2022届广东省深圳市南山区中考二模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．﹣6的倒数是（　　）

A．﹣ B． C．﹣6 D．6

2．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（　　）

A． B． C． D．

3．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A、B的坐标分别为（，0），（0，1），把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为（　　）

A． B． C． D．

4．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于（　　）

A．2 B．3 C． 4 D．6

5．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（   ）

A．0.25×10﹣5 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6

6．已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则BC=（　　）

A．3﹣ B．（+1） C．﹣1 D．（﹣1）

7．如果将直线l1：y＝2x﹣2平移后得到直线l2：y＝2x，那么下列平移过程正确的是（　　）

A．将l1向左平移2个单位 B．将l1向右平移2个单位

C．将l1向上平移2个单位 D．将l1向下平移2个单位

8．如图，反比例函数y＝－的图象与直线y＝－x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为(       )

A．8    B．6    C．4    D．2

9．数据4，8，4，6，3的众数和平均数分别是（  ）

A．5，4 B．8，5 C．6，5 D．4，5

10．将5570000用科学记数法表示正确的是（  ）

A．5.57×105    B．5.57×106    C．5.57×107    D．5.57×108

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小亮的作法如下：

老师说：“小亮的作法正确”

请回答：小亮的作图依据是______．

12．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为        

13．计算a3÷a2•a的结果等于_____．

14．若向北走5km记作﹣5km，则+10km的含义是_____．

15．因式分解：3x3﹣12x=_____．

16．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为             .

17．一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为1cm，那么这个圆锥的侧面积为_____cm1．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）五一期间，小红到郊野公园游玩，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东37°方向走200m米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin37≈0.60，cos37°=0.80，tan37°≈0.75

19．（5分）如图所示，在中，，用尺规在边BC上求作一点P，使；(不写作法，保留作图痕迹）连接AP当为多少度时，AP平分．

20．（8分）如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．

21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣bx．若此抛物线与直线y＝x只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点（3，1）．

①求此抛物线的解析式；

②以y轴上的点P（1，n）为中心，作该抛物线关于点P对称的抛物线y'，若这两条抛物线有公共点，求n的取值范围；若a＞1，将此抛物线向上平移c个单位（c＞1），当x＝c时，y＝1；当1＜x＜c时，y＞1．试比较ac与1的大小，并说明理由．

22．（10分）一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：

设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．

（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？

23．（12分）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

24．（14分）观察下列算式：

① 1 × 3 - 22 =" 3" - 4 = -1

② 2 × 4 - 32 =" 8" - 9 = -1

③3 × 5 - 42 =" 15" - 16 = -1

④                         

……

（1）请你按以上规律写出第4个算式；

（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；

（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

解：﹣6的倒数是﹣．故选A．

2、C

【解析】

分析：求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；

详解：∵∠A=60°，∠B=100°，

∴∠C=180°﹣60°﹣100°=20°，

∵DE=DC，

∴∠C=∠DEC=20°，

∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°，

∴S扇形DBE=．

故选C．

点睛：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S=．

3、B

【解析】
连接OO′，作O′H⊥OA于H．只要证明△OO′A是等边三角形即可解决问题.

【详解】

连接OO′，作O′H⊥OA于H，

在Rt△AOB中，∵tan∠BAO==，

∴∠BAO=30°，

由翻折可知，∠BAO′=30°，

∴∠OAO′=60°，

∵AO=AO′，

∴△AOO′是等边三角形，

∵O′H⊥OA，

∴OH=，

∴OH′=OH=，

∴O′（，），
故选B．

【点睛】

本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是发现特殊三角形，利用特殊三角形解决问题．

4、B

【解析】
作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，

∴BD∥CE，

∴，

∵OC是△OAB的中线，

∴，

设CE=x，则BD=2x，

∴C的横坐标为，B的横坐标为，

∴OD=，OE=，

∴DE=OE-OD=﹣=，

∴AE=DE=，

∴OA=OE+AE=，

∴S△OAB=OA•BD=×=1．

故选B.

