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    2021-2022学年湖南省部分校高二下学期基础学科知识竞赛数学试题含答案

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    这是一份2021-2022学年湖南省部分校高二下学期基础学科知识竞赛数学试题含答案,共13页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021-2022学年湖南省部分校高二下学期基础学科知识竞赛数学试题

    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

    1.已知集合,则   

    A. B. C. D.

    2.为纯虚数,则a的值为(   

    A. B. C.2 D.0

    3.的展开式中,含项的系数为(   

    A. B.2048 C. D.

    4.已知三条不同的直线lmn,且,则的(   

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    5.已知平面向量,若共线,则   

    A.6 B.-6 C. D.

    6.已知函数,若曲线在点处的切线经过点(35),则a的值为(   

    A. B.e C.1 D.2

    7.已知偶函数上单调递减,若,则满足x的取值范围是(   

    A.  B.

    C. D.

    8.某工厂专业生产水稻收割机,它有三个等级:一级品、二级品和三级品.A车间中有4个一级品,4个二级品和2个三级品,B车间中有5个一级品,3个二级品和2个三级品,先从B车间中随机取出两个水稻收割机放入A车间,再从A车间中随机取出一个水稻收割机,则从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为(   

    A. B. C. D.

    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0.

    9.若抛物线C上一点P到准线的距离等于它到点的距离,则点P的坐标可能为(   

    A.44 B. C. D.4-4

    10.要得到函数的图象,只要将函数的图象(   

    A.每一点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移个单位长度

    B.每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将所得图象向右平移个单位长度

    C.向右平移个单位长度,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)

    D.向右平移个单位长度,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)

    11.任意抛掷一次骰子,把它在地面最上方的面上的数字记为X,则,定义事件:,事件:,事件:,则下列判断正确的是(   

    A.  B.

    C. D.ABC两两相互独立

    12.下列大小关系正确的是(   

    A. B. C. D.

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20.

    13.已知等差数列满足,则______.

    14.已知双曲线C的离心率为,写出双曲线C的一个标准方程______.

    15.已知,则______.

    16.如图,三棱锥中,的面积为8,则三棱锥外接球的表面积的最小值为______.

    四、解答题:本题共6小题,共70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17.(本小题满分10分)

    已知的内角ABC所对的边分别为abc,若的外接圆半径为,且.

    1)求Bb

    2)若,求ac.

    18.(本小题满分12分)

    已知等比数列的前n项和为.

    1)求数列的通项公式;

    2)令,求数列的前n项和.

    19.(本小题满分12分)

    道德与法律的联系:法律、道德都是行为规范,都是为规范人们的行为而规定的行动准则.

    1.法律需要道德的奠基和撑持

    2.道德的实施需要法律的强制保障

    某校进行了一次道德与法律的相关测试(满分:100分),并随机抽取了50个统计其分数,得到的结果如下表所示:

    成绩/

    人数/

    4

    4

    10

    22

    10

    1)若同一组数据用该区间中点值作代表,试估计这次测试的平均分和中位数(所得结果四舍五入保留整数);

    2)假设处于4个人的成绩分别为20263538,求表中成绩的10%分位数;

    3)以频率估计概率,若在这个学校中,随机挑选3人,记3人的成绩在间的数量为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

    20.(本小题满分12分)

    如图,在三棱柱中,底面的中点为,四面体的体积为,四边形的面积为.

    1)求到平面的距离;

    2)设交于点O是以为直角的等腰直角三角形且.求直线与平面所成角的正弦值.

    21.(本小题满分12分)

    已知椭圆C的上顶点与右焦点分别为MFO为坐标原点,是底边长为2的等腰三角形.

    1)求椭圆C的方程;

    2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点AB,若,求k的值.

    22.(本小题满分12分)

    已知.

    1)判断函数的单调性;

    2)当时,求的图象在上的交点个数.

     

    2022  高二基础学科知识竞赛

    数学参考答案

    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40.

    1.C【解析】因为,所以,所以.故选C.

    2.D【解析】为纯虚数,则.故选D.

    3.A【解析】二项式的展开式的通项,令,得,故含项的系数为.故选A.

    4.C【解析】若,又,则,故充分性成立,反之,若,又,则,故必要性成立.的充要条件.故选C.

    5.B【解析】若共线,则,解得.故选B.

    6.A【解析】由题意,,则,所以,又由,所以曲线在点处的切线方程为,因为切线经过点(35),可得,解得.故选A.

    7.D【解析】因为偶函数上单调递减,所以上单调递增,且,又,所以

    ,得所以

    解得.x的取值范围是.故选D.

