2022届北京四中重点中学中考冲刺卷数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．计算－－|－3|的结果是(　　)

A．－1    B．－5    C．1    D．5

2．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“我”字的一面相对面上的字是（　　）

A．国 B．厉 C．害 D．了

3．如图，已知点A（1，0），B（0，2），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线CD与y轴交于点G，再以DG为边在第一象限内作正方形DEFG，若反比例函数的图像经过点E，则k的值是 （   ）

（A）33       （B）34      （C）35       （D）36

4．若代数式，，则M与N的大小关系是（   ）

A． B． C． D．

5．哥哥与弟弟的年龄和是18岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是18岁”．如果现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，下列方程组正确的是（　　）

A．    B．

C．    D．

6．y=（m﹣1）x|m|+3m表示一次函数，则m等于（　　）

A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣1

7．如图，反比例函数y＝－的图象与直线y＝－x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为(       )

A．8    B．6    C．4    D．2

8．如图，BC平分∠ABE，AB∥CD，E是CD上一点，若∠C=35°，则∠BED的度数为（　　）

A．70° B．65° C．62° D．60°

9．实数a在数轴上对应点的位置如图所示，把a，﹣a，a2按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）

A．﹣a＜a＜a2 B．a＜﹣a＜a2 C．﹣a＜a2＜a D．a＜a2＜﹣a

10．浙江省陆域面积为101800平方千米。数据101800用科学记数法表示为（     ）

A．1.018×104 B．1.018×105 C．10.18×105 D．0.1018×106

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，7），（3m﹣1，7），若线段AB与直线y＝﹣2x﹣1相交，则m的取值范围为__．

12．下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程．

已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．

求作：矩形ABCD．

小明的作法如下：

如图2，（1）分别以点A、C为圆心，大于AC同样长为半径作弧，两弧交于点E、F；

（2）作直线EF，直线EF交AC于点O；

（3）作射线BO，在BO上截取OD，使得OD=OB；

（4）连接AD，CD．

∴四边形ABCD就是所求作的矩形．

老师说，“小明的作法正确．”

请回答，小明作图的依据是：__________________________________________________.

13．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是　   　分．

14．分解因式：ax2﹣2ax+a=___________．

15．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______．

16．九（5）班有男生27人，女生23人，班主任发放准考证时，任意抽取一张准考证，恰好是女生的准考证的概率是________________．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数．

（1）请画出树状图并写出所有可能得到的三位数；

（2）甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由．

18．（8分）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（cos80°≈0.17，sin80°≈0.98，≈1.414）

（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？

（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？

19．（8分）计算：3tan30°+|2﹣|﹣（3﹣π）0﹣（﹣1）2018.

20．（8分） “六一”期间，小张购述100只两种型号的文具进行销售，其中A种型号的文具进价为10元/只，售价为12元，B种型号的文具进价为15元1只，售价为23元/只．

（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？

（2）如果购进A型文具的数量不少于B型文具数量的倍，且要使销售文具所获利润不低于500元，则小张共有几种不同的购买方案？哪一种购买方案使销售文具所获利润最大？

21．（8分）小明遇到这样一个问题：已知：. 求证：.

经过思考，小明的证明过程如下：

∵，∴.∴.接下来，小明想：若把带入一元二次方程（a0），恰好得到.这说明一元二次方程有根，且一个根是.所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：.

根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：

已知：. 求证：.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程.

22．（10分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以点A，B，C为圆心作圆，分别交BA，CB，DC的延长线于点E，F，G．

（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；

（2）判断线段GB与DF的长度关系，并说明理由．

23．（12分）在2018年韶关市开展的“善美韶关•情暖三江”的志愿者系列括动中，某志愿者组织筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种书包若干个送给贫困山区的学生，已知每个甲种书包的价格比每个乙种书包的价格贵10元，用350元购买甲种书包的个数恰好与用300元购买乙种书包的个数相同，求甲、乙两种书包每个的价格各是多少元？

24．    某品牌牛奶供应商提供A，B，C，D四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据统计图的信息解决下列问题：

（1）本次调查的学生有多少人？

（2）补全上面的条形统计图；

（3）扇形统计图中C对应的中心角度数是　   　；

（4）若该校有600名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约多少盒？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】
原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．

【详解】

原式

故选：B．

【点睛】

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2、A

【解析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．

【详解】

∴有“我”字一面的相对面上的字是国.

故答案选A.

【点睛】

本题考查的知识点是专题：正方体相对两个面上的文字，解题的关键是熟练的掌握正方体相对两个面上的文字.

