2022届湖南省醴陵市青云校中考数学考试模拟冲刺卷含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.如图,△ABC中,AB=2,AC=3,1<BC<5,分别以AB、BC、AC为边向外作正方形ABIH、BCDE和正方形ACFG,则图中阴影部分的最大面积为( )
A.6 B.9 C.11 D.无法计算
2.用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形,下列作法错误的是 ( )
A. B. C. D.
3.剪纸是我国传统的民间艺术,下列剪纸作品中既不是轴对称图形,也不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.在对某社会机构的调查中收集到以下数据,你认为最能够反映该机构年龄特征的统计量是( )
年龄
13
14
15
25
28
30
35
其他
人数
30
533
17
12
20
9
2
3
A.平均数 B.众数 C.方差 D.标准差
5.甲乙两同学均从同一本书的第一页开始,按照顺序逐页依次在每页上写一个数,甲同学在第1页写1,第2页写3,第3页写1,……,每一页写的数均比前一页写的数多2;乙同学在第1页写1,第2页写6,第3页写11,……,每一页写的数均比前一页写的数多1.若甲同学在某一页写的数为49,则乙同学在这一页写的数为( )
A.116 B.120 C.121 D.126
6.去年12月24日全国大约有1230000人参加研究生招生考试,1230000这个数用科学记数法表示为( )
A.1.23×106 B.1.23×107 C.0.123×107 D.12.3×105
7.如图,小明为了测量河宽AB,先在BA延长线上取一点D,再在同岸取一点C,测得∠CAD=60°,∠BCA=30°,AC=15 m,那么河AB宽为( )
A.15 m B. m C. m D. m
8.已知二次函数的图象与轴交于点、,且,与轴的正半轴的交点在的下方.下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数是( )个.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
9.实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.a+c>0 B.b+c>0 C.ac>bc D.a﹣c>b﹣c
10.下列二次根式中,为最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
11.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.对角相等 B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.对边相等
12.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,其顶点坐标为A(﹣1,﹣3),与x轴的一个交点为B(﹣3,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①abc>0;②不等式ax2+(b﹣m)x+c﹣n<0的解集为﹣3<x<﹣1;③抛物线与x轴的另一个交点是(3,0);④方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根;其中正确的是( )
A.①③ B.②③ C.③④ D.②④
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.如图,矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上,点B的坐标为B(),D是AB边上的一点.将△ADO沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处,若点E在一反比例函数的图像上,那么k的值是_______
14.分式方程的解是_____.
15.分解因式___________
16.将三角形纸片()按如图所示的方式折叠,使点落在边上,记为点,折痕为,已知,,若以点,,为顶点的三角形与相似,则的长度是______.
17.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m.水面下降2.5m,水面宽度增加_____m.
18.已知ab=﹣2,a﹣b=3,则a3b﹣2a2b2+ab3的值为_______.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道上确定点D,使CD与垂直,测得CD的长等于21米,在上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30,∠CBD=60.求AB的长(精确到0.1米,参考数据:);已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?说明理由.
20.(6分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,且B点的坐标为(3,0),经过A点的直线交抛物线于点D (2, 3).求抛物线的解析式和直线AD的解析式;过x轴上的点E (a,0) 作直线EF∥AD,交抛物线于点F,是否存在实数a,使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出满足条件的a;如果不存在,请说明理由.
21.(6分)在第23个世界读书日前夕,我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间用t表示,单位:小时,采用随机抽样的方法进行问卷调查,调查结果按,,,分为四个等级,并依次用A,B,C,D表示,根据调查结果统计的数据,绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中给出的信息解答下列问题:
求本次调查的学生人数;
求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数,并把条形统计图补充完整;
若该校共有学生1200人,试估计每周课外阅读时间满足的人数.
