成都市武侯高中2023届高三下学期零诊模拟考试文科数学试题+答案

成都市武侯高中2023年高三下学期零诊模拟考试试题

文科数学

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 复数的虚部是       

A.  B.  C.  D.

3. 几何体三视图如图，其中俯视图为正三角形，正主视图与侧左视图为矩形，则这个几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

4. 执行右图的程序框图，若输入的，则输出的为     

A.
B.
C.
D.
 

5. 已知直线：，：，且，点到直线的距离

A.  B.  C.  D.

6. 若实数，满足约束条件则的最小值为

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，那么的值为      

A.  B.  C.  D.

8. 设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为

A.  B.  C.  D.

9. 若直线与圆相交于，两点，且为坐标原点，则

A.  B.  C.  D.

10. 在某大学一食品超市，随机询问了名不同性别的大学生在购买食物时是否查看营养说明，得到如下的列联表：

附：，其中．

根据列联表的独立性检验，则下列说法正确的是

A. 在犯错误的概率不超过的前提下认为该校大学生在购买食物时要查看营养说明的人数中男生人数更多
B. 在犯错误的概率不超过的前提下认为该校女大学生在购买食物时要查看营养说明的人数与不查看营养说明的人数比为
C. 在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系
D. 在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系

11. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为

A.  B.  C.  D.

12. 过点作曲线的切线最多有

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 函数在处取得极值，则______．
14. 为了研究某种菌在特定环境下随时变化的繁殖情况，得如下实验数据：

由以上信息，计算得回归直线方程为，则的值为______．

15. 点在椭圆上，则点到直线的距离的最大值为______．
16. 已知函数为自然对数的底数，若在上有解，则实数的取值范围是          ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知函数，求：

    函数的图象在点处的切线方程；

    的单调递减区间．

18. 某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱成都，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了名学生的分数得分取正整数，满分为分，所有学生的得分都在区间中作为样本进行统计．按照，，，，的分组作出如下的频率分布直方图，并作出下面的样本分数茎叶图图中仅列出了得分在，的数据．
    
    Ⅰ求样本容量和频率分布直方图中，的值；
    Ⅱ在选取的样本中，从竞赛成绩不低于分的三组学生中按分层抽样抽取了名学生，再从抽取的这名学生中随机抽取名学生到天府广场参加环保知识宣传活动，求这名学生中恰好有名学生的分数在中的概率．
19. 如图，在直三棱柱中，，点是的中点，； 
      求证：平面；

求点到平面距离．

20. 已知点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数
    求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
    若点的坐标为，过的直线与点的轨迹交于不同的两点，，求面积的最大值．
21. 设函数．
    讨论函数的单调性；
    当时，
    求函数在上的最大值和最小值；
    若存在，，，，使得成立，求的最大值．

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为：为参数，，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为

．
求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
已知点，设曲线与曲线的交点分别为，，若，求．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：集合，，
则．
故选：．
求出集合，，利用并集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的运算以及复数虚部的判断，属于基础题．
利用复数的除法化简，即可得出结果．

【解答】

解：因为，
所以其虚部为，
 故选D．

3.【答案】

【解析】解：由已知可得：
棱柱的底面是高为的正三角形，
故底面的边长为：，
底面面积为：
棱柱的高为，
故棱柱的体积，
故选：
由已知可得棱柱的底面是高为的正三角形，求出底面面积和高，可得体积．
本题考查的知识点是棱柱的体积，熟练掌握棱柱的体积公式，是解答的关键．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查程序框图中的循环结构，属于基础题．
结合程序框图逐步进行计算即可得解．

【解答】

解：运用程序框图，

第一次循环，   ， ，此时 不成立，
第二次循环，   ， ，此时 不成立，

第三次循环， ，，此时不成立，

第四次循环， ，，此时成立，
结束循环，输出，

故选：．

5.【答案】

【解析】解：直线：，：，且，
，解得，
点到直线的距离．
故选：．
根据两直线垂直公式求出，再用点到直线的距离公式求出．
本题考查点到直线的距离的求法，考查直线与直线垂直的性质、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】

【解析】解由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为．
故选：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查分段函数求值以及指数、对数的基本运算，属于基础题．
利用分段函数先求 的值，然后再求出 的值．

【解答】

解：由题意知 ，
由于 ，
所以 ．
故选 B ．

8.【答案】

【解析】

【分析】

解：若该方程表示双曲线，则： ，即 ，又 ，解得 ，
因为找该方程表示双曲线的必要不充分条件，所以就看由该方程表示双曲线能得到哪个选项，而由该选项的 的取值范围得不到该方程表示双曲线．
选项正确；
选项 A 应是充要条件， 应是充分不必要条件， 应是既不充分又不必要条件．
故选： ．

【解答】

本题考查双曲线的标准方程，必要不充分条件的概念．
先求出该方程表示双曲线时的 的取值范围，再根据必要不充分条件的概念即可找出正确选项．

9.【答案】

【解析】解：圆的圆心为，半径为，
则在中，由余弦定理可得，即，
所以圆心到直线的距离为，则，即．
故选：．
先由余弦定理求出，即可得出圆心到直线的距离，即可求得答案．
本题主要考查直线与圆的位置关系，余弦定理及其应用等知识，属于基础题．
 