点睛：本题是反比例函数与几何的综合题，熟知反比例函数的图象上点的特征和相似三角形的判定和性质是解题的关键.

5、D

【解析】
根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．

【详解】

解： 0.0000025第一个有效数字前有6个0（含小数点前的1个0），从而．

故选D．

6、C

【解析】
根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC= AB，代入数据即可得出BC的值．

【详解】

解：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；
则BC=2×=-1．
故答案为：-1．

【点睛】

本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 倍，较长的线段=原线段的 倍．

7、C

【解析】
根据“上加下减”的原则求解即可．

【详解】

将函数y＝2x﹣2的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y＝2x．

故选：C．

【点睛】

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键．

8、A

【解析】

试题解析：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，

则△ABC的面积=2|k|=2×4=1．

故选A．

考点：反比例函数系数k的几何意义．

9、D

【解析】
根据众数的定义找出出现次数最多的数，再根据平均数的计算公式求出平均数即可

【详解】

∵4出现了2次，出现的次数最多，

∴众数是4；

这组数据的平均数是：（4+8+4+6+3）÷5=5；

故选D．

10、B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于5570000有7位，所以可以确定n=7﹣1=1．

【详解】

5570000=5.57×101所以B正确

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等

【解析】
根据尺规作图的方法,两点之间确定一条直线的原理即可解题.

【详解】

解：∵两点之间确定一条直线,CD和AB都是圆的半径,

∴AB=CD,依据是两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等.

【点睛】

本题考查了尺规作图：一条线段等于已知线段,属于简单题,熟悉尺规作图方法是解题关键.

12、

【解析】
因为大正方形边长为，小正方形边长为m，所以剩余的两个直角梯形的上底为m，下底为，所以矩形的另一边为梯形上、下底的和：+m=.

13、a1

【解析】
根据同底数幂的除法法则和同底数幂乘法法则进行计算即可．

【详解】

解：原式=a3﹣1+1=a1．

故答案为a1．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘除法，关键是掌握计算法则．

14、向南走10km

【解析】
分析：与北相反的方向是南，由题意，负数表示向北走，则正数就表示向南走，据此得出结论.

详解：∵ 向北走5km记作﹣5km，

∴ +10km表示向南走10km.

故答案是：向南走10km.

点睛：本题考查对相反意义量的认识：在一对具有相反意义的量中，先规定一个为正数，则另一个就要用负数表示.

15、3x（x+2）（x﹣2）

【解析】
先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．

【详解】

3x3﹣12x

=3x（x2﹣4）

=3x（x+2）（x﹣2），

故答案为3x（x+2）（x﹣2）．

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

16、.

【解析】

试题解析：连接OE、AE，

∵点C为OA的中点，

∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，

∴△AEO为等边三角形，

∴S扇形AOE=

∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）

=

=

=．

17、

【解析】

分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．

详解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长=1π•5=10π，∴圆锥的侧面积=•10π•1=10π（cm1）．

    故答案为10π．

点睛：本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=•l•R，（l为弧长）．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、景点A与B之间的距离大约为280米

【解析】
由已知作PC⊥AB于C，可得△ABP中∠A=37°，∠B=45°且PA=200m，要求AB的长，可以先求出AC和BC的长．

【详解】

解:如图，作PC⊥AB于C，则∠ACP=∠BCP=90°，

由题意，可得∠A=37°，∠B=45°，PA=200m．

在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠A=37°，

∴AC=AP•cosA=200×0.80=160，PC=AP•sinA=200×0.60=1．

在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠B=45°，

∴BC=PC=1．

∴AB=AC+BC=160+1=280（米）．

答：景点A与B之间的距离大约为280米．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，对于解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

