2020-2021学年北京四中高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京四中高二（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年北京四中高二（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1．（4分）已知向量＝（1，2，﹣1），则下列向量与垂直的是（　　）
A．（0，0，1） B．（﹣2，1，0） C．（1，1，2） D．（4，﹣1，1）
2．（4分）若直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
3．（4分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
4．（4分）在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（　　）

A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCD
C．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC
5．（4分）圆x2+（y+2）2＝4与直线3x+4y+2＝0相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）
A．4x+3y+6＝0 B．3x+4y+8＝0 C．4x﹣3y﹣6＝0 D．4x﹣3y+6＝0
6．（4分）若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（1，m）三点共线，则m的值为（　　）
A． B．﹣1 C．﹣2 D．0
7．（4分）下列命题正确的是（　　）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
8．（4分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（4分）直线kx﹣y+2k+1＝0与x+2y﹣4＝0的交点在第四象限，则k的取值范围为（　　）
A．（﹣6，2） B． C． D．
10．（4分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（　　）

A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线CA上 D．△ABC内部
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）经过A（1，0），B（0，）两点的直线的倾斜角为　 　．
12．（4分）圆心为C（﹣4，3）且与直线2x+y+10＝0相切的圆的方程为　 　．
13．（4分）圆x2+y2﹣4x+4y﹣1＝0截直线x﹣y﹣6＝0所得弦长等于　 　．
14．（4分）若空间向量＝（5，3，m），＝（1，﹣1，﹣2），＝（0，2，﹣3）共面，则m＝　 　．
15．（4分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC中点，则点B到平面AB1E的距离为　 　．

16．（4分）三棱锥O﹣ABC中，OA、OB、OC两两垂直，且OA＝OB＝OC．给出下列四个命题：
①（++）2＝3（）2；
②•（﹣）＝0；
③（+）和的夹角为60°；
④三棱锥O﹣ABC的体积为|（）|．
其中所有正确命题的序号为　 　．
三、解答题：本大题共3小题，共36分
17．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝CC1，AC⊥BC，D为BC1中点，AC1与A1C交于点O．
（1）求证：OD∥平面A1B1C1；
（2）求证：平面AC1B⊥平面A1BC．

18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB＝AP，E为棱PB的中点．
（1）求直线PD与CE所成角的余弦值；
（2）求直线CD与平面ACE所成角的正弦值；
（3）求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．

19．（12分）已知直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣4，0），直角顶点B（﹣2，﹣2），顶点C在x轴上．
（1）求BC边所在的直线方程；
（2）设M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程．
（3）已知AB与平行的直线DE交x轴于D点，交轴y于点E（0，﹣7）．若P为圆M上任意一点，求三角形PDB面积的取值范围．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
20．（4分）圆（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为 　 　．
21．（4分）已知△ABC的三个顶点分别是A（0，3），B（4，2），C（2，1）．若直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分，则直线l的方程是　 　．
22．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABC沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，且平面A′BD⊥平面BCD，则下列四个命题中正确的是　 　．
①A′D⊥BC；②三棱锥A′﹣BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BD⊥平面A′DC．

23．（4分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若∠DBA≥45°，则点A的横坐标的取值范围为　 　．
三、解答题：本大题共2小题，共24分
24．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB＝1，AD＝DC＝DP＝2，∠PDC＝120°．
（1）求证：AD⊥平面PCD；
（2）线段BC上是否存在点F，使得PDF⊥平面PAC？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由；
（3）若M是棱PA的中点，N为线段BC上任意一点，求证：MN与PC一定不平行．

25．（10分）设n∈N，且n≥3．对1，2，…，n的一个排列i1i2…in，如果当s＜t时，有is＞it，则称（is，it）是排列i1i2…in的一个逆序，排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记fn（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求f3（2）的值；
（2）判断fn（2）与fn+1（2）的大小，并说明理由；
（3）求fn（2）（n≥4）的表达式（用n表示）．