3、D

【解析】

试题分析：过点E作EM⊥OA，垂足为M，∵A（1，0），B（0，2），∴OA-1，OB=2，又∵∠AOB=90°，∴AB==，∵AB//CD，∴∠ABO=∠CBG，∵∠BCG=90°，∴△BCG∽△AOB，∴，∵BC=AB=，∴CG=2，∵CD=AD=AB=，∴DG=3，∴DE=DG=3，∴AE=4，∵∠BAD=90°，∴∠EAM+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠EAM=∠ABO，又∵∠EMA=90°，∴△EAM∽△ABO，∴，即，∴AM=8，EM=4，∴AM=9，∴E（9，4），∴k=4×9=36；

故选D．

考点：反比例函数综合题．

4、C

【解析】

∵，

∴，

∴.

故选C.

5、D

【解析】

试题解析：设现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，由题意得

．

故选D．

考点：由实际问题抽象出二元一次方程组

6、B

【解析】

由一次函数的定义知，|m|=1且m-1≠0，所以m=-1，故选B.

7、A

【解析】

试题解析：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，

则△ABC的面积=2|k|=2×4=1．

故选A．

考点：反比例函数系数k的几何意义．

8、A

【解析】
由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，即可求得∠ABE的度数，继而求得答案．

【详解】

∵AB∥CD,∠C=35°，

∴∠ABC=∠C=35°，

∵BC平分∠ABE，

∴∠ABE=2∠ABC=70°，

∵AB∥CD，

∴∠BED=∠ABE=70°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质进行解答.

9、D

【解析】
根据实数a在数轴上的位置，判断a，﹣a，a2在数轴上的相对位置，根据数轴上右边的数大于左边的数进行判断.

【详解】

由数轴上的位置可得，a<0,-a>0, 0<a2<a,

所以，a＜a2＜﹣a.

故选D

【点睛】

本题考核知识点：考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是根据数轴判断出a，﹣a，a2的位置.

10、B

【解析】

.

故选B.

点睛：在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、﹣4≤m≤﹣1

【解析】
先求出直线y＝7与直线y＝﹣2x﹣1的交点为（﹣4，7），再分类讨论：当点B在点A的右侧，则m≤﹣4≤3m﹣1，当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤﹣4≤m，然后分别解关于m的不等式组即可．

【详解】

解：当y＝7时，﹣2x﹣1＝7，解得x＝﹣4，

所以直线y＝7与直线y＝﹣2x﹣1的交点为（﹣4，7），

当点B在点A的右侧，则m≤﹣4≤3m﹣1，无解；

当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤﹣4≤m，解得﹣4≤m≤﹣1，

所以m的取值范围为﹣4≤m≤﹣1，

故答案为﹣4≤m≤﹣1．

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据直线y＝﹣2x﹣1与线段AB有公共点找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．

12、到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个角为90°的平行四边形为矩形

【解析】
先利用作法判定OA=OC，OD=OB，则根据平行四边形的判定方法判断四边形ABCD为平行四边形，然后根据矩形的判定方法判断四边形ABCD为矩形．

【详解】

解：由作法得EF垂直平分AC，则OA=OC，

而OD=OB，

所以四边形ABCD为平行四边形，

而∠ABC=90°，

所以四边形ABCD为矩形．

故答案为到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形．

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

13、88

【解析】

试题分析：根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可：

∵笔试按60%、面试按40%计算，

∴总成绩是：90×60%+85×40%=88（分）．

14、a（x-1）1．

【解析】
先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【详解】

解：ax1-1ax+a，
=a（x1-1x+1），
=a（x-1）1．

【点睛】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

15、等

【解析】
根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到a＜0，b=0，c=0，所以解析式满足a＜0，b=0，c=0即可．

【详解】

解：根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到a＜0，b=0，c=0，

例如：.

【点睛】

此题是开放性试题，考查函数图象及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义.

16、

【解析】
用女生人数除以总人数即可.

【详解】

由题意得，恰好是女生的准考证的概率是.

故答案为：.

【点睛】

此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）见解析（2）不公平。理由见解析

【解析】

解：（1）画树状图得：

所有得到的三位数有24个，分别为：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，，413，421，423，431，432。

（2）这个游戏不公平。理由如下：

∵组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，342，共有8个，

∴甲胜的概率为，乙胜的概率为。

∵甲胜的概率≠乙胜的概率，∴这个游戏不公平。

（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有可能得到的三位数。

（2）由（1），可求得甲胜和乙胜的概率，比较是否相等即可得到答案。

18、 (1) 小强的头部点E与地面DK的距离约为144.5 cm.(2) 他应向前9.5 cm.