22.(8分)如图,抛物线y=x2﹣2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A,过P(1,﹣m)作PM⊥x轴于点M,交抛物线于点B,点B关于抛物线对称轴的对称点为C
(1)若m=2,求点A和点C的坐标;
(2)令m>1,连接CA,若△ACP为直角三角形,求m的值;
(3)在坐标轴上是否存在点E,使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
23.(8分)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-3,0),B(0,-3),C(1,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S
关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
24.(10分)在边长为1的5×5的方格中,有一个四边形OABC,以O点为位似中心,作一个四边形,使得所作四边形与四边形OABC位似,且该四边形的各个顶点都在格点上;求出你所作的四边形的面积.
25.(10分)如图,某游乐园有一个滑梯高度AB,高度AC为3米,倾斜角度为58°.为了改善滑梯AB的安全性能,把倾斜角由58°减至30°,调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米?(精确到0.1米)(参考数据:sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60)
26.(12分)如图,在⊙O中,弦AB与弦CD相交于点G,OA⊥CD于点E,过点B的直线与CD的延长线交于点F,AC∥BF.
(1)若∠FGB=∠FBG,求证:BF是⊙O的切线;
(2)若tan∠F=,CD=a,请用a表示⊙O的半径;
(3)求证:GF2﹣GB2=DF•GF.
27.(12分)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.求证:四边形BFDE是平行四边形.
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、B
【解析】
有旋转的性质得到CB=BE=BH′,推出C、B、H'在一直线上,且AB为△ACH'的中线,得到S△BEI=S△ABH′=S△ABC,同理:S△CDF=S△ABC,当∠BAC=90°时, S△ABC的面积最大,S△BEI=S△CDF=S△ABC最大,推出S△GBI=S△ABC,于是得到阴影部分面积之和为S△ABC的3倍,于是得到结论.
【详解】
把△IBE绕B顺时针旋转90°,使BI与AB重合,E旋转到H'的位置,
∵四边形BCDE为正方形,∠CBE=90°,CB=BE=BH′,
∴C、B、H'在一直线上,且AB为△ACH'的中线,
∴S△BEI=S△ABH′=S△ABC,
同理:S△CDF=S△ABC,
当∠BAC=90°时,
S△ABC的面积最大,
S△BEI=S△CDF=S△ABC最大,
∵∠ABC=∠CBG=∠ABI=90°,
∴∠GBE=90°,
∴S△GBI=S△ABC,
所以阴影部分面积之和为S△ABC的3倍,
又∵AB=2,AC=3,
∴图中阴影部分的最大面积为3× ×2×3=9,
故选B.
【点睛】
本题考查了勾股定理,利用了旋转的性质:旋转前后图形全等得出图中阴影部分的最大面积是S△ABC的3 倍是解题的关键.
2、A
【解析】
根据菱形的判定方法一一判定即可
【详解】
作的是角平分线,只能说明四边形ABCD是平行四边形,故A符合题意
B、作的是连接AC,分别做两个角与已知角∠CAD、∠ACB相等的角,即∠BAC=∠DAC,∠ACB=∠ACD,能得到AB=BC,AD=CD,又AB∥CD,所以四边形ABCD为菱形,B不符合题意
C、由辅助线可知AD=AB=BC,又AD∥BC,所以四边形ABCD为菱形,C不符合题意
D、作的是BD垂直平分线,由平行四边形中心对称性质可知AC与BD互相平分且垂直,得到四边形ABCD是菱形,D不符合题意
故选A
【点睛】
本题考查平行四边形的判定,能理解每个图的作法是本题解题关键
3、C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【详解】A、不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误;
B、不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误;
C、既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项正确;
D、是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项错误,
故选C.
【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形,在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形;在平面内,如果把一个图形绕某个点旋转180°后,能与原图形重合,那么就说这个图形是中心对称图形.
4、B
【解析】
分析:根据平均数的意义,众数的意义,方差的意义进行选择.
详解:由于14岁的人数是533人,影响该机构年龄特征,因此,最能够反映该机构年龄特征的统计量是众数.
故选B.
点睛:本题主要考查统计的有关知识,主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等,各有局限性,因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用.
5、C
【解析】
根据题意确定出甲乙两同学所写的数字,设甲所写的第n个数为49,根据规律确定出n的值,即可确定出乙在该页写的数.
