2022年福建省中考数学试卷

2022年福建省中考数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．的相反数是　　

A． B． C． D．11

2．如图所示的圆柱，其俯视图是　　

A．B．C．D．

3．应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变．截止2021年底，全省终端用户达1397.6万户．数据13976000用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

4．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是　　

A．B．C．D．

5．如图，数轴上的点表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是　　

A． B． C． D．

6．不等式组的解集是　　

A． B． C． D．

7．化简的结果是　　

A． B． C． D．

8．2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列．如图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．

综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是　　

A． B． C． D．

9．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为　　

（参考数据：，，

A． B． C． D．

10．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到△，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是　　

A．96 B． C．192 D．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11．四边形的外角和度数是 　　．

12．如图，在中，，分别是，的中点．若，则的长为 　　．

13．一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是 　　．

14．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数的值可以是　　．（只需写出一个符合条件的实数）

15．推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：

设任意一个实数为，令，

等式两边都乘以，得．①

等式两边都减，得．②

等式两边分别分解因式，得．③

等式两边都除以，得．④

等式两边都减，得．⑤

所以任意一个实数都等于0．

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 　　．

16．已知抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中．若，则的值为 　　．

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（8分）计算：．

18．（8分）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．

19．（8分）先化简，再求值：，其中．

20．（8分）学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．

调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间（单位：，并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间（单位：，按同样的分组方法制成如下扇形统计图．其中组为，组为，组为，组为，组为，组为．

（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；

（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数．

21．（8分）如图，内接于，交于点，交于点，交于点，连接，．

（1）求证：；

（2）若的半径为3，，求的长（结果保留．

22．（10分）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．

（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？

（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．

23．（10分）如图，是矩形的对角线．

（1）求作，使得与相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，设与相切于点，，垂足为．若直线与相切于点，求的值．

24．（12分）已知，，．

（1）如图1，平分，求证：四边形是菱形；

（2）如图2，将（1）中的绕点逆时针旋转（旋转角小于，，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转（旋转角小于，若，求的度数．

25．（14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．是抛物线上一点，且在直线的上方．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若面积是面积的2倍，求点的坐标；

（3）如图，交于点，交于点．记，，的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

2022年福建省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．的相反数是　　

A． B． C． D．11

【分析】应用相反数的定义进行求解即可得出答案．

【解答】解：．

故选：．

2．如图所示的圆柱，其俯视图是　　

A． B． 

C． D．

【分析】应用简单几何体的三视图判定方法进行判定即可得出答案．

【解答】解：根据题意可得，圆柱的俯视图如图，

．

故选：．

3．应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变．截止2021年底，全省终端用户达1397.6万户．数据13976000用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

【分析】应用科学记数法：把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：，其中，为正整数．】

【解答】解：．

故选：．

4．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：选项、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

选项能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，

故选：．

5．如图，数轴上的点表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是　　

A． B． C． D．

【分析】应用估算无理数大小的方法进行判定即可得出答案．

【解答】解：根据题意可得，

，

，

这个无理数是．

故选：．

6．不等式组的解集是　　

A． B． C． D．

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．

【解答】解：，

由①得：，

由②得：，

不等式组的解集为．

故选：．

7．化简的结果是　　

A． B． C． D．

【分析】应用积的乘方运算法则进行求解即可得出答案．

【解答】解：．

故选：．

8．2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列．如图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图．

综合指数越小，表示环境空气质量越好．依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是　　

A． B． C． D．

【分析】根据折线统计图的信息进行判定即可得出答案．

【解答】解：根据题意可得，地区环境空气质量综合指数约为1.9，是10个地区中最小值．

故选：．

9．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为　　

（参考数据：，，

A． B． C． D．

【分析】根据等腰三角形性质求出，根据角度的正切值可求出．

【解答】解：，，

，，

，

，

，

故选：．

10．如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到△，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是　　

A．96 B． C．192 D．

【分析】根据正切的定义求出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案．

【解答】解：在中，，，

则，

由平移的性质可知：，，

四边形为平行四边形，

点对应直尺的刻度为12，点对应直尺的刻度为0，

，

，

故选：．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11．四边形的外角和度数是 　　．

【分析】根据多边形的外角和都是即可得出答案．

【解答】解：四边形的外角和度数是，

故答案为：．

12．如图，在中，，分别是，的中点．若，则的长为 　6　．

【分析】直接利用三角形中位线定理求解．

【解答】解：，分别是，的中点，

为的中位线，

．

故答案为：6．

13．一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是 　　．

【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．

【解答】解：根据题意可得，

（A）．

故答案为：．

14．已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数的值可以是　（答案不唯一）　．（只需写出一个符合条件的实数）

