（1）如图1，求证：GFEH；
（2）如图2，若∠GEH＝α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析．
【分析】（1）由平行线的性质得到，等量代换得出，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；
（2）过点作，过点作，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点作，过点作，
，
，
，，
，
同理，，
平分，平分，
，，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．
4．已知AB∥CD，点是AB，CD之间的一点．
（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；
以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ ），
∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（ ），
∴∠BAE+∠DCE＝ + （等式的性质）．
即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 ．
（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；
②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．
【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE；（2）①37°；②52°
【分析】（1）结合图形利用平行线的性质填空即可；
（2）①过F作FG∥AB，由（1）得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，根据AB∥CD，FG∥AB，CD∥FG，得出∠AFC=∠AFG+∠GFC＝∠BAF+∠DCF，根据AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，可得∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，根据角的和差∠AFC＝∠BAF+∠DCF=∠AEC即可；
②由①得：∠AEC＝2∠AFC，可求∠AFC＝42°，∠AEC＝82°，根据CG⊥AF，求出∠GCF=90-∠AFC=48°，根据角平分线计算得出∠GCF＝3∠DCF，求出∠DCF＝16°即可．
【详解】解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，
两直线平行，内错角相等，
∠1，∠2，
∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
（2）①过F作FG∥AB，
由（1）得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
∵AB∥CD，FG∥AB，
∴CD∥FG，
∴∠BAF=∠AFG，∠DCF=∠GFC，
∴∠AFC=∠AFG+∠GFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，
∴∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
＝∠BAE+∠DCE，
=（∠BAE+∠DCE），
＝∠AEC，
＝×74°，
＝37°；
②由①得：∠AEC＝2∠AFC，
∵∠AEC+∠AFC＝126°，
∴2∠AFC+∠AFC＝126°
∴3∠AFC＝126°，
∴∠AFC＝42°，∠AEC＝84°，
∵CG⊥AF，
∴∠CGF＝90°，
∴∠GCF=90-∠AFC=48°，
∵CE平分∠DCG，
∴∠GCE＝∠ECD，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF＝2∠ECF，
∴∠GCF＝3∠DCF，
∴∠DCF＝16°，
∴∠DCE＝32°，
∴∠BAE＝∠AEC﹣∠DCE＝52°．
【点睛】本题考查平行线性质，角平分线有关的计算，垂直定义，角的和差倍分，简单一元一次方程，掌握平行线性质，角平分线有关的计算，垂直定义，角的和差倍分，简单一元一次方程是解题关键．
5．在数学综合实践活动课上，老师让同学们以“两条平行直线，和一块含45°的直角三角板（）”为背景，开展数学探究活动．如图，将三角板的顶点放置在直线上．
（1）如图①，在边上任取一点（不同于点，），过点作，且，求的度数；
（2）如图②，过点作，请探索并说明与之间的数量关系；
（3）将三角板绕顶点旋转，过点作，并保持点在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）①当点在直线的上方时，；②当点在直线与直线之间时，；③当点在直线的下方时，．
【分析】（1）根据平行线的性质可知，依据，可求出的度数；
（2）过点作，得到，通过平行线的性质把和转化到上即可；
（3）分三种情形：①如图中，当点在直线的上方时，②当点在直线与直线之间时，．③当点在直线的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）如图1中，
，
，
，，
，
解得．
（2），理由如下：
如图，过点作，
，
，
，，
，
，
；
（3）①如图中，当点在直线的上方时，过点作．
，，
，
，，
，
．
②当点在直线与直线之间时，，
如下图：
，
，
，
；
③当点在直线的下方时，过点作．
，，
，
，，
，
．
综上所述，①当点在直线的上方时，．②当点在直线与直线之间时，．③当点在直线的下方时，．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，特殊三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题．
6．已知ABCD，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，连接EG、FG．
（1）如图1，当点G在AB、CD之间时，请直接写出∠AEG、∠CFG与∠G之间的数量关系 ；
（2）如图2，当点G在AB上方时，且∠EGF＝90°，求证：∠BEG –∠DFG＝90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使∠HEG与∠GEB互补，∠EKD的平分交与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并证明．
【答案】（1）∠G＝∠AEG＋∠CFG；（2）90°；（3）FGKL，见解析
【分析】（1）过点G作，GH∥AB，则由平行线的性质可得∠AEG=∠EGH，∠CFG=∠FGH，即可推出∠EGF＝∠AEG＋∠CFG；
（2）过点E作MN∥GF交CD于N，则∠GFN＝∠MND，∠G＝∠GEM＝90º，再由AB∥CD，得到∠MND＝∠MEB，即可得到∠BEG－∠DFG＝∠BEG－∠MEB＝∠GEM＝90º；
（3）先证明∠AEG＝∠HEG，从而得到∠BEL＝∠KEL＝∠BEK，再由角平分线的定义和平行线的性质即可得到∠ELK＝90º，从而可以利用同旁内角互补，两直线平行得证．
【详解】解：（1）∠EGF＝∠AEG＋∠CFG，理由如下：
如图所示，过点G作，GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠AEG=∠EGH，∠CFG=∠FGH，
∴∠AEG+∠CFG=∠EGH+∠FGH=∠EGF，
∴∠EGF＝∠AEG＋∠CFG；
（2）过点E作MN∥GF交CD于N，则∠GFN＝∠MND，∠G＝∠GEM＝90º，
∵AB∥CD，
∴∠MND＝∠MEB，
∴∠BEG－∠DFG＝∠BEG－∠MEB＝∠GEM＝90º；
（3） FG∥KL．理由如下：
∵∠HEG＋∠GEB＝180º ，∠AEG＋∠GEB＝180º，
∴∠AEG＝∠HEG，
∵∠BEL＝∠AEG，∠HEG＝∠KEL，
∴∠BEL＝∠KEL＝∠BEK，
∵KL平分∠EKD，
∴∠EKL＝∠EKD，
∵AB∥CD，
∴∠BEK＋∠EKD＝180º，
∴∠KEL＋∠EKL＝(∠BEK＋∠EKD)＝90º，
∴∠ELK＝90º，
∵∠G＝90º，
∴FG∥KL．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
7．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
问题迁移：
（1）如图3．AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．猜想∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由：
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请写出∠CPD、∠a、∠β之间的数量关系，选择其中一种情况画图并证明．
【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β，证明见解析；（2）当P在A左侧时，∠β=∠α+∠CPD；当P在B、O之间时，∠α=∠β+∠CPD；证明见解析．
【分析】（1）先作辅助线，利用平行线的性质得到三个角的关系；
（2）分P在A的左边和P在B、O之间两种情况作图，利用平行线性质和三角形外角定理得出三个角的关系．
【详解】解：（1）如图3：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
过P作PE∥AD，交CD于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）如图，当P在A左侧时，∠β=∠α+∠CPD．
∵AD∥BC，
∴∠β=∠COD，
∵∠COD是△POD的外角，
∴∠COD=∠CPD+∠ADP，
∴∠β=∠α+∠CPD；
如图，当P在B、O之间时，∠α=∠β+∠CPD．
∵AD∥BC，
∴∠α=∠BEP，
∵∠BEP是△PEC的外角，
∴∠BEP=∠PCB+∠CPD，
∴∠α=∠β+∠CPD．
【点睛】本题考查平行线性质，作辅助线，利用三角形的外角性质是求解本题的关键.