湖北省武汉市武昌区2021-2022学年高二第二学期期末数学试题（含答案）

武昌区2021－2022学年度高二年级期末质量检测

数  学

本试卷共5页，22小题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知R是实数集，集合，，则（       ）

A. B. C. D.

2.已知复数，则复数z的虚部是（       ）

A. B. C.2 D.

3.已知单位向量a，b的夹角为，与a垂直，则k＝（       ）

A. B. C. D.

4.已知数列为等差数列，且，则的值为（       ）

A. B. C. D.

5.已知，则（       ）

A. B. C. D.

6.设F1，F2是椭圆E：（）的左、右焦点，P为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（       ）

A. B. C. D.

7.已知圆锥SO被平行于底面的平面所截，形成的圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是45°，圆台轴截面的面积为20，则圆锥SO的体积为（       ）

A. B. C. D.

8.已知，，，则（       ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.下列函数中，最小正周期为，且在（0，）上单调递增的是（       ）

A. B. C. D.

10.已知，，且，下列结论正确的是（       ）

A.的最小值是1  B.的最小值是

C.的最小值是4 D.的最小值是9

11.已知某公司共有员工20000人，30岁以下的员工有8000人，30到50岁的员工10000人，为了了解公司员工的身体情况，进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到身体健康状况良好的比例如下：30岁以下的员工占99%，30到50岁的员工占98%，其他员工占96%．下列说法正确的是（       ）

A.从50岁以上的员工抽取了200人

B.每名员工被抽到的概率为

C.估计该公司员工身体健康状况良好率为97.7%（百分数保留一位小数）

D.身体健康状况欠佳的人数最多的年龄层是30岁到50岁

12.如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝AC＝2，DA＝DC＝，将四边形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（       ）

A.两条异面直线AB与CD所成角的范围是

B.P为线段CD上一点（包括端点），当CD⊥AB时，

C.三棱锥D−ABC的体积最大值为

D.当二面角D−AC−B的大小为时，三棱锥D−ABC的外接球表面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.二项式的展开式的常数项为________（用数字填写答案）．

14.已知F为双曲线（，）的右焦点，经过F作一条与双曲线的渐近线垂直的直线l，垂足为A，点A在第一象限，直线l与双曲线的另一条渐近线在第四象限交于点B，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为________．

15.已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为________．

16.有40件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽18件产品，最可能抽到的次品数是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（10分）

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角A；

（2）当，时，求△ABC的面积．

18.（12分）

已知数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和为．

19.（12分）

甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为．

（1）第二局比赛结束时比赛停止的概率；

（2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．

20.（12分）

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，点E为PC的中点，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2，PA＝AD＝1，PA⊥AD．

（1）证明：BE⊥平面PCD；

（2）求二面角P−BD−E的余弦值．

21.（12分）

已知动圆M过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，圆心M的轨迹为曲线L．

（1）求L的方程；

（2）已知点B（，），C（2，1），P是L上的一个动点，设直线PB，PC与L的另一交点分别为E，F，求证：当P点在L上运动时，直线EF恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．

22.（12分）

已知函数，其中．

（1）若在R上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）对，，使得，且，求实数a的取值范围．

武昌区2021—2022学年度高二年级期末质量检测

数学参考答案及评分细则

一、选择题

二、填空题

13. 60   14.  15.－4   16. 4

三、解答题：

17.（10分）

解：（1）由正弦定理及，知，

化简得，由余弦定理知，，

因为，所以．．．．．．．．（5分）

（2）由余弦定理知，，

所以，即，

所以△ABC的面积．………………（10分）

18.（12分）

解：（1）因为数列{}的前n项和为，且，

所以，当时，，解得．．．．．．．（1分）

当时，，整理得．．．．．．．．．．（3分）

所以，数列{}是首项、公比均为2的等比数列，所以．．．．．（5分）

（2）由（1）可得：．．．．．．．（6分）

因为 ，

所以．．．．．（8分）

两式相减，得

…………，（10分）

所以，…………（12分）

19.（12分）

解：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．

所以有．

所以，第二局比赛结束时比赛停止的概率．…………（4分）

（2）依题意知，X的所有可能值为2，4，6.

表示当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束，

表示前二局的比分为1∶1，接下来有一队连胜2局，，

表示前二局的比分为1∶1且前4局的比分为2∶2，．

所以随机变量X的分布列为：

所以………………（12分）

20.（12分）

解：（1）证明：取PD的中点F，连接AF，EF，

则，．

又，，所以，，

所以四边形ABEF为平行四边形，所以．

因为，，所以．

所以．．．．．．（1分）

因为平面PAD⊥平面ABCD，，

所以PA⊥平面ABCD，所以，．．．．．．（2分）

所以．

又点E为PC的中点，所以．．．．．（3分）

又，所以BE⊥平面PCD．…………（4分）

（2）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，．．．．．．（5分）

则A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），C（2，1，0），E（1，，）． ．．．．．（6分）

于是

设平面PBD的法向量为，则

得．取．得…………（8分）

设平面EBD的法向量为，则，

得取．得．…………（10分）

设二面角的平面角为，易知为锐角．

所以．．．．．．．．（12分）

说明：

（1）建系正确有1分；

（2）第二问方法正确，计算错误，也有分，比如给出公式：就给1分；

（3）不轻易给0分，只要书写了一定步骤，就给1分；

（4）若用向量法进行证明，证明三条直线两两垂直有2分．

21.（12分）

解：（1）设圆心C（x，y），圆的半径为R，则，得．

所以，动圆圆心的轨迹方程为．………………（4分）

（2）证明：抛物线的方程为，设D（，），E，），F，），

则直线EF的方程为，

得，

又，所以直线EF的方程为．

同理可得直线DE的方程为，

直线DF的方程为

因为直线DE过点B（－3，－2），所以；

因为直线DF过点C（2，1），所以．

消去，得．

代入EF的方程，得，

所以直线EF恒过一个定点（－，） ．．．．．．．．．．．．．（12分）

22.（12分）

解：（1）

因为f（x）在R上单调递增，所以在（－∞，0）单调递增

所以，对恒成立．

因为，所以，．．．．．．．．．（4分）

（2）当时，由（1）知，f（x）在R上单调递增，不满足题意，∴．

此时，当时，，

所以，f（x）在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增．

因为，所以．

又，所以．

因为f（x）在（－∞，0）单调递减，所以．

又，所以．

所以．．

即对任意恒成立…………（8分）

方法1：令．

，．

当时，，易证，

又，所以，即，

所以g（x）在（0，＋∞）单调递增，所以，，

所以，，对任意恒成立．

当时，．又，

当时，，所以，（x）在单调递减，

所以时，．

所以g（x）在单调递减，．

所以当时不满足题意．

综上，．．．．．．．．．（12分）

方法2：由，得

即．

令

转化为对恒成立．，

因为．

当时．，，在单调递减．

所以．，满足题意．

当时，时，，g（x）在单调递增，

所以，，不满足题意．

综上，．．．．．（12分）