2021-2022学年湖南省部分校高二下学期基础学科知识竞赛数学试题含答案

2021-2022学年湖南省部分校高二下学期基础学科知识竞赛数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知集合，，，则（    ）

A. B. C. D.

2.若为纯虚数，则a的值为（    ）

A. B. C.2 D.0

3.在的展开式中，含项的系数为（    ）

A. B.2048 C. D.

4.已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知平面向量，，若与共线，则（    ）

A.6 B.-6 C. D.

6.已知函数，若曲线在点处的切线经过点（3，5），则a的值为（    ）

A. B.e C.1 D.2

7.已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（    ）

A.  B.

C. D.

8.某工厂专业生产水稻收割机，它有三个等级：一级品、二级品和三级品.现A车间中有4个一级品，4个二级品和2个三级品，B车间中有5个一级品，3个二级品和2个三级品，先从B车间中随机取出两个水稻收割机放入A车间，再从A车间中随机取出一个水稻收割机，则从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若抛物线C：上一点P到准线的距离等于它到点的距离，则点P的坐标可能为（    ）

A.（4，4） B. C. D.（4，-4）

10.要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ）

A.每一点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度

B.每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度

C.向右平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）

D.向右平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）

11.任意抛掷一次骰子，把它在地面最上方的面上的数字记为X，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（    ）

A.  B.

C. D.A，B，C两两相互独立

12.下列大小关系正确的是（    ）

A. B. C. D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列满足，则______.

14.已知双曲线C的离心率为，写出双曲线C的一个标准方程______.

15.已知，，则______.

16.如图，三棱锥中，，，的面积为8，则三棱锥外接球的表面积的最小值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的外接圆半径为，且.

（1）求B及b；

（2）若，求a，c.

18.（本小题满分12分）

已知等比数列的前n项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和.

19.（本小题满分12分）

道德与法律的联系：法律、道德都是行为规范，都是为规范人们的行为而规定的行动准则.

1.法律需要道德的奠基和撑持

2.道德的实施需要法律的强制保障

某校进行了一次道德与法律的相关测试（满分：100分），并随机抽取了50个统计其分数，得到的结果如下表所示：

（1）若同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这次测试的平均分和中位数（所得结果四舍五入保留整数）；

（2）假设处于的4个人的成绩分别为20，26，35，38，求表中成绩的10%分位数；

（3）以频率估计概率，若在这个学校中，随机挑选3人，记3人的成绩在间的数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

20.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，底面，的中点为，四面体的体积为，四边形的面积为.

（1）求到平面的距离；

（2）设与交于点O，是以为直角的等腰直角三角形且.求直线与平面所成角的正弦值.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆C：的上顶点与右焦点分别为M，F，O为坐标原点，是底边长为2的等腰三角形.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，，若，求k的值.

22.（本小题满分12分）

已知.

（1）判断函数的单调性；

（2）当时，求与的图象在上的交点个数.

2022年  高二基础学科知识竞赛

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.C【解析】因为，所以，所以.故选C.

2.D【解析】为纯虚数，则.故选D.

3.A【解析】二项式的展开式的通项，令，得，故含项的系数为.故选A.

4.C【解析】若，又，则，故充分性成立，反之，若，又，则，故必要性成立.故“”是“”的充要条件.故选C.

5.B【解析】若与共线，则，解得.故选B.

6.A【解析】由题意，，则，所以，又由，所以曲线在点处的切线方程为，因为切线经过点（3，5），可得，解得.故选A.

7.D【解析】因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，且，又，所以，

由，得或所以或

解得或.故x的取值范围是.故选D.

8.C【解析】记事件M为“从A车间中取出的水稻收割机为三级品”，记表示从B车间中随机取出两个一级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出两个二级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出两个三级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出1个一级品1个二级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出1个一级品1个三级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出1个二级品1个三级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品.从B车间中随机取出两个一级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出两个二级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出两个三级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出1个一级品1个二级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出1个一级品1个三级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出1个二级品1个三级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以.所以.故选C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9.BC【解析】设焦点为F，.由条件及抛物线的定义知，，又，所以，所以，所以.故点P的坐标可能为或.故选BC.

10.BC【解析】（1）先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，所以A选项错误，B选项正确；（2）先平移后伸缩时：向右平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所以D选项错误，C选项正确.故选BC.

11.AB【解析】由题意，，，，

所以，同理，，

由，则，故A正确；

由，则，故B正确；

由，则，而，故C错误；

因为，，，所以事件A，B，C不两两相互独立，故D错误.故选AB.

12.ABC【解析】作出和的图象，如图所示，

由图象可得，当时，；当时，，

所以，，故A，B正确；

.

构造函数，，则，

当时，；当时，，

所以在（-1，0）上单调递增，在上单调递减，

所以，即，.

取得，即，C正确；

，所以，故，即，故D错误.

故选ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.14【解析】由等差中项的性质可得.

14.（答案不唯一）【解析】双曲线C的离心率为，可得，则，

故双曲线的标准方程为，

所求双曲线方程为，答案不唯一.

15.【解析】由，得①，

将①式等号两边同时平方，得，所以，而，所以，，又，所以②.

由①②得，，所以.

16.【解析】作BD的中点O，

因为，，则，则O是三棱锥外接球的球心，

因为的面积为8，所以，则，则，当且仅当时取等号，所以，则，即，所以三棱锥外接球的表面积的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】（1）由及正弦定理，得，

又在中，，则，可得，

即得，

又，则.

又的外接圆的半径，

由正弦定理，则.

（2）由（1）知，，又，

则由余弦定理得，

解得，

则a，c是方程的两解.

则，

故，或，.

18.【解析】（1）由，可得，

则，

因为为等比数列，所以其公比为；

又，所以.

（2）由（1）可得，

，

所以

.

19.【解析】估计这次测试的平均分为

（分）；

设这次测试的中位数为，显然，

则，解得（分）.

即估计这次测试的中位数为66.

（2）由于，

所以表中成绩的10%分位数为.

（3）X所有可能取值为0，1，2，3.

由表中数据可知，任意挑选一人，成绩在间的概率为.

所以，，

，，

故X的分布列为

故X的数学期望.

20.【解析】（1）因为，所以，

设到平面的距离为h，则到平面的距离为，

因为，

即，

即，得，即到平面的距离.

（2）因为是以为直角的等腰直角三角形，由（1）知，所以，

如图，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

则点，，，，.

则，，.

设平面的法向量为，

则由解得.

令，则，于是平面的一个法向量为.

所以直线与平面所成角的正弦值为

.

21.【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c.

因为是底边长为2的等腰三角形，

所以且，

又，所以由勾股定理得，

所以.

所以，，

所以椭圆C的方程为.

（2）联立得，

则，解得或.

设，，则

则，，

由，得，

即，

得，得，

得，

得，

化简得，

得，

解得，都满足或.

综上，k的值为或.

22.【解析】（1）证明：因为的定义域是，

，

令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故，

所以当时，函数在，上单调递减；

当时，函数在，上单调递增.

（2）解：当时，，

当时，由，得，可得，

接下来求出函数和函数在上图象的交点个数，

当时，，，

即函数和函数在上图象无交点；

当时，，

令，则对任意的恒成立，

所以，函数在上单调递减，所以，

所以，当时，，即函数在上单调递减，

因为，如下图所示：

由图可知，函数和函数在上图象的交点个数为2.

综上所述，函数和函数在上图象的交点个数为2，即与的图象在上的交点个数为2.