2020-2021学年北京四中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1．（4分）已知向量＝（1，2，﹣1），则下列向量与垂直的是（　　）
A．（0，0，1） B．（﹣2，1，0） C．（1，1，2） D．（4，﹣1，1）
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：对于A，∵（1，2，﹣1）•（0，0，1）＝﹣1，故A错误；
对于B，∵（1，2，﹣1）•（﹣2，1，0）＝0，故B正确；
对于C，∵（1，2，﹣1）•（1，1，2）＝1，故C错误；
对于D，∵（1，2，﹣1）•（4，﹣1，1）＝1，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查满足向量垂直的向量的判断，考查向量垂直的性质等基础知识，是基础题．
2．（4分）若直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【分析】根据两直线平行的关系可得1×a+2×2＝0，解得即可．
【解答】解：∵直线l1：2x+ay+1＝0与直线l2：x﹣2y+2＝0平行，
∴1×a+2×2＝0，即a＝﹣4．
此时两直线不重合．
故选：D．
【点评】本题考查直线的一般式方程与直线平行的关系，是基础题．
3．（4分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；
B．运用线面垂直的性质，即可判断；
C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；
D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．
【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．
故选：B．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．
4．（4分）在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（　　）

A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCD
C．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC
【分析】运用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，结合条件和三角形的性质，可得结论．
【解答】解：在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，且BC∩BD＝B，
可得AD⊥平面BCD，
由AD⊂平面ABD，可得平面ABD⊥平面BCD，
由AD⊂平面ACD，可得平面ACD⊥平面BCD，故A正确；
若平面ABC⊥平面BCD，又平面ACD⊥平面BCD，AC＝平面ABC∩平面ACD，
可得AC⊥平面BCD，AC⊥CD，与AD⊥CD矛盾，故B错误；
若平面ACD⊥平面ABD，又平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，CD⊥BD，不一定成立，故C错误；
若平面ABD⊥平面ABC，又平面ABD⊥平面BCD，可得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，不一定成立，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查空间面面的位置关系，考查转化思想和推理能力，属于中档题．
5．（4分）圆x2+（y+2）2＝4与直线3x+4y+2＝0相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）
A．4x+3y+6＝0 B．3x+4y+8＝0 C．4x﹣3y﹣6＝0 D．4x﹣3y+6＝0
【分析】由题意可得所求直线垂直于直线3x+4y+2＝0且过圆心（0，﹣2），求出所求直线的斜率，再由直线方程的斜截式得答案．
【解答】解：圆x2+（y+2）2＝4的圆心坐标为（0，﹣2），
由直线和圆的位置关系可得，线段AB的垂直平分线是垂直于直线3x+4y+2＝0且过圆心（0，﹣2）的直线，
∵直线3x+4y+2＝0的斜率为，∴所求直线的斜率为，
故线段AB的垂直平分线的方程为：y＝x+2，即4x﹣3y﹣6＝0．
故选：C．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，得出直线过圆心且垂直于已知直线是解决问题的关键，是基础题．
6．（4分）若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（1，m）三点共线，则m的值为（　　）
A． B．﹣1 C．﹣2 D．0
【分析】根据三点共线与斜率的关系即可得出．
【解答】解：kAB＝＝﹣1，kAC＝＝．
∵A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（1，m）三点共线，
∴﹣1＝，解得m＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（4分）下列命题正确的是（　　）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．
【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；
C、设平面α∩β＝a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；
D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．
故选：C．
【点评】本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．
8．（4分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意利用线面平行的判定即可得解．
【解答】解：对于选项A，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB与平面MNQ平行；
对于选项B，如图，