10.【答案】

【解析】解：根据列联表中数据，计算，
所以在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系．
故选：．
根据列联表中数据计算，对照附表得出结论．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查双曲线的性质及几何意义，注意运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．
求得圆的圆心和半径，双曲线的一条渐近线方程，由点到直线的距离公式可得圆心到渐近线的距离为 ，再运用直线和圆相交的弦长公式和离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】
解：由圆 ： 可得圆心 ，半径为 ，
双曲线 的一条渐近线为： ，
则圆心到直线的距离为： ，
渐近线被圆 所截得的弦长为 ，
由弦长公式可得 ，
可得 ，即 ．
可得 ，
故选： ．   

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究曲线上点的切线方程，考查了利用函数的极值点的情况分析函数零点的个数，属于中档题．

【解答】

解：设切点为，
因为， 
则切线方程， 
代入得， 
令，
则由，得或， 
且当时，，
时，，
所以方程有个解， 
则过点作曲线的切线最多有条．
故选A．

13.【答案】

【解析】解：由已知得：，所以．
解得．
故答案为：．
令极值点处的导数为零，即可求出的值．
本题考查了导数的概念和性质，属于基础题．
 

14.【答案】

【解析】解：由题意可得：，
回归方程过样本中心点，则：，
即：，
解得：．
故答案为：．
首先求得样本中心点，然后利用回归方程过样本中心点求得实数的值即可．
本题考查回归方程的性质及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
 

15.【答案】

【解析】解：可设点坐标是，
点到直线的距离，
当且仅当时，取得最大值．
故答案为：．
设点坐标是，，点到直线的距离公式，利用三角函数的有界性求出点到直线的距离的最大值．
本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的性质的灵活运用．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的存在性问题，将原问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
由题可知，存在 ，使得 ，即 ，设 ， ，问题转化为求 在 上的最小值，对 求导后，易推出 在 上单调递减，在 上单调递增，于是 ，从而得解．

【解答】

解： 在 上有解，
存在 ，使得 ，即 ，
设 ， ，
问题转化为求 在 上的最小值，
而 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
， ．
故答案为： ．

17.【答案】解：，
，
，，
函数的图象在点处的切线方程为：
，即．
，
，
由，
解得或．
的单调递减区间为，．

【解析】本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的减区间的求法，考查导数的几何意义、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
求出，，，由此利用导数的几何意义能求出函数的图象在点处的切线方程．
由，能求出的单调递减区间．
 

18.【答案】解：Ⅰ由茎叶图知：分数在中的频数为，分数在中的频率为：，
又由频率分布直方图知中的频率为：，，，
又分数在中的频率为：，，．
，，．
Ⅱ分数在，的人数之比为：，
在中抽取的人数为，在中抽取的人数为，
设事件为：“这名学生中恰好有名学生的分数在“，
则．

【解析】Ⅰ根据频率分布直方图特点，茎叶图求解；
Ⅱ根据古典概型概率公式，组合数公式，计数原理求解．
本题考查频率分布直方图，茎叶图，古典概型概率公式，组合数公式，计数原理，属基础题．
 

19.【答案】解：证明：设
连接，点是的中点，点是的中点，

是的中位线，所以，平面，平面，
所以平面；

因为是的中位线，，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为，点是的中点，所以，
在直三棱柱中，平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，

过点作于，因为平面平面，则就是点到平面的距离，，，由勾股定理知，
所以 ，
到平面距离为．

【解析】本题考查线面平行的判定，点到平面的距离计算，属于中档题．
设连接，证明，从而得解；
先得出点到平面的距离等于点到平面的距离，再证明平面平面，过点作于，计算即可．
 

20.【答案】解：由题意可有，
化简可得点的轨迹方程为  
其轨迹是焦点在轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆．
设，，
面积，
由题意知，直线的方程为，
由可得，
则，，
又因直线与椭圆交于不同的两点，故，
即，
则
令，
令，
上是单调递增函数，
即当时，在上单调递增，
因此有，
，
故当，即，三角形的面积最大，最大值为．

【解析】根据题意可得，化简即可求出，
设，，则可得面积，根据韦达定理和函数的性质即可求出．
本题考查了椭圆的轨迹方程，以及直线和椭圆的位置关系，三角形的面积的计算和函数的性质，属于中档题
 

21.【答案】解：函数，则，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，令，得，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在上单调递减，
综上所述：
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，
由知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，，
所以，
综上所述：函数在上的最大值为，最小值为．
因为当时，，，
所以，且，
又，
所以，
所以，
令，
则，
故的最大值为．

【解析】本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题、利用导数求函数的最值不含参、利用导数求函数的单调区间含参，属于较难题．
根据函数的解析式求出，分和两类情况，利用导数求函数的单调区间．
利用导数判断函数在上的单调性，从而求函数的最小值，结合在端点处的函数值求出其最大值．由题意结合函数在上的最值可得，由此即可求出的最大值．
 

22.【答案】解：由为参数，，消去参数，
可得的普通方程为，
，，则，得，
的直角坐标方程为：；
将代入，得，
设，对应的参数分别为，，则，
若，即，则，
即，满足条件的不存在．

【解析】直接把参数方程中的参数消去，即可得到的普通方程，由的极坐标方程结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线的直角坐标方程；
把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，化为关于的一元二次方程，利用参数的几何意义结合根与系数的关系求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．