【解析】

试题分析：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的值即可解决问题；

（2）求出OH、PH的值即可判断；

试题解析：解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．

∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，∵∠FGK=80°，∴FN=100sin80°≈98，∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°﹣125°﹣10°=45°，∴FM=66cos45°=≈46.53，∴MN=FN+FM≈144.5，∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．

（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．∵AB=48，O为AB中点，∴AO=BO=24，∵EM=66sin45°≈46.53，∴PH≈46.53，∵GN=100cos80°≈17，CG=15，∴OH=24+15+17=56，OP=OH﹣PH=56﹣46.53=9.47≈9.5，∴他应向前9.5cm．

19、1.

【解析】
直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

【详解】

3tan31°+|2﹣|﹣（3﹣π）1﹣（﹣1）2118

=3×+2﹣﹣1﹣1

=+2﹣﹣1﹣1

=1．

【点睛】

本题考查了绝对值的性质以及特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练的掌握绝对值的性质以及特殊角的三角函数值.

20、（1）A种文具进货40只，B种文具进货60只；（2）一共有三种购货方案，购买A型文具48只，购买B型文具52只使销售文具所获利润最大．

【解析】
（1）设可以购进A种型号的文具x只，则可以购进B种型号的文具只，根据总价＝单价×数量结合A、B两种文具的进价及总价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）根据题意列不等式，解之即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题．

【详解】

（1）设A种文具进货x只，B种文具进货只，由题意得：

，

解得：x＝40，

，

答：A种文具进货40只，B种文具进货60只；

（2）设购进A型文具a只，则有，且；

解得：，

∵a为整数，

∴a＝48、49、50，一共有三种购货方案；

利润，

∵，w随a增大而减小，

当a＝48时W最大，即购买A型文具48只，购买B型文具52只使销售文具所获利润最大．

【点睛】

本题主要考查了一次函数的实际问题，熟练掌握一次函数表达式的确定以及自变量取值范围的确定，最值的求解方法是解决本题的关键.

21、证明见解析

【解析】

解：∵，∴.∴.

∴是一元二次方程的根.

∴，∴.

22、（1）6π；（2）GB=DF，理由详见解析.

【解析】
（1）根据弧长公式l= 计算即可；
（2）通过证明给出的条件证明△FDC≌△GBC即可得到线段GB与DF的长度关系．

【详解】

解：（1）∵AD=2，∠DAE=90°，
∴弧DE的长 l1= =π，
 

同理弧EF的长 l2= =2π，弧FG的长 l3= =3π，
所以，点D运动到点G所经过的路线长l=l1+l2+l3=6π．
（2）GB=DF．
理由如下：延长GB交DF于H．
∵CD=CB，∠DCF=∠BCG，CF=CG，
∴△FDC≌△GBC．
∴GB=DF．

【点睛】

本题考查弧长公式以及全等三角形的判定和性质，题目比较简单，解题关键掌握是弧长公式．

23、每件乙种商品的价格为1元，每件甲种商品的价格为70元

【解析】
设每件甲种商品的价格为x元，则每件乙种商品的价格为（x-10）元，根据数量=总价÷单价结合用350元购买甲种书包的个数恰好与用300元购买乙种书包的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论.

【详解】

解：

设每件甲种商品的价格为x元，则每件乙种商品的价格为（x﹣10）元，

根据题意得：，

解得：x=70，

经检验，x=70是原方程的解，

∴x﹣10=1．

答：每件乙种商品的价格为1元，每件甲种商品的价格为70元．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：根据数量=总价÷单价，列出分式方程．

24、（1）150人；（2）补图见解析；（3）144°；（4）300盒．

【解析】
(1)根据喜好A口味的牛奶的学生人数和所占百分比，即可求出本次调查的学生数.

（2）用调查总人数减去A、B、D三种喜好不同口味牛奶的人数，求出喜好C口味牛奶的人数，补全统计图.再用360°乘以喜好C口味的牛奶人数所占百分比求出对应中心角度数.

(3)用总人数乘以A、B口味牛奶喜欢人数所占的百分比得出答案.

【详解】

解：（1）本次调查的学生有30÷20%＝150人；

（2）C类别人数为150﹣（30+45+15）＝60人，

补全条形图如下：

（3）扇形统计图中C对应的中心角度数是360°×＝144°

故答案为144°

（4）600×（）＝300（人），

答：该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约300盒．

【点睛】

本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得出必要的信息是解题的关键.