O为底面对角线的交点，可得AB∥OQ，
又OQ∩平面MNQ＝Q，
所以直线AB与平面MNQ不平行．
对于选项C，由题意，可得AB∥MN，结合线面平行判定定理可知AB与平面MNQ平行；
对于选项D，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB与平面MNQ平行；
故选：B．
【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，考查了数形结合思想的应用，注意解题方法的积累，属于中档题．
9．（4分）直线kx﹣y+2k+1＝0与x+2y﹣4＝0的交点在第四象限，则k的取值范围为（　　）
A．（﹣6，2） B． C． D．
【分析】联立方程组可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于0，综坐标小于0，解不等式组即可．
【解答】解：联立方程，可解得，
由两直线y＝kx+2k+1与x+2y﹣4＝0交点在第四象限可得，
解此不等式组可得＜k，即k的取值范围为（，）
故选：C．
【点评】本题考查两条直线的交点坐标，解方程组和不等式组是解决问题的关键，属基础题．
10．（4分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（　　）

A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线CA上 D．△ABC内部
【分析】如图，C1在面ABC上的射影H必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC⊥面ABC1就可以了．
【解答】解：⇒CA⊥面ABC1
⇒面ABC⊥面ABC1，
∴过C1在面ABC内作垂直于平面ABC，
垂线在面ABC1内，也在面ABC内，
∴点H在两面的交线上，即H∈AB．
故选：A．
【点评】本题通过射影问题来考查线面垂直和面面垂直问题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）经过A（1，0），B（0，）两点的直线的倾斜角为　　．
【分析】根据题意，设直线AB的倾斜角为α，求出直线AB的斜率，即可得tanα的值，结合α的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设直线AB的倾斜角为α，
又由A（1，0），B（0，），则k＝＝﹣，
则有tanα＝﹣，又由0≤α＜π，
则α＝，
故答案为：．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的计算，注意直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
12．（4分）圆心为C（﹣4，3）且与直线2x+y+10＝0相切的圆的方程为　（x+4）2+（y﹣3）2＝5　．
【分析】根据题意，求出圆心到直线的距离d，由直线与圆相切的性质可得圆的半径r＝d，由圆的标准方程的形式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，要求圆的圆心为（﹣4，3），与直线2x+y+10＝0相切，
则圆心到直线的距离d＝＝，
即圆的半径r＝d＝，
则圆的方程为（x+4）2+（y﹣3）2＝5，
故答案为：（x+4）2+（y﹣3）2＝5．
【点评】本题考查圆的标准方程以及直线与圆相切的性质，关键求出圆的半径，属于基础题．
13．（4分）圆x2+y2﹣4x+4y﹣1＝0截直线x﹣y﹣6＝0所得弦长等于　2　．
【分析】先求出圆心到直线的距离，再在圆中由半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构造直角三角形，利用勾股定理即可求出弦长．
【解答】解：由题意可知圆心（2，﹣2），圆的半径为3，设圆心（2，﹣2）到直线x﹣y﹣6＝0的距离为d，则，
d＝||＝，
所以弦长为：2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了求直线和圆的相交所得的弦长问题，属于基础题．
14．（4分）若空间向量＝（5，3，m），＝（1，﹣1，﹣2），＝（0，2，﹣3）共面，则m＝　﹣22　．
【分析】设＝x，列出方程组，能求出m．
【解答】解：∵空间向量＝（5，3，m），＝（1，﹣1，﹣2），＝（0，2，﹣3）共面，
∴设＝x，即（5，3，m）＝（x，﹣x，﹣2x）+（0，2y，﹣3y）＝（x，2y﹣x，﹣2x﹣3y），
∴，解得．
∴m＝﹣22．
故答案为：﹣22．
【点评】本题考查实数值求法，考查共面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（4分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC中点，则点B到平面AB1E的距离为　　．