【详解】
甲所写的数为 1,3,1,7,…,49,…;乙所写的数为 1,6,11,16,…,
设甲所写的第n个数为49,
根据题意得:49=1+(n﹣1)×2,
整理得:2(n﹣1)=48,即n﹣1=24,
解得:n=21,
则乙所写的第21个数为1+(21﹣1)×1=1+24×1=121,
故选:C.
【点睛】
考查了有理数的混合运算,弄清题中的规律是解本题的关键.
6、A
【解析】
分析:科学记数法的表示形式为的形式,其中为整数.确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,是正数;当原数的绝对值<1时,是负数.
详解:1230000这个数用科学记数法可以表示为
故选A.
点睛:考查科学记数法,掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.
7、A
【解析】
过C作CE⊥AB,
Rt△ACE中,
∵∠CAD=60°,AC=15m,
∴∠ACE=30°,AE=AC=×15=7.5m,CE=AC•cos30°=15×=,
∵∠BAC=30°,∠ACE=30°,
∴∠BCE=60°,
∴BE=CE•tan60°=×=22.5m,
∴AB=BE﹣AE=22.5﹣7.5=15m,
故选A.
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用,关键是构建直角三角形,解直角三角形求出答案.
8、B
【解析】
分析:根据已知画出图象,把x=−2代入得:4a−2b+c=0,把x=−1代入得:y=a−b+c>0,根据不等式的两边都乘以a(a<0)得:c>−2a,由4a−2b+c=0得而0
详解:根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−2,0)、(x1,0),且1
把x=−2代入得:4a−2b+c=0,∴①正确;
把x=−1代入得:y=a−b+c>0,如图A点,∴②错误;
∵(−2,0)、(x1,0),且1
∴不等式的两边都乘以a(a<0)得:c>−2a,
∴2a+c>0,∴③正确;
④由4a−2b+c=0得
而0
∴2a−b+1>0,
∴④正确.
所以①③④三项正确.
故选B.
点睛:属于二次函数综合题,考查二次函数图象与系数的关系, 二次函数图象上点的坐标特征, 抛物线与轴的交点,属于常考题型.
9、D
【解析】
分析:根据图示,可得:c 详解: ∵c<0<a,|c|>|a|,
∴a+c<0,
∴选项A不符合题意;
∵c<b<0,
∴b+c<0,
∴选项B不符合题意;
∵c<b<0<a,c<0,
∴ac<0,bc>0,
∴ac<bc,
∴选项C不符合题意;
∵a>b,
∴a﹣c>b﹣c,
∴选项D符合题意.
故选D.
点睛:此题考查了数轴,考查了有理数的大小比较关系,考查了不等关系与不等式.熟记有理数大小比较法则,即正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数.
10、B
【解析】
最简二次根式必须满足以下两个条件:1.被开方数的因数是(整数),因式是( 整式 )(分母中不含根号)2.被开方数中不含能开提尽方的( 因数 )或( 因式 ).
【详解】
A. =3, 不是最简二次根式;
B. ,最简二次根式;
C. =,不是最简二次根式;
D. =,不是最简二次根式.
故选:B
【点睛】
本题考核知识点:最简二次根式.解题关键点:理解最简二次根式条件.
11、C
【解析】
试题分析:举出矩形和平行四边形的所有性质,找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可.
解:矩形的性质有:①矩形的对边相等且平行,②矩形的对角相等,且都是直角,③矩形的对角线互相平分、相等;
平行四边形的性质有:①平行四边形的对边分别相等且平行,②平行四边形的对角分别相等,③平行四边形的对角线互相平分;
∴矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等,
故选C.
12、D
【解析】
①错误.由题意a>1.b>1,c<1,abc<1;
②正确.因为y1=ax2+bx+c(a≠1)图象与直线y2=mx+n(m≠1)交于A,B两点,当ax2+bx+c<mx+n时,-3<x<-1;即不等式ax2+(b-m)x+c-n<1的解集为-3<x<-1;故②正确;
③错误.抛物线与x轴的另一个交点是(1,1);
④正确.抛物线y1=ax2+bx+c(a≠1)图象与直线y=-3只有一个交点,方程ax2+bx+c+3=1有两个相等的实数根,故④正确.