【分析】根据图象经过第二、四象限，易知，写一个负数即可．

【解答】解：该反比例图象经过第二、四象限，

，

取值不唯一，可取，

故答案为：（答案不唯一）．

15．推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：

设任意一个实数为，令，

等式两边都乘以，得．①

等式两边都减，得．②

等式两边分别分解因式，得．③

等式两边都除以，得．④

等式两边都减，得．⑤

所以任意一个实数都等于0．

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 　④　．

【分析】根据等式的基本性质和分解因式判断每一步的依据，再进行判断即可．

【解答】解：设任意一个实数为，令，

等式两边都乘以，得．①依据为等式的基本性质2；

等式两边都减，得．②依据为等式的基本性质1；

等式两边分别分解因式，得．③依据为分解因式；

等式两边都除以，得．④依据为等式的基本性质2；但是用法出错，

当时，不能直接除，而题干中给出的条件是，此处不能直接除．

故答案为：④．

16．已知抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中．若，则的值为 　8　．

【分析】先判断出了抛物线与轴的两交点坐标，进而求出，，进而建立方程，求解即可求出答案．

【解答】解：针对于抛物线，

令，则，

，

针对于抛物线，

令，则，

，

抛物线，

抛物线的顶点坐标为，

抛物线，

抛物线的顶点坐标为，

抛物线与抛物线的开口大小一样，与轴相交于同一点，顶点到轴的距离相等，

，

，

抛物线与轴的交点在左侧，在右侧，抛物线与轴的交点在左侧，在右侧，

，，，，，，，，

，，

，

，

故答案为：8．

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（8分）计算：．

【分析】应用零指数幂，绝对值，算术平方根的计算方法进行计算即可得出答案．

【解答】解：原式．

18．（8分）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．

【分析】利用证明，根据全等三角形的性质即可得解．

【解答】证明：，

，

即，

在和中，

，

，

．

19．（8分）先化简，再求值：，其中．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式

，

当时，原式．

20．（8分）学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组．

调查组设计了一份问卷，并实施两次调查．活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间（单位：，并分组整理，制成如下条形统计图．活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间（单位：，按同样的分组方法制成如下扇形统计图．其中组为，组为，组为，组为，组为，组为．

（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；

（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数．

【分析】（1）根据中位数的定义进行判断即可；

（2）根据第2次课外劳动时间不小于所占调查总人数的百分比，进行计算即可．

【解答】解：（1）把第1次调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列，处在中间位置的两个数，即处在第25、第26位的两个数都落在组，因此第1次调查学生课外劳动时间中位数在组；

把第2组调查的50名学生课外劳动时间从小到大排列各个分组，计算所占百分比的和，和为在组，因此第2次调查学生课外劳动时间的中位数在组；

（2）（人，

答：该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数大约是1400人．

21．（8分）如图，内接于，交于点，交于点，交于点，连接，．

（1）求证：；

（2）若的半径为3，，求的长（结果保留．

【分析】（1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案；

（2）连接，，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．

【解答】证明：（1），，

四边形是平行四边形，

，

，，

，

．

（2）连接，，

由（1）得，

，

，

的长．

22．（10分）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．

（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？

（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．

【分析】（1）设购买绿萝盆，吊兰盆，利用总价单价数量，结合购进两种绿植46盆共花费390元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买绿萝盆，则购买吊兰盆，根据购进绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设购买两种绿植的总费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设购买绿萝盆，吊兰盆，

依题意得：，

解得：．

，，

符合题意．

答：购买绿萝38盆，吊兰8盆．

（2）设购买绿萝盆，则购买吊兰盆，

依题意得：，

解得：．

设购买两种绿植的总费用为元，则，

，

随的增大而增大，

又，且为整数，

当时，取得最小值，最小值．

答：购买两种绿植总费用的最小值为369元．

23．（10分）如图，是矩形的对角线．

（1）求作，使得与相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，设与相切于点，，垂足为．若直线与相切于点，求的值．

【分析】（1）以为圆心长为半径画弧交与，作的垂直平分线，交与，以为圆心为半径画圆即为所求；

（2）设，的半径为，证四边形是正方形，根据证，得出，，根据等量关系列出关系式求出的值即可．

【解答】解：（1）根据题意作图如下：

（2）设，的半径为，

与相切于点，与相切于点，

，，

即，

，

，

四边形是矩形，

又，

四边形是正方形，

，

在和中，，，

，

在中，，

，

四边形是矩形，

，，

，

又，

，

，

，

在中，，

即，

，

即，

，

，

即的值为．

24．（12分）已知，，．

（1）如图1，平分，求证：四边形是菱形；

（2）如图2，将（1）中的绕点逆时针旋转（旋转角小于，，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转（旋转角小于，若，求的度数．

【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明四边形为平行四边形，根据菱形的判定定理证明结论；

（2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理证明即可；

（3）在上取点，使，连接，证明，得到，，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案．

【解答】（1）证明：，

，

，

，，

平分，

，

，

，

四边形为平行四边形，

，

平行四边形为菱形；

（2）解：，

理由如下：，

，

，

，

，

，

，

；

（3）解：如图3，在上取点，使，连接，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

设，，则，

，

，

，

，

，

，

，

，即．

25．（14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．是抛物线上一点，且在直线的上方．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若面积是面积的2倍，求点的坐标；

（3）如图，交于点，交于点．记，，的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点，的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；

（2）利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，与交于点，过点作于点，可分别表达和的面积，根据题意列出方程求出的长，设出点的坐标，表达的长，求出点的坐标即可；

（3）由三角形面积的“背靠背模型”可得．

【解答】解：（1）将，代入，

，解得．

抛物线的解析式为：．

（2）设直线的解析式为：，

将，代入，

，

解得．

，，

，

，即，

过点作轴于点，与交于点，过点作于点，如图，

，

．

设点的横坐标为，

，，，

．

解得或；

或．

（3），

，，

，

，

，，

．

设直线交轴于点．则，

过点作轴，垂足为，交于点，如图，

，

，

，

，

，

，

设，，

由（2）可知，，

．

，

当时，的最大值为．

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