19、（1）详见解析；（2）30°．

【解析】
（1）根据线段垂直平分线的作法作出AB的垂直平分线即可；

（2）连接PA，根据等腰三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得∠B的度数，可得答案．

【详解】

（1）如图所示：分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点E、F，作直线EF，交BC于点P，

∵EF为AB的垂直平分线，

∴PA=PB，

∴点P即为所求．

（2）如图，连接AP，

∵，

∴，

∵AP是角平分线，

∴，

∴，

∵，

∴∠PAC+∠PAB+∠B=90°，

∴3∠B=90°，

解得：∠B=30°，

∴当时，AP平分．

【点睛】

本题考查尺规作图，考查了垂直平分线的性质、直角三角形两锐角互余的性质及等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．

20、8+6．

【解析】
如图作CH⊥AB于H．在Rt△BHC求出CH、BH，在Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；

【详解】

解：如图作CH⊥AB于H．

在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，

∴CH＝BC＝6，BH＝＝6，

在Rt△ACH中，tanA＝＝，

∴AH＝8，

∴AC＝＝10，

【点睛】

本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

21、（1）①；②n≤1；（2）ac≤1，见解析.

【解析】
（1）①△＝1求解b＝1，将点（3，1）代入平移后解析式，即可；

②顶点为（1，）关于P（1，n）对称点的坐标是（﹣1，2n﹣），关于点P中心对称的新抛物线y'＝（x+1）2+2n﹣＝x2+x+2n，联立方程组即可求n的范围；

（2）将点（c，1）代入y＝ax2﹣bx+c得到ac﹣b+1＝1，b＝ac+1，当1＜x＜c时，y＞1. ≥c，b≥2ac，ac+1≥2ac，ac≥1；

【详解】

解：（1）①ax2﹣bx＝x，ax2﹣（b+1）x＝1，

△＝（b+1）2＝1，b＝﹣1，

平移后的抛物线y＝a（x﹣1）2﹣b（x﹣1）过点（3，1），

∴4a﹣2b＝1，

∴a＝﹣，b＝﹣1，

原抛物线：y＝﹣x2+x，

②其顶点为（1，）关于P（1，n）对称点的坐标是（﹣1，2n﹣），

∴关于点P中心对称的新抛物线y'＝（x+1）2+2n﹣＝x2+x+2n．

由得：x2+2n＝1有解，所以n≤1．

（2）由题知：a＞1，将此抛物线y＝ax2﹣bx向上平移c个单位（c＞1），

其解析式为：y＝ax2﹣bx+c过点（c，1），

∴ac2﹣bc+c＝1 （c＞1），

∴ac﹣b+1＝1，b＝ac+1，

且当x＝1时，y＝c，

对称轴：x＝，抛物线开口向上，画草图如右所示．

由题知，当1＜x＜c时，y＞1．

∴≥c，b≥2ac，

∴ac+1≥2ac，ac≤1；

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数图象平移时改变位置，而a的值不变是解题的关键．

22、 (1)y=﹣0.5x+160，120≤x≤180；(2)当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．

【解析】

试题分析：（1）首先由表格可知：销售单价没涨10元，就少销售5kg，即可得y与x是一次函数关系，则可求得答案；

（2）首先设销售利润为w元，根据题意可得二次函数，然后求最值即可．

试题解析：（1）∵由表格可知：销售单价没涨10元，就少销售5kg，∴y与x是一次函数关系，∴y与x的函数关系式为：y=100﹣0.5（x﹣120）=﹣0.5x+160，∵销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，∴自变量x的取值范围为：120≤x≤180；

（2）设销售利润为w元，则w=（x﹣80）（﹣0.5x+160）=，∵a=＜0，∴当x＜200时，y随x的增大而增大，∴当x=180时，销售利润最大，最大利润是：w==7000（元）．

答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．

23、（1）35元/盒；（2）20%．

【解析】
试题分析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．

试题解析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据题意得：，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解．

答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．

（2）设年增长率为m，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．

根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：年增长率为20%．

考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用；增长率问题．

24、⑴；

⑵答案不唯一.如；

⑶

.

【解析】

（1）根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；

（2）将（1）中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论；

（3）一定成立．利用整式的混合运算方法加以证明．