【详解】
解:∵抛物线开口向上,∴a>1,
∵抛物线交y轴于负半轴,∴c<1,
∵对称轴在y轴左边,∴- <1,
∴b>1,
∴abc<1,故①错误.
∵y1=ax2+bx+c(a≠1)图象与直线y2=mx+n(m≠1)交于A,B两点,
当ax2+bx+c<mx+n时,-3<x<-1;
即不等式ax2+(b-m)x+c-n<1的解集为-3<x<-1;故②正确,
抛物线与x轴的另一个交点是(1,1),故③错误,
∵抛物线y1=ax2+bx+c(a≠1)图象与直线y=-3只有一个交点,
∴方程ax2+bx+c+3=1有两个相等的实数根,故④正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数与不等式,二次函数与一元二次方程等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用数形结合的思想解决问题.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、-12
【解析】
过E点作EF⊥OC于F,如图所示:
由条件可知:OE=OA=5,,
所以EF=3,OF=4,
则E点坐标为(-4,3)
设反比例函数的解析式是y=,
则有k=-4×3=-12.
故答案是:-12.
14、x=13
【解析】
解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.
【详解】
,
去分母,可得x﹣5=8,
解得x=13,
经检验:x=13是原方程的解.
【点睛】
本题主要考查了解分式方程,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应检验.
15、
【解析】
原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.
【详解】
原式=2x(y2+2y+1)=2x(y+1)2,
故答案为2x(y+1)2
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
16、或2
【解析】
由折叠性质可知B’F=BF,△B’FC与△ABC相似,有两种情况,分别对两种情况进行讨论,设出B’F=BF=x,列出比例式方程解方程即可得到结果.
【详解】
由折叠性质可知B’F=BF,设B’F=BF=x,故CF=4-x
当△B’FC∽△ABC,有,得到方程,解得x=,故BF=;
当△FB’C∽△ABC,有,得到方程,解得x=2,故BF=2;
综上BF的长度可以为或2.
【点睛】
本题主要考查相似三角形性质,解题关键在于能够对两个相似三角形进行分类讨论.
17、1.
【解析】
根据已知建立平面直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案
【详解】
解:建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,
抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半1米,抛物线顶点C坐标为(0,1),
设顶点式y=ax1+1,把A点坐标(-1,0)代入得a=-0.5,
∴抛物线解析式为y=-0.5x1+1,
当水面下降1.5米,通过抛物线在图上的观察可转化为:
当y=-1.5时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离,
可以通过把y=-1.5代入抛物线解析式得出:
-1.5=-0.5x1+1,
解得:x=±3,
1×3-4=1,
所以水面下降1.5m,水面宽度增加1米.
故答案为1.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键,学会把实际问题转化为二次函数,利用二次函数的性质解决问题,属于中考常考题型.
18、﹣18
【解析】
要求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值,而代数式a3b﹣2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab,(a﹣b)的乘积,因此可以运用整体的数学思想来解答.
【详解】
a3b﹣2a2b2+ab3=ab(a2﹣2ab+b2)
=ab(a﹣b)2,
当a﹣b=3,ab=﹣2时,原式=﹣2×32=﹣18,
故答案为:﹣18.
【点睛】
本题考查了因式分解在代数式求值中的应用,熟练掌握因式分解的方法以及运用整体的数学思想是解题的关键.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、(1)24.2米(2) 超速,理由见解析
【解析】
(1)分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,从而求得AB的长.
(2)由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速.
【详解】
解:(1)由題意得,
在Rt△ADC中,,
在Rt△BDC中,,
∴AB=AD-BD=(米).
(2)∵汽车从A到B用时2秒,∴速度为24.2÷2=12.1(米/秒),
∵12.1米/秒=43.56千米/小时,∴该车速度为43.56千米/小时.
∵43.56千米/小时大于40千米/小时,
∴此校车在AB路段超速.
20、(1) y=-x2+2x+3;y=x+1;(2)a的值为-3或.