【分析】先计算△AB1E的面积，根据V＝V求出点B到平面AB1E的距离．
【解答】解：AB1＝，AE＝B1E＝，
∴E到AB1的距离d＝＝＝，
∴S＝＝，
设B到平面AB1E的距离为h，则V＝＝，
又V＝V＝＝，
∴＝，解得h＝，
∴点B到平面AB1E的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查了点到平面的距离计算，属于基础题．
16．（4分）三棱锥O﹣ABC中，OA、OB、OC两两垂直，且OA＝OB＝OC．给出下列四个命题：
①（++）2＝3（）2；
②•（﹣）＝0；
③（+）和的夹角为60°；
④三棱锥O﹣ABC的体积为|（）|．
其中所有正确命题的序号为　①②③　．
【分析】首先利用三棱锥的OA、OB、OC两两垂直，建立空间直角坐标系，进一步利用向量的模，向量的坐标运算，向量的数量积和向量的夹角和三棱锥的体积公式的应用判断①②③④的结论．
【解答】解：三棱锥O﹣ABC中，OA、OB、OC两两垂直，且OA＝OB＝OC．
如图所示：

设A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），
则：，，，
对于①：，则：＝
故（++）2＝3（）2；故①正确；
对于②：，，，•（﹣）＝（0，﹣1，1）•（1，0，0）＝0，故②正确；
对于③：由于，，
故＝，所以（+）和的夹角为60°，故③正确；
对于④：，，，
所以，，
故：VO﹣ABC＝|（）|＝．
实际上，故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查的知识要点：空间直角坐标系，向量的夹角，向量的线性运算，向量的数量积，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共3小题，共36分
17．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝CC1，AC⊥BC，D为BC1中点，AC1与A1C交于点O．
（1）求证：OD∥平面A1B1C1；
（2）求证：平面AC1B⊥平面A1BC．

【分析】（1）连接B1C，交BC1于D，由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，可得证明；
（2）运用线面垂直和面面垂直的判定定理，可得证明．
【解答】证明：（1）连接B1C，交BC1于D，可得OD为三角形A1B1C的中位线，
可得OD∥A1B1，且OD⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，
可得OD∥平面A1B1C1；
（2）由正方形ACC1A1，可得A1C⊥AC1，
又BC⊥AC，
AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BC，
则BC⊥平面AA1C1C，即有BC⊥AC1，
可得AC1⊥平面BCA1，
而AC1⊂平面ABC1，
所以平面AC1B⊥平面A1BC．

【点评】本题考查空间线面平行和面面垂直的判定，考查转化思想和推理能力，属于基础题．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB＝AP，E为棱PB的中点．
（1）求直线PD与CE所成角的余弦值；
（2）求直线CD与平面ACE所成角的正弦值；
（3）求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．

【分析】（1）建立空间坐标系，计算，的夹角得出直线PD与CE所成角；
（2）求出平面ACE的法向量，计算与的夹角得出直线CD与平面ACE所成的角；
（3）求出平面PAC的法向量，计算的夹角得出二面角E﹣AC﹣P的大小．
【解答】解：（1）以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，
设AB＝1，则P（0，0，1），D（0，1，0），C（1，1，0），E（，0，），
∴＝（0，1，﹣1），＝（﹣，﹣1，），
∴cos＜，＞＝＝＝﹣，
∴直线PD与CE所成角的余弦值为．
（2）＝（1，1，0），＝（1，0，0），
设平面ACE的法向量为＝（x1，y1，z1），则，
即，令x1＝1可得＝（1，﹣1，﹣1），
∴cos＜，＞＝＝＝，
∴直线CD与平面ACE所成角的正弦值为．
（3）＝（0，0，1），设平面PAC的法向量为＝（x2，y2，z2），则，
即，令x2＝1可得＝（1，﹣1，0），
∴cos＜＞＝＝＝．
∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值为．

【点评】本题考查了空间向量在求空间角中的应用，属于中档题．
19．（12分）已知直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣4，0），直角顶点B（﹣2，﹣2），顶点C在x轴上．
（1）求BC边所在的直线方程；
（2）设M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程．
（3）已知AB与平行的直线DE交x轴于D点，交轴y于点E（0，﹣7）．若P为圆M上任意一点，求三角形PDB面积的取值范围．