    8.C【解析】记事件MA车间中取出的水稻收割机为三级品,记表示从B车间中随机取出两个一级品,从A车间中取出的水稻收割机为三级品,记表示从B车间中随机取出两个二级品,从A车间中取出的水稻收割机为三级品,记表示从B车间中随机取出两个三级品,从A车间中取出的水稻收割机为三级品,记表示从B车间中随机取出1个一级品1个二级品,从A车间中取出的水稻收割机为三级品,记表示从B车间中随机取出1个一级品1个三级品,从A车间中取出的水稻收割机为三级品,记表示从B车间中随机取出1个二级品1个三级品,从A车间中取出的水稻收割机为三级品.B车间中随机取出两个一级品的概率为,从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为,所以;从B车间中随机取出两个二级品的概率为,从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为,所以;从B车间中随机取出两个三级品的概率为,从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为,所以;从B车间中随机取出1个一级品1个二级品的概率为,从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为,所以;从B车间中随机取出1个一级品1个三级品的概率为,从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为,所以;从B车间中随机取出1个二级品1个三级品的概率为,从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为,所以.所以.故选C.

    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20.

    9.BC【解析】设焦点为F.由条件及抛物线的定义知,,又,所以,所以,所以.故点P的坐标可能为.故选BC.

    10.BC【解析】(1)先伸缩后平移时:每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将所得图象向右平移个单位长度,所以A选项错误,B选项正确;(2)先平移后伸缩时:向右平移个单位长度,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),所以D选项错误,C选项正确.故选BC.

    11.AB【解析】由题意,

    所以,同理,

    ,则,故A正确;

    ,则,故B正确;

    ,则,而,故C错误;

    因为,所以事件ABC不两两相互独立,故D错误.故选AB.

    12.ABC【解析】作出的图象,如图所示,

    由图象可得,当时,;当时,

    所以,故AB正确;

    .

    构造函数,则

    时,;当时,

    所以在(-10)上单调递增,在上单调递减,

    所以,即.

    ,即C正确;

    ,所以,故,即,故D错误.

    故选ABC.

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20.

    13.14【解析】由等差中项的性质可得.

    14.(答案不唯一)【解析】双曲线C的离心率为,可得,则

    故双曲线的标准方程为

    所求双曲线方程为,答案不唯一.

    15.【解析】由,得

    式等号两边同时平方,得,所以,而,所以,又,所以.

    ①②,所以.

    16.【解析】作BD的中点O

    因为,则O三棱锥外接球的球心,

    因为的面积为8,所以,则,则,当且仅当时取等号,所以,则,即,所以三棱锥外接球的表面积的最小值为.

    四、解答题:本题共6小题,共70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17.【解析】(1)由及正弦定理,得

    又在中,,则,可得

    即得

    ,则.

    的外接圆的半径

    由正弦定理,则.

    2)由(1)知,又

    则由余弦定理得

    解得

    ac是方程的两解.

    .

    18.【解析】(1)由,可得

    因为为等比数列,所以其公比为

    ,所以.

    2)由(1)可得

    所以

    .

    19.【解析】估计这次测试的平均分为

    (分);

    设这次测试的中位数为,显然

    ,解得(分).

    即估计这次测试的中位数为66.

    2)由于

    所以表中成绩的10%分位数为.

    3X所有可能取值为0123.

    由表中数据可知,任意挑选一人,成绩在间的概率为.

    所以

    X的分布列为

    X

    0

    1

    2

    3

    P

    X的数学期望.

    20.【解析】(1)因为,所以

    到平面的距离为h,则到平面的距离为

    因为

    ,得,即到平面的距离.

    2)因为是以为直角的等腰直角三角形,由(1)知,所以

    如图,以所在的直线分别为xyz轴建立空间直角坐标系.

    则点.

    .

    设平面的法向量为

    则由解得.

    ,则,于是平面的一个法向量为.

    所以直线与平面所成角的正弦值为

    .

    21.【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c.

    因为是底边长为2的等腰三角形,

    所以

    ,所以由勾股定理得

    所以.

    所以

    所以椭圆C的方程为.

    2)联立

    ,解得.

    ,则

    ,得

    ,得

    化简得

    解得,都满足.

    综上,k的值为.

    22.【解析】(1)证明:因为的定义域是

    ,则

    时,单调递减;

    时,单调递增;

    所以当时,函数上单调递减;

    时,函数上单调递增.

    2)解:当时,

    时,由,得,可得

    接下来求出函数和函数上图象的交点个数,

    时,

    即函数和函数上图象无交点;

    时,

    ,则对任意的恒成立,

    所以,函数上单调递减,所以

    所以,当时,,即函数上单调递减,

    因为,如下图所示:

    由图可知,函数和函数上图象的交点个数为2.

    综上所述,函数和函数上图象的交点个数为2,即的图象在上的交点个数为2.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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