【解析】
(1)把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得出方程组,解方程组即可;由抛物线解析式求出点A的坐标,设直线AD的解析式为y=kx+a,把A和D的坐标代入得出方程组,解方程组即可;
(2)分两种情况:①当a<-1时,DF∥AE且DF=AE,得出F(0,3),由AE=-1-a=2,求出a的值;
②当a>-1时,显然F应在x轴下方,EF∥AD且EF=AD,设F (a-3,-3),代入抛物线解析式,即可得出结果.
【详解】
解:(1)把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得:
解得:b=2,c=3,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;
当y=0时,-x2+2x+3=0,
解得:x=3,或x=-1,
∵B(3,0),
∴A(-1,0);
设直线AD的解析式为y=kx+a,
把A和D的坐标代入得:
解得:k=1,a=1,
∴直线AD的解析式为y=x+1;
(2)分两种情况:①当a<-1时,DF∥AE且DF=AE,
则F点即为(0,3),
∵AE=-1-a=2,
∴a=-3;
②当a>-1时,显然F应在x轴下方,EF∥AD且EF=AD,
设F (a-3,-3),
由-(a-3)2+2(a-3)+3=-3,
解得:a=;
综上所述,满足条件的a的值为-3或.
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点;二次函数的性质;待定系数法求二次函数解析式及平行四边形的判定,综合性较强.
21、本次调查的学生人数为200人;B所在扇形的圆心角为,补全条形图见解析;全校每周课外阅读时间满足的约有360人.
【解析】
【分析】根据等级A的人数及所占百分比即可得出调查学生人数;
先计算出C在扇形图中的百分比,用在扇形图中的百分比可计算出B在扇形图中的百分比,再计算出B在扇形的圆心角;
总人数课外阅读时间满足的百分比即得所求.
【详解】由条形图知,A级的人数为20人,
由扇形图知:A级人数占总调查人数的,
所以:人,
即本次调查的学生人数为200人;
由条形图知:C级的人数为60人,
所以C级所占的百分比为:,
B级所占的百分比为:,
B级的人数为人,
D级的人数为:人,
B所在扇形的圆心角为:,
补全条形图如图所示:
;
因为C级所占的百分比为,
所以全校每周课外阅读时间满足的人数为:人,
答:全校每周课外阅读时间满足的约有360人.
【点睛】本题考查了扇形图和条形图的相关知识,从统计图中找到必要的信息进行解题是关键.扇形图中某项的百分比,扇形图中某项圆心角的度数该项在扇形图中的百分比.
22、(1)A(4,0),C(3,﹣3);(2) m=;(3) E点的坐标为(2,0)或(,0)或(0,﹣4);
【解析】
方法一:(1)m=2时,函数解析式为y=,分别令y=0,x=1,即可求得点A和点B的坐标, 进而可得到点C的坐标;
(2) 先用m表示出P, A C三点的坐标,分别讨论∠APC=,∠ACP=,∠PAC=三种情况, 利用勾股定理即可求得m的值;
(3) 设点F(x,y)是直线PE上任意一点,过点F作FN⊥PM于N,可得Rt△FNP∽Rt△PBC,
NP:NF=BC:BP求得直线PE的解析式,后利用△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形求得E点坐标.
方法二:(1)同方法一.
(2) 由△ACP为直角三角形, 由相互垂直的两直线斜率相乘为-1,可得m的值;
(3)利用△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形,分别讨论E点再x轴上,y轴上的情况求得E点坐标.
【详解】
方法一:
解:
(1)若m=2,抛物线y=x2﹣2mx=x2﹣4x,
∴对称轴x=2,
令y=0,则x2﹣4x=0,
解得x=0,x=4,
∴A(4,0),
∵P(1,﹣2),令x=1,则y=﹣3,
∴B(1,﹣3),
∴C(3,﹣3).