【分析】（1）由已知求得AB所在直线的斜率，得到BC所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式求得BC所在直线方程；
（2）求出C点坐标，可得M的坐标，进一步求出圆M的半径，则圆M的方程可求；
（3）求出BD所在直线方程，得到M到BD所在直线的距离，可得圆M上动点P到BD距离的最大值，再求出|BD|，由三角形面积公式求三角形PDB面积的最大值，则三角形PDB面积的取值范围可求．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），B（﹣2，﹣2），∴，
又AB⊥BC，∴，则BC所在直线方程为y+2＝，
即；
（2）在中，取y＝0，得x＝2，则C（2，0），
∵AB⊥BC，∴△ABC外接圆的圆心M是AC的中点，即M（﹣1，0），
半径r＝|AC|＝3，则圆M的方程为（x+1）2+y2＝9；
（3）∵，E（0，﹣7），
∴DE所在直线方程为y＝﹣，取y＝0，可得x＝﹣7，则D（﹣7，0），
∴，则BD所在直线方程为y＝﹣，
即．
M到BD的距离为d＝，则圆M上动点P到直线BD的最小距离为0，最短距离为．
又|BD|＝，
∴三角形PDB面积的最大值为S＝．
则三角形PDB面积的取值范围是（0，]．
【点评】本题考查两直线垂直与斜率的关系，考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
20．（4分）圆（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为 　（x﹣3）2+（y﹣1）2＝5．　．
【分析】先求出圆心关于直线y＝x对称的圆心坐标，半径不变，可得要求的圆的方程．
【解答】解；圆（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5的圆心为M（1，3），半径为，
点M关于直线y＝x对称的点N（3，1），
故圆M关于直线y＝x对称的圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝5，
故答案为：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝5．
【点评】本题主要考查求一个圆关于直线的对称圆的方程的求法，属于基础题．
21．（4分）已知△ABC的三个顶点分别是A（0，3），B（4，2），C（2，1）．若直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分，则直线l的方程是　x+2y﹣6＝0　．
【分析】若直线l过点A且将三角形分成面积相等的两部分，则直线l过BC的中点，求出BC中点的坐标，求出直线l的方程，计算可得答案．
【解答】解：若直线l过点A且将三角形分成面积相等的两部分，则直线l过BC的中点，
设BC的中点为D，则D（3，），
又由A（0，3），则Kl＝＝﹣，
直线l的方程为y﹣3＝﹣（x﹣0），即x+2y﹣6＝0．
故答案为：x+2y﹣6＝0．
【点评】本题考查直线方程的计算，属于基础题．
22．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABC沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，且平面A′BD⊥平面BCD，则下列四个命题中正确的是　③④　．
①A′D⊥BC；②三棱锥A′﹣BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BD⊥平面A′DC．

【分析】直接利用线面垂直和线线垂直及面面垂直之间的转换，等体积转换判断出正确的结论．
【解答】解：根据题意，整理出图形，
如图所示：

对于①：由于平面A′BD⊥平面BCD，AD⊥BD，
所以DC⊥平面A′BD，则DC⊥A′D，故①错误．
对于②：，故②错误；
对于③：由于平面A′BD⊥平面BCD，AD⊥BD，
所以DC⊥平面A′BD，故③正确；
对于④：由于平面A′BD⊥平面BCD，AD⊥BD，
所以DC⊥平面A′BD，
由于DC⊂平面A′DC，
所以平面A′BD⊥平面A′DC，故④正确．
故：③④正确．
故答案为：③④．
【点评】本题考查的知识要点：线面垂直和线线垂直及面面垂直之间的转换，等体积转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
23．（4分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若∠DBA≥45°，则点A的横坐标的取值范围为　[3，+∞）　．
【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，由∠DBA≥45°，得∠DCA＝2∠DBA≥90°，可得，由此列式求得a的范围，则答案可求．
【解答】解：设A（a，2a），a＞0，
∵B（5，0），∴C（，a），
则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．
联立，解得：D（1，2）．
∵∠DBA≥45°，∴∠DCA＝2∠DBA≥90°，
∵，＝（），
则＝≤0，
即a2﹣2a﹣3≥0，解得a≤﹣1或a≥3，
又a＞0，可得a≥3．
即A的横坐标为[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想与数形结合的解题思想，是中档题．
三、解答题：本大题共2小题，共24分
24．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB＝1，AD＝DC＝DP＝2，∠PDC＝120°．
（1）求证：AD⊥平面PCD；
（2）线段BC上是否存在点F，使得PDF⊥平面PAC？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由；
（3）若M是棱PA的中点，N为线段BC上任意一点，求证：MN与PC一定不平行．