(2)∵抛物线y=x2﹣2mx(m>1),
∴A(2m,0)对称轴x=m,
∵P(1,﹣m)
把x=1代入抛物线y=x2﹣2mx,则y=1﹣2m,
∴B(1,1﹣2m),
∴C(2m﹣1,1﹣2m),
∵PA2=(﹣m)2+(2m﹣1)2=5m2﹣4m+1,
PC2=(2m﹣2)2+(1﹣m)2=5m2﹣10m+5,
AC2=1+(1﹣2m)2=2﹣4m+4m2,
∵△ACP为直角三角形,
∴当∠ACP=90°时,PA2=PC2+AC2,
即5m2﹣4m+1=5m2﹣10m+5+2﹣4m+4m2,整理得:4m2﹣10m+6=0,
解得:m=,m=1(舍去),
当∠APC=90°时,PA2+PC2=AC2,
即5m2﹣4m+1+5m2﹣10m+5=2﹣4m+4m2,整理得:6m2﹣10m+4=0,
解得:m=,m=1,和1都不符合m>1,
故m=.
(3)设点F(x,y)是直线PE上任意一点,过点F作FN⊥PM于N,
∵∠FPN=∠PCB,∠PNF=∠CBP=90°,
∴Rt△FNP∽Rt△PBC,
∴NP:NF=BC:BP,即=,
∴y=2x﹣2﹣m,
∴直线PE的解析式为y=2x﹣2﹣m.
令y=0,则x=1+,
∴E(1+m,0),
∴PE2=(﹣m)2+(m)2=,
∴=5m2﹣10m+5,解得:m=2,m=,
∴E(2,0)或E(,0),
∴在x轴上存在E点,使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形,此时E(2,0)或E(,0);
令x=0,则y=﹣2﹣m,
∴E(0,﹣2﹣m)
∴PE2=(﹣2)2+12=5
∴5m2﹣10m+5=5,解得m=2,m=0(舍去),
∴E(0,﹣4)
∴y轴上存在点E,使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形,此时E(0,﹣4),
∴在坐标轴上是存在点E,使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形,E点的坐标为(2,0)或(,0)或(0,﹣4);
方法二:
(1)略.
(2)∵P(1,﹣m),
∴B(1,1﹣2m),
∵对称轴x=m,
∴C(2m﹣1,1﹣2m),A(2m,0),
∵△ACP为直角三角形,
∴AC⊥AP,AC⊥CP,AP⊥CP,
①AC⊥AP,∴KAC×KAP=﹣1,且m>1,
∴,m=﹣1(舍)
②AC⊥CP,∴KAC×KCP=﹣1,且m>1,
∴=﹣1,∴m=,
③AP⊥CP,∴KAP×KCP=﹣1,且m>1,
∴=﹣1,∴m=(舍)
(3)∵P(1,﹣m),C(2m﹣1,1﹣2m),
∴KCP=,
△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形,
∴PE⊥PC,∴KPE×KCP=﹣1,∴KPE=2,
∵P(1,﹣m),
∴lPE:y=2x﹣2﹣m,
∵点E在坐标轴上,
∴①当点E在x轴上时,
E(,0)且PE=PC,
∴(1﹣)2+(﹣m)2=(2m﹣1﹣1)2+(1﹣2m+m)2,
∴m2=5(m﹣1)2,
∴m1=2,m2=,
∴E1(2,0),E2(,0),
②当点E在y轴上时,E(0,﹣2﹣m)且PE=PC,
∴(1﹣0)2+(﹣m+2+m)2=(2m﹣1﹣1)2+(1﹣2m+m)2,
∴1=(m﹣1)2,
∴m1=2,m2=0(舍),
∴E(0,4),
综上所述,(2,0)或(,0)或(0,﹣4).
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质.
扩展:
设坐标系中两点坐标分别为点A(), 点B(), 则线段AB的长度为:
AB=.
设平面内直线AB的解析式为:,直线CD的解析式为:
(1)若AB//CD,则有:;
(2)若AB⊥CD,则有:.
23、(1)
时,S最大为
(1)(-1,1)或或或(1,-1)
【解析】
试题分析:(1)先假设出函数解析式,利用三点法求解函数解析式.
(2)设出M点的坐标,利用S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答;
(1)当OB是平行四边形的边时,表示出PQ的长,再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可;当OB是对角线时,由图可知点A与P应该重合,即可得出结论.