【分析】（1）运用面面垂直的性质定理，可得证明；
（2）线段BC上假设存在点F，使得PDF⊥平面PAC，设CF＝t，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，运用向量数量积为0，可得t，即可判定存在性；
（3）运用反证法，以及中位线定理和平行公理，即可得证．
【解答】解：（1）证明：由平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，且AD⊥DC，
可得AD⊥平面PCD；
（2）线段BC上假设存在点F，使得PDF⊥平面PAC，设CF＝t，
以D为坐标原点，DA，DC所在的直线分别为x，y轴，过D垂直于DC的直线为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
由四边形ABCD为直角梯形，且AB＝1，CD＝AD＝2，可得CB＝＝，且tan∠DCB＝2，cos∠DCB＝，sin∠DCB＝，可得F（，2﹣，0），P（0，﹣1，），D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），
＝（2，1，﹣），＝（0，3，﹣），＝（0，1，﹣），＝（，2﹣，0），
设平面PAC的法向量为＝（x1，y1，z1），平面PDF的法向量为＝（x2，y2，z2），
由可得，可取y1＝，则＝（，，3），
由，可得，取y2＝，可得＝（，，1），
由题意可得•＝+3+3＝0，解得t＝，
则BF＝﹣t＝，
所以存在F，且＝；
（3）证明：假设MN与PC平行，
取AC的中点H，连接MH，由MH为△PAC的中位线，可得MH∥PC，
可得过M存在两条直线MN，MH与PC平行，
这与过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，矛盾，
故MN与PC一定不平行．

【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，主要是平行和垂直的判定和性质，考查运算求解能力、推理能力，是中档题．
25．（10分）设n∈N，且n≥3．对1，2，…，n的一个排列i1i2…in，如果当s＜t时，有is＞it，则称（is，it）是排列i1i2…in的一个逆序，排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记fn（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求f3（2）的值；
（2）判断fn（2）与fn+1（2）的大小，并说明理由；
（3）求fn（2）（n≥4）的表达式（用n表示）．
【分析】（1）由题意直接求得f3（2）的值，对1，2，3，4的排列，由此可得f3（2）的值；
（2）对一般的n（n≥4）的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，fn（1）＝n﹣1．推出fn+1（2）与fn（2）的大小关系；
（3）利用（2），fn+1（2）＝fn（2）+n．当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得fn+1（2）＝fn（2）+fn（1）+fn（0）＝fn（2）+n，则当n≥4时，fn（2）＝[fn（2）﹣fn﹣1（2）]+[fn﹣1（2）﹣fn﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2），则fn（2）（n≥4）的表达式可求．
【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有
μ（123）＝0，μ（132）＝1，μ（231）＝2，μ（321）＝3，
∴f3（0）＝1，f3（1）＝f3（2）＝2，
（2）对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）＝f3（2）+f3（1）+f3（0）＝5；
对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴fn（0）＝1．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，fn（1）＝n﹣1．
为计算fn+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，fn+1（2）＝fn（2）+fn（1）+fn（0）＝fn（2）+n．
所以fn（2）＜fn+1（2）．
（3）由（2）可得当n≥4时，fn（2）＝[fn（2）﹣fn﹣1（2）]+[fn﹣1（2）﹣fn﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+[f4（2）﹣f3（2）]+f3（2）
＝（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+3+f3（2）＝（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+3+2＝＝．
因此，当n≥4时，fn（2）＝．
【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是难题．
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日期：2021/10/4 9:29:15；用户：张强；邮箱：goodboyiis@163.com；学号：426909

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