试题解析:解:(1)设此抛物线的函数解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0),
将A(-1,0),B(0,-1),C(1,0)三点代入函数解析式得:
解得,所以此函数解析式为:.
(2)∵M点的横坐标为m,且点M在这条抛物线上,∴M点的坐标为:(m,),
∴S=S△AOM+S△OBM-S△AOB=×1×(-)+×1×(-m)-×1×1=-(m+)2+,
当m=-时,S有最大值为:S=-.
(1)设P(x,).分两种情况讨论:
①当OB为边时,根据平行四边形的性质知PB∥OQ,
∴Q的横坐标的绝对值等于P的横坐标的绝对值,
又∵直线的解析式为y=-x,则Q(x,-x).
由PQ=OB,得:|-x-()|=1
解得: x=0(不合题意,舍去),-1, ,∴Q的坐标为(-1,1)或或;
②当BO为对角线时,如图,知A与P应该重合,OP=1.四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=1,Q横坐标为1,代入y=﹣x得出Q为(1,﹣1).
综上所述:Q的坐标为:(-1,1)或或或(1,-1).
点睛:本题是对二次函数的综合考查,有待定系数法求二次函数解析式,三角形的面积,二次函数的最值问题,平行四边形的对边相等的性质,平面直角坐标系中两点间的距离的表示,综合性较强,但难度不大,仔细分析便不难求解.
24、(1)如图所示,见解析;四边形OA′B′C′即为所求;(2)S四边形OA′B′C′=1.
【解析】
(1)结合网格特点,分别作出点A、B、C关于点O成位似变换的对应点,再顺次连接即可得;
(2)根据S四边形OA′B′C′=S△OA′B′+S△OB′C′计算可得.
【详解】
(1)如图所示,四边形OA′B′C′即为所求.
(2)S四边形OA′B′C′=S△OA′B′+S△OB′C′
=×4×4+×2×2
=8+2
=1.
【点睛】
本题考查了作图-位似变换:先确定位似中心;再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;接着根据位似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;然后顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.
25、调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加2.5米
【解析】
试题分析: Rt△ABD中,根据30°的角所对的直角边是斜边的一半得到AD的长,然后在Rt△ABC中,求得AB的长后用即可求得增加的长度.
试题解析: Rt△ABD中,
∵AC=3米,
∴AD=2AC=6(m)
∵在Rt△ABC中,
∴AD−AB=6−3.53≈2.5(m).
∴调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加2.5米.
26、(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】
(1)根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA,然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°,从而推出∠FBG+∠OBA=90°,从而得到OB⊥FB,再根据切线的定义证明即可.
(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠ACF=∠F,根据垂径定理可得CE=CD=a,连接OC,设圆的半径为r,表示出OE,然后利用勾股定理列式计算即可求出r.
(3)连接BD,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF,然后求出∠DBG=∠F,从而求出△BDG和△FBG相似,根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG2,然后代入等式左边整理即可得证.
【详解】
解:(1)证明:∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∵OA⊥CD,
∴∠OAB+∠AGC=90°.
又∵∠FGB=∠FBG,∠FGB=∠AGC,
∴∠FBG+∠OBA=90°,即∠OBF=90°.
∴OB⊥FB.
∵AB是⊙O的弦,∴点B在⊙O上.∴BF是⊙O的切线.
(2)∵AC∥BF,
∴∠ACF=∠F.
∵CD=a,OA⊥CD,
∴CE=CD=a.
∵tan∠F=,
∴,
即.
解得.
连接OC,设圆的半径为r,则,
在Rt△OCE中,,
即,
解得.
(3)证明:连接BD,
∵∠DBG=∠ACF,∠ACF=∠F(已证),
∴∠DBG=∠F.
又∵∠FGB=∠FGB,
∴△BDG∽△FBG.
∴,即GB2=DG•GF.
∴GF2﹣GB2=GF2﹣DG•GF=GF(GF﹣DG)=GF•DF,即GF2﹣GB2=DF•GF.
27、证明见解析
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC,
∵AE=CF
∴AD-AE=BC-CF
即DE=BF
∴四边形BFDE是平